Skripta - Základní pojmy a předpoklady

ěžištěm elementu S rovnoběžně s osou z a napišme momentovou podmínku
rovnováhy k této ose:

:0=Σ
z
M 0=−=− dydzdxdxdzdydydQdxdQ
yxxzyxxy
ττ . (4.4)

Rovnici lze vydělit součinem dx dy dz, pak dostáváme podmínku vzájemnosti
smykových napětí (analogickým postupem pro další dvě dvojice smykových
napětí):

yxxy
ττ = ,
zyyz
ττ = ,
xzzx
ττ = . (4.5)

Poznámka: Na obr. 4.7 jsou vyznačeny pro přehlednost pouze ty síly, které
vyvolávají momenty ke zmíněné ose kvádru.
dQ
yx
dz
dx
y
dQ
xy
x
z
0
dQ
xy
=τ
xy
dydz
dQ
yx
=τ
yx
dxdz
dy
S
osa z’

Obr. 4.7: Vzájemnost smykových napětí

Věta o vzájemnosti smykových napětí: Smyková napětí působící ve vzá-
jemně kolmých elementárních řezech kolmo k jejich průsečnici jsou stej-
ně veliká a orientovaná buď k průsečnici nebo od ní, obr. 4.8.

- 19 (48) -
Základní pojmy a předpoklady
τ τ
Obr. 4.8: Dvě možnosti orientace vzájemných smykových napětí

4.3.2 Saint-Venantův princip lokálnosti
Soustavu vnějších sil lze nahradit soustavou jinou, staticky ekvivalentní,
obr. 4.9. Dojde však ke změně složek napětí. Rovnovážná soustava sil přilože-
ná k malé oblasti pružného tělesa ovlivní významně stav napjatosti pouze
v blízkém okolí (v oblasti „poruchy“ δ), ve vzdálenějších bodech má změna
účinky prakticky zanedbatelné. Znázorníme-li průběh např. normálového napě-
tí podél přímky vedené tělesem, a to pro původní rozložení (realita R) a pro
náhradní, staticky ekvivalentní (SE) rozložení (1 a 2), vidíme, že v dostatečné
vzdálenosti (větší než δ) od bodu A jsou napětí prakticky stejná, obr. 4.10.

Obr. 4.9: Statická ekvivalence
q
F
δ
q
x
y
staticky ekvivalentní
zatížení
skutečné
zatížení
δ
σ
x
x
q
E
q
F
E
F
E
x
y
q
E
x
y

Obr. 4.10: Průběh napětí k ilustraci Saint-Venantova principu lokálnosti

- 20 (48) -
Napětí
Saint-Venantův princip nám často usnadňuje řešení napjatosti, neboť umožňu-
je:
• zavádět modely silového působení (idealizace),
• zavádět výpočtové modely styku těles,
• rozdělit řešení napjatosti a deformace vázaného tělesa na řešení rovnováhy
tělesa jako celku (statika) a napjatosti a deformace uvolněného tělesa (PP).
Silovou soustavu můžeme tedy v PP nahrazovat soustavou jinou, staticky ekvi-
valentní. Jaká je míra přípustnosti nahrazení však může rozhodnout posuzování
tělesa (konstrukce či prvku) podle mezních stavů definující rovněž provozu-
schopnost. Saint-Venantův princip nelze dokázat, intuitivně je však obecně
přijatelný a experimentálně podepřený.

Saint Venantův princip: Nahradíme-li v určité oblasti tělesa jednu silovou
soustavu jinou, staticky ekvivalentní soustavou, pak napjatost tělesa je
pro obě zatížení prakticky stejná s výjimkou blízkého okolí nahrazované
oblasti, jehož rozměry jsou srovnatelné s rozměry této oblasti.





















- 21 (48) -
Základní pojmy a předpoklady

- 22 (48) -
Fyzikální vztahy
5 Fyzikální vztahy
5.1 Hookův zákon – lineárně pružný materiál
Na obr. 5.1 je znázorněna jednoosá napjatost pro elementární kvádr, který je
namáhán pouze normálovým napětím ve směru osy x. Vlivem působení napětí
σ
x
se kvádr poměrně prodlouží o ε
x
. Konstantou úměrnosti mezi těmito veliči-
nami je v lineární pružnosti (kde platí jednoznačná závislost mezi napětími a
deformacemi ve všech fázích působení, zatěžování i odlehčování) modul
pružnosti v tahu a tlaku E (Youngův modul pružnosti). Vztah mezi napětím σ
x

a poměrným prodloužením ε
x
je pak vyjádřen tzv. Hookovým zákonem v tahu
a tlaku

E
x
x
σ
ε = . (5.1)

