Matematika příkaldy do cvičení

y = lnt, z = 4√t, (1 ≤ t ≤ 4) o hustotˇe
rovn´e vzd´alenosti od roviny xy.
8. Vypoˇctˇete vˇsechny momenty setrvaˇcnosti kˇrivky K : x = t, y = t2,
z = 23t3, 0 ≤ t ≤ 1 o hustotˇe h = 3yz. [Ix = 0.7344,Iy = 0.8511,Iz =
1.1833]
9. Urˇcete d´elku kˇrivky K : x = 13(t2 + 2)32, y = 0, z = t, 0 ≤ t ≤ 1. [43]
10. Urˇcete d´elku kˇrivky K : x = 12t3, y = t2, z =
√3
2 t
3, 1 ≤ t ≤ 2. [7.6337]
11. Urˇcete d´elku kˇrivky K : x = 1√2t, y = 116t4 + 12t2, z = 1√2t, 2 ≤ t ≤ 3.
[4.1319]
12. Vypoˇctˇete velikosti plochy nad parabolou y = x2 (0 ≤ x ≤ 2) a pod
rovinou z = 3x.
13. Urˇcete velikost plochy nad grafem funkce y = √4 −x2 a pod plochou
z = x2y.
6 V´ypoˇcet kˇrivkov´eho integr´alu ve vektorov´em
poli
1. Vypoˇctˇete integr´al
a) integraltext(K) 2xydx+(x2+y2)dy po kˇrivce (K) : x = cost,y = sint,0 ≤ t ≤
pi
2, jej´ıˇz orientace je souhlasn´a s dan´ym parametrick´ym vyj´adˇren´ım. [
1
3]
b) integraltext(K) yzdx−xzdy+xydz po kˇrivce (K) : x = et,y = e3t,z = e−t,0 ≤
t ≤ 1, orientovan´e souhlasnˇe s parametrick´ym vyj´adˇren´ım. [1 −e3]
2. Urˇcete hodnotu integr´aluintegraltext(K) x2ydx+xdy, kde (K) je hranice troj´uheln´ıka
s vrcholy A = [0,0], B = [1,0], C = [1,2], orientovan´a kladnˇe. [12]
5
3. Vypoˇctˇete integr´al
a) integraltext(K) ydx + zdy − xdz, kde (K) je ´useˇcka od bodu [1,1,1] do bodu
[−3,2,0]. [−112 ]
b) integraltext(K) vectorF · vectords, kde vectorF = zvectorı + xvector + yvectork a vectorB(t) = sintvectorı + 3sintvector + sin2 tvectork
od t = 0 do t = pi2. [236 ]
4. Vypoˇctˇete integr´al I = integraltext(K) x2zdx − yx2 dy + 3xzdz, je-li (K) hra-
nice troj´uheln´ıka s vrcholy A = [0,0,0], B = [1,1,0] a C = [1,1,1],
orientovan´a kladnˇe. [−54]
5. Urˇcete pr´aci s´ıly
a) vectorF = x3yvectorı + (x − y)vector pˇri pohybu pod´el paraboly y = x2 od bodu
[−2,4] do bodu [1,1]. [3]
b) vectorF = yzvectorı + xzvector + xyvectork pod´el kˇrivky (K) : x = t,y = t2,z = t3 od
bodu [0,0,0] do bodu [1,1,1]. [1]
6. Urˇcete pr´aci s´ıly
a) vectorF = xyvectorı+x2vector po parabole x = y2 od bodu [0,0] do bodu [1,1]. [0,6]
b) vectorF = (x2 +xy)vectorı+(y−x2y)vector pod´el kˇrivky (K) : x = t,y = 1t od bodu
[1,1] do bodu [3, 13]. [929 + ln3]
7. Urˇcete pr´aci s´ıly vectorF = xyvectorı + yzvector + zxvectork po kˇrivce (K) : x = t,y =
t2,z = t3,0 ≤ t ≤ 1, orientovan´e souhlasnˇe s danou parametrizac´ı. [2728]
8. ˇC´astice se pohybuje od bodu [0,0] do bodu [1,0] po kˇrivce (Kλ) :
x = t,y = λt(1 − t). Pro kterou hodnotu λ je pr´ace vykonan´a silou
vectorF = xyvectorı + (x−y)vector rovna jedn´e? [λ = −12]
9. Dˇeln´ık o v´aze 100 kg nese pytel o p˚uvodn´ı v´aze 20 kg po schodiˇsti okolo
kruhov´eho sila o polomˇeru 25 m. Zrn´ı pad´a z pytle s intenzitou 1 kg na
10 m v´yˇsky. Jakou pr´aci dˇeln´ık vykon´a, obejde-li silo 4 kr´at a vystoup´ı
o 60 m v´yˇse?
