Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice

VYSOK´E UˇCEN´I TECHNICK´E V BRNˇE
FAKULTA STAVEBN´I
MATEMATIKA II
MODUL 3
OBYˇCEJN´E DIFERENCI´ALN´I ROVNICE 1
STUDIJN´I OPORY
PRO STUDIJN´I PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Typeset by LATEX2ε
c© Josef Dibl´ık, Oto Pˇribyl 2004
i
Pˇredmluva
Moduly vˇenovan´e diferenci´aln´ım rovnic´ım jsou pˇrizp˚usobeny potˇreb´am a poˇzadav-
k˚um student˚u a studentek stavebn´ı fakulty VUT v Brnˇe. Toto pˇrizp˚usoben´ı je d´ano
jak v´ybˇerem problematiky, kter´a je pouze ˇc´ast´ı obˇs´ırn´eho vˇedn´ıho oboru, jak´ym jsou
obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice, tak i v´ykladem l´atky.
Pˇri v´ykladu se snaˇz´ıme o vˇetˇs´ı srozumitelnost textu. V´ıme, ˇze snaha o snadnˇejˇs´ı
v´yklad dan´e problematiky m´a za d˚usledek zmenˇsen´ı pˇresnosti a rigorznosti v´ykladu.
To se projevuje, napˇr´ıklad, pˇri definov´an´ı r˚uzn´ych pojm˚u, kter´e se snaˇz´ıme uˇcinit
pˇr´ıstupnˇejˇs´ımi. Proto pros´ıme o shov´ıvavost ty z V´as, kteˇr´ı se s teori´ı diferenci´aln´ıch
rovnic setkali na ´urovni hlubˇs´ıho teoretick´eho z´akladu a maj´ı tud´ıˇz zv´yˇsen´e n´aroky
na teoretickou ´uroveˇn textu.
Na tomto m´ıstˇe tak´e vyslovujeme podˇekov´an´ı tˇem koleg˚um, kteˇr´ı se zaslouˇzili o zlep-
ˇsen´ı tohoto textu: RNDr. O. Dlouh´emu a RNDr. I. Mollovi, CSc.
V Brnˇe dne 1. 6. 2004 Autoˇri
C´ıle modulu
C´ıle studia tohoto modulu jsou pr˚ubˇeˇznˇe popisov´any na zaˇc´atku kaˇzd´e kapitoly,
ke kter´e se vztahuj´ı.
Poˇzadovan´e znalosti
Pro zvl´adnut´ı tohoto modulu je nezbytn´e zvl´adnout problematiku modul˚u BA01_M04
aˇz BA01_M09.
Doba potˇrebn´a ke studiu
Pˇribliˇznˇe lze odhadnout potˇrebnou dobu ke studiu tohoto modulu na 20 hodin. Pro
z´ısk´an´ı dostateˇcn´e poˇcetn´ı praxe bude jeˇstˇe zˇrejmˇe zapotˇreb´ı dalˇs´ı ˇcas z´avisl´y na
individu´aln´ıch schopnostech studenta.
Kl´ıˇcov´a slova
Diferenci´aln´ı rovnice, parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice, obyˇcejn´a diferenci´aln´ı rovnice,
poˇc´ateˇcn´ı ´uloha,ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice, existenceˇreˇsen´ı, Lipschitzova podm´ınka,
Peanova vˇeta, Picardova vˇeta, geometrick´a interpretace ˇreˇsen´ı, izokl´ıny, smˇerov´e
pole, line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice, separovan´a diferenci´aln´ı rovnice, exaktn´ı difer-
enci´aln´ı rovnice, integraˇcn´ı faktor.
ii
P´anov´e Hodn´y a Pˇr´ısn´y se pˇredstavuj´ı svˇetu.
Jan A. Komensk´y ve sv´em d´ıle
Labyrint svˇeta a r´aj srdce poskytl
sv´emu Poutn´ıkovi doprovod dvou
Pr˚uvodc˚u pozn´an´ım.
I my se v tomto textu podrˇz´ıme to-
hoto konceptu dvoj´ıho
pr˚uvodcov´an´ı.
Jako u Komensk´eho budou i Vaˇsi
Pr˚uvodci studiem jasnˇe vyprofilo-
van´ı - kaˇzd´y bude hr´at svou pevnˇe
stanovenou roli. Pˇri urˇcen´ı tˇechto
rol´ı jsme se nechali inspirovat ped-
agogikou aplikovanou v kriminalis-
tice: Kaˇzd´y zn´a ˇsablonu zl´y policajt
– hodn´y policajt, viz napˇr. Svˇer´ak˚uv
film Kolja.
Proto si V´am dovolujeme pˇredstavit:
Pan Pˇr´ısn´y – V´aˇs pˇr´ısn´y pr˚uvodce studiem.