Modul pružnosti je fyzikální konstanta, má rozměr napětí a definuje úhel sklo-
nu lineární závislosti na diagramu napětí-deformace.
Jak je zřejmé z obr. 5.1, prvek se deformuje rovněž ve směru kolmém na směr
působícího napětí, tj. ve směru y (resp. z) – při kladném napětí dochází ke
zkrácení. Toto zkrácení vyjadřuje bezrozměrná fyzikální konstanta υ, kterou
nazýváme Poissonův součinitel příčné deformace. Mezi poměrnými deforma-
cemi pak platí vztah

E
x
xzy
σ
υυεεε −=−== . (5.2)

σ
x
dx
d
y

σ
xσ
x
ε
x
arctgE
po deformaci
dx'
d
y
'

Obr. 5.1:Hookův zákon

Poissonův součinitel je kladné číslo a dá se dokázat, že nemůže být větší než
0,5 (jinak by např. všestranně tlačené těleso zvětšovalo svůj objem).
Hookův zákon pro případ jednoosé napjatosti ve směru osy y nebo z lze získat
záměnou indexů. Pokud však působí všechna tři normálová napětí, získáme
superpozicí obecný Hookův zákon.
- 23 (48) -
Základní pojmy a předpoklady
Ve směru osy x např. platí

([
zyx
z
y
x
x
)]
EEEE
σσυσ
σ
υ
σ
υ
σ
ε +−=−−=
1
. (5.3)

Podobně platí i lineární závislost mezi zkosením a smykovým napětím. Závis-
lost nazýváme Hookův zákon ve smyku a konstantou úměrnosti je modul pruž-
nosti ve smyku G, obr. 5.2.

τ
xy
=τ
yx
γ
xy
arctgG
γ
xy
po deformaci
τ
xy
dy
τ
xy
τ
yx
=τ
xy
dx

Obr. 5.2:Hookův zákon ve smyku

Pro rovinu xy je

G
yx
xy
τ
γ = . (5.4)

Analogické vztahy pak platí pro roviny yz a zx.
Lze dokázat, že tři základní fyzikální konstanty, E, G a υ, nejsou v případě
izotropní látky vzájemně nezávislé, platí mezi nimi vztah

(υ+= 12
G
E
). (5.5)

Je tedy zřejmé, že izotropní látka je plně charakterizována dvěma elastickými
konstantami.
Fyzikální konstanty se zjišťují experimentálně zkouškami a jsou uváděny
v literatuře. Typické hodnoty pro základní materiály jsou uvedeny v tab. 5.1.



- 24 (48) -
Fyzikální vztahy
Tab. 5.1 Základní fyzikální konstanty některých materiálů

směr E[GPa] G[GPa] ν α[
o
C
-1
].10
-6
ocel 210 81 0,3 12
beton 20-40 0,42*E 0,2 12
rovnoběžně s vlákny 10 0,6 - 3
dřevo
kolmo k vláknům 0,3 - - 32 (tan.) 24(rad.)
sklo 70 28 0,26 6


5.1.1.1 Příklad 1
Těleso (kvádr) je namáháno normálovým napětím ve směru x σ
x
= 180 MPa.
Určete poměrné deformace v tělese, je-li modul pružnosti materiálu E = 210
GPa a Poissonův součinitel υ = 0,3.

Řešení:
Deformace se určí využitím fyzikálních vztahů (obecného Hookova zákona).
Vzhledem k tomu, že σ
y
= σ
z
= τ
xz
= τ
zy
= τ
zx
= 0, potom:

4
9
6
105714,8
10210
10180
−
⋅=
⋅
⋅
==
E
x
x
σ
ε ,
4
9
6
105714,2
10210
101803,0
−
⋅−=
⋅
⋅⋅
−=−==
E
x
zy
νσ
εε ,
0===
zxyzxy
γγγ .

5.1.1.2 Příklad 2
Krychle o velikosti hrany l = 0,2 m (viz obr. 5.3) byla zatížena svislým napě-
tím σ
y
= -8 MPa. Přitom došlo ke změně délek hran na l'
x
= 0,20001185 m a
l'
y
= 0,19994074 m. Určete modul pružnosti E a Poissonův součinitel υ materi-
álu krychle.

