Matematika příkaldy do cvičení

Matematika (3), pˇr´ıklady do cviˇcen´ı
Josef Dal´ık
1 V´ypoˇcet dvojn´eho integr´alu
1. Vypoˇctˇete integr´aly
integraldisplay ln2
0
integraldisplay 1
0
xyexy2 dxdy [2
ln2 − (ln2)2 − 1
2(ln2)2 ]
a integraldisplay 1
0
integraldisplay x
x2
xy2 dydx [ 140].
Pro kaˇzd´y integr´al formulujte vˇetu, na n´ıˇz je v´ypoˇcet zaloˇzen.
2. Vypoˇctˇete integr´aly integraldisplay integraldisplay
A
xydxdy,
kde A je oblast ohraniˇcen´a kˇrivkami y = 12x, y = √x, x = 2, x = 4 [116 ]
a integraldisplay integraldisplay
A
(2x−y2)dxdy,
kde je oblast A ohraniˇcena kˇrivkami y = 1−x, y = 1+x, y = 4 [−1712 ].
Pro kaˇzd´y integr´al formulujte vˇetu, kter´a je ve v´ypoˇctu pouˇzita.
3. Urˇcete objem tˇelesa, ohraniˇcen´eho plochami z = 0, z = x2+3y2, y = x2
a y = x. [1170]
4. Urˇcete objem tˇelesa, kter´e je pr˚unikem v´alc˚u x2+y2 = 25 a x2+z2 = 25
[20003 ]. Tˇeleso schematicky nakreslete.
5. Urˇcete objem tˇelesa ohraniˇcen´eho rovinou x,y a paraboloidem z = 1−
x2 −y2. Tˇeleso nakreslete. [Π2 ]
1
6. Vypoˇctˇete integraldisplay integraldisplay
A
(y + 3)dxdy,
kde A je oblast ohraniˇcen´a kˇrivkou 4x29 + y29 = 1. Nakreslete tˇeleso,
jehoˇz objem hodnota tohoto integr´alu ud´av´a. [13.5Π]
2 Transformace dvojn´eho integr´alu, jeho geo-
metrick´y a fyzik´aln´ı v´yznam
1. Vypoˇctˇete objem koule x2 + y2 + z2 ≤ a2 pomoc´ı dvojn´eho integr´alu.
[43Πa3]
2. Urˇcete tˇeˇziˇstˇe rovinn´e desky A v 1. kvadrantu, ohraniˇcen´e kˇrivkami
x2 +y2 = 4 a rho1 = 2(1+cosϕ) (kardioida) o hustotˇe h = sinϕ. [m(A) =
8
3, Sx(A) =
136
45 +
Π
2 , Sy(A) = 5.2, T = (1.95,1.7224)]
3. Urˇcete moment setrvaˇcnosti rovinn´e desky A, ohraniˇcen´e kˇrivkami x2+
y2 − 2y = 0 a y = x o hustotˇe 1 vzhledem k ose x i k ose y. [Ix(A) =
5Π
16 −
11
12 = 0.06508, Iy(A) =
Π
16 −
1
12 = 0.113]
4. Najdˇete tˇeˇziˇstˇe T rovinn´e desky v 1. kvadrantu, ohraniˇcen´e kˇrivkami
y = x, y = x√3, x2 + y2 = R2 o hustotˇe h = radicalbigx2 + y2. Nakreslete
schematicky polohu bodu T na desce. [m(A) = ΠR336 , Sx(A) =
√2−1
8 R
4,
Sy(A) =
√3−√2
8 R
4, T = (0.45527R,0.59332R)]
5. Urˇcete ploˇsn´y obsah tˇr´ılist´e r˚uˇze ohraniˇcen´e kˇrivkou rho1 = sin3ϕ. [Π4 ]
6. Urˇcete ploˇsn´y obsah grafu funkce z = haradicalbigx2 + y2 mezi rovinami z = 0
a z = h (h, a jsou kladn´e parametry). [Πa√a2 + h2]
7. Urˇcete ploˇsn´y obsah grafu funkce z(x,y) = √4 −x2 nad obd´eln´ıkem
(0,1) × (0,4). Pˇr´ısluˇsnou plochu zn´azornˇete. [43Π]
