Skripta - Staticky určité prutové konstrukce II

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
ING. JIŘÍ KYTÝR, CSc.
ING. ZBYNĚK KERŠNER, CSc.
ING. ROSTISLAV ZÍDEK
ING. ZBYNĚK VLK

ZÁKLADY
STAVEBNÍ MECHANIKY
MODUL BD01-MO4
STATICKY URČITÉ PRUTOVÉ KONSTRUKCE – ČÁST 2

STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Staticky určité prutové konstrukce – část 2




Vážení uživatelé tohoto učebního textu,
dovolujeme si Vás požádat o malé strpení pro využívání této učební pomůcky pro Vaše studi-
um. Při závěrečné kontrole byly navrženy další vylepšující úpravy a drobné formální opravy,
které přispějí ke zlepšení kvality učebního textu.
Z časových důvodů však nebylo možné je dosud realizovat. Předpokládáme, že opravy prove-
deme do konce roku 2005. Posečkejte proto prosím se stahováním a používáním, dokud ne-
zmizí tento upozorňující text.
Děkují autoři
























© Jiří Kytýr, Zbyněk Keršner, Rostislav Zídek, Zbyněk Vlk, Brno 2004
- 2 (48) -
Obsah
OBSAH
1 Úvod ...............................................................................................................5
1.1 Cíle........................................................................................................5
1.2 Požadované znalosti..............................................................................5
1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5
1.4 Klíčová slova.........................................................................................5
2 Rovinný zakřivený prut ...............................................................................7
2.1 Charakteristiky zakřiveného nosníku....................................................7
2.2 Výpočet vnitřních sil.............................................................................8
2.2.1 Transformační vztahy .............................................................9
2.3 Diferenciální podmínky rovnováhy zakřiveného prutu ........................9
3 Rovinný příhradový nosník.......................................................................13
3.1 Výpočtový model................................................................................13
3.2 Statická a kinematická určitost ...........................................................14
3.2.1 Výjimkové případy ...............................................................16
3.2.2 Posouzení ze skladby prutové soustavy................................16
3.3 Výpočet reakcí vnějších vazeb............................................................17
3.4 Metoda styčníková ..............................................................................17
3.4.1 Obecná styčníková metoda ...................................................18
3.4.2 Zjednodušená styčníková metoda.........................................19
3.5 Metoda průsečná .................................................................................22
3.5.1 Ritterova úprava....................................................................23
3.5.2 Zvláštní případy průsečné metody........................................25
3.6 Mimostyčné zatížení ...........................................................................27
4 Prostorově namáhaný staticky určitý nosník...........................................31
4.1 Vazby a výpočet reakcí .......................................................................32
4.2 Prostorové namáhání přímého prutu ...................................................32
4.3 Diferenciální podmínky rovnováhy ....................................................33
4.4 Vynášení průběhů složek vnitřních sil ................................................35
4.4.1 Rovnováha v uzlu .................................................................36
4.5 Prostorově lomený nosník...................................................................36
4.6 Balkonový nosník ...............................................................................37
4.7 Příklady řešení prostorově namáhaných nosníků................................38
5 Studijní prameny........................................................................................47
5.1 Seznam použité literatury....................................................................47
5.2 Seznam doplňkové studijní literatury .................................................47
5.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny .........................................47






