Skripta - Vektorový počet a jeho aplikace

VYSOK U¨EN˝ TECHNICK V BRN
FAKULTA STAVEBN˝
MATEMATIKA I
MODUL GA01 M01
VYBRAN ¨`STI A APLIKACE
VEKTOROV HO PO¨TU
STUDIJN˝ OPORY PRO STUDIJN˝ PROGRAM
GEOD ZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
1
0Typeset by LATEX 2"
0 c V. Tryhuk, O. Dlouh 2004
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Obsah
vod 5
C le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Po adovanØ znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Doba potłebnÆ ke studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Kl ŁovÆ slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 VybranØ ŁÆsti vektorovØho poŁtu 7
1.1 Operace s geometrick mi vektory ve V(E3) . . . . . . . . . . . . . 7
PoznÆmka k oznaŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
LineÆrn nezÆvislost vektorø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 SouŁiny vektorø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
SkalÆrn souŁin vektorø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Vektorov souŁin vektorø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Sm „en souŁin vektorø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Dvojn vektorov souŁin vektorø . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Døle itØ identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Aplikace vektorovØho poŁtu ve sfØrickØ trigonometrii . . . . . . . . 18
SinovÆ v ta pro sfØrick trojœheln k . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Prvn kosinovÆ v ta pro sfØrick trojœheln k . . . . . . . . . . . . 21
1.4 LineÆrn prostor, bÆze a dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Vektory v ortonormÆln bÆzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
SkalÆrn souŁin v ortonormÆln bÆzi . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Vektorov souŁin v ortonormÆln bÆzi . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Sm „en souŁin v ortonormÆln bÆzi . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 N kterØ aplikace vektorovØho poŁtu 27
2.1 Vektory v souładnicovØ soustav prostoru E3 . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Rovina v E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Pł mka v E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 lohy metrickØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
VzdÆlenost bodu od roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
VzdÆlenost bodu od pł mky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
hel dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 OBSAH
hel dvou pł mek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
hel pł mky a roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 lohy polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
VzÆjemnÆ poloha dvou rovin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
VzÆjemnÆ poloha pł mky a roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
VzÆjemnÆ poloha dvou pł mek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Pł Łky a osa mimob ek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6 Vlastn Ł sla a vlastn vektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Rejstł k 53
Literatura 53
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
vod
C le
C lem na„eho textu nen płesnØ formÆln vybudovÆn zÆkladø vektorovØ algebry
a analytickØ geometrie v trojrozm rnØm prostoru. Naopak, chceme pouze vytvołit
dopln k textø ji napsan ch pro studenty kombinovanØ formy studia, kter bude
reagovat na potłeby studijn ho programu geodØzie a kartogra e.
V œvodn ŁÆsti modulu se budeme v novat vektorovØ algebłe, v n zvol me
pon kud odli„n pł stup od modulu BA01 M02 urŁenØho pro obecnØ zam łen
kombinovanØ formy studia. DÆme płednost geometrickØmu a fyzikÆln mu popisu
vektorov ch operac , kterØ nav c nebudeme studovat od zaŁÆtku v ortonormÆln
