Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika - Základy teorie odhadu

VYSOK U¨EN˝ TECHNICK V BRN
FAKULTA STAVEBN˝
HELENA KOUTKOV`
PRAVD PODOBNOST
A MATEMATICK`
STATISTIKA
MODUL GA03 M3
Z`KLADY TEORIE ODHADU
STUDIJN˝ OPORY PRO STUDIJN˝ PROGRAMY
S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
c Helena KoutkovÆ, Brno 2004
Obsah
vod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
OznaŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 NÆhodn v b r a statistiky 6
1.1 NÆhodn v b r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Rozd len Łetnost a jejich znÆzorn n . . . . . . . . . . . 9
1.2 Statistiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Kontroln otÆzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 CviŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Kl Ł a v sledky cviŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Bodov odhad 18
2.1 Vlastnosti odhadø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1 Nestrann odhad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Nejlep„ nestrann odhad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 Stłedn kvadratickÆ chyba . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 Konzistentn odhad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Kontroln otÆzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 CviŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Kl Ł a v sledky cviŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Intervalov odhad 28
3.1 IntervalovØ odhady parametrø normÆln ho rozd len . . . . . . . 30
3.1.1 Intervalov odhad stłedn hodnoty . . . . . . . . . . . . 33
3.1.2 Intervalov odhad rozptylu . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Kontroln otÆzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 CviŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Kl Ł a v sledky cviŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A Tabulky 46
Literatura 51
vod
V tomto modulu se seznÆm te se zÆklady teorie odhadu, kterÆ je ŁÆst ma-
tematickØ statistiky. V teorii pravd podobnosti jste płedpoklÆdali, e mÆte o
nÆhodnØ veliŁin z pravd podobnostn ho hlediska œplnou informaci, tj. płedpo-
klÆdali jste, e znÆte rozd len pravd podobnosti nÆhodnØ veliŁiny a zab vali
jste se studiem jeho vlastnost . lohou teorie odhadu je urŁit (odhadnout)
rozd len sledovanØ nÆhodnØ veliŁiny, a to na zÆklad jej ch napozorovan ch
hodnot. ZnÆme-li typ rozd len nÆhodnØ veliŁiny, omezuje se œloha teorie od-
hadu na urŁen (odhad) parametrø nebo urŁit ch funkc parametrø tohoto typu
rozd len .
Modul je rozd len na tłi kapitoly. V kapitole 2 a 3 płedpoklÆdÆme, e je
znÆm typ rozd len nÆhodnØ veliŁiny.
Kapitola 1 je urŁena k zavedn zÆkladn ch pojmø, ze kter ch vychÆz nejen
teorie odhadu, ale celÆ matematickÆ statistika. Dozv te se, jakØ napozo-
rovanØ hodnoty sledovanØ veliŁiny mÆme na mysli a jak m zpøsobem lze
tyto hodnoty popsat.
Kapitola 2 je v novÆna bodovØmu odhadu a jeho vlastnostem. Ze zji„t n ch
hodnot nÆhodnØ veliŁiny budeme cht t vypoŁ tat jedinØ Ł slo, kterØ bu-
deme pova ovat za odhad parametru nebo funkce parametrø rozd len
tØto nÆhodnØ veliŁiny. Samozłejm budeme po adovat, aby tento odhad
m l n jakØ rozumnØ vlastnosti.
Kapitola 3 je v novÆna kvalitativn vy„„ mu typu odhadu. Zde budeme hle-
dat interval, kter bude s płedem danou vysokou pravd podobnost ob-
sahovat skuteŁnou hodnotu parametru nebo funkce parametrø rozd len .
V tomto pł pad budeme hovołit o intervalovØm odhadu.
V jednotliv ch kapitolÆch jsou łe„enØ pł klady bezprostłedn navazuj c na
prob ranØ uŁivo. Na konci ka dØ kapitoly jsou uvedeny podkapitoly Kontroln
otÆzky, CviŁen a Kl Ł a v sledky cviŁen . Pro dal„ procviŁen lÆtky prob ranØ
v tomto a nÆsleduj c m modulu autorka doporuŁuje literaturu [9].