6
7 Greenova vˇeta a jej´ı aplikace
1. Vypoˇctˇete kˇrivkov´y integr´al
integraldisplay
(K)
y2dx + x2dy,
kde (K) je hranice ˇctyˇr´uheln´ıka s vrcholy [0,0],[1,0],[1,1],[0,1], ori-
entovan´a kladnˇe, pomoc´ı Greenovy vˇety a v´ysledek ovˇeˇrte pˇr´ım´ym
v´ypoˇctem. [0]
2. Vypoˇctˇete kˇrivkov´y integr´al
integraldisplay
(K)
ydx + xdy, kde (K) je oblouk x2 + y2 = 1,
orientovan´y kladnˇe pomoc´ı Greenovy vˇety a v´ysledek ovˇeˇrte pˇr´ım´ym
v´ypoˇctem. [0]
3. Uˇzijte Greenovy vˇety pro v´ypoˇcet kˇrivkov´eho integr´alu
integraldisplay
(K)
x2ydx + xdy,
kde (K) je hranice troj´uheln´ıka ABC pro A = [0,0], B = [1,0], C =
[1,2], orientovan´a kladnˇe. [12]
4. Pomoc´ı Greenovy vˇety vypoˇctˇete integr´al
I =
integraldisplay
(K)
3xydx + 2xydy.
Zde je (K) hranice ˇctyˇr´uheln´ıka x = −2, x = 4, y = 1, y = 2, oriento-
van´a kladnˇe. [0]
5. Uˇzit´ım Greenovy vˇety vypoˇctˇete integr´al
I =
integraldisplay
(K)
(x2 −y2)dx + xdy,
kde je kˇrivka (K) : x2 + y2 = 9 orientovan´a kladnˇe. [36 + 9pi]
7
6. Pomoc´ı Greenovy vˇety vypoˇctˇete integral
I =
integraldisplay
(K)
xcosydx−ysinxdy.
Zde (K) je hraniceˇctverce [0,0], [pi2,0], [pi2, pi2], [0, pi2], orientovan´a z´apornˇe.
[0]
7. Vypoˇctˇete integr´al integraldisplay
(K)
−ydx + xdy
x2 + y2 ,
kde (K) je libovoln´a uzavˇren´a kˇrivka, orientovan´a kladnˇe, uzav´ıraj´ıc´ı
oblast, kter´a a) obsahuje bod [0,0], b) neobsahuje bod [0,0]. [a) 2pi, b)
0]
8. Pomoc´ı kˇrivkov´eho integr´alu najdˇete ploˇsn´y obsah oblasti v 1. kvad-
rantu, ohraniˇcen´e kˇrivkami y = x, y = 1x, y = x9. [ln3]
9. Pomoc´ı kˇrivkov´eho integr´alu najdˇete ploˇsn´y obsah eliptick´e oblasti
x2
a2 +
y2
b2 ≤ 1
pro ´uhel t ∈ 〈0,t0〉. [ab2 t0]
10. Pomoc´ı Greenovy vˇety urˇcete pr´aci s´ıly vectorF = (xy, 12x2 + xy) po hranici
poloviny kruhu x2 + y2 ≤ 25 nad osou x, orientovan´e kladnˇe.
11. Uˇzijte Greenovy vˇety pro v´ypoˇcet pr´ace s´ıly vectorF = (√y,√x) po hranici
oblasti ohraniˇcen´e kˇrivkami y = 0, x = 2, y = x34 a orientovan´e kladnˇe.
[−1835√2]
12. Pomoc´ı Greenovy vˇety vypoˇctˇete pr´aci s´ıly vectorF = (ex−y3)vectorı+(cosy+x3)vector
po kruˇznici x2 + y2 = 1 v klad´em smˇeru. [32pi]
13. Dokaˇzte, ˇze souˇradnice tˇeˇziˇstˇe rovinn´e oblasti A o hustotˇe h = 1 a
ploˇsn´em obsahu ∆A, jej´ıˇz hranice je kˇrivka (K) orientovan´a kladnˇe,
jsou
xT = 12∆A
integraldisplay
(K)
x2dy, yT = − 12∆A
integraldisplay
(K)
y2dx
a tˇechto formul´ı uˇzijte pro v´ypoˇcet tˇeˇziˇstˇe p˚ulkruhu x2 + y2 = a2 nad
osou x o hustotˇe 1. bracketleftbigT = [0, 4a3pi]bracketrightbig
8
8 Nez´avislost na cestˇe
1. Urˇcete hodnotu integr´alu integraltext(K) vectorF · vectords, kde vectorF = yvectorı + xvector a (K) je kˇrivka
a) y = x od [0,0] do [1,1] [1] b) y = x2 od [0,0] do [1,1] [1] c) y = x3 od
[0,0] do [1,1] [1]
2. Rozhodnˇete, zda vektorov´e pole vectorF = 2xy3vectorı+(1+3x2y2)vector je potenci´aln´ı
a v kladn´em pˇr´ıpadˇe urˇcete potenci´al vectorF. Vypoˇctˇete integr´al
I =
integraldisplay [3,1]
[1,4]
vectorF · ve