bÆzi.
V odpov daj c ch Ł seln vyjÆdłen ch odstavc ch textu jsou stanoveny nÆsle-
duj c c le:
1.1 Płipomenout zÆkladn operace s geometrick mi vektory. Je potłebnØ po-
chopit geometrickou interpretaci pojmø { vektory kolineÆrn (nekolineÆrn ), vek-
tory komplanÆrn (nekomplanÆrn ) { a nauŁit se s nimi pracovat.
1.2 JednÆ se o nejdøle it j„ odstavec celØho modulu. Je potłebnØ pochopit
skalÆrn , vektorov i sm „en souŁin vektorø vŁetn vytvołen geometrickØ płed-
stavy o v znamu a mo nostech pou it t chto pojmø. JednÆ se o zÆkladn stavebn
prvky dal„ ch nÆsleduj c ch odstavcø modulu.
1.3 Odstavec obsahuje zÆkladn potłebnØ pojmy sfØrickØ trigonometrie, se
kter mi je potłebnØ se do detailø seznÆmit. OdvozovÆn vzorcø nen samoœŁelnØ,
je zkou„kou pochopen obsahu odstavce 1.2 .
1.4 Pojmy pou vanØ v prvn ch tłech odstavc ch zobecn me na œrove , kterÆ
se standardn pou vÆ nejen v matematickØ literatułe. PotłebnØ je vytvołit si
płedstavu o obsahu pojmu lineÆrn prostor a płedev„ m pochopit pojmy bÆze
a dimenze lineÆrn ho prostoru.
1.5 Studijn zam łen geodØzie a kartogra e pracuje s vektory nezÆvisle na
volb souładnicov ch soustav. V odstavci se seznÆm te s ortonormÆln mi bÆzemi
ve tł rozm rnØm prostoru a aritmetikou poŁ tÆn s vektory v ortonormÆln bÆzi.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 OBSAH
1.6 C lem odstavce je prohloubit pochopen analytickØ geometrie v prostoru.
Døsledn jsou aplikovÆny skalÆrn , vektorov a sm „en souŁin vektorø na meto-
diku łe„en œloh i v poŁetn postupy. Pł stup se odli„uje od pojet pou vanØho
na stłedn ch „kolÆch. PeŁliv si proto promyslete a propoŁ tejte i łe„enØ pł klady
tohoto odstavce.
1.7 Prostudujte si motivaŁn pł klad, kter pro vÆs mø e b t v budoucnu u i-
teŁn . Odstavec obsahuje zÆkladn pojmy nezbytnØ pro zvlÆdnut v poŁtu vlast-
n ch Ł sel a vlastn ch vektorø matice. Je potłebnØ zvlÆdnout techniku v poŁtu.
V jednom z dal„ ch modulø se seznÆm te s rozklady polynomø, kterØ vÆm umo n
zvolit si i jinou metodiku łe„en pł kladø.
Po adovanØ znalosti
Znalost geometrick ch vektorø a zÆkladø analytickØ geometrie v prostoru v roz-
sahu lÆtky prob ranØ na stłedn ch „kolÆch.
Doba potłebnÆ ke studiu
¨as potłebn ke zvlÆdnut tohoto modulu je odhadnut pro prøm rnØho studenta
jako hodnota nejmØn ?? hodin.
Kl ŁovÆ slova
GeometrickØ vektory, skalÆrn souŁin vektorø, vektorov souŁin vek-
torø, sm „en souŁin vektorø, lineÆrn nezÆvislost vektorø, reÆln line-
Ærn prostor, sfØrick trojœheln k, souładnice vektoru, pł mka v pro-
storu, rovina v prostoru, œlohy polohy, œlohy metrickØ.
Na konci modulu załazen Rejstł k, ve kterØm jsou dal„ kl ŁovÆ slova płehledn
uspołÆdÆna i s odkazy na odpov daj c strÆnky.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kapitola 1
VybranØ ŁÆsti vektorovØho poŁtu
1.1 Operace s geometrick mi vektory ve V(E3)
PoznÆmka k oznaŁen
Ani bychom se zab vali płesnou de nic a nn ho prostoru A3; budeme nejprve
studovat tzv. a nn vlastnosti euklidovskØho prostoru E3: Euklidovsk m pro-
storem E3 płitom budeme rozum t bodov prostor, v n m :
ka dØmu bodu A 2 E3 je jednoznaŁn płiłazena uspołÆdanÆ trojice
[a1;a2;a3] reÆln ch Ł sel, kterØ naz vÆme souładnicemi bodu A a p „eme
A = [a1;a2;a3];
ka d m dv ma bodøm A;B 2 E3, kde A = [a1;a2;a3]; B = [b1;b2;b3];
je płiłazena euklidovskÆ vzdÆlenost (A;B) bodø A;B; pro kterou plat
(A;B) =
qP
3
i=1(ai bi)2:
Ka dØ uspołÆdanØ dvojici bodø (A;B) płiład me orientovanou œseŁku s poŁÆteŁ-
n m bodem A a koncov m bodem B a budeme ji naz vat um st n m vektoru
~u = !AB : Mø eme pak takØ psÆt B = A+~u nebo B A = ~u: Płitom vektorem
~u budeme rozum t tł du orientovan ch œseŁek, kterØ maj t sm r a velikost.
Tuto vlastnost mø eme takØ popsat tak, e orientovanØ œseŁky !AB; !CD patł do
jednØ tł dy, jestli e œseŁky (A;D) a (B;C) maj t stłed.



