Skripta - Staticky určité prutové konstrukce I

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
ING. JIŘÍ KYTÝR, CSc.
ING. ZBYNĚK KERŠNER, CSc.
ING. ROSTISLAV ZÍDEK
ING. ZBYNĚK VLK
ZÁKLADY
STAVEBNÍ MECHANIKY
MODUL BD01-MO3
STATICKY URČITÉ PRUTOVÉ KONSTRUKCE – ČÁST 1

STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Staticky určité prutové konstrukce – část 1




Vážení uživatelé tohoto učebního textu,
dovolujeme si Vás požádat o malé strpení pro využívání této učební pomůcky pro Vaše studi-
um. Při závěrečné kontrole byly navrženy další vylepšující úpravy a drobné formální opravy,
které přispějí ke zlepšení kvality učebního textu.
Z časových důvodů však nebylo možné je dosud realizovat. Předpokládáme, že opravy prove-
deme do konce roku 2005. Posečkejte proto prosím se stahováním a používáním, dokud ne-
zmizí tento upozorňující text.
Děkují autoři
























© Jiří Kytýr, Zbyněk Keršner, Rostislav Zídek, Zbyněk Vlk, Brno 2004
- 2 (48) -
Obsah
OBSAH
1 Úvod ...............................................................................................................5
1.1 Cíle........................................................................................................5
1.2 Požadované znalosti..............................................................................5
1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5
1.4 Klíčová slova.........................................................................................5
2 Nosné stavební konstrukce ..........................................................................7
2.1 Rozdělení stavebních konstrukcí ..........................................................7
2.2 Analýza prutových konstrukcí ..............................................................7
2.3 Zatížení stavebních konstrukcí..............................................................8
2.3.1 Idealizace reálného zatížení ....................................................9
2.3.2 Obecné spojité zatížení na prutu...........................................10
3 Výpočtový model rovinné prutové soustavy ............................................13
3.1 Staticky určité prutové konstrukce......................................................13
3.2 Statika hmotných objektů a složených soustav...................................14
3.3 Typy vazeb v rovině............................................................................15
3.4 Statická a kinematická určitost ...........................................................17
3.5 Podepření nosníku...............................................................................18
3.6 Výjimkové případy podepření ............................................................18
3.7 Výpočet reakcí vazeb..........................................................................19
3.7.1 Jednoduché a lomené nosníky ..............................................20
3.7.2 Rovinné složené nosníkové soustavy....................................21
3.8 Průběhy složek vnitřních sil................................................................21
4 Analýza vnitřních sil na rovinných prutech.............................................23
4.1 Složky výslednice vnitřních sil ...........................................................23
4.2 Výpočet vnitřních sil...........................................................................24
4.3 Diferenciální podmínky rovnováhy přímého prutu ............................25
4.4 Diagramy vnitřních sil za obecného zatížení ......................................28
4.4.1 Postup při řešení diagramů vnitřních sil ...............................28
5 Příklady řešení rovinných nosníků a prutových soustav........................29
5.1 Jednoduché staticky určité nosníky.....................................................29
5.1.1 Prostý nosník.........................................................................29
5.1.2 Konzolový nosník .................................................................34
5.2 Nosník s převislými konci a šikmý nosník .........................................37
5.3 Lomený nosník....................................................................................39
5.4 Gerberův nosník..................................................................................41
5.5 Složená nosníková soustava................................................................43
5.5.1 Trojkloubový lomený nosník................................................43
5.5.2 Obecná složená soustava.......................................................45
- 3 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 1
6.......................................................................................... Studijní prameny 47
6.1 Seznam použité literatury................................................................... 47
6.2 Seznam doplňkové studijní literatury................................................. 47
6.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny......................................... 47

