Intergální počet II. řešené příkaldy s nápovědou

IntegrÆln poŁet II.
Pł klady s nÆpov dou.
Veronika ChrastinovÆ, Oto Płibyl
16. zÆł 2003
stav matematiky a deskriptivn geometrie FAST VUT Brno
Obsah
1 Dvojn integrÆl 3
2 Trojn integrÆl 7
3 Kłivkov integrÆl ve skalÆrn m poli 10
4 Kłivkov integrÆl ve vektrovØm poli 13
4.1 Pł m m v poŁtem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 NezÆvislost na integraŁn cest . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Greenova v ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2
1 Dvojn integrÆl
VypoŁt te:
1.1
ZZ
D
ln(x2+y2)
x2+y2 dxdy, kde D = f[x;y] 2 R
2; 1 • x2 + y2 • e2g.
[polÆrn souładnice, meze konstantn , restrikce lze pou t, substituce ln‰ = t;
vyjde 2…]
1.2 Statick moment Sy pro homogenn oblast D vymezenou kłivkou y = sinx
a œseŁkou spojuj c body [0;0];[…2;1].
(Hustota pro homogenn oblast (x;y) · k 2 R+.)
[bez transformace, nekonstantn meze prom nnØ y, per partes; vyjde: k(1 ¡ …212 )]
1.3 T i„t T homogenn oblasti D = f[x;y] 2 R2;x2 + y2 • r2;y ‚ 0g:
(r > 0)
[polÆrn souładnice, konstantn meze, restrikce mo nÆ; vyjde T =
h
0; 4r3…
i
,
xT ihned.]
1.4 Hmotnost rovnob n ka D vymezenØho pł mkami y = x;y = x + 2,
y = 2, y = 6 s hustotou (x;y) = x2 + y2.
[bez transformace, pozor na meze prommenØ x; vyjde 224]
1.5
ZZ
D
(9x2 + 4y2 + 4)dxdy, kde D = f[x;y] 2 R2; 9x2 + 4y2 • 36g.
[zobecn nØ polÆrn souładnice, konstantn meze, restrikce mo nÆ; vyjde 132…]
1.6 Obsah plochy obrazce
D =
n
[x;y] 2 R2;x2 + y2 • 4y;x2 + y2 ‚ 2y;x ‚ 0;y ‚p3x
o
:
[polÆrn souładnice, pozor na nekonstantn meze prom nnØ ‰; vyjde 12
‡
… + 3
p3
2
·
]
1.7
ZZ
D
(2x¡y + 3)dxdy, kde
D =
‰
[x;y] 2 R2; 0 • x • 4;0 • y • x;y • 4x

:
[bez transformace, nutno rozd lit na 2 integrÆly; vyjde 24 + 12 ln 2]
3
1.8 Moment setrvaŁnosti Iy homogenn oblasti
D = f[x;y]; 6x + y ‚ 6;2x + y • 6;y ‚ 0g:
[bez transformace, kter zpøsob (poład ) integrace je lep„ ? vyjde 13k]
1.9
ZZ
D
xy2dxdy, kde oblast D je vymezena parabolou y2 = 2px a ŁÆst
pł mky x = p2. (p > 0)
[bez transformace, mø eme pou t restrikce; vyjde p521]
1.10 Objem t lesa
= f[x;y;z] 2 R3;x2 + y2 + z2 • r2;x2 + y2 + (z ¡r)2 • r2g:
[t „ pł klad, polÆrn souładnice s konstantn mi mezemi, restrikce lze 8x,
subst. p¢¢¢ = t; vyjde 5…r312 ]
1.11 Objem t lesa ohraniŁenØho plochami az = a2¡x2¡y2;z = 0. (a > 0)
[polÆrn souładnice, restrikci lze pou t, nakreslete si takØ zde obrÆzky v R3
i v rovin xy; vyjde …a32 ]
1.12 Objem t lesa ohraniŁenØho plochami z = x2 +y2;z = 0;x = 0;y = 0,
x + y = 1.