8. Vypoˇctˇete ploˇsn´y obsah grafu funkce z = x2+y2 nad oblast´ı x2+y2 ≤ 1.
Nakreslete uvaˇzovanou plochu. [Π6 (5√5 − 1)]
2
3 V´ypoˇcet trojn´eho integr´alu
1. Vypoˇctˇete hmotnost tˇelesa ohraniˇcen´eho plochami 2x+z = 2a, x+z =
a, y2 = ax, y = 0 (a > 0) o hustotˇe h = y. [a4/12]
2. Urˇcete hmotnost tˇelesa v 1. oktantu, ohraniˇcen´eho plochami y = x a
x2 + z2 = 9 o hustotˇe h = xy. [815 ]
4 Transformace a aplikace trojn´eho integr´alu
1. Vypoˇctˇete objem tˇelesa ohraniˇcen´eho v´alcov´ymi plochami x2 +y2 = x,
x2+y2 = 2x, paraboloidem z = x2+y2 a rovinami x+y = 0, x−y = 0,
z = 0. [1564(8 + 3Π)]
2. Urˇcete hmotnost tˇelesa v prvn´ım oktantu, ohraniˇcen´eho plochami x2 +
y2 + z2 = 1, radicalbigx2 + y2 = z o hustotˇe h = 1 + z. [ Π96 parenleftbig19 − 8√2parenrightbig]
3. Urˇcete objem tˇelesa ohraniˇcen´eho plochou x2+y2+z2 = 2a2, x2+y2 =
az, a > 0. [Πa36 (8√2 − 7)]
4. Urˇcete statick´y moment tˇelesa A = {[x,y,z]|x ≥ 0,y ≥ 0,x2+y2+z2 ≤
4,radicalbig3(x2 + y2) ≤ z} o hustotˇe h = y vzhledem k rovinˇe x,y. [ 415]
5. Vypoˇctˇete moment setrvaˇcnosti koule o polomˇeru R a hustotˇe h = 1
vzhledem k libovoln´e teˇcnˇe. [2815ΠR5]
6. Uˇzijte transformace u = x, v = z − y, w = xy pro v´ypoˇcet hmotnosti
tˇelesa A, ohraniˇcen´eho plochami x = 1, x = 3, z = y, z = y+1, xy = 2,
xy = 4 o hustotˇe h = (z −y)2xy. [2ln3]
7. Uˇzijte transformace u = yz, v = 4x − y, w = yz2 pro v´ypoˇcet objemu
tˇelesa, ohraniˇcen´eho plochami y = z, y = 2z, y = 4x, y = 4x − 12,
y = z2, y = 4z2. [10532 ]
8. Vypoˇctˇete statick´y moment tˇelesa A o hustotˇe 1 vzhledem k rovinˇe x,y.
Tˇeleso leˇz´ı v prvn´ım oktantu a je ohraniˇcen´e plochami x2 +y2 +z2 = 1
a x2 + y2 + z2 = 4. [1516Π]
9. Pˇredpokl´adejte, ˇze hustota planety o polomˇeru R je
h = ce( rho1R)
3−1
,
3
kde c je kladn´a konstanta a rho1 je vzd´alenost od jej´ıho stˇredu. Urˇcete
hmotnost planety. [m(K) = 43ecpiR3(e− 1)]
10. Vypoˇctˇete moment setrvaˇcnosti tˇelesa
A = {[x,y,z]|r2 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ R2 a
radicalbig
x2 + y2 ≤ z}
o hustotˇe h = radicalbigx2 + y2 + z2 vzhledem k ose z. [ pi36(R6 −r6)(8−5√2)]
11. Vypoˇctˇete moment setrvaˇcnosti tˇelesa A vzhledem k ose z. Hustota
tˇelesa
A = {[x,y,z]| 4
radicalbig
x2 + y2 ≤ z ≤ 2 −x2 −y2}
je h = 1. [2pi9 ]
12. Najdˇete moment setrvaˇcnosti poloviny koule s vnˇejˇs´ım polomˇerem R a
vnitˇrn´ım polomˇerem r vzhledem k libovoln´emu povrchov´emu pr˚umˇeru.
Hustota koule je h = 1. [pi4(R4 −r4)]
13. Urˇcete objem tˇelesa
A = {[x,y,z]|x2 + y2 ≤ R2,y ≥ 0,0 ≤ z ≤ HRy}.
[23HR2]
5 Kˇrivkov´e integr´aly ve skal´arn´ım poli a je-
jich aplikace
1. Vypoˇctˇete hmotnost kˇrivky K : x = t, y = 23t32, 0 ≤ t ≤ 3 o hustotˇe
h = 11+x. [2]
2. Urˇcete hodnotu integr´alu integraltextK x1+y2ds, kde K je kˇrivka x = 1+2t, y = t,
0 ≤ t ≤ 1. [√5parenleftbigln2 + pi4parenrightbig]
3. Vypoˇctˇete integr´al integraltextK e−zx2+y2ds, kde K je spir´ala x = 2cost, y = 2sint,
z = t, 0 ≤ t ≤ 2pi. [
√5
4 (1 −e
−2pi)]
4. Urˇcete hmotnost dr´atu ve tvaru y = √9 −x2,0 ≤ x ≤ 3, je-li jeho
hustota h = kx√y, (k > 0). [6k√3]
4
5. Urˇcete hmotnost dr´atu ve tvaru kˇrivky x = et cost, y = et sint, 0 ≤ t ≤
1, je-li jeho hustota ´umˇern´a vzd´alenosti of poˇc´atku souˇradn´e soustavy.
[
√2
2 (e
2 − 1)]
6. Urˇcete hmotnost dr´atu ve tvaru spir´aly x = 3cost, y = 3sint, z = 4t,
(0 ≤ t ≤ pi2) o hustotˇe h = kx1+y2, (k > 0). [5karctan3]
7. Urˇcete tˇeˇziˇstˇe dr´atu x = 2t,