- 3 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 2

- 4 (48) -
Úvod
1 Úvod
1.1 Cíle
V tomto čtvrtém modulu Základů stavební mechaniky si doplníme řešení
rovinných prutových konstrukcí o analýzu rovinného staticky určitého
zakřiveného nosníku. Dále se seznámíme s řešením rovinných staticky určitých
příhradových konstrukcí. Obecný vztah pro posouzení statické a kinematické
určitosti ze třetího modulu převedeme na vztah vhodnější pro příhradové
soustavy. Zmíníme se o posuzování výjimkového uspořádání příhradové
soustavy. Uvedeme si dvě základní metody řešení prutových konstrukcí
s kloubově připojenými pruty, a to metodu styčníkovou (v obecné a
zjednodušené variantě) a metodou průsečnou. V poslední kapitole tohoto
modulu rozšíříme analýzu přímého prutu o účinek prostorového namáhání.
Uvedeme si způsob podepření, posouzení statické určitosti, výpočet reakcí a
odvodíme diferenciální podmínky rovnováhy. Výklad budeme ilustrovat
příklady řešení jednoduchého přímého nosníku a prostorově lomeného
nosníku.
Naším cílem ve finále budou výpočty nosných stavebních konstrukcí z hlediska
poskytnutí údajů pro dimenzování podle jednotlivých materiálů.
1.2 Požadované znalosti
Čtvrtý modul základů stavební mechaniky je přímým pokračováním třetího
modulu. Navazuje přitom na znalosti získané v prvním modulu v rovinných
silových soustavách. I zde budeme aplikovat rozklad sil do pravoúhlých složek,
statický moment síly, redukci síly k bodu a statické podmínky rovnováhy sil a
momentů sil.
Z matematického aparátu budeme používat goniometrické funkce, diferenciální
počet včetně určování extrémů funkce a významu derivace jako směrnice tečny
ke křivce, integrální počet pro vyjádření příslušných funkcí integrací.
1.3 Doba potřebná ke studiu
Modul obsahuje látku probíranou ve čtyřech týdnech semestru. Doba potřebná
k nastudování jednotlivých kapitol či odstavců se liší od několika minut do
několika desítek minut. Záleží to jednak na předchozí průpravě studenta
v příslušné oblasti, jednak na obtížnosti daného tématu. Potřebná doba ke stu-
diu činí 20 až 30 hodin.
1.4 Klíčová slova
mechanika, statika, pružnost, síla, statický moment, dvojice sil, silová soustava,
rovnováha, ekvivalence, výpočtový model, prutová konstrukce, zatížení, vaz-
by, reakce, složky reakcí, statická a kinematická určitost, výjimkový případ
- 5 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 2
podepření, vnitřní síly, diferenciální podmínky rovnováhy, průběhy a diagramy
vnitřních sil, zakřivený nosník, transformační vztahy, příhradový nosník, styč-
níková metoda, průsečná metoda, Ritterova úprava, mimostyčné zatížení, pro-
storové namáhání, prostorově lomený nosník, balkonový nosník

- 6 (48) -
Rovinný zakřivený prut
2 Rovinný zakřivený prut
Oblouky umožňují překonat mnohem větší rozpětí než nosníky přímé. Mohou
být jako samostatné zakřivené nosníky (obr. 2.1) nebo jako součást rámové
konstrukce s obloukovou příčlí ve tvaru zakřiveného prutu. Jednoduchý ob-
louk představuje samostatný zakřivený prut podepřený na obou koncích. U sta-
ticky neurčitých oblouků (viz Statika stavebních konstrukcí) dochází
k výhodnějšímu namáhání, ale je nutné zachytit vodorovné síly v podporách
(pomocí masivních bloků, táhel apod.).

Obr. 2.1: Rovinný zakřivený nosník
U zakřivených prutů se projevuje klenbový účinek, kde se svislé zatížení pře-
náší do podpor převážně tlakovými normálovými silami, méně ohybem a
smykem. U staticky neurčitých konstrukcí vznikají při výhradně svislém zatí-
žení velké vodorovné složky reakcí v podporách.
2.1 Charakteristiky zakřiveného nosníku
Střednice zakřiveného prutu se volí ve tvaru rovinné křivky. Popis střednice lze
zadat analyticky funkcí z(x) obvykle jako část kuželosečky (kružnice, elipsy,
paraboly různých stupňů) nebo ve tvaru řetězovky, půlvlny sinusoidy apod.,
eventuelně pořadnicemi z
i
(i = 1, 2, …, n).
Základními parametry oblouku (obr. 2.1) jsou vrchol v, rozpětí l, teoretické
rozpětí l
0
= 2 x
v
, vzepětí f a výškový rozdíl patních průřezů c. Dále se sleduje
maximální výška průřezu (v patním průřezu) max h a minimální poloměr kři-
vosti (ve vrcholu) min r.
Jako ploché se označují oblouky, je-li poměr
0
l
f
< 0,2 , (2.1)
málo zakřivené jsou při
max h < 0,1 min r (2.2)
a štíhlé při
- 7 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 2
max h < 0,1 l (2.3)
U staticky neurčitých oblouků záleží už při výpočtu na proměnnosti průřezu.
Nejčastěji se uvažuje spojitá změna po celé délce oblouku. Nejjednodušeji to
vyjádříme zvětšováním momentu setrvačnosti od vrcholu k podporám podle
vztahu
ϕcos
)(
v
I
xI = , (2.4)
kde I
v
je moment setrvačnosti vrcholového průřezu a ϕ je úhel sklonu tečny ke
střednici v průřezu x.