[bez transformace, staŁ obrÆzek projekce do roviny xy (x = 0,y = 0,x + y = 1);
snadno vyjde 16]
1.13 Obsah plochy rotaŁn ho paraboloidu x2+y2 = 2z uvnitł vÆlce x2 + y2 • 1.
[polÆrn souładnice, konstantn meze, restrikce lze pou t, subst. odmocni-
novÆ ; vyjde 2…3
‡
2p2 ¡ 1
·
]
1.14 Obsah plochy z = p4 ¡x2 ¡y2 uvnitł ku ele 3x2 + 3y2 = z2.
[polÆrn souładnice, op t si nakreslete obrÆzek v R3 i v souł. rovin xy,
restrikce lze; vyjde 4…
‡
2 ¡p3
·
]
1.15 Te i„t homogenn oblasti D = f[x;y] 2 R2;x2+y2 • 1;0 • y • x+1g.
[bez transformace, kterØ poład integrace je jednodu„„ ? 2x subst. metoda;
vyjde T =
h 2
3…+6;
2
…+2
i
]
4
1.16 Souładnici xT te i„t T · [xT;yT] oblasti
D = f[x;y] 2 R2; 1 • x2 + y2 • 4;0 • y • xg
s danou hustotou (x;y) = xy.
[polÆrn souładnice; bez problØmø vyjde 124(4¡
p2)
225 ]
1.17 Moment setrvaŁnosti Iz homogenn oblasti D ohraniŁenØ pł mkami
x + y = 2, x = 2 a y = 2.
[bez transformace; snadno vyjde 8k]
1.18 Momenty setrvaŁnosti Ix;Iy;Iz homogenn oblasti
D = f[x;y] 2 R2;x2 • y • xg
[bez transformace; integrac polynomø bez problØmø Ix = k28, Iy = k20, Iz = 3k35 ]
1.19
ZZ
D
(x2 +y2)dxdy, je-li D = f[x;y] 2 R2;x2 +y2 • a2;y ‚ xg. (a > 0)
[polÆrn souładnice s konstantn mi mezemi, mø eme i restrikc ; …a44 ]
1.20 Te i„t oblasti D = f[x;y] 2 R2; 4x2 + y2 • 4;x ‚ 0;y ‚ 0g s danou
hustotou (x;y) = x.
[zobecn nØ polÆrn souładnice; snadno vyjde T =
h3…
16;
3
4
i
]
1.21 Objem t lesa vymezenØho plochami x2 + y2 = 4z;z = 4.
[polÆrn souładnice, nakreslete si obrÆzek v R3 i projekci, nejlØpe restrikc ;
vyjde 32…]
1.22 Objem t lesa vymezenØho plochami x2+y2 = 1;z = 0;z = px2 + y2 + 1.
[polÆrn souładnice, staŁ obrÆzek projekce, jakØ jsou meze prom nnØ z? Re-
strikc ; 2…3
‡
2p2 ¡ 1
·
]
1.23 Obsah ŁÆsti plochy z = px2 + y2 nad oborem D = f[x;y];x2 + y2 • 2yg.
[pokud si nap „ete sprÆvn integrand, pak vyjde okam it : p2…]
1.24 Hmotnost oblasti
D =
‰
[x;y]; 14(x¡ 3)2 + (y ¡ 1)2 • 1

s danou hustotou (x;y) = (x¡ 3)2(y ¡ 1)2.
[zobecn nØ polÆrn souładnice s posunut m do poŁÆtku, rad ji bez restrikce;
vyjde …3 ]
5
1.25 Objem t lesa vymezenØho plochami x2 = y;x2 = 4¡3y;z = 0;z = 9.
[nakreslete si projekci do roviny xy ¡x2 = y;x2 = 4 ¡ 3y¢, bez transformace,
restrikce ano; vyjde 16 ]
1.26 T i„t T oblasti
D = f[x;y];x2 + y
2
4 ‚ 1;x
2 + y
2
4 • 4;y ‚ 0g
s hustotou (x;y) = x2.