*



*x60x61A
B
C
D
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 VybranØ ŁÆsti vektorovØho poŁtu
Mno inu v„ech vektorø pak naz vÆme vektorov m zam łen m prostoru
E3 a oznaŁujeme ji V(E3):
Pro takto zavedenØ pojmy plat :
a) Pro libovoln bod A2E3 a libovoln vektor ~u 2V(E3) existuje jedin bod
B2E3 takov , e !AB= ~u:
b) Je-li !AB= ~u; !BC= ~v; pak !AC= ~u +~v se naz vÆ souŁet vektorø ~u;~v.



*
A
!AB= ~u
@
@
@
@
@
@
@R
B
!BC= ~v
XXXX
XXXX
XXXX
XXz C !AC= ~u +~v
Je-li ~u = !AA, pak vektor ~u se naz vÆ vektor nulov , znaŁ se~o a mÆ dØlku
rovnou nule.
Je-li ~u = !AB, pak vektor ~u = !BA (zm n nÆ orientace) se naz vÆ vektor
opaŁn k vektoru ~u.
hlem nenulov ch vektorø ~u = !AB;~v = !AC naz vÆme œhel ’ polopł -
mek AB;AC m łen v mez ch 0 ’ :
PoznÆmka: Prostor bodø v trojrozm rnØm prostoruE3 spolu s vekto-
rov m zam łen m V(E3); v nich plat a) a b) se Łasto naz vÆ a nn m
prostorem a znaŁ se A3:
V ta 1. Pro libovolnØ tłi vektory ~u;~v;~w ve V(E3) plat
1. ~u +~v = ~v +~u,
2. (~u +~v) + ~w = ~u + (~v + ~w),
3. ~u +~o = ~u,
4. ke ka dØmu vektoru~u existuje opaŁn vektor ~u tak, e~u + ( ~u) = ~o:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.1 Operace s geometrick mi vektory ve V(E3) 9
SouŁin vektoru s reÆln m Ł slem
MÆ-li ~u = !AB dØlku j~uj a je-li 2R libovolnØ Ł slo, pak klademe
~u = ~o, pokud = 0 nebo ~u = ~o,
~u = ~v, kde ~u 6= ~o;j~vj = j j j~uj a vektor ~v je souhlasn (nesouhlasn )
rovnob n s vektorem ~u v pł pad > 0 ( < 0.)
-
A
~u
B C
-~v =
!AC= ~u = 2~u pro = 2 > 1 > 0, j~vj= 2j~uj
V ta 2. Nech» ; 2Rjsou libovolnÆ Ł sla a~u;~v libovolnØ vektory veV(E3):
Pak plat
1. ( ~u) = ~u,
2. (~u +~v) = ~u+ ~v,
3. ( + )~u = ~u+ ~u,
4. 1 ~u = ~u:
LineÆrn nezÆvislost vektorø
PoznÆmka:
V„imn me si, e pro vektory z V3 = V(E3) plat :
( ) ~u;~v 2V3 =)~u +~v 2V3
(souŁet vektorø z V3 je vektor ve V3).
( ) ~u 2V3; 2R =) ~u2V3
(nÆsobek vektoru z V3 je vektor ve V3).
( ) Operace sŁ tÆn vektorø a nÆsoben vektoru reÆln m Ł slem maj
vlastnosti uvedenØ ve v tÆch 1, 2.
Vektory kolineÆrn (nekolineÆrn )
NenulovØ vektory ~u;~v; pro kterØ existuj takovÆ um st n , e le na jednØ pł mce,
naz vÆme kolineÆrn vektory. Nulov vektor pova ujeme za kolineÆrn s ka -
d m vektorem. Pro kolineÆrn vektory ~u;~v; plat :
a) Je-li ~u 6= ~o; pak existuje prÆv jedno Ł slo k2R takovØ, e ~v = k~u:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 VybranØ ŁÆsti vektorovØho poŁtu
b) Rovnice k~u + l~v = ~o je spln na alespo pro jednu dvojici Ł sel k;l 2R;
