Matematika teorie 3

Jak se definuje (dělení oboru, integrální součty) a počítá (převod na dvojnásobný) dvojný integrál a jaký je jeho geometrický význam
Teorie:
Když zjemňujeme pokrytí plochy A obdélníky tak, že  xi se blíží k 0,  yi se blíží k 0, blíží se součet plošek S k jistému číslu I. Pak říkáme, že existuje dvojný integrál z funkce F(x,y) na oboru A, má hodnotu I a píšeme   F(x,y)dx dy a platí když plocha A je ohraničená a uvnitř spojitá. Geometrický význam dvojného integrálu je obsah plochy.
Postup výpočtu:
Nakreslit definiční obor
Určit hranice
Převést z dvojného na dvojnásobný
Integrovat podle obou integrálů
Příklad 1.1
Zjistěte, zda lze dvojný integrál z funkce f(x,y) = x2 / 1+y2 na oboru R = [0,1] x [0,1] počítat jako součin dvou jednoduchých integrálů. Odůvodněte a vypočtěte
Definiční obor je čtverec o rozích [0,0] a [1,1]
Hranice x, y
  x2 / 1+y2 dx dy =  ( x2 / 1+y2 dx) dy
 1/3 (1 / 1+y2 ) dy = Π / 6
Příklad 1.2
Vypočtěte dvojný integrál:
Příklad 1.3
ation.3
Příklad 1.4
Příklad 1.5
Příklad 1.6
Příklad 1.7
Příklad 1.8

Příklad 1.9
Vypočtěte obsah rovinné oblasti:
Jak se transformují dvojné integrály (obecně, příklady)
Teorie:
Jsou dány funkce x=  (u,v), y= (u,v), takové že:
Zobrazují obor B v rovině (u,v), na obor A v rovině (x,y)
Jsou na uzavřeném oboru B spojité a mají tam spojité parciální derivace
na oboru B platí J 
Při transformaci se daný integrál na daném oboru převádí na integrál z jiné funkce na jiném oboru, který má však stejnou hodnotu.
Transformace do polárních souřadnic x= cosy= sinJ=
Translace x=u+xo,y=v+ yo, J=1
Dilatace x=a*u, y=b*v,J=a*b
Vzorce:
Jakobián
Transformovaná funkce: I=  f(;J d d
Kružnice: x= cosy= sinJ=
Elipsa: x= acosy= bsinJ=ab
Meze zjistíme dosazením původních mezí do nových rovnic.
Postup výpočtu:
Nakreslit definiční obor
Určit hranice
Převést do polárních souřadnic
Vypočíst Jakobián
Nakreslit nový definiční obor
Určit nové hranice
Vytvořit nový dvojný integrál (dosadit polární souřadnice do původního a vynásobit Jakobiánem)
Vypočíst transformovaný integrál
Příklad 2.1
Vypočtěte Jakobián transformace x = u2 – v2, y = 2uv
Dosazením do vzorce pro výpočet Jakobiánu ( J=4u2+4v2
Příklad 2.2
Příklad 2.3
Příklad 2.4

Příklad 2.5
Vypočtěte hmotnost oblasti o hustotě
Příklad 2.6
Vypočtěte hmotnost oblasti o hustotě
Uveďte aplikaci dvojného integrálu (geometrické a fyzikální)
Teorie:
Plošný obsah obrazce A
Hmotnost
Lokální hustotu
Je li z=F(x,y) část plochy, jejíž kolmý průmět do roviny (x,y) je A, plošný obsah této časti.
Objem tělesa
Souřadnice těžiště
Momenty setrvačnosti
Vzorce:
Objem na plochou D:
Obsah oblasti D:
Hmotnost oblasti D: , kde  je hustota
Obsah plochy f(x,y) na D:
Statické momenty oblasti D: ,
Souřadnice těžiště oblasti D:
Mom. setrvačnosti: , ,
Postup výpočtu:
Dosazení do vzorců a výpočet dvojného integrálu
Příklad 3.1
Př. Sestavte integrály pro výpočet momentů setrvačnosti vzhledem k souřadným osám homogenního rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = x, y = x2
Obrázek: parabola protnutá křivkou.
Hranice: x, y
, kde c je konstanta označující hustotu. Ostatní nalogicky.
Příklad 3.2
Vypočtěte objem tělesa vymezeného křivkami: EMBED Equation.3
Příklad 3.3
Vypočtěte obsah plochy vyťaté na grafu
válcem
Příklad 3.4
Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochami
Příklad 3.5
Vypočtěte objem tělesa určeného nerovnicemi
Příklad 3.6
Vypočtěte objem tělesa určeného nerovnicemi
Příklad 3.7
Vypočtěte objem tělesa určeného plochami
Příklad 3.8
Vypočtěte obsah plochy vymezené paraboloidem Equation.3
Příklad 3.9
Vypočtěte X-ovou souřadnice těžiště oblasti: ,
je-li hustota
Příklad 3.10
Vypočtěte moment setrvačnosti Iz oblasti D:
Příklad 3.11
Vypočtěte těžiště T oblasti
D:
Jak se definuje (dělení oboru, integrální součty) a počítá (převod na trojnásobný) trojný integrál a jaký je jeho základní význam
Teorie:
Když zjemňujeme pokrytí tělesa A kvádry tak, že  xi se blíží k 0, yi se blíží k 0, zi se blíží k 0, blíží se součet kvádrů S k jistému číslu I. Pak říkáme, že existuje trojný integrál z funkce F(x,y,z) na oboru A, má hodnotu I a píšeme    F(x,y,z)dx dy dz. Integrál existuje, když kromě podmínek při vynášení oboru A ještě platí, že A je ohraničená a uvnitř spojitá. Pro trojný integrál platí analogické vlastnosti jako pro integrál dvojný. Výpočet provádíme rovněž postupnou integrací. Součet S udává přibližně množství udávané veličiny na oboru A.
Postup výpočtu:
Analogicky jako dvojný integrál. (kap. 1)
Jak se transformují trojné integrály (obecně, příklady)
Teorie:
Jsou dány funkce x=  (u,v,w), y= (u,v,w), z= (u,v,w), takové že:
Zobrazují obor B v prostoru (u,v,w), na obor A v prostoru (x,y,z)
Jsou na uzavřeném oboru B spojité a mají tam spojité parciální derivace
na oboru B platí J 
Transformace do Cylindrických souřadnic x=  cosy= sinz=zJ=
Sférické x=acos t cos s, y=bsin t cos s, z=csin s, J =abccos s
Kulové x=rcossiny= rsincosz=rcosJ=r2sin 
Uveďte aplikace trojného integrálu (geometrické, fyzikální)
Teorie:
Objem tělesa
Hmotnost tělesa
Celkové množství veličiny skalárního charakteru rozložené v tělese A s lokální hustotou 
Souřadnice těžiště T tělesa A
Statický mome