Po adovanØ znalosti
Pro studium a pochopen tohoto modulu potłebujete znÆt zÆklady teorie prav-
d podobnosti a to płedev„ m pojmy: nÆhodnÆ veliŁina a vektor, obor hod-
not nÆhodnØ veliŁiny a vektoru, pravd podobnost, rozd len pravd podobnosti,
rozd lovac funkce - hustota a pravd podobnostn funkce, distribuŁn funkce,
stłedn hodnota, rozptyl, sm rodatnÆ odchylka a kvantil rozd len , nezÆvislost
nÆhodn ch veliŁin. DÆle byste m li znÆt zÆkladn informace o nÆsleduj c ch ty-
pech rozd len : normÆln m rozd len s parametry a 2, t-rozd len s n stupni
volnosti a 2- rozd len s n stupni volnosti (vŁetn tvarø jejich grafø), alter-
nativn m rozd len s parametrem p, Poissonov rozd len s parametrem .
Autorka d kuje RNDr. Marii Bud kovØ, Dr. z PłF MU v Brn a svØmu
kolegovi RNDr. Oldłichu DlouhØmu za płeŁten textu a cennØ płipom nky.
OznaŁen
R mno ina reÆln ch Ł sel
A1 A2 An kartØzsk souŁin mno in A1;A2;:::;An
An A A A| {z }
n krÆt
exp(x) ex
E(X) stłedn hodnota nÆhodnØ veliŁiny X
D(X) rozptyl nÆhodnØ veliŁiny X
x( ) 100 procentn kvantil nÆhodnØ veliŁiny X
N( ; 2) normÆln rozd len s parametry ; 2
distribuŁn funkce N(0;1)
’ hustota N(0;1)
u( ) 100 procentn kvantil N(0;1)
2(n) 2 - rozd len [Pearsonovo rozd len ] s n stupni
volnosti
2(n; ) 100 procentn kvantil 2(n)
t(n) t - rozd len [Studentovo rozd len ] s n stupni
volnosti
t(n; ) 100 procentn kvantil t(n)
KartØzsk souŁin mno in
Jsou-li A1;A2;:::;An libovolnØ neprÆzdnØ mno iny, potom A1 A2 An
je mno ina, jej prvky jsou v„echny mo nØ n-tice vytvołenØ tak, e prvn Łlen
n-tice je prvek mno iny A1, druh Łlen n-tice je prvek mno iny A2, ..., n-t
Łlen n-tice je prvek mno iny An. ZapsÆno formÆln
A1 A2 An = (a1;a2;:::;an); a1 2 A1;a2 2 A2;:::an 2 An :
Napł.
h0;1i h0;2i = (x;y); x 2h0;1i; y 2h0;2i :
Disjunktn mno iny
Mno iny A1;A2;:::;An se naz vaj disjunktn , jestli e ka dØ dv røznØ mno-
iny nemaj spoleŁnØ prvky, tj. jestli e
Ai \Aj = ; pro ka dØ i 6= j; i;j = 1;2;:::n:
Napł. mno iny
( 1;1i; (1;2i; (2;3i
jsou disjunktn a mno iny
( 1;1i; h1;2i; (2;3i
nejsou disjunktn .
Kapitola 1
NÆhodn v b r a statistiky
C le
Po płeŁten a nastudovÆn tØto kapitoly budete:
znÆt, co je nÆhodn v b r z rozd len X a jeho realizace;
um t realizaci nÆhodnØho v b ru z X roztł dit do tł d tak, aby byla płe-
hledn j„ . DÆle pak stanovit Łetnosti t chto tł d a znÆzornit je gra cky;
v d t, co to je statistika a nauŁ te se poŁ tat nejjednodu„„ v b rovØ
charakteristiky - v b rov prøm r, rozptyl a sm rodatnou odchylku.
Doba potłebnÆ ke studiu
K nastudovÆn a pochopen tØto kapitoly byste m li potłebovat asi 3 hodiny.
Kl ŁovÆ slova
NÆhodn v b r a jeho realizace, rozsah v b ru, rozd len Łetnost , œseŁkov
diagram, histogram, statistika, v b rov prøm r, v b rov rozptyl, v b rovÆ
sm rodatnÆ odchylka.
1.1 NÆhodn v b r
V praxi neb vÆ rozd len nÆhodnØ veliŁiny jako je napł. hmotnost dÆvky, pev-
nost materiÆlu, ivotnost v robku, poŁet vozidel Łekaj c ch na zelenou apod.
znÆmØ. Abychom o n m z skali dal„ informace, budeme opakovat pokus (m -
łen , pozorovÆn ), jeho neznÆm m v sledkem je sledovanÆ nÆhodnÆ veliŁina.