płiŁem Ł sla k;l nejsou souŁasn rovna nule.
ekneme naopak, e vektory~u;~v jsou nekolineÆrn , kdy rovnicek~u+l~v = ~o
je spln na pouze tehdy, kdy k = 0 a souŁasn l = 0:
Pł klad 1.1.1 Vektory ~x1;~x2 = 2~x1 jsou kolineÆrn , proto e vektor ~x2 je
nÆsobkem vektoru ~x1: V jinØm pohledu, plat rovnice 2~x1 + ~x2 = ~o a rovnice
k~x1 +l~x2 = ~o mÆ nenulovØ łe„en k = 2;l = 1:
Pł klad 1.1.2 Vektory ~x1;~x2 jsou nekolineÆrn . Zjist te, zda jsou vektory
~u = ~x1 +~x2;~v = ~x1 ~x2; rovn nekolineÆrn .
e„en : PłedpoklÆdejme, e existuje nenulovØ reÆlnØ Ł slo k takovØ, e ~u = k~v;
tj. vektory ~u;~v jsou kolineÆrn . Pak plat ~x1 + ~x2 = k(~x1 ~x2) a odtud
(1 k)~x1 + (1 +k)~x2 = ~o: Proto e vektory ~x1;~x2 jsou nekolineÆrn , mus platit
1 k = 0 a souŁasn 1 + k = 0; co nen mo nØ. Neplat proto nÆ„ płedpoklad
a vektory ~u;~v jsou nekolineÆrn .
Vektory komplanÆrn (nekomplanÆrn )
ekneme, e nenulovØ vektory ~u;~v;~w jsou komplanÆrn , jestli e existuj ta-
kovÆ jejich um st n , e le v jednØ rovin . Pokud je n kter z vektorø ~u;~v;~w
nulov m vektorem, pak tuto trojici vektorø pova ujeme takØ za komplanÆrn .
Pro komplanÆrn vektory ~u;~v;~w plat :
a) Jsou-li ~u;~v nekolineÆrn vektory, pak existuje prÆv jedna dvojice Ł sel
k;l2R takovÆ, e ~w = k~u+l~v:
b) Rovnice k~u + l~v + m~w = ~o je spln na alespo pro jednu trojici Ł sel
k;l;m2R; płiŁem Ł sla k;l;m nejsou souŁasn rovna nule.
Trojici vektorø ~u;~v;~w nazveme nekomplanÆrn , kdy je rovnice
k~u+l~v +m~w = ~o spln na pouze pro k = l = m = 0:
Pł klad 1.1.3 Vektory ~x1;~x2;~x3 jsou nekomplanÆrn . Zjist te, zda jsou vektory
~u = ~x1 +~x2 +~x3;~v = ~x1 ~x2 +~x3; ~w = ~x1 + 3~x2 +~x3; rovn nekomplanÆrn .
e„en : Sestav me rovnici 1~u+ 2~v+ 3~w = ~o: Dosad me-li do rovnice vyjÆ-
dłen vektorø ~u;~v;~w; mÆme
1(~x1 +~x2 +~x3) + 2(~x1 ~x2 +~x3) + 3(~x1 + 3~x2 +~x3) =
= ( 1 + 2 + 3)~x1 + ( 1 2 + 3 3)~x2 + ( 1 + 2 + 3)~x3 = ~o
a c1 = 1 + 2 + 3 = 0;c2 = 1 2 + 3 3 = 0;c3 = 1 + 2 + 3 = 0;
proto e~x1;~x2;~x3 jsou podle zadÆn œlohy nekomplanÆrn vektory. Soustava rovnic
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2 SouŁiny vektorø 11
1 + 2 + 3 = 0; 1 2 + 3 3 = 0 mÆ obecnØ łe„en 1 = 2t; 2 = 3 = t2R:
Pro t6= 0; napł klad t = 1; mø eme vybrat nenulovØ łe„en 1 = 2; 2 = 3 =
1: Vektory ~u;~v;~w jsou proto komplanÆrn a plat rovnice 2~u + ~v + ~w = ~o:
Proto je ~w = 2~u ~v lineÆrn kombinac vektorø ~u;~v; jak se mø eme płesv dŁit
proveden m zkou„ky.
-~x
1






