Matematika teorie 3

P podle x ( konstantu dosadíme Ψ(yz)
Výsledek derivovat podle y a porovnat s Q ( konstantu dosadíme Ψ(z)
Výsledek derivovat podle z a porovnat s R
Výpočet práce
A = V(b) – V(a)
Dosadíme do potenciálu koncový bod minus potenciál počátečního bodu.
Příklad 13.1
Ověřte podmínky nezávislosti křivkového integrálu na integrační cestě, najděte potenciál V=V(x,y,z) a pro počáteční bod K a koncový L vypočtěte práci vykonanou polem F.
Nezávislost na integrační cestě
Equation.3
( Nezávisí na integrační cestě
Výpočet potenciálu
Výpočet práce

Uveďte aplikace křivkového integrálu ve vektorovém poli (geometrické a fyzikální)
Teorie:
Když vektor znamená v prostoru sílu, pak integrál udává práci této síly na oblouku L.
Když L je rovinná po částech hladká uzavřená křivka, pak plošný obsah části roviny, kterou křivku ohraničuje.
Co jsou to ortogonální systémy funkcí
Teorie:
Prvky pro které je jejich skalární součin = 0 (x,y)=0, nazýváme ortogonální (kolmé). Prvky x1, x2,,....... xk tvoří ortogonální systém, když každé dva z nich jsou ortogonální, tj. (xi xj) = 0 pro ij ortogonální systém, který neobsahuje nulový prvek, je tvořen lineárně nezávislými prvky (žádný z nich není v lineární kombinaci ostatních).
Příklad:
Určete, zda jsou funkce f1 = 1, f2 = x ortogonální v prostoru polynomů na intervalu a) [-1,1], b) [0,1]
a) - je ortogonální
b) - není ortogonální
Jaký je princip metody nejmenších čtverců
Teorie:
Význam kolmého průmětu y vektoru x do podprostoru M je v tom, že y má ze všech vektorů v M nejmenší vzdálenost od x. Když y náleží M je kolmý průmět vektoru x  V do M říkáme, že vektor x, nahrazujeme vektorem y s chybou || x-y ||. Metoda při které nahrazujeme jeho kolmým průmětem do podprostoru M, se nazývá Metoda nejmenších čtverců. Metodou nejmenších čtverců nahrazujeme funkci (použití ve vyrovnávacích počtech, při řešení sporných soustav)
Příklad 16.1
Zadání:
Vytvoříme kombinace
Vypočteme integrály násobků v závorkách

Dosadíme do soustavy rovnic
Vyřešíme soustavu rovnic

Dosadíme výsledky do zadání
Příklad 16.2
Příklad 16.3
Příklad 16.4
Příklad 16.5
Příklad 16.6
Co je to Fourierova řada funkce a Fourierovy koeficienty.
Teorie:
Fourierova řada je vyjádření jakékoliv periodické funkce za pomocí funkcí harmonických. Při tom čísla a0/2, bn a an, n = 1,2,3... jsou Fourierovy koeficienty.
Vzorce:
- obecný tvar Fourierovy řady
- lichá
- sudá
l .. polovina periody (tj. když x, tak l = Π)
Používají se vztahy:
n = 2 k; n = 2 k -1
Konvergence trigonometrické Fourierovy řady
Teorie:
Je-li 2( periodická funkce f na intervalu po částech spojitá tj. má jen konečný počet bodů nespojitosti 1. druhu, tj. existují jednostranné limity lim( xx0-) f(x) = f(x0-) a lim( xx0+) f(x) = f(x0+), které jsou různé a po částech monotónní, pak její Fourierova řada konverguje pro každé x.
Kosinova Fourierova řada
Teorie:
f (x)~ao/2 +(... , bn=0, je to sudá funkce, symetrická dle osy y, F(x)= f(x)...( 0,( >, F(x)= f(-x)...(-(, 0 ). Je - li f sudá funkce, tj. f (-x)=f (x), pak i f(x)*cos (nx) je sudá funkce, kdežto f (x)*sin (nx) je lichá funkce. Pro Fourierovy koeficienty 2( - periodické sudé funkce f pak platí ao = 2/( * (o( f (x) dx, an = 2/( * (o( f (x)* cos (nx) dx, bn = 0, pro všechna n. Fourierovy řady pak obsahuje pouze kosinové členy. Je - li f lichá funkce, t.j. f (-x)= -f (x), pak i f(x)*cos (nx) je lichá funkce, kdežto f (x)*sin (nx) je sudá funkce. Pro Fourierovy koeficienty 2( - periodické funkce pak platí, an = 0, pro všechna n. Fourierova řada pak obsahuje pouze sinové členy. Funkce f, která v intervalu < 0,( > splňuje Drichletovy podmínky, chceme někdy rozvinout buď ve Fourierovu řadu sinovou nebo kosinovou.
Sinová Fourierova řada
Teorie:
(viz. Kosinova F.ř.)
ao = 0, an= 0, je to lichá funkce, symetrická dle „0“, F(x)= f(x)...( 0,( >, F(x)= -f(-x).... (-(, 0 ).
Trigonometrická Fourierova řada
Teorie:
Systém funkcí : 1, cos x, sin x,..., cos (nx), sin (nx),... se nazývá základní trigonometrický systém. Základní trigonometrický systém tvoří OG systém na intervalu < -(,( >. Řada tvaru ao/2 + a1*cos x + b1* sin x + a2*cos (2x) + b2* sin (2x) +...+ an*cos (nx) + bn* sin (nx) +..., kde ao = 1/( * (-(( f (x) dx, an = 1/( * (-(( f (x)* cos (nx) dx, bn = 1/( * (-(( f (x)* sin (nx) dx, n= 1,2,....je trigonometrická Fourierova řada.
Příloha A: Základní integrály
Equation.3
Příloha B: Některé trigonometrické vzorce
Příloha C: Integrace Per-Partes a substituční metoda
Per Partes:
Substituční metoda: = Integrace vnější složky lomeno derivace vnitřní složky –
použití u Fourierových řad.
Příloha D: Rovnice některých křivek a těles
Kružnice:
Elipsa:
Elipsoid:
Hyperboloid jednodílný:
Hyperboloid dvoudílný:
Eliptický paraboloid:
Hyperbolický paraboloid:
Kuželová plocha:
Eliptický válec:
Hyperbolický válec:
Parabolický válec:
Různoběžné roviny:
Obsah
022320" 2.Jak se transformují dvojné integrály (obecně, příklady)
22322" 4.Jak se definuje (dělení oboru, integrální součty) a počítá (převod na trojnásobný) trojný integrál a jaký je jeho základní význam
(skalární funkce, a vektorová funkce.)
7
INK \l "_Toc492022339" 21.Trigonometrická Fourierova řada
492022343 \h 15


Matematika 3.semestr na VUT FAST© Petr Hladiš,  DATE \@ "d.M. yyyy" 27.8. 2000



 PAGE 1/ NUMPAGES 16