Tak napł. pro zji„t n hmotnosti dÆvky z konkrØtn ho dÆvkovaŁe, kter pracuje
za ustÆlen ch provozn ch podm nek, nÆhodn vybereme n dÆvek (tj. tak, aby
ka dÆ dÆvka m la stejnou pravd podobnost, e bude zahrnuta do v b ru) a
zvÆ me je. Płi zji„»ovÆn krychelnØ pevnosti betonu vyrobenØho na urŁitØ be-
tonÆrce za dan ch podm nek budeme m łit pevnost na n zku„ebn ch kostkÆch
z tØho betonu.
Budeme tedy obecn n-krÆt opakovat pokus, ve kterØm pozorujeme sledo-
vanou nÆhodnou veliŁinu. Uv domme si, e płed t m, ne pokus provedeme
1.1 NÆhodn v b r 7
a zap „eme v sledek, je v sledek pokusu nÆhodnÆ veliŁina s urŁit m typem
rozd len . Kdy pokus zrealizujeme a zap „eme v sledek, dostaneme konkrØtn
Ł selnou hodnotu (tj. realizaci) tØto nÆhodnØ veliŁiny.
Pokusme se nyn na„e œvahy o opakovÆn pokusu upłesnit.
Uva ujme nÆhodn pokus, jeho neznÆm m v sledkem je nÆhodnÆ veliŁina
X s urŁit m typem rozd len pravd podobnosti a uva ujme n (n 1) ne-
zÆvisl ch opakovÆn tohoto pokusu. OznaŁme pro i = 1;2:::;n jako Xi ne-
znÆm v sledek i-tØho opakovÆn pokusu. Dostaneme nÆhodn vektor X =
(X1;X2;:::;Xn), jeho slo ky X1;X2;:::;Xn jsou nezÆvislØ nÆhodnØ veliŁiny.
Jestli e b hem celØho experimentu, tj. b hem n opakovÆn pokusu, nedojde ke
zm n podm nek, kterØ pokus de nuj , budou m t slo ky X1;X2;:::;Xn nÆ-
hodnØho vektoru X stejnØ rozd len jako veliŁina X: NÆhodn vektor s t mito
dv mi vlastnostmi naz vÆme nÆhodn v b r z rozd len X o rozsahu
n, n kdy pak struŁn ji nÆhodn v b r z danØho rozd len nebo nÆhodn v -
b r z X. Provedeme-li cel experiment a zap „eme v sledek, dostaneme n-tici
reÆln ch Ł sel (x1;x2;:::;xn) - tzv. realizaci nÆhodnØho v b ru. Tedy xi
je znÆm v sledek i-tØho opakovÆn pokusu (i = 1;:::;n). Mno inu v„ech
mo n ch realizac nÆhodnØho v b ru, tj. mno inu v„ech mo n ch hodnot nÆ-
hodnØho vektoru X; naz vÆme v b rov prostor a znaŁ me V .
Je-li obor hodnot nÆhodnØ veliŁiny X a je-li (X1;X2;:::;Xn) nÆhodn
v b r z X, potom v b rov prostor je mno ina n.
Pł klad 1.1:
OznaŁme X neznÆm v sledek m łen vzÆlenosti d konkrØtn m m łic m pł -
strojem, kter nevykazuje systematickou chybu (tj. nÆhodnØ chyby m łen
kol saj okolo nuly). Zm ł me-li n-krÆt tuto vzdÆlenost za stejn ch podm -
nek (tj. nestane-li se nic, co by ovlivnilo kvalitu m łic ho pł stroje) a
zap „eme v sledek, dostaneme realizaci (x1;x2;:::;xn) nÆhodnØho v b ru
(X1;X2;:::;Xn) z X.
Pł klad 1.2:
OznaŁme V poŁet vozidel, kterØ projedou konkrØtn m m stem dÆlnice mezi
sedmou a osmou hodinou rann pracovn ho dne zimn ho obdob . Jestli e
b hem n dn , kterØ vyhovuj v „e uveden m podm nkÆm, budeme na danØm
m st dÆlnice pozorovat poŁet proj d j c ch vozidel a zapisovat v sledky,
dostaneme realizaci nÆhodnØho v b ru z V o rozsahu n. V„imn te si v„ech
vyjmenovan ch podm nek! Spojit napł. pozorovÆn v zimn m a letn m obdob
za jinak stejn ch v „e uveden ch podm nek, by znamenalo poru„en stÆlosti
podm nek. PozorovÆn by byla sice nezÆvislÆ, ale nem la by stejnØ rozd len ,
proto e charakter provozu je v zim jin ne v lØt . Jednalo by se o dva
nÆhodnØ v b ry z tØho typu rozd len ale s røzn mi hodnotymi parametrø.