~x2
NekolineÆrn vektory ~x1;~x2
nelze um stit na jednØ pł mce.
-
~x1


*~x2









~x3
NekomplanÆrn vektory ~x1;~x2;~x3
nelze um stit do jednØ roviny.
1.2 SouŁiny vektorø
SkalÆrn souŁin vektorø
De nice 1.2.1 SkalÆrn m souŁinem nenulov ch vektorø ~u;~v 2 V(E3) rozu-
m me Ł slo (skalÆr)
~u ~v =j~ujj~vjcos’;
kde ’ = \(~u;~v) 2h0; i je œhel vektorø ~u;~v a j~uj;j~vj jsou jejich dØlky. Je-li
alespo jeden z vektorø nulov , klademe ~u ~v = 0:
Pro skalÆrn souŁin plat nÆsleduj c tvrzen :
V ta 3. Je-li 2R a ~u;~v;~w 2V(E3); pak
1. ~u ~v = ~v ~u,
2. ~u (~v + ~w) = ~u ~v +~u ~w,
3. ( ~u) ~v = (~u ~v),
4. ~u ~u 0 (~u ~u = 0,~u = ~o).
PoznÆmka: SkalÆrn souŁin nenulov ch vektorø lze vyu t płi łe„en nÆsle-
duj c ch œloh.
1. Vy„etłovÆn kolmosti nenulov ch vektorø:
Plat pł mo z de nice, e ~u ~v = 0 ,’ = 2:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 VybranØ ŁÆsti vektorovØho poŁtu
2. V poŁet dØlky nenulovØho vektoru: j~uj=p~u ~u =jj~ujj:
¨ slo jj~ujj=p~u ~u se naz vÆ euklidovskÆ dØlka vektoru ~u:
3. V poŁet œhlu nenulov ch vektorø: Pł mo ze vzorce obdr me vztah
cos’ = ~u ~vjj~ujj jj~vjj; ’2h0; i:
4. Nalezen kolmØho prøm tu ~v~u vektoru ~v do vektoru ~u:
~v~u = ~u ~vjj~ujj2 ~u: (1.1)
Z pravoœhlØho troœheln ku v obrÆzku
-~v
~u
-~u