[zobec. polÆr. souładnice x = ‰cos’;y = 2‰sin’, pozor na meze ‰, restrikce
lze; T =
h
0; 992225…
i
]
1.27 Objem t lesa vymezenØho plochami z = 4x2+y2 , z = 0, x2 + y2 = 1,
x2 + y2 = 4.
[staŁ projekce do roviny xy (mezikru ) (zkuste obr. i v R3), polÆr. souład-
nice s restrikc ; 8… ln 2]
1.28 Obsah plochy z = x2 + y2 uvnitł vÆlce x2 + y2 = r2. (r > 0)
[nakreslete si obrÆzek v R3 i projekci, polÆrn souładnice s restrikc , sub-
stituce odmocninovÆ , uprav te-li dobłe integrand, pak bez problØmø vyjde
…
6
‡
(1 + 4r2)32 ¡ 1
·
]
1.29 Obsah rovinnØho obrazce D = f[x;y];y ‚ 1x;y ‚ 4x;y • 8g.
[bez transformace, kterØ poład integrace je lep„ ? Meze x nekonstantn ; vy-
jde 152 ¡ 2 ln 2]
1.30 Moment setrvaŁnosti Iy homogenn ho kruhu
D = f[x;y]; (x¡a)2 + y2 • a2g; (a > 0):
[polÆrn souładnice s restrikc , nekonstantn mez ‰, cos6 ’ = ¡cos2 ’¢3 = :::;
vyjde 5…ka44 ]
1.31 Obsah ŁÆsti ku ele y2 + z2 = x2 uvnitł vÆlce x2 + y2 • a2. (a > 0)
[t „ pł klad, polÆrn souładnice s konstantn mi mezemi, restrikce 8x, ob-
rÆzky nutnØ; vyjde 2…a2]
1.32 Objem t lesa vymezenØho plochami x24 + y29 = z2; x24 + y29 = 2z.
[ tedy vymezeno eliptick m ku elem a eliptick m paraboloidem, obrÆzek
v R3 ani projekce nejsou obt nØ, zobecn nØ polÆrn souładnice, restrikce
4x; vyjde 8…]
6
2 Trojn integrÆl
VypoŁt te
ZZZ

f(x;y;z) dxdy dz, kde:
2.1 f(x;y;z) = xy, = f[x;y;z] 2 R3; x ‚ 0, y ‚ 0, z ‚ 0, x + y • 1,
z • x2 + y2 + 1 g.
[bez transformace, staŁ obrÆzek projekce do roviny xy, zkuste takØ obrÆzek
v R3; integrac polynomø vyjde 7120]
2.2 f(x;y;z) = z2, je vymezena rovinami x = 2;y = 5;x + z = 6
v 1. oktantu.
[bez transformace, nakreslete obrÆzek projekce i obrÆzek v R3; integrac po-
lynomø vyjde 13003 ]
2.3 f(x;y;z) = xyz, = f[x;y;z] 2 R3; y ‚ x2, x ‚ y2, z ‚ 0, z • xyg.
[bez transformace, staŁ obrÆzek projekce, zkuste takØ obrÆzek v R3 (sedlovÆ
plocha); vyjde 196]
2.4 f(x;y;z) = xyz, = f[x;y;z] 2 R3; x2 + y2 + z2 • 1, x ‚ 0, y ‚ 0,
z ‚ 0g.
[sfØrickØ souładnice, v„echny meze konstantn ; vyjde 148]
2.5 f(x;y;z) = xy, = f[x;y;z] 2 R3;x2 +y2 +z2 • 4z;z ‚ sqrtx2 + y2g.
[cylindrickØ souładnice, obrÆzek v R3 i projekce nutnØ (koule a "vr„ek" ro-
taŁn ho ku ele), restrikci rad ji ne; snadno vyjde 0]
VypoŁt te:
2.6 Objem t lesa vymezenØho plochami z = 4 ¡x2;2x + y = 4 v 1. ok-
tantu.
[bez transformace, projekce i obrÆzek v R3 nutnØ; integrac polynomø vy-
jde 403 ]
2.7 Objem t lesa = f[x;y;z] 2 R3; x2 + y2 •