Řešení:
Z původních délek l a nových délek l' se určí poměrné deformace

5
10925,5
2,0
2,020001185,0
−
⋅=
−
=
−′
=
x
xx
x
l
ll
ε ,
- 25 (48) -
Základní pojmy a předpoklady
4
10963,2
2,0
2,019994074,0
−
⋅−=
−
=
−′
=
y
yy
y
l
ll
ε .

Obr. 5.3
Vzhledem k tomu, že σ
x
= σ
z
= τ
xz
= τ
zy
= τ
zx
= 0, vyjádří se materiálové cha-
rakteristiky z fyzikálních vztahů

E
y
y
σ
ε = ⇒ GPaE
y
y
271027
10963,2
108
9
4
6
=⋅=
⋅−
⋅−
==
−
ε
σ
,
E
y
x
νσ
ε −= ⇒ 2,0
108
102710925,5
6
95
=
⋅
⋅⋅⋅
−=−=
−
y
x
E
σ
ε
ν .

5.1.1.3 Příklad 3
Na krychli z předchozího příkladu bylo aplikováno zatížení vyvozující smyko-
vé napětí τ
xy
. Při tomto zatěžování došlo k vodorovnému posunu horní plošky
krychle o ∆x = 0,05 mm (viz obr 5.4). Určete velikost smykového napětí τ
xy
v
krychli.
l
x
=200mm
8MPa
l'
y
l
y
=200mm
l'
x
x
y

y
l
x
=200mm
l
y
=200mm
∆
x
=0,05mm
x

Obr. 5.4

- 26 (48) -
Fyzikální vztahy
Řešení:
Zkosení γ
xy
se určí vzhledem k malému úhlu (teorie malých deformací) jako

00025,0
2,0
00005,0
==
∆
=≈
y
x
xzxy
l
tgγγ .

Pro určení modulu pružnosti ve smyku se využijí charakteristiky získané v
předchozím příkladě

()()
GPa
E
G 25,111025,11
2,012
1027
12
9
9
=⋅=
+
⋅
=
+
=
ν
.

Smykové napětí se získá z fyzikální rovnice (Hookova zákona pro smyk)

MPaG
xyxy
8125,2108125,200025,01025,11
69
=⋅=⋅⋅== γτ .

5.2 Reálné typy materiálů
Reálné materiály se však Hookovým zákonem zpravidla neřídí, Hookův zákon
u nich platí většinou pouze při malých napětích. Vztah mezi napětím a přetvo-
řením je nelineární, závislost napětí-deformace má svůj vrchol, vznikají plas-
tické deformace. Diagram napětí-deformace plně charakterizuje chování mate-
riálu. Rozlišujeme v zásadě tři základní typy, obr. 5.5:

1. Lineárně pružný (křehký) materiál.
Jakmile napětí překročí určitou maximální mez, pružné chování končí a napětí
náhle poklesne k nule, obr. 5.5 a). Takové chování je typické např. pro sklo.
2. Pružně-plastický materiál. Od určité úrovně zůstává napětí konstantní při
narůstajícím přetvoření (materiál „teče“), typické chování pro ocel, obr. 5.5 b).
3. Kvazikřehký materiál. Po dosažení maxima napětí postupně klesá. Říká-
me, že dochází ke změkčení – pokles napětí při narůstajícím přetvoření, obr.
5.5 c). Diagram napětí-deformace se změkčením je typický pro kvazikřehké
materiály jako je beton a různé kompozitní materiály.

Na obr. 5.5 d) je znázorněno již zmíněné změkčení. Pokud dochází k nárůstu
napětí hovoříme o zpevnění.

- 27 (48) -
Základní pojmy a předpoklady

a)
σ
ε
b)
σ
ε
c) d)
σ σ
ε
zpevnění
změkčení
ε
Obr 5.5.:Diagram napětí-deformace pro různé materiály: a) křehký, b) pružno-
plastický, c) kvazikřehký, d) změkčení a zpevnění.
5.3 Pracovní diagram a jeho model
Závislost napětí-deformace získanou experimentálně nazýváme pracovní dia-
gram. Např. pro beton v tlaku je nelineární závislost zobrazena na obr. 5.6 a),
pouze přibližně do úrovně 40 % meze pevnosti f
u
je možná lineární aproxima-
ce.
a) b)
f
u
0,4f
σ (