- 4 (48) -
Úvod
1 Úvod
1.1 Cíle
V tomto třetím modulu Základů stavební mechaniky se naučíme řešit základní
typy nosných stavebních konstrukcí s hlavním zřetelem na prutové konstrukce.
Na teoretickém základu statiky hmotných objektů a složených soustav si
vysvětlíme posuzování statické a kinematické určitosti výpočtového modelu
rovinné prutové soustavy sestavené z přímých prutů. Aplikací podmínek
rovnováhy si ukážeme řešení reakcí vazeb při jejich různém uspořádání. Pro
obecné vnější zatížení působící na přímý prut a rozložené do pravoúhlých
složek vyšetříme průběhy (diagramy) vnitřních sil. Pro vztahy mezi funkcemi
jednotlivých vnitřních sil a pro vyšetření extrémů odvodíme diferenciální
podmínky rovnováhy přímého prutu.
1.2 Požadované znalosti
Třetí modul základů stavební mechaniky navazuje na znalosti získané v prvním
modulu v rovinných silových soustavách. Budeme aplikovat rozklad sil do
pravoúhlých složek, statický moment síly, redukci síly k bodu a statické pod-
mínky rovnováhy sil a momentů sil.
Z matematického aparátu budeme používat goniometrické funkce, diferenciální
počet včetně určování extrémů funkce a významu derivace jako směrnice tečny
ke křivce, integrální počet pro vyjádření příslušných funkcí integrací.
1.3 Doba potřebná ke studiu
Modul obsahuje látku probíranou v pěti týdnech semestru. Doba potřebná
k nastudování jednotlivých kapitol či odstavců se liší od několika minut do
několika desítek minut. Záleží to jednak na předchozí průpravě studenta
v příslušné oblasti, jednak na obtížnosti daného tématu. Potřebná doba ke stu-
diu činí 25 až 40 hodin.
1.4 Klíčová slova
mechanika, statika, pružnost, síla, statický moment, dvojice sil, silová soustava,
rovnováha, ekvivalence, výpočtový model, prutová konstrukce, zatížení vazby,
reakce, složky reakcí, statická a kinematická určitost, výjimkový případ pode-
pření, vnitřní síly, diferenciální podmínky rovnováhy, průběhy a diagramy
vnitřních sil, prostý nosník, konzola, lomený prut, Gerberův nosník, trojklou-
bový nosník, složená nosníková soustava



- 5 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 1


- 6 (48) -
Nosné stavební konstrukce
2 Nosné stavební konstrukce
Statika stavebních konstrukcí se zabývá výpočty nosných stavebních konstruk-
cí. Stavební konstrukce je v podstatě prostorový hmotný útvar (těleso). Na
nosnou konstrukci jsou kladeny určité požadavky, a to, že konstrukce musí
bezpečně přenést dané zatížení, nesmí se přitom porušit, nesmí ztratit stabilitu
a nesmí doznat nepřípustných tvarových změn.
Pro zjednodušení statického řešení nosné konstrukce nám slouží idealizace
konstrukce formou výpočtového modelu, který se též označuje jako statický
model či statické schéma. Jako teoretický základ řešení využijeme statiku
hmotného bodu a tuhé desky v rovině.
2.1 Rozdělení stavebních konstrukcí
Stavební konstrukce z hlediska jejich modelování dělíme na modely
• jednorozměrné (1D), přičemž konstrukčním prvkem je prut, nosník, sloup
a hovoříme o prutových konstrukcích; o těchto konstrukcích staticky ur-
čitých pojednáme v Základech stavební mechaniky a o staticky neurčitých
ve Statice stavebních konstrukcí,
• dvojrozměrné (2D), kde konstrukčním prvkem je deska, stěna, skořepina, tj.
plošné konstrukce, o nichž se pojednává v Teorii pružnosti a plasticity,
• trojrozměrné (3D), u nichž se jedná o masivní útvar, např. blok, základo-
vou patku, opěrnou zeď apod., kdy nelze aplikovat zjednodušení.
2.2 Analýza prutových konstrukcí
V tomto předmětu se budeme zabývat statickou analýzou rovinných a prosto-
rových prutových konstrukcí. Reálné nosné prutové konstrukce jsou pružné a
působící zatížení u nich vyvolává přetvoření a vznik napětí (vnitřních sil).
Závislost mezi napětím a přetvořením popisují fyzikální rovnice. Obecně jsou
fyzikální závislosti nelineární a hovoříme o fyzikální nelinearitě. Zjednodušený
předpoklad chování materiálu lze popsat lineární funkcí (Hookův zákon) a po-
tom se jedná o fyzikálně lineární řešení.
Zdeformovaná (přetvořená) prutová konstrukce vykazuje v jednotlivých průře-
zech složky přemístění (posunutí a pootočení). Vztah mezi deformací (poměr-
ným přetvořením) a přemístěním vyjadřují geometrické vztahy. Jsou-li popsá-
ny lineárními rovnicemi, jedná se o geometrickou linearitu, v opačném přípa-
dě o geometrickou nelinearitu.
Složky přemístění jsou obvykle velmi malé v porovnání s reálnými rozměry
konstrukce. Neuvažujeme-li změnu poloh působišť sil, vyvozenou přetvořením
od zatížení, můžeme pracovat (např. sestavovat podmínky rovnováhy)
s původním geometrickým tvarem konstrukce a potom se jedná o výpočet
podle teorie prvního řádu. V případě, že zohledňujeme vliv zdeformované
prutové konstrukce na výpočet, mluvíme o teorii druhého řádu.
- 7 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 1
Při lineárním řešení platí princip úměrnosti a superpozice účinků (viz odst. 2.1
prvního modulu). V dalším výkladu budeme při statickém řešení konstrukcí
uvažovat výhradně lineární mechaniku a malé deformace.
Robert Hook (1635 – 1703) byl anglický fyzik
a matematik s mimořádně širokými zájmy. Již za
studií v Oxfordu se projevil jako obratný
experimentátor. Základní myšlenku svého zákona
o úměrnosti mezi silou a přetvořením publikoval
v roce 1678.