~v
jj~vjj
’
mø eme pro ~u0 = ~ujj~ujj psÆt:
~v~u =jj~vjjcos’ ~u0 =jj~vjj ~u ~vjj~ujj jj~vjj ~ujj~ujj = ~u ~vjj~ujj2 ~u:
V„imn te si, e uveden vztah plat i pro ’2 ( 2; ); nebo» pak cos’ < 0
a dojde ke zm n orientace jednotkovØho vektoru ~u0 na opaŁn vektor.
5. PrÆce A; kterou vykonÆ s la ~F stÆlØho sm ru a velikosti po pł mØ drÆze ~s
je dÆna vztahem A = ~F ~s:
PoznÆmka: Pomoc kolm ch prøm tø vektorø se mø eme lehce płesv dŁit
o vlastnosti 2 ve v t 3.
-~v
~u ~w~u
-~u
:~v
~w





*
~v + ~w
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2 SouŁiny vektorø 13
Plat (~v + ~w)~u = ~v~u + ~w~u: Odtud
(~v+ ~w)~u =jj~v+ ~wjjcos (~v + ~w;~u) ~u0 =jj~vjjcos (~v;~u) ~u0 +jj~wjjcos (~w;~u) ~u0:
Odtud
jj~v + ~wjjcos (~v + ~w;~u) =jj~vjjcos (~v;~u) +jj~wjjcos (~w;~u)
a
~u (~v + ~w) =jj~ujj jj~v + ~wjjcos (~v + ~w;~u) =
= ~u (jj~vjjcos (~v;~u) +jj~wjjcos (~w;~u)) = ~u ~v +~u ~w:
Pł klad 1.2.1 VypoŁ tejte ~u ~v; jestli e jj~ujj= 4;jj~vjj= 5;\(~u;~v) = 2 =3:
e„en :
~u ~v =jj~ujj jj~vjjcos\(~u;~v) = 4 5 cos 2 3 = 4 5 ( 12) = 10:
Pł klad 1.2.2 VypoŁ tejtejj~a+~bjj; jestli ejj~ajj= 4;jj~bjj= 5;\(~a;~b) = 2 =3:
e„en : Pomoc V ty 3 urŁ me, e
jj~a +~bjj2 = (~a +~b) (~a +~b) =~a ~a+ 2~a ~b+~b ~b =jj~ajj2 + 2~a ~b+jj~bjj2:
Proto jj~a +~bjj2 = 16 20 + 25 = 21 a jj~a +~bjj = p21 s vyu it m v sledku
płedchÆzej c ho pł kladu.
Vektorov souŁin vektorø
De nice 1.2.2 Vektorov m souŁinem vektorø ~u;~v 2V(E3) rozum me vektor
oznaŁovan jako ~u ~v.
Je-li alespo jeden z vektorø nulov nebo jsou-li vektory ~u;~v kolineÆrn , klademe
~u ~v = ~o:
V opaŁnØm pł pad po adujeme, aby m l vektor ~u ~v nÆsleduj c vlastnosti:
1: Vektor ~u ~v je kolm k ob ma vektorøm ~u;~v:
2: Vektory ~u;~v;~u ~v tvoł v tomto poład pozitivn trojici vektorø (plat
pravidlo pravØ ruky).
3: DØlka vektoru ~u ~v je rovna obsahu plochy sestrojenØ nad vektory ~u;~v, tj.
jj~u ~vjj=jj~ujj jj~vjjsin’;
kde ’ =\(~u;~v)2h0; i je œhel vektorø ~u;~v:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 VybranØ ŁÆsti vektorovØho poŁtu
-
~u