Z realizace nÆhodnØho v b ru mø eme vypoŁ tat prøm rnou hodnotu, zjis-
tit minimÆln a maximÆln hodnotu a røzn m jin m zpøsobem realizaci popsat.
Takto pracuje popisnÆ statistika. Budeme-li cht t napł. v pł klad 1.1 odhad-
nout skuteŁnou vzdÆlenost d, m l by asi ka d tendenci za odhad vz t prÆv
prøm rnou hodnotu m łen , tj. Ł slo x = 1n Pni=1 xi. Provedeme-li ale cel
8 NÆhodn v b r a statistiky
experiment znovu, tj. znovu n-krÆt zm ł me vzdÆlenost d, dostaneme jinou
realizaci nÆhodnØho v b ru a tedy i jinou hodnotu prøm ru. Vid me tedy, e
i sÆm prøm r je nÆhodnÆ veliŁina, jej realizace kol saj od jednoho v b ru
k druhØmu. Płed proveden m experimentu pak mø eme odhad d psÆt ve tvaru
X = 1n Pni=1 Xi , tj. jako funkci nÆhodnØho v b ru - takovou funkci budeme
naz vat statistikou. Płi na„em odhadovÆn se mø eme dopustit chyby, jej ve-
likost lze vyjÆdłit jako vzdÆlenost prøm ru od m łenØ vzdÆlenosti d. Chceme-li
napł. zjistit, zda je nÆmi zvolen odhad nejlep„ m mo n m odhadem (viz ka-
pitola 2), nebo ohodnotit płesnost a spolehlivost odhadu (viz kapitola 3), tj.
stanovit hranice, kterØ chyba odhadu nepłekroŁ s vysokou pravd podobnost ,
mus me vyu t teorii pravd podobnosti. K tomu potłebujeme obecn znÆt typ
rozd len , z n cho v b r pochÆz . V na„em pł pad je znÆmo, e se jednÆ o nÆ-
hodn v b r z rozd len N( ; 2), kde = d je skuteŁnÆ vzdÆlenost a rozptyl
2 charakterizuje płesnost m ł c ho pł stroje. Cht li jsme tedy ve skuteŁnosti
odhadnout parametr , tj. stłedn hodnotu normÆln ho rozd len .
V nujme se je„t rozd len nÆhodnØho v b ru. Vzhledem k tomu, e jsou
slo ky X1;X2;:::;Xn nÆhodnØho v b ru (X1;X2;:::;Xn) z rozd len X ne-
zÆvislØ a maj stejnØ rozd len jako veliŁina X, dostÆvÆme:
Tvrzen 1.1: Rozd len nÆhodnØho v b ru
MÆ-li nÆhodnÆ veliŁina X distribuŁn funkci G, potom mÆ nÆhodn v b r
(X1;X2;:::;Xn) z X distribuŁn funkci
H(x1;x2;:::;xn) = G(x1) G(x2) ::: G(xn):
MÆ-li nÆhodnÆ veliŁina X rozd lovac funkci g, potom mÆ nÆhodn v b r
(X1;X2;:::;Xn) z X rozd lovac funkci
h(x1;x2;:::;xn) = g(x1) g(x2) ::: g(xn):
Odtud plyne:
ZnÆme-li typ rozd len nÆhodnØ veliŁiny X, pak znÆme i typ rozd len nÆ-
hodnØho v b ru z X.
Jestli e rozd len nÆhodnØ veliŁiny X zÆvis na n jak ch neznÆm ch kon-
stantÆch (parametrech), pak na t chto parametrech zÆvis i rozd len nÆhod-
nØho v b ru z X.
Pł klad 1.3:
UrŁete rozd lovac funkci nÆhodnØho v b ru (X1;X2;:::;Xn) z normÆln ho
rozd len .
e„en : Hustota f nÆhodnØ veliŁiny X N( ; 2) je pro x 2R
f = f(x; ; 2) = 1p2 exp
h
12 2 (x )2
i
;
kde ( ; 2) 2 ( 1;1) (0;1):
1.1 NÆhodn v b r 9
Obor hodnot nÆhodnØ veliŁiny X je R: Je-li (X1;X2;:::;Xn) nÆhodn
v b r z rozd len X, potom je v b rov prostor mno ina Rn. Hustota s nÆ-
hodnØho v b ru (X1;X2;:::;Xn) z X je pro (x1;x2;:::;xn) 2Rn
s = s(x1;x2;:::;xn; ; 2) = f(x1; ; 2) f(x2; ; 2) ::: f(xn; ; 2)
= 1(p2 )n exp
h
12 2 (x1 )2 + (x2 )2 + + (xn )2
i
;
kde ( ; 2) 2 ( 1;1) (0;1).
1.1.1 Rozd len Łetnost a jejich znÆzorn n
Je-li rozsah n realizace (x1;x2;:::;xn) nÆhodnØho v b ru z X velk , potom
pro v t„ płehlednost a dal„ anal zu hodnoty x1;x2;:::;xn roztł d me do k
disjunktn ch tł d j; j = 1;2;:::;k, a to zpravidla nÆsledovn :
1. Je-li mezi zji„t n mi hodnotami jen mal poŁet navzÆjem røzn ch hod-
not, vol me ka dou hodnotu za tł du j. Mluv me o tzv. prostØm tł -
d n .
2. Je-li mezi zji„t n mi hodnotami znaŁn velk poŁet røzn ch hodnot, vo-
l me za tł dy j intervaly. Mluv me o tzv. skupinovØm tł d n .
Toto tł d n je subjektivn , i kdy existuj urŁitÆ objektivn pravidla. Napł.
se doporuŁuje, aby poŁet k tł d byl 5 20 podle rozsahu v b ru n nebo k := pn
nebo k := 1 + 3:3 log10 n. Płi skupinovØm tł d n se pak Łasto doporuŁuje, aby:
1. dØlka intervalø byla stejnÆ;
2. hranice a stłedy intervalø byly pokud mo no zaokrouhlenÆ Ł sla.
Postup płi tł d n si ukÆ eme na pł kladech, ale płed t m zavedeme je„t
dal„ pojmy.
OznaŁme
nj tzv. absolutn Łetnost j-tØ tł dy j, tj. poŁet v sledkø,
kterØ padly do j-tØ tł dy j, pro j = 1;2:::;k;
fj = njn tzv. relativn Łetnost j-tØ tł dy j, tj. pod l absolutn Łet-
nosti nj a rozsahu v b ru n, pro j = 1;2:::;k.
Relativn Łetnost fj aproximuje pravd podobnost, e nÆhodnÆ veliŁina X na-
bude hodnoty z tł dy j pro j = 1;2:::;k. Pro Łetnosti złejm plat
n1 + n2 + + nk = n;
f1 + f2 + + fk = 1:
V sledky tł d n shrnujeme do tzv. tabulky rozd len Łetnost , ve kterØ
jsou uvedeny tł dy s pł slu„n mi absolutn mi, resp. relativn mi Łetnostmi a
v pł pad skupinovØho tł d n stłedy intervalø.
10 NÆhodn v b r a statistiky
Pł klad 1.4:
Płi kontrole vyt enosti vjezdu do urŁitØ kłi ovatky byly zji„t ny nÆsleduj c
poŁty vozidel, Łekaj c ch ve front u semaforu:
5; 1; 2; 5; 2; 5; 9; 5; 2; 5; 2; 3; 4; 7; 4; 5; 1; 3; 8; 5; 2; 6; 5; 8; 6; 7; 4; 1;
1; 4; 2; 3; 3; 3; 5; 6; 2; 4; 1; 3; 4; 5; 6; 4; 9; 6; 5; 2; 1; 6; 6; 2; 6; 2; 7; 6;
7; 6; 3; 7; 3; 6; 1; 2; 4; 4; 3; 3; 5; 3; 5; 4; 6; 3; 3; 4; 3; 5; 3; 1; 1; 1; 4:
Setavte tabulku rozd len Łetnost poŁtu Łekaj c ch vozidel.
e„en : OznaŁme X poŁet vozidel Łekaj c ch na zelenou. MÆme k dispozici
realizaci (x1;x2;:::;xn) nÆhodnØho v b ru z diskrØtn ho rozd len o rozsahu
n = 83. Mezi zji„t n mi hodnotami se vyskytuj pouze celÆ Ł sla 1 a 9.
Zvolme tato Ł sla za tł dy j (j = 1;2;:::;9). Pro urŁen absolutn ch Łet-
nost tł d j mus me zjistit, kolikrÆt se v realizaci vyskytlo Ł slo j. Bez
vyu it v poŁetn techniky postupujeme pomoc ŁÆrkovac metody tak, e po-
stupn Łteme hodnoty z realizace a ka dou z nich załad me do pł slu„nØ tł dy
napsÆn m ŁÆrky. Płitom p „eme v dy Łtyłi ŁÆrky svisle, ka dou pÆtou ŁÆrkou
Łtvełici płe„krtneme (u nÆs podtrhneme). V sledky jsou uvedeny v tabulce
1.1. Tento postup je pracn a asi by jej dnes ji nikdo nepou val a pro tł -
d n by pou il napł. EXCEL nebo n jak statistick software. Seład me-li
napł. v Excelu hodnoty realizace vzestupn , nen ji problØm zjistit abso-
lutn Łetnosti jednotliv ch tł d. Nav c mø eme vyu t nab dku NÆstroje !
Anal za dat ! Histogram. Pomoc tØto nab dky z skÆme tabulku rozd len
absolutn ch Łetnost a tzv. histogram absolutn ch Łetnost , o kterØm budeme
hovołit pozd ji. Mus me ale zadat horn hranice tł d (u nÆs Ł sla 1 a 9).
Tabulka 1.1: Rozd len Łetnost poŁtu vozidel Łekaj c ch na zelenou
PoŁet Absolutn Relativn
vozidel Łetnost Łetnost
j nj fj
1 jjjj jjjj 10 0.1205
2 jjjj jjjj j 11 0.1325
3 jjjj jjjj jjjj 15 0.1807
4 jjjj jjjj jj 12 0.1446
5 jjjj jjjj jjjj 14 0.1687
6 jjjj jjjj jj 12 0.1446
7 jjjj 5 0.0602
8 jj 2 0.0241
9 jj 2 0.0241
SouŁet 83 1.0000
V pł pad skupinovØho tł d n , tj. płedev„ m v pł pad realizace nÆhod-
nØho v b ru ze spojitØho rozd len , kdy za tł dy j vol me intervaly, mø eme
postupovat napł. nÆsledovn .
1.1 NÆhodn v b r 11
Z realizace (x1;x2;:::;xn) nÆhodnØho v b ru z X o rozsahu n zjist me
nejmen„ hodnotu xmin a nejv t„ hodnotu xmax. Złejm xi 2 hxmin;xmaxi pro
ka dØ i = 1;2;:::;n: Interval hxmin;xmaxi naz vÆme variaŁn obor realizace.
Vhodn zvol me interval ha;bi hxmin;xmaxi. Interval ha;bi rozd l me stejn
vzdÆlen mi body t0;t1;:::;tk takov mi, e a = t0 < t1 < < tk = b na k
podintervalø j = (tj 1;tji stejnØ dØlky d = tj tj 1 (j = 1;2;:::;k): ¨ slo tj
se naz vÆ horn hranice tł dy j; Ł slo tj 1 se naz vÆ doln hranice tł dy
j: Stłed tł dy j znaŁ me xj. Złejm xj = (tj 1 + tj)=2 pro j = 1;2;:::;k.
Pł klad 1.5: o
Płi stavb betonovØ konstrukce bylo odebrÆno 40 vzorkø betonovØ sm si. Po
28 dnech vykÆzaly kostky tuto krychelnou pevnost v MPa:
23:5; 28:0; 25:1; 30:8; 27:1; 29:3; 32:5; 33:8; 30:4; 26:2;
30:8; 29:2; 30:9; 28:6; 27:5; 28:0; 31:2; 28:2; 30:7; 28:8;
32:7; 29:0; 31:9; 25:4; 32:6; 27:4; 33:1; 29:6; 29:7; 30:3;
26:8; 30:4; 25:6; 34:0; 34:8; 27:2; 31:5; 32:3; 29:7; 32:4:
Sestavte tabulku rozd len Łetnost pevnosti betonu.
e„en : NÆhodnou veliŁinou X je zde pevnost betonu. MÆme k dispozici
realizaci (x1;x2;:::;xn) nÆhodnØho v b ru z X o rozsahu n = 40: Vzhledem
k tomu, e se jednÆ o nÆhodn v b r ze spojitØho rozd len , roztł d me rea-
lizaci nÆhodnØho v b ru do k intervalø j = (tj 1;tji (j = 1;:::;k) stejnØ
dØlky d. PoŁet k intervalø zvol me k := pn = p40 := 6. Nejprve zjist me
nejmen„ hodnotu xmin a nejv t„ hodnotu xmax. Dostaneme xmin = 23:5 a
xmax = 34:8: Złejm h23;35i h23:5;34:8i. Rozd lme interval h23;35i do
„esti tł d. Potom pro dØlku d intervalø dostaneme d = 35 236 = 2. V sledek
tł d n pak ukazuje tabulka 1.2.
Tabulka 1.2: Rozd len Łetnost pevnosti betonu
Pevnost Absolutn Relativn Stłed
Tł da betonu Łetnost Łetnost tł dy
j (tj 1;tji nj fj xj
1 23 25 1 0.025 24
2 25 27 5 0.125 26
3 27 29 10 0.250 28
4 29 31 12 0.300 30
5 31 33 8 0.200 32
6 33 35 4 0.100 34
SouŁet 40 1.000
NÆzorn j„ ne tabulka rozd len Łetnost je gra ckØ zobrazen Łetnost ,
kterØ samozłejm z tØto tabulky vychÆz . Zm n me se zde pouze o œseŁkovØm
diagramu rozd len Łetnost a histogramu rozd len Łetnost .
12 NÆhodn v b r a statistiky
Płipome me, e jsme v pł pad skupinovØho tł d n oznaŁili stłed j-tØ tł dy
j jako xj: V pł pad prostØho tł d n je xj pł mo roven j-tØ nejmen„ zji„t nØ
hodnot .
seŁkov diagram rozd len absolutn ch, popł. relativn ch Łetnost do-
staneme tak, e na osu x zobraz me stłedy jednotliv ch tł d xj a v ka dØm
z nich sestroj me œseŁku v kladnØm sm ru osy y o dØlce rovnØ pł slu„nØ abso-
lutn , resp. relativn Łetnosti, tj. nj, resp. fj.
V pł pad skupinovØho tł d n pou vÆme Łast ji histogram rozd len ab-
solutn ch, resp. relativn ch Łetnost . Dostaneme jej tak, e na osu x vynÆ„ me
op t stłedy jednotliv ch tł d xj a nad ka dou œseŁkou zobrazuj c tł du j
sestroj me obdØln k o v „ce rovnØ pł slu„nØ absolutn , resp. realitvn Łetnosti,
tj. nj, resp. fj. Horn obrys obdØln kø pak naz vÆme histogram relativn ch,
resp. absolutn ch Łetnost .
Pł klad 1.6:
Sestrojte œseŁkov diagram rozd len absolutn ch Łetnost v pł kladu 1.4 a
histogram rozd len relativn ch Łetnost v pł kladu 1.5.
e„en : V slednØ grafy jsou na obrÆzku 1.1 a na obrÆzku 1.2.
ObrÆzek 1.1: seŁkov diagram rozd len absolutn ch
Łetnost poŁtu vozidel Łekaj c ch na zelenou
ObrÆzek 1.2: Histogram rozd len relativn ch Łetnost pevnosti betonu
1.2 Statistiky 13
Histogram (resp. œseŁkov diagram) relativn ch a absolutn ch Łetnost maj
stejn tvar a aproximuj tvar rozd lovac funkce nÆhodnØ veliŁiny X.
1.2 Statistiky
V płedchoz ch pł kladech jsme naznaŁili, e krom nÆhodnØho v b ru budou
hrÆt v teorii odhadu døle itou roli tzv. statistiky, tj. funkce nÆhodnØho v b ru.
Pomoc nich se sna me z nÆhodnØho v b ru z skat n jakØ dal„ informace.
Upłesn me nyn tento pojem z matematickØho hlediska.
De nice 1.1: Statistika
Je-li (X1;X2;:::;Xn) nÆhodn v b r z rozd len X, V v b rov prostor a
T(x1;x2;:::;xn) reÆlnÆ funkce n reÆln ch prom nn ch de novanÆ na v b -
rovØm prostoru V , potom se nÆhodnÆ veliŁina