Matematika teorie 3

nt
Momenty setrvačnosti
Vzorce:
Objem :
Povrch :
Hmotnost : , kde  je hustota
S. m.: , ,
Souřadnice těžiště:
Jak popisujeme skalární pole a vektorové pole (skalární funkce, a vektorová funkce.)
Teorie:
VEKTOR. POLE
Jestliže bodům v prostoru přiřadíme vektory funkcí F : a: = ax(x,y,z)i+ay(x,y,z)j+az(x,y,z)k pak je na definičním oboru funkce F definováno vektorové pole. Poloha bodu v prostoru je dána jeho třemi souřadnicemi M[x,y,z], nebo polohovým vektorem rM =xi+yj+zk. Jestliže souřadnice bodu M jsou funkcemi proměnné t (parametru), je také funkcí parametru t : rM =x(t)i+y(t)j+z(t)k. Když se mění t, mění se i poloha bodu M.
SKALARNI POLE
Je-li dána funkce f: u= f(x,y,z), která každému bodu svého definičního oboru přiřazuje číslo (skalár) je na tomto oboru definováno Skalární pole.
Co je křivka a jaké znáte její vlastnosti
Teorie:
Dá se popsat parametrickými rovnicemi x=x(t), y=y(t), z=z(t) tJ, nebo vektorovou rovnicí jednoho skalárního argumentu ŕ=ŕ(t)= x(t)i+y(t)j+z(t)k tJ nebo (x(t),y(t),z(t)). Když spojíme několik hladkých orientovaných oblouků L1,L2... tak, že koncový bod oblouku L1 je počátečním bodem L2 a jiné společné body oblouky nemají dostaneme jednoduchý po částech hladký oblouk L. Je li navíc koncový bod posledního oblouku počátečním bodem prvního oblouku dostáváme jednoduchou po částech hladkou uzavřenou křivku.
Jak se definuje (dělení oboru, integrální součty) a počítá (převod na určitý) křivkový integrál ve skalárním poli
Teorie:
Je dáno skalární pole a v tomto poli jednoduchý hladký oblouk L. Ten můžeme rozdělit na části, ke každému dílu vytvoříme součin. Všechny tyto součiny sečteme a dostaneme tzv. integrální součet S (f,L,D) závislý na funkci f, na oblouku L a dělení D. Když zjemňujeme dělení tak, že rozdíl rádius vektoru se blíží k nule a součet S(f,L,D) se blíží k nějaké hodnotě I, závislé jen na f,L ne na dělení D, pak existuje křivkový integrál 1. druhu. Píšeme L f(x,y,z) ds= I.
Vzorce:
Příklad 9.1
Příklad 9.2
Příklad 9.3
Příklad 9.4
Spočítejte délku prostorové křivky:
Z bodu A[0;0;0] do bodu B[1;]
Příklad 9.5
Spočítejte těžiště homogenního hmotného oblouku
Příklad 9.6
, kde gama je první oblouk cykloidy
Příklad 9.7
, kde gama je oblouk AB křivky y=ln x A[1;0] B[2;ln 2]
Příklad 9.8
, kde gama je obvod obdélníka určené křivkami: x=0;x=4;y=0;y=2 ation.3
Uveďte aplikace křivkového integrálu ve skalárním poli (geometrické a fyzikální)
Teorie:
Délka oblouku křivky
Plošný obsah svislé válcové plochy
Celkové množství skalární veličiny rozložené na oblouku L s lokální hodnotou  (x,y,z) (hmotnost nehomogenního oblouku, jeho elektrický náboj,..)
Souřadnice těžiště T hmotného oblouku L
Statický moment
Vzorce:
Křivka v rovině:
Délka oblouku křivky:
Obsah svislé válcové plochy:
Křivka v prostoru:
Délka oblouku křivky:
Hmotnost:
S.m.: , ,
Těžiště: , , s
KDE: Equation.3
Příklad 10.1
Vypočtěte těžiště T křivky
Příklad 10.2
Vypočtěte hmotnost konické šroubovice
Příklad 10.3
Vypočtěte obsah části válcové plochy s řídící křivkou v rovině z=0 a tvořícími přímkami rovnoběžnými s osou z, jestliže:
Jak se definuje (dělení oboru, integrální součty) a počítá (převod na určitý) křivkový integrál ve vektorovém poli
Teorie:
Je dáno vektorové pole F a hladký jednoduchý orientovaný oblouk L, který rozdělíme na části a ke každému dílku vytvoříme skalární součin, přičemž á je vektor pole F, které patří k bodu M. Skalární součiny sečteme pro všechny části oblouku L. Dostaneme tak integrální součet S(á,L,D), který záleží na vektorové funkci á, křivce L a dělení D. Když při zjemňování dělení se integrální součet blíží k nějaké hodnotě I nezávisle na hodnotě D pak existuje Křivkový integrál 2. druhu. Píšeme L á*dŕ = I.
Vzorce:
Co je to cirkulace a Greenova věta
Teorie:
Integrál a*dr) při uzavřené křivce L se nazývá cirkulace vektoru a podél křivky L. Vztah mezi křivkovým integrálem v rozvinutém vektorovém poli a integrálem dvojným popisuje Greenova věta: Je dána kladně orientovaná po částech hladká uzavřená křivka L, která ohraničuje rovinou oblast D a vektorová funkce a=(ax(x,y)+ay(x,y)), jejíž složky mají spojité parciální derivace na D.
Pak platí L(axi + ayi ) * dr =D (ayxaxydx dy.
Postup:
Nakreslíme obrázek
Vytvoříme parciální derivace x-ové (P) podle y a y-ové (Q) podle x složky
Pokud platí , můžeme použít Greenovu větu
potom platí:
Příklad 12.1:
Zjistěte, zda můžeme použít Greenovu větu pro výpočet integrálu ( (x+y)dx – 2y dy po čtvrtině elipsy x=a cos t, y=b sin t, t (
Příklad 12.2:
Užitím Greenovy věty vypočtěte , kde gama je kladně orientovaná křivka složená ze dvou křivek y=x a y=x2 z bodu A[0,0] do bodu B[1,1]
Obrázek (přímka a parabola)
EMBED Equation.3
3.
Kdy hodnota křivkového integrálu nezávisí na integrační cestě a jak se v tomto případě počítá
Teorie:
Platí : Když existuje na jednoduše souvislé oblasti funkce u= f (x,y,z) taková, že její diferenciál du = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z) dy + R (x,y,z) dz, pak pro křivky ležící uvnitř této oblasti nezávisí hodnota integrálu I na integrační cestě a platí, že tuto hodnotu můžeme spočítat I = f(x2,y2,z2) - f(x1,y1,z1) kde A [x1,y1,z1] je počáteční a B [x2,y2,z2 ] koncový bod oblouku L
Postup:
Nezávislost na integrační cestě. Platí:
Výpočet potenciálu:
Integrovat