*~v


P obsah plochy
6~u ~v
jj~u ~vjj=jj~ujj jj~vjjsin’ = P
’
Vektorov souŁin.
-
~u


*~v
6~u ~v
I sm r prstø
6
sm r palce
Pravidlo pravØ ruky pro poład ~u;~v;~u ~v.
Pro vektorov souŁin plat nÆsleduj c tvrzen :
V ta 4. Je-li 2R a ~u;~v;~w 2V(E3); pak
1. ~u ~v = ~v ~u,
2. (~u ~v) = ( ~u) ~v = ~u ( ~v),
3. (~u +~v) ~w = ~u ~w +~v ~w,
4. ~w (~u +~v) = ~w ~u+ ~w ~v.
Upozorn n : N kterÆ pravidla pro nÆsoben reÆln ch Ł sel u vektorovØho
souŁinu neplat !
neplat : ~u ~v = ~v ~u (viz platnØ pravidlo ~u ~v = ~v ~u);
neplat : (~u ~v) ~w = ~u (~v ~w),
neplat : ~u ~v = ~o)(~u = ~o nebo ~v = ~o):
PoznÆmka: Vektorov souŁin nenulov ch vektorø lze vyu t płi łe„en nÆsle-
duj c ch œloh.
1. Vy„etłovÆn kolinearity nenulov ch vektorø ~u;~v:
~u ~v = ~o,(’ = 0 nebo ’ = ).
2. V poŁet obsahu plochy sestrojenØ nad vektory ~u;~v: (V poŁet obsahu
trojœheln ku.)
3. Nalezen vektoru kolmØho ke dv ma zadan m nenulov m vektorøm.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2 SouŁiny vektorø 15
Pł klad 1.2.3 Vektory ~u = !AB;~v = !AC maj dØlkyjj~ujj= 1;jj~vjj= 3; a sv raj
œhel ’ =\(~u;~v) = =4: UrŁete obsah trojœheln ku 4ABC:
e„en :
P4 = 12jj~u ~vjj= 12jj~ujj jj~vjj sin’ = 12 1 3 sin 4 = 34p2:
Sm „en souŁin vektorø
-~b
~a


*~c



P =jj~b ~cjj
6
~b ~c
































v
x60
Uva ujme nejprve pozitivn trojici vektorø ~b;~c;~a a rovnob nost n, sestro-
jen nad t mito vektory. Objem rovnob nost nu je souŁinem obsahu P zÆkladny
a v „ky v, V = P v: Obsah zÆkladny je P = jj~b ~cjj: V „ka je prøm t dØlky
vektoru ~a do vektoru~b ~c; proto (viz œloha 4. skalÆrn ho souŁinu)
v =jj~a~b ~cjj=jj~ajjcos (~a;~b ~c) = ~a (
~b ~c)
jj~b ~cjj : (1.2)
Objem V rovnob nost nu je proto v tomto pł pad vyjÆdłen tzv. sm „en m
souŁinem
V =~a (~b ~c)
vektorø~b;~c;~a:
Płejdeme k obecnØmu pł padu.
De nice 1.2.3 Nech» ~a;~b;~c 2V(E3): ¨ slo
[~a;~b;~c] =~a (~b ~c)
nazveme sm „en m souŁinem vektorø ~a;~b;~c (v tomto poład ).
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 VybranØ ŁÆsti vektorovØho poŁtu
PoznÆmka: V me, e ~c ~b = ~b ~c: Proto
[~a;~c;~b] =~a (~c ~b) = ~a (~b ~c) = [~a;~b;~c]:
Lze ukÆzat, e vzÆjemnou v m nou dvou sousedn ch vektorø ve vzorci pro sm -
„en souŁin se zm n znamØnko sm „enØho souŁinu. Napł klad
[~a;~b|{z};~c] = [~b;~a;~c|{z}] = [~b;~c|{z};~a] = [~c;~b;~a|{z}] = [~c;~a|{z};~b] = [~a;~c;~b]
PoznÆmka: Z geometrickØho pohledu vid me, e sm „en souŁin nenulov ch
vektorø lze vyu t płi łe„en nÆsleduj c ch œloh.
1. V poŁet objemu rovnob nost nu setrojenØho nad vektory ~a;~b;~c 2V(E3):
V =j[~a;~b;~c]j:
2. Vy„etłovÆn komplanÆrnosti vektorø: NenulovØ vektory~a;~b;~c jsou kompla-
nÆrn prÆv tehdy, kdy je
[~a;~b;~c] = 0:
3. Stanoven pozitivnosti trojice vektorø:
~a;~b;~c je pozitivn trojice vektorø, kdy [~a;~b;~c] > 0 (plat pravidlo pravØ ruky);
~a;~b;~c je negativn trojice vektorø, kdy [~a;~b;~c] < 0 (neplat pravidlo pravØ ruky);
Pł klad 1.2.4 Rovnob nost n je urŁen vektory ~a;~b;~c a v me, e jj~ajj=p2;
jj~bjj= 1;jj~cjj= 2;\(~b;~c) = =4; vektor ~a sv rÆ se zÆkladnou urŁenou vektory
~b;~c œhel = =6: VypoŁ tejte objem rovnob nost nu.
e„en : V me, e V =j[~a;~b;~c]j: Plat :
j[~a;~b;~c]j=j~a (~b ~c)j=jj~ajj jj~b ~cjj jcos\(~a;~b ~c)j=p2jj~b ~cjjcos 3 =
=
p2
2 jj
~b ~cjj=
p2
2 jj
~bjj jj~cjjsin\(~b;~c) =
p2
2 1 2 sin