2.3 Zatížení stavebních konstrukcí
Nosné konstrukce se vyšetřují na zatížení předepsaná normami. Z našich no-
rem to jsou zejména ČSN 73 0035 Zatížení stavebních konstrukcí a
ČSN 73 6203 Zatížení mostů a rovněž evropské normy Eurocodes (EC) Zásady
navrhování a zatížení konstrukcí.
Norma je závazný předpis pro navrhování a výpočty a shrnuje v sobě zkuše-
nosti projektantů (statiků), výsledky laboratorních zkoušek, materiálové vlast-
nosti i meteorologické či seismografické údaje a odráží vždy současný stav
vývoje a výzkumu. Norma stanovuje způsob zavedení působícího zatížení do
výpočtu, kombinace různých druhů zatížení pro vystižení všech nepříznivých
účinků (s minimální pravděpodobností) apod.
Stavební konstrukce musí být navržena (a provedena) tak, aby zatížení působí-
cí ve všech fázích výstavby i provozu nezpůsobila zřícení konstrukce nebo
některé její části, deformace nepřípustných hodnot, poškození nenosných částí
od nepřiměřených deformací nosných částí, popř. poškození nepřiměřené pů-
sobící příčině (při jakékoliv události).
Zatížení působící na stavební konstrukce rozdělujeme:
• podle proměnlivosti zatížení v čase na
– stálé (G), kam se řadí vlastní tíha, tlaky hornin a kapalin, účinky před-
pětí,
– nahodilé (Q), které se rozlišuje dlouhodobé (nenosné části, stroje, skla-
dované hmoty) a krátkodobé (osoby, klimatická zatížení jako sníh, vítr,
teplota a neperiodické dynamické zatížení),
– mimořádné (A), kam patří zemětřesení a seismické vlivy, výbuchy,
tlakové vlny apod.,
• podle proměnlivosti polohy zatížení v prostoru na
– pevná zatížení (vlastní tíha) a
– volná zatížení (užitné zatížení, sníh, vítr),
• podle odezvy konstrukce na zatížení na
– statické zatížení (nevyvolává zrychlení) a
- 8 (48) -
Nosné stavební konstrukce
– dynamické zatížení (u něhož nelze zanedbat vliv setrvačných sil hmoty
konstrukce).
Hodnoty zatížení jsou charakteristické (určené deterministicky podle normo-
vých předpisů) a výpočtové či návrhové (získané vynásobením příslušnými
součiniteli zatížení). Statistický (stochastický) charakter zatížení je popsán ná-
hodnými funkcemi.