Obr. 2.2: Spojitá zatížení na zakřiveném nosníku
Jako zatížení se u zakřivených prutů uvažují osamělé síly či momenty a spojité
zatížení (obr. 2.2), působící svisle, vodorovně, kolmo ke střednici nebo tečně
ke střednici. Zadání intenzity spojitého zatížení q můžeme realizovat na jed-
notku vodorovné či svislé délky nebo na jednotku délky střednice.

Obr. 2.3: Složky vnitřních sil zakřiveného prutu
2.2 Výpočet vnitřních sil
V průřezu x vznikají (stejně jako u přímého prutu) tři složky vnitřních sil –
normálová síla N, posouvající síla V a ohybový moment M. Řeší se rovněž
z podmínek rovnováhy na oddělené části nosníku; při praktickém postupu lze
použít zásady:
• normálová síla N je dána algebraickým součtem průmětů všech vnějších sil
z jedné části prutu do směru tečny ke střednici,
• posouvající síla V je dána algebraickým součtem průmětů všech vnějších sil
z jedné části prutu do směru normály ke střednici,
- 8 (48) -
Rovinný zakřivený prut
• ohybový moment M je dán algebraickým součtem statických momentů
všech vnějších sil z jedné části prutu (což je stejné jako u přímého prutu).
Kladné smysly složek vnitřních sil N, V, M se uvažují jako na přímém prutu.
2.2.1 Transformační vztahy
Protože při výpočtu normálové a posouvající síly se s měnícím průřezem mění
i sklon tečny, je přímý výpočet poněkud nepraktický. Při numerickém výpočtu
proto postupujeme výhodně tak, že výslednici R nejprve rozložíme do složky
horizontální H a vertikální S (obr. 2.3b). Ze složek H, S určíme složky N, V
(obvykle v desetinách rozpětí oblouku l) pomocí transformačních vztahů
N = H cosϕ – S sinϕ ,
V = H sinϕ + S cosϕ , (2.5)
kde ϕ je úhel sklonu tečny ke střednici v průřezu x.
Pořadnice N, V, M vynášíme ve směru normál ke střednici nebo častěji svisle
od vodorovné základní čáry (viz obr. 2.5).

Obr. 2.4: Zakřivený prutový element
2.3 Diferenciální podmínky rovnováhy zakřiveného
prutu
Podobně jako u přímého prutu, vytněme ze zakřiveného prutu dvěma soumez-
nými řezy kolmými ke střednici prutu diferenciální element (obr. 2.4) s délkou
střednice
ds = ρ dϕ , (2.6)
kde ρ je poloměr křivosti. Na element působí diferenciální síly od spojitých
rovnoměrných zatížení
- 9 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 2
ϕρ dd
~
d nsnN
t
== ,
ϕρ dd
~
d qsqQ
n
== ,
ϕρ dd
~
d msmM
m
== (2.7)
a složky výslednice vnitřních sil N, V, M a N + dN, V + dV, M + dM za odejmu-
té části prutu (obr. 2.4). Sestavíme-li statické podmínky rovnováhy sil a mo-
mentů na uvolněném elementu ∑F
ix
= 0, ∑F
iz
= 0, ∑ M
i2
= 0, získáme po ná-
hradě veličin malého úhlu dϕ /2 a zanedbání infinitezimálních veličin druhého
řádu po úpravě diferenciální podmínky rovnováhy
n
V
s
N
−=
ρd
d
, q
N
s
V
−−=
ρd
d
, mV
s
M
+=
d
d
. (2.8)
Extrémy vnitřních sil N, V, M pak nastanou v průřezu, v němž bude platit
ρ
V
n = ,
ρ
N
q −= , V = – m . (2.9)
Příklad 2.1
Zadání
Určete reakce a vykreslete průběh vnitřních sil na prostém nosníku
s parabolickou střednicí (obr. 2.5a) o rozpětí l = 10 m, vzepětí f = 4 m, zatíže-
ném svislým spojitým rovnoměrným zatížením q = 1 kNm
–1
po půdorysném
průmětu střednice.
Řešení
Rovnice střednice parabolického nosníku v souřadnicové rovině x, z
s počátkem oa ≡
()()
2
22
44
()
ffx
z xlxx l
l
=−=−x. (2.10)
Rovnice sklonů tečen ke střednici nosníku
(
2
d() 4
() tg 2
d
zx f
)z xlx
x l
ϕ′ ===−. (2.11)
Vztahy pro goniometrické funkce
2
1
cos
1tg
ϕ
ϕ
=
+
,
2
tg
sin . (2.12) tg cos
1tg
ϕ
ϕϕϕ
ϕ
=⋅ =
+
Složky reakcí vazeb
ax a
R H= ,
az
R ,
bx b
R H= ,
bz
R prostého zakřiveného nos-
níku z podmínek rovnováhy
0: 0
ix a b a b
FHH H=−=⇒=H
∑

