Skripta - Základní pojmy a předpoklady

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
Prof. Ing. DRAHOMÍR NOVÁK, DrSc.
Ing. LUDĚK BRDEČKO, Ph.D.
PRUŽNOST A PEVNOST
MODUL BD02 - MO1
ZÁKLADNÍ POJMY A PŘEDPOKLADY

STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Základní pojmy a předpoklady


































© Drahomír Novák, Luděk Brdečko, 2004
- 2 (48) -
Obsah
OBSAH
1 Úvod ...............................................................................................................5
1.1 Cíle........................................................................................................5
1.2 Požadované znalosti..............................................................................5
1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5
1.4 Klíčová slova.........................................................................................5
2 Obecné poznámky a předpoklady...............................................................7
2.1 Historická východiska...........................................................................7
2.2 Předmět a návaznosti ............................................................................7
2.3 Výchozí předpoklady lineární pružnosti ...............................................8
3 Deformace ...................................................................................................11
3.1 Posuny.................................................................................................11
3.2 Poměrné deformace.............................................................................12
4 Napětí...........................................................................................................15
4.1 Prvek tělesa a vnitřní síly....................................................................15
4.2 Normálové a smykové napětí..............................................................16
4.3 Věty o napětí a napjatosti....................................................................19
4.3.1 Vzájemnost smykových napětí .............................................19
4.3.2 Saint-Venantův princip lokálnosti ........................................20
5 Fyzikální vztahy..........................................................................................23
5.1 Hookův zákon – lineárně pružný materiál ..........................................23
5.1.1.1 Příklad 1................................................................................25
5.1.1.2 Příklad 2................................................................................25
5.1.1.3 Příklad 3................................................................................26
5.2 Reálné typy materiálů .........................................................................27
5.3 Pracovní diagram a jeho model...........................................................28
5.4 Změna teploty .....................................................................................29
5.4.1.1 Příklad 4................................................................................30
6 Obecná napjatost v bodě tělesa .................................................................33
6.1 Tenzor napětí a deformace..................................................................33
6.2 Geometrické rovnice ...........................................................................34
6.3 Diferenciální rovnice rovnováhy ........................................................35
6.4 Fyzikální rovnice.................................................................................35
6.5 Rovinná úloha .....................................................................................37
6.5.1 Rovinná napjatost a rovinná deformace................................37
6.5.2 Hlavní napětí.........................................................................38
6.5.3 Mohrova kružnice .................................................................39
6.5.3.1 Příklad 5................................................................................40
6.5.3.2 Příklad 6................................................................................40
7 Koncepce spolehlivosti při navrhování.....................................................41
8 Závěr............................................................................................................45
8.1 Shrnutí.................................................................................................45
- 3 (48) -
Základní pojmy a předpoklady
8.2 Otázky k procvičování........................................................................ 45
9 Studijní prameny ....................................................................................... 47
9.1 Seznam použité literatury................................................................... 47
9.2 Seznam doplňkové studijní literatury................................................. 47
9.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny......................................... 47

- 4 (48) -
Úvod
1 Úvod
1.1 Cíle
Cílem tohoto modulu je seznámit čtenáře se základními předpoklady lineární
teorie pružnosti a pojmy teorie pružnosti jako jsou posuny, poměrné
deformace, napětí, apod. Pojmy jsou uvedeny a podrobně vysvětleny
v elementární rovině technické pružnosti, nicméně rozšíření do roviny
matematické teorie pružnosti v kap. 6 doplňuje základní potřebnou znalost
problematiky a vytváří předpoklady k širšímu pochopení souvislostí.
Prostudování tohoto modulu je základním předpokladem ke studiu modulů
navazujících – tedy modulu 2 (jednotlivé případy namáhání prutu) a modulu 3
(složené případy namáhání prutu).
1.2 Požadované znalosti
Před studiem tohoto modulu Pružnosti a pevnosti je třeba zvládnout problema-
tiku základů stavební mechaniky, především pak výpočet průřezových charak-
teristik, složek reakcí a vnitřních sil na prutu.
1.3 Doba potřebná ke studiu
Tento modul předpokládá přibližně 10 hodin intenzivního studia.
1.4 Klíčová slova
Pružnost, pevnost, plasticita, posuny, deformace, napětí, vnitřní síly, pracovní
diagram, fyzikální rovnice, geometrické rovnice, rovnice rovnováhy, rovinná
napjatost, rovinná deformace, spolehlivost, mezní stavy.












