Matematika 02

ané rovnice je totálním diferenciálem fce F(x,y). Řešení dané rovnice je pak dáno vztahem hledáme jej postupnou integrací.
Výpočet exaktní diferenciální rovnice:


24.
Co nazíváme Wro nskiánem řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu a jaký je jehovýznam?

Má-li fce spojité derivace až do řádu k včetně pak determinant se nazývá Wronskián.
Používá se pří výpočtu LDR n-tého řádu
Pokud je Wronskián nenulový má soustava jedinné řešení.
fce y 1(x)..........y k x) jsou lineárně nezávislé na intervalu jestliže platí jan pro c i=0 i=1....k, jestliže y i (x),i=1...n jsou partikuární řešení rovnice L n(y)=0 se spojitými korficienty a i(x),i=1....n intervalu I pak y i (x)jsuo lineáreně nezávislé a tvoří Fundamentální systém řešení dané rovnice , pokud Wronskián této fce je nenulový v intervalu I.


25.
Jak hledáme fgundamentální systém momogenní LDR n-tého řádu pomocí charakteristické rovnice?

Nalezení fcí tvořících fundamentální systém řešení : LDR s konstantními korficienty tj jsou reálná čísla.Tato rovnice má vždy řešení
y=0. Netriviální řešením může být jen taková rovnice, jejíž derivace se mezi sebou liší jen multiplikativní konstantou. Takovou vlastnost má fce neboť
Dosazením do dané rovnice dostaneme protože
platí což je c haraktreictická rovnice. Charakteristická r ovnice má právě n kořenů. K nim přiřadíme lineárně závislá partikulární řešení dané LDR.

26.
Zapište tvar speciální pravé strany nehomogenní LDR n-tého řádu a předpokládaný tvar partikulárního řešení.

Nehomogenní LDR n-tého řádu s konstantními koeficienty má obecné řešení tvaru , kde je obecné řešení této rovnice bez pravé strany a Y nějaké partikulární řešení úplné rovnice. Y v případě, že fce f(x)na pravé staně rovnice je speciálního tvaru: ,kde jsou polinomy stupňů m,n .Pak má daná diferenciální fce partikulární řešení kde
jsou polinomy stupně s=max(m,n) s neurčitými koeficienty, k je násobnost kořene charakteristické rovnice . Metoda se nazývá metoda neurčitých koeficientů.

27.
Vysvětlete princip variace konstant pro nehomogenní LDR druhého řádu.

Je-li kde c i ,i=1...jsou konstanty, obecná řešení rovnice , pak řešení rovnice je stejného tvarus tím rozdílem , že c i jsou obecně proměnné x. Určíme je tak, že ze soustavy rovnic

............................................


vypočítáme a integrac9 dostaneme c i Soustava má jedinné řešení , neboť její determinant -wronskián je nenulový.











1. 1.
2. Co rozumíme Riemanovým určitým integrálem, jak se tento integrál počítá?
Uvažujeme funkci f definovanou (a tedy ohraničenou ) na ohraničeném intervalu . Zvolme posloupnost čísel , která se nazývá dělení intervalu . V každém podintervalu ....... vybereme číslo . Číslo je tzv. integrální součet příslušný funkci f , dělení intervalu na “n” dílů a výběru bodů . Číslo je norma dělení intervalu . Zjemňováním dělení dosáhneme toho, že , jestliže . Přitom existuje-li číslo I takové, že k libovolnému můžeme najít číslo tak, že pro všechna dělení intervalu s normou je , pak je číslo I limitní hodnotou integrálních součtů a nazývá se určitý integrál funkce f na intervalu a zapisuje se , kde “a” je horní mez integrálu, “b” dolní mez, “f” intengrand, “x” integrační prom ěnná, “dx” diferenciál integrační proměnné. Newton-Leibnizova věta popisuje vztah určitého integrálu na intervalu a primitivní funkce F :
2.
Základní integrační metody pro určitý integrál, předpoklady pro jejich platnost .
Per partes (nahrazování po částe