4 = 1:
V sledek pł kladu je V = 1:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.2 SouŁiny vektorø 17
Dvojn vektorov souŁin vektorø
Jde o vektorov souŁin trojice vektorø tvaru~a (~b ~c): Je jasnØ, e v sledkem je
vektor ~d; kter je kolm k vektoru~b ~c; a je tedy komplanÆrn s dvojic vektorø
~b;~c: DÆ se ukÆzat, e pro koe cienty lineÆrn kombinace vektorø~b;~c plat :
~a (~b ~c) = (~a ~c)~b (~a ~b)~c: (1.3)
Na zÆklad tohoto vztahu lze odvodit dal„ u iteŁnØ vztahy pro sfØrickou trigo-
nometrii.
Uva ujme napł klad nenulovØ vektory ~a;~b;~c;~d: Pak vektorov souŁin
(~a ~b|{z}
~e
) (~c ~d) = ~e (~c ~d) =|{z}
(1:3)
(~e ~d)~c (~e ~c)~d = [~a;~b;~d]~c [~a;~b;~c]~d;
a skalÆrn souŁin
(~a ~b|{z}
~e
) (~c ~d) = ~e (~c ~d) =~c (~d ~e) =~c (~d (~a ~b)) =
=|{z}
(1:3)
~c ((~d ~b)~a (~d ~a)~b) = (~a ~c)(~d ~b) (~b ~c)(~a ~d):
PotłebnØ vztahy pro sfØrickou trigonometrii si uvedeme v nÆsleduj c m odstavci
textu.
Døle itØ identity
V ta 5. Nech» ~a;~b;~c;~d;~u;~v;~w 2V(E3): Pak plat
(1) (~a ~b) (~c ~d) = ~a ~c ~a ~d~b ~c ~b ~d = (~a ~c)(~b ~d) (~b ~c)(~a ~d);
(2) ~a (~b ~c) = (~a ~c)~b (~a ~b)~c,
(3) (~a ~b) (~c ~d) = [~a;~b;~d]~c [~a;~b;~c]~d,
(4) [~a;~b;~c] [~u;~v;~w] =
~a ~u ~a ~v ~a ~w
~b ~u ~b ~v ~b ~w
~c ~u ~c ~v ~c ~w
.
Zaj mavost: V identit (1) polo me ~a =~c = ~u;~b = ~d = ~v: Pak
(~u ~v) (~u ~v) = (~u ~u)(~v ~v) (~v ~u)(~u ~v); tj.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 VybranØ ŁÆsti vektorovØho poŁtu
jj~u ~vjj2 =jj~ujj2jj~vjj2 (~u ~v)2 0:
Odtud ihned plyne znÆ