- 5 (48) -
Základní pojmy a předpoklady


- 6 (48) -
Obecné poznámky a předpoklady
2 Obecné poznámky a předpoklady
2.1 Historická východiska
Předmět Pružnosti a pevnosti (PP) vychází obecně ze snah postihnout chování
zatížených konstrukcí. První badatelé, Leonardo da Vinci v šestnáctém století,
Galileo a Hooke v sedmnáctém, Euler a Coulomb ve století osmnáctém, zamě-
řili své úsilí na ryze praktické problémy chování nosníků a sloupů. Teprve
později bylo započato s obecným matematickým zkoumáním chování pružných
těles, např. Navier (1821) a Cauchy (1822). Paralelně se vyvíjela stavební me-
chanika a teorie konstrukcí, která nyní zahrnuje řadu různých oblastí a směrů.
Nicméně Pružnost a pevnost tradičně pokrývá teoretické a praktické aspekty
prvních badatelů: teorie namáhání prutu a obecná teorie pružnosti.


Obr. 2.1: Galileo Galilei, Leonardo da Vinci
2.2 Předmět a návaznosti
Teorie PP využívá poznatků vědních oborů, které studují pevnost materiálu, tj.
obecně schopnost odolávat vnějším účinkům bez porušení. Vytváří teoretický
základ pro navrhování a posuzování konstrukcí ocelových, betonových, dřevě-
ných, kompozitních aj. (teorie konstrukcí).

Předmětem PP je souvislost mezi deformací a porušováním vzhledem
k silovému působení, napěťová a deformační analýza těles.

Pojem PP vznikl v dobách, kdy vyjadřoval především určování pružných de-
formací a posuzování pevnosti – odolnosti proti porušování. K velké většině
porušení však dochází především v oboru nepružných deformací, únavou mate-
- 7 (48) -
Základní pojmy a předpoklady
riálu, změnami v mikrostruktuře materiálu, které se projeví vznikem trhlin (be-
tonové konstrukce), propagací trhliny až do konečného lomu. K postižení tako-
vého chování je třeba použití dnes již samostatné disciplíny – lomové mecha-
niky. Z tohoto pohledu je již dnes pojem PP poněkud zavádějící, musíme si
uvědomit, že vyjadřuje především elementární znalost problematiky, která
slouží jako základ k dalšímu poznání reálného chování materiálů. Nutno po-
znamenat, že v anglosaské literatuře se obsah PP v našem pojetí kryje
s obsahem disciplíny nazývané „Strength of materials“.
Tradiční rozdělení PP:
ƒ technická nauka o PP – využívá řadu zjednodušujících předpokladů, je za-
měřena na elementární praktické problémy (Strength of materials),
ƒ matematická teorie PP – založena na vyšší matematické analýze a zaměře-
na na náročnější problémy mechaniky kontinua jako jsou plošné konstrukce
a obecná tělesa (Elasticity and plasticity).
Zařazení oboru PP v rámci fyziky a mechaniky:
Fyzika:
• termodynamika
• optika
• akustika
• elektřina
• mechanika
o tekutin
o sypkých látek
o těles
ƒ statika
ƒ pružnost a pevnost
ƒ kinematika
ƒ dynamika
2.3 Výchozí předpoklady lineární pružnosti
Klasická lineární pružnost představuje nejjednodušší pojetí teorie pružnosti a je
založena na následujících výchozích předpokladech:
• Spojitost látky – těleso pokládáme za kontinuum, hmota zaplňuje celý ob-
jem bez mezer. Vzhledem k tomuto předpokladu lze pojímat deformace a
napětí jako spojité funkce.
• Homogenita a izotropie – látka je homogenní, pokud jsou její fyzikální
vlastnosti ve všech místech shodné. Izotropní materiál má vlastnosti ve
všech směrech shodné, toto platí pro většinu látek (ne však např. u dřeva,
kde jsou jiné vlastnosti ve směru vláken a kolmo na ně).
- 8 (48) -
Obecné poznámky a předpoklady
• Lineární pružnost – představuje schopnost látky vracet se po odstranění