11
0: 0 5 kN
222
ia bz bz
l
MRlQ RQql=⋅−=⇒===
∑

- 10 (48) -
Rovinný zakřivený prut
11
0: 0 5 kN
222
ib az az
l
MRlQ RQql=−⋅+=⇒ ===
∑

Mezi složkami reakcí ,
b
H
bz
R platí vztah
5
tg 1,340 kN
tg tg 75
bz bz
bba
RR
HH
H
α
α
=⇒====
°

Výslednice vnitřních sil v libovolném průřezu x nosníku má horizontální slož-
ku a vertikální složku o velikosti ( ) 1,340 kN
a
Hx H=− =− ()Sx
(
() 2
2
az
q
Sx R qx l x=−=−
). (2.13)
Složky vnitřních sil , , ()Nx ()Vx ()M x v průřezu x nosníku s přihlédnutím ke
vztahům (2.5), (2.13):
()
() cos 2 sin
2
a
q
Nx H l xϕ ϕ=− − − ,
()() sin 2 cos
2
a
q
Vx H l xϕ ϕ=− + − ,
()()
2
a
qx
M xlxH=−−z. (2.14)
Ve vrcholu oblouku v pro
2
l
x = a 0ϕ = ° dostáváme
va
NH=− , , 0
v
V =
2
1
8
va
M ql H f=−.
Pomocí uvedených výrazů vypočteme složky výslednice vnitřních sil ,
,
()Nx
()Vx ()M x v desetinách rozpětí parabolického nosníku. V tabulce 2.1 jsou
uvedeny výsledky pouze z levé poloviny nosníku. Vypočtené hodnoty (pořad-
nice) jsou pak vyneseny od střednice nosníku ve směru normál i od vodorovné
základní strany na svislicích a z nich získány příslušné průběhy N, V, M.
Tab. 2.1: Výpočet pořadnic složek vnitřních sil na zakřiveném nosníku
x
(m)
z
(m)
tgz ϕ′=
cosϕ
sinϕ
()H x
(kN)
()Sx
(kN)
()Nx
(kN)
()Vx
(kN)
()M x
(kN)
0 0,00 1,60 0,530 0,848 –1,34 5 –4,950 1,514 0
1 1,44 1,28 0,616 0,788 –1,34 4 –3,977 1,407 2,570
2 2,56 0,96 0,721 0,693 –1,34 3 –3,045 1,236 4,570
3 3,36 0,64 0,842 0,539 –1,34 2 –2,207 0,963 5,998
4 3,84 0,32 0,952 0,305 –1,34 1 –1,581 0,544 6,854
5 4,00 0 1,000 0 –1,34 0 –1,340 0 7,140
V případě prostého parabolického nosníku se svislou reakcí R
b
= R
bz
(α
b
= 90°)
posuvného kloubu b dostáváme
- 11 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 2
0
ab
HH==,
1
5 kN
2
az bz
RR ql== = ,
0
v
N = , , 0
v
V =
2
1
12,5 kNm
8
v
Mql== .
Je-li reakce
b
R posuvného kloubu b parabolického nosníku (obr. 2.5a) odklo-
něna od vodorovné osy o úhel
b
α s
4
tg 1,6
b
f
l
α ==, potom
1
5 kN
2
az bz
RR ql== = , 3,125 kN
2tg
ab
b
ql
HH
α
== = ,
() () 0Vx Mx== pro 0 x l< < .
V průřezech nosníku vznikají jen normálové síly, jejichž průběh je nakreslen
na obr. 2.5d.