Obr. 2.1: Osamělá břemena Obr. 2.2: Osamělé momenty
2.3.1 Idealizace reálného zatížení
Pro aplikaci zatížení ve výpočtovém modelu je nutné přistoupit k idealizaci.
Předpokládá se působení zatížení přímo na střednici prutu. Rovněž podporové
vazby (s vyvolanými reakcemi), působí na střednici. Reálné zatížení je liniové
zatížení (spojitě rozložené po celé délce nebo části střednice), naopak spojité
zatížení soustředěné na velmi malé délce se nahrazuje osamělou silou či mo-
mentem.
Mezi základní typy idealizovaného zatížení patří
• osamělá síla (břemeno) F (obr. 2.1) o velikosti F [N],
• osamělý moment M (obr. 2.2) o velikosti M [Nm],
• spojité příčné zatížení (obr. 2.3) o intenzitě q [Nm
–1
], sleduje směr
normály ke střednici prutu a má náhradní sílu Q; nejčastěji se vyskytuje
spojité zatížení rovnoměrné (q = konst.), nerovnoměrné popsané funkcí
q(x), např. trojúhelníkové, lichoběžníkové, popř. úplně obecné,
• spojité osové zatížení (obr. 2.4) o intenzitě n [Nm
–1
] má směr tečny ke
střednici s náhradní sílou Ñ,
• spojité momentové zatížení (obr. 2.5) o intenzitě m [Nm ⋅ m
–1
= N] s
náhradním momentem M̃.

Obr. 2.3: Spojitá příčná zatížení
Pro výpočet reakcí vazeb nosníku lze spojité příčné (osové, resp. momentové)
zatížení nahradit náhradním břemenem Q (Ñ, resp. momentem M), jehož veli-
kost je rovna obsahu zatěžovacího obrazce a působí v jeho těžišti.
- 9 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 1
Obr.
2.4: Spojitá osová zatížení Obr. 2.5: Spojitá momentová zatížení
2.3.2 Obecné spojité zatížení na prutu
Spojité zatížení na prutu může být zcela obecné, popsané funkcí g(x). Velmi
často bývá idealizováno do tvaru spojitého rovnoměrného zatížení g = konst.
Působí-li intenzita spojitého zatížení na prut šikmo, nebo častěji, působí-li spo-
jité zatížení ve smyslu gravitace na šikmý prut (nosník), je výhodné toto zatí-
žení rozložit (obr. 2.6) na spojité příčné zatížení o intenzitě q a spojité osové
zatížení o intenzitě n.

Obr. 2.6: Rozklad spojitého zatížení
Svislé spojité rovnoměrné zatížení lze v zásadě zadat dvěma způsoby (obr.
2.6), a to
• podél střednice s intenzitou g′, např. vlastní tíha, nebo
• po půdorysném průmětu s intenzitou g, např. takto se zadává užitné
zatížení, sníh apod.
Vztah mezi intenzitami g a g′ určíme nejsnadněji pomocí náhradních břemen
G a G′, která musí být pro vzájemný převod stejné velikosti G = G′. Je-li střed-
nice odkloněna od vodorovné o úhel α (obr. 2.6), platí mezi délkou elementu
ds a jeho půdorysným průmětem dx vztah
dx = ds cosα . (2.1)
Potom pro náhradní břemena platí
G′ = g′ ds , G = g dx = g ds cosα , (2.2)
z čehož plyne vztah
g′ = g cosα . (2.3)
Svislé spojité zatížení g′ působící po střednici (obr. 2.6) lze rozložit pomocí
složek výslednice
- 10 (48) -
Nosné stavební konstrukce
Q = G′ cosα , Ñ = G′ sinα (2.4)
na zatížení příčné a osové, pro jejichž intenzity platí
q =
s
G
s
Q
d
cos
d
α′
= = g′ cosα = g cos
2
α ,
n =
s
G
s
N
d
sin
d
~
α′
= = g′ sinα = g sinα cosα , (2.5)
takže přehledně je
q = g cos
2
α , n = g sinα cosα . (2.6)
Při výpočtu reakcí můžeme (zejména při aplikaci momentových podmínek)
s výhodou využívat svislá náhradní břemena G a G′, jejichž ramena jsou ob-
vykle přímo zadána v náčrtku, aniž bychom museli provádět rozklad pomocí
(2.4) na složky Q a Ñ.
Shrnutí
Udělali jsme si představu o nosných stavebních konstrukcích – jejich rozdělení,
vyčlenění konstrukcí prutových – a připravili jsme si pro budoucí výpočty
idealizaci zatížení na těchto konstrukcích.



