Ten V´as bude kontrolovat, zad´avat ´ukoly i tresty, k´arat a db´at o to, abyste
studovali ˇr´adnˇe a svˇedomitˇe. Jeho motto: ,,Pˇr´ısnost na studenta mus´ı b´yt!“
Pan Hodn´y – V´aˇs hodn´y pr˚uvodce studiem.
Ten V´as bude chv´alit, povzbuzovat, motivovat, m´ırnit pana Pˇr´ısn´eho a d´avat
spoustu vˇec´ı do ˇsirˇs´ıch souvislost´ı, aby pˇres mnoho stromu byl vidˇet i nˇejak´y
ten les. Jeho motto: ,,Uˇc´ıte se pro sebe, ne pro pana Pˇr´ısn´eho.“
Takˇze si nasad’te sv´e obl´ıben´e br´yle a s chut´ı do studia!
´Ukol pro v´as:
Prolistujte si tento studijn´ı text a podrobnˇeji se seznamte s Vaˇsimi studijn´ımi
pr˚uvodci.
iii
Motivace
Vˇzdy, kdyˇz je studentk´am a student˚um pˇredkl´ad´an nov´y t´ematick´y okruh studia,
zaˇcne v jejich mysl´ıch skrytˇe hlodat pochybnost (kter´a je ˇcasto vyslovena i nahlas)
– vyuˇzijeme nˇekdy z´ıskan´e poznatky? Je to, ˇcemu budeme vˇenovat ˇradu hodin
trpˇeliv´eho studia, k nˇeˇcemu uˇziteˇcn´e? M˚uˇze b´yt bakal´aˇr˚um, magistr˚um a doktor˚um
stavebn´ı fakulty studium diferenci´aln´ıch rovnic prospˇeˇsn´e?
Odpovˇed’ z ˇc´asti z´aleˇz´ı na kaˇzd´em
posluchaˇci a posluchaˇcce samotn´e,
na jejich motivaci ke studiu a
na jejich ˇzivotn´ıch pl´anech. ˇC´ast
odpovˇedi, kterou m˚uˇzeme povaˇzovat
za dostateˇcnˇe jednoduchou, objek-
tivn´ı a provˇeˇrenou ˇradou generac´ı
stavebn´ıch inˇzen´yr˚u, je pˇribliˇznˇe
takov´ato:
Diferenci´aln´ı rovnice
jsou p´ateˇr´ı mnoha inˇzen´yrsk´ych a
vˇedn´ıch obor˚u.
ˇRada stavebn´ıch proces˚u modelovan´ych
na z´akladˇe mechanick´ych, statick´ych,
chemick´ychˇci obecn´ych fyzik´aln´ıch prin-
cip˚u vede k jejich popisu pomoc´ı
ˇrady rovnic, kter´e ˇcasto b´yvaj´ı pr´avˇe
rovnicemi dife-renci´aln´ımi.
Odhady pr˚uhyb˚u nosn´ık˚u ve stavebn´ıch
konstrukc´ıch, ohyby sloup˚u, v´ypoˇcty
uˇziteˇcn´eho zat´ıˇzen´ı konstrukc´ı, dopravn´ı
modely, pl´anov´an´ı v´ystavby trolejov´eho
veden´ı ˇci zkoum´an´ı stability staveb
(napˇr´ıklad most˚u) vedou ˇcasto k nut-
nosti studovat diferenci´aln´ı rovnice.
Intuitivnˇe se pravidla, pˇr´ımo vypl´yvaj´ıc´ı ze z´avˇer˚u studia o chov´an´ı ˇreˇsen´ı dife-
renci´aln´ıch rovnic, vyuˇz´ıvala jiˇz d´avno. Vojensk´y pˇr´ıkaz ,,zruˇsit“ krok, dan´y velitelem
pˇeˇs´ı jednotky pˇred jej´ım vstupem na most, c´ılem kter´eho je nezp˚usobit destrukci
mostu, je toho dokladem. Vysvˇetlen´ı, kter´e je d´ano z´avˇery z anal´yzy ˇreˇsen´ı dife-
renci´aln´ıch rovnic, zn´ı v odbornˇejˇs´ı terminologii takto: ,,Jednotka sv´ym pˇresunem
nesm´ı vyvolat kmity mostn´ı konstrukce, kter´e naz´yv´ame rezonanc´ı. Obecnˇe m˚uˇze
vznik rezonance vy´ustit aˇz v hav´arii ˇci katastrofu.“
iv
,,ZRUˇSIT KROK!“
Obsah
1 Z´akladn´ı pojmy 1
1.1 Co je to diferenci´aln´ı rovnice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Obyˇcejn´e a parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 ˇR´ad diferenci´aln´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Line´arn´ı a neline´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Co je to ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 M´a ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice vˇzdy explicitn´ı tvar? . . . . . . . . . . 7
1.7 Kolik ˇreˇsen´ı m´a diferenci´aln´ı rovnice? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Jak naz´yv´ame jednotliv´e typy ˇreˇsen´ı? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy pro ODR 15
2.1 Poˇc´ateˇcn´ı ´uloha pro