Obr. 2.5: Prostý nosník s parabolickou střednicí
Shrnutí
Nyní si již umíme poradit s výpočtem reakcí nosníku a s určením i vykreslením
diagramů vnitřních sil na prutu, jehož střednice je zakřivená.
- 12 (48) -
Rovinný příhradový nosník
3 Rovinný příhradový nosník
Jak již bylo uvedeno v odst. 3.1 třetího modulu, vzájemné spojení prutů
v uzlech může být tuhé (jde o rámový styčník) nebo kloubové (ideální kloubo-
vý styčník). Jsou-li všechny pruty připojeny do styčníku kloubově, jedná se
o velmi jednoduchý výpočtový model prutové soustavy. V tom případě jsou
pruty namáhány pouze osovými (normálovými) silami. Přesnější označení ta-
kové konstrukce je kloubová prutová soustava. Ve stručné technické termino-
logii se používá název příhradový nosník či příhradová soustava.
Za příhradu (oddíl) se považuje skupina prutů mezi dvěma sousedními svisli-
cemi nebo diagonálami (obr. 3.1b).

Obr. 3.1: Rovinná kloubová prutová soustava
3.1 Výpočtový model
Na skladbu rovinné kloubové prutové soustavy můžeme pohlížet ze dvou hle-
disek. Jednak můžeme přijmout představu složené nosníkové soustavy vytvo-
řené z tuhých desek v rovině (viz odst. 3.2 třetího modulu) vzájemně spojených
vícenásobnými vnitřními klouby (obr. 3.2).
- 13 (48) -

Rovinný příhradový nosník
klouby k é rovnice (3.6) ze třetího
dulu
1
, posuzuje se statická určitost podle již znám
mo
2b + 3d = a + 2k
1
. (3.1)

Obr. 3.2: Příhradový nosník
Je-li model skladby soustavy představován hmotnými body (styčníky) v počtu
b, navzájem spojenými jednonásobnými vnitřními vazbami (kyvnými pruty) v
počtu p a k pevnému útvaru připojen a jednonásobnými vnějšími vazbami,
posoudí se statická určitost podle jednoduššího vztahu
2b = a + p . (3.2)
Výraz (3.2) vyjadřuje ze statického hlediska, že počet 2b statických podmínek
rovnováhy uzlů je roven počtu neznámých jednoduchých složek reakcí vněj-
ších vazeb a neznámých osových sil (interakcí) v prutech. Z kinematického
hlediska pak vyjadřuje, že počet stupňů volnosti soustavy 2b je roven počtu
odebraných stupňů volnosti vnějšími vazbami a a vnitřními vazbami p.
Determinant soustavy 2b rovnic nesmí být roven nule, neboť by se jednalo
o výjimkový případ (viz odst. 3.2.1). Dále musí platit pro vnější vazby relace
a ≥ 3, přičemž trojka představuje tři globální statické podmínky rovnováhy.
Prutová soustava je staticky neurčitá (kinematicky přeurčitá), platí-li
2b < a + p (3.3)
a pak je nutno pro vyřešení přidat ještě přetvárné podmínky (viz Statika sta-
vebních konstrukcí). Prutová soustava je staticky přeurčitá (kinematicky neu-
rčitá), je-li
2b > a + p (3.4)
a konstrukce se stává mechanismem nevhodným pro stavební účely.

Obr. 3.3: Staticky neurčité kloubové prutové soustavy
Křížení diagonálních prutů (obr. 3.3b) se při teoretických úvahách nemusí uva-
žovat jako styčník, neboť z podmínek rovnováhy do os obou prutů plyne rov-
- 15 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 2
nost příslušných osových sil. Také zvětšením parametru b o jedničku na levé
straně rovnice (3.2) a přidáním dvou prutů p na pravé straně se rovnice nezmě-
ní. Pouze v případě, že v místě křížení působí osamělá síla, je tam uzel nutné
uvažovat.
Příhradová soustava na obr. 3.1c je staticky určitá, neboť platí b = 5, a = 3,
p = 7. Příklady staticky neurčitých příhradových soustav jsou s příslušnými
parametry uvedeny na obr. 3.3.
3.2.1 Výjimkové případy
Výjimkový případ rovinné kloubové prutové soustavy nastane, je-li rovnice
(3.2) splněna, ale soustava 2b rovnic má determinant D = 0, neboť pruty či
vnější vazby jsou nevhodně uspořádány. Na obr. 3.4a je soustava s parametry
b = 6, a = 3, p = 9, ale tři klouby (uzly a, f a e) leží v jedné přímce. Soustava na
obr. 3.4b má parametry b = 6, a = 3, p = 9; levá příhrada je kinematicky přeur-
čitá (přebývá jedna diagonála), zatímco pravá příhrada tvoří tvarově neurčitý
kloubový čtyřúhelník.
Vyčíslení determinantu 2b rovnic lze nahradit posouzením kinema