- 11 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 1



- 12 (48) -
Výpočtový model rovinné prutové soustavy
3 Výpočtový model rovinné prutové soustavy
Prutová konstrukce (prutová soustava) je tvořena nejjednodušším nosným
prvkem – prutem, pro jehož délkový rozměr l značně převládá nad příčnými
rozměry d, h. Výpočtový model tvoří střednice (osy) prutů, spojující těžiště
všech příčných průřezů prutů, dále podepření (způsob uložení, idealizované
vazby) a působící zatížení. Konfigurace prutové konstrukce může být obecně
prostorová (3D) nebo zjednodušeně rovinná (2D).
Pruty prutové konstrukce rozdělujeme podle
• změny průřezu na pruty prizmatické (konstantního či stálého průřezu) a
neprizmatické (proměnného průřezu, např. s náběhy),
• polohy střednice a působícího zatížení na pruty prostorové (3D) a rovinné
(2D),
• tvaru střednice na přímé (vodorovné, svislé, šikmé), lomené či zakřivené a
pruty obecného tvaru,
• tvaru průřezu na pruty pravidelného průřezu (tvaru obdélníku, čtverce, kru-
hu apod.), složeného průřezu, popř. tenkostěnné pruty.
Rovinná prutová soustava je taková soustava, u níž v jedné rovině leží střed-
nice všech prutů, zatížení a reakce vazeb (vnitřních i vnějších) a rovněž jedna
hlavní centrální osa setrvačnosti každého prutu. Rovinný prut je tedy symetric-
ký podle střednicové roviny. Namáhání rovinného prutu je jednodušší, proto se
budeme nejprve zabývat rovinnými prutovými soustavami.
3.1 Staticky určité prutové konstrukce
Každá konstrukce (objekt) uvolněná z vazeb se může pohybovat, je volná a
vykazuje jistý počet stupňů volnosti. Stupněm volnosti rozumíme možnost
objektu se posunout či pootočit a zaujmout přitom nekonečně mnoho poloh.
Pohyb objektu lze omezit vazbami v příslušném počtu a uspořádání a tím ode-
brat (zrušit) objektu stupně volnosti. Objekty, které se nemohou vůbec pohy-
bovat, nazýváme pevně podepřené. Ve vazbách vznikají reakce.
Staticky a současně i kinematicky určité prutové konstrukce jsou takové kon-
strukce, u nichž jsou právě v příslušném počtu jednoznačným způsobem zruše-
ny všechny stupně volnosti. Pro řešení pak vystačíme s aplikací podmínek
rovnováhy, které musejí platit mezi prvotními silami (zatížením) a jimi vyvo-
lanými druhotnými silami (reakcemi vazeb). Častěji a stručně obvykle hovoří-
me o statické určitosti či neurčitosti, kinematické hledisko je však často názor-
nější. Pro posouzení statické určitosti budeme reálné konstrukce idealizovat a
přitom využijeme teoretické pojmy, které si vysvětlíme v odst. 3.2.
U staticky neurčitých konstrukcí je vazbami odebrán větší počet stupňů volnos-
ti, než konstrukce vykazuje. K jejich řešení musíme navíc k podmínkám rov-
nováhy přidat ještě přetvárné (deformační) podmínky. Řešením staticky neurči-
tých konstrukcí se zabývá Statika stavebních konstrukcí.
- 13 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 1
Podrobnosti posuzování statické i kinematické určitosti, neurčitosti a přeurči-
tosti uvedeme v odst. 3.4.