Matematika 02

19.
Uveďte vztah pro výpočet derivace fce. f: u=f(x,y,z) v bodě M va směru vektoru s 0 ?Jajý ja vztah mezi parciálními derivscemi fce f a směrovými derivacemi?

Přímka která prochází bodem M rovnoběžně s jadnotkovým vekterem s=(s x,s z,s z) má rovnici . Funkce , která definuje skalární pole, přejde na této přímce ve fci 1 proměnné t, . Derivace této fce v bodě M (t=0) podle proměnné t je derivace skalárního pole v bodě M ve směru . Značíme . Podle pravidla pro derivoání složené fce dostaneme, že , tj skalární součin jadnotkového vektoru daného směru a gradientu pole f v daném bodě. Derivace ve směru s udává rychlost změny hodnoty skalárního pole v daném směru.


20.
Uveďte základní pojmy diferenciálních rovnic. Jaké podmínky znáte pro existenci a jednoznačnost řešení diferenciální rovnice y / =f(x,y)?

Obyčejná diferenciální rovnice vyjadřuje vztah mezi hladanou fcí jadné proměnné, jejími derivacemi a nezávisle proměnou .
Parciální dif. rovnice vyjadřuje vztah mezi hledanou fcí několika proměnných, jejími perciálními derivacemi a nezávisle proměnnýmí
Řádem diferenciální rovnice rozumíme řád nejvyšší derivace hledané fce, která se v rovnici vaskytuje.
Diferenciální rovnici n-tého řádu můžeme zapsat ve tvaru F(x,y /.....y n)=0
Řešení (integrál) této rovnice je každá fce, která má drivace až do n-tého řádu v4etn2 a spl+nuje danou rovnici. Např. y=5x je řešení rce. y /-5=0, protože y / =5. čára která je grefem některého řešení dif. rovnice se nazývá integrální čára.
Obecné řešení uvažované rce. n-tého řádu je řešení dané rovnicí kde c jsou libovolné nezávislé integrační konstanty
Partikulární řešení je takové řešení dané rcí obecného řešení, kde konstanty c jsou konkrétní čísla .
Obecné řešenípředstavuje geometricky n-parametrickou soustavu integrálních čar, partikulární řešení jednu určitou integrální čáru splňující jisté počáteční podmínky
Existence a jednoznačnost fce f(x ,y)musí být spojitá na uzavřené oblasti D je tedy voblasti D ohraničená existuje konstanta M>0, tak ,že [f(x.y)] M. Dále předpokládejme, že fce f splňuje vzhledem k y Lipsichtiovu podmínku, tj existuje konstanta K>0 tak že pro vščechna a každou dvojici platí pak existuje jediné řešení, které splnuje počáteční podmínku . Má-li fce f pro všechna parciální derivaci f y ,pak Libsicht. podmínka je ekvivalentní podmince že f y ja ohraničená v D.


21.
Jaký tvar má separovaná dif. rovnice prvnhop řádu a jak se taková rovnice řeší

Rovnice tvaru Položíme a rci upravíme na tvar potom řešením je
když je kořenem rovnice g 2(y)=0, je také řešením dané dif. rovnice



22.
Jaký tvar má lineární dif. rovnice prvního řádu a ja se řeší?

Tvar je -li fce g(x)=0 je to rovnice homogenní, pro g(x) 0 nehomogenní.
V homogenní rovnici můžeme separovat proměnné. Za předpokladu
platí po integraci . Po úpravě . y=0 je takové řešení dané dif. rovnice, a to partikulární řešení pro c=0
Nehomogenní dif rovnice ..postup řešení : Najdeme obecné řešení dané rce bez pravé strany a označíme Platí . Předpokládáme, že obecné řešení y je téhož tvaru, ale místo konstanty c obsahuje fci c=c(x). Je tedy tvaru . Dosazením do y dané rovnice najdeme podmínku pro neznámou fci c(x). Platí . Dosadíme do máme
Odtud a tedy . Po integraci
, kde K je libovolná konstanta.
Nalezenou fci c(x) dosadíme do předpokládaného tvaru řešení. Dostaneme výsledek
Obecná řešení nehomogenní lineární diferencilní rvnice má tvar ,kde je obecné řešení homogenní rovnice a Y partikulární řešení nehomogenní rovnice.

23.
Kdy říkáme , že diferenciální rovnice je exaktní, jak jzenajít kmenovou fci?

Rovnice tvaru kde , se nazívá exaktní diferenciální rovnice.
Obecně ji píšeme ve tvaru . Za uvedených podmínek existuje fce F(x,y) taková, že její ,tj levá strana d