Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika - Základy teorie odhadu

T = T(X1;X2;:::;Xn)
naz vÆ statistika. Dosad me-li do statistiky T realizaci (x1;x2;:::;xn) nÆ-
hodnØho v b ru z X, dostaneme Ł slo
t = T(x1;x2;:::;xn);
tzv. realizaci statistiky.
S pł klady realizac statistik jste se ji setkali płi tł d n . Najd te alespo
Łtyłi!
K nejŁast ji pou van m statistikÆm patł tzv. v b rovØ charakteris-
tiky, kterØ - jak poznÆme pozd ji - pou vÆme pro odhad Ł seln ch charakte-
ristik nÆhodn ch veliŁin. Nejpou van j„ mi v b rov mi charakteristikami jsou
X = 1n
nX
i=1
Xi tzv. v b rov prøm r; (1.1)
S2 = 1n 1
nX
i=1
(Xi X)2 tzv. v b rov rozptyl: (1.2)
Statistika S = pS2 se naz vÆ v b rovÆ sm rodatnÆ odchylka. V -
hodou v b rovØ sm rodatnØ odchylky je, e mÆ stejnØ jednotky jako m łenÆ
veliŁina.
Je-li (x1;x2;:::;xn) realizace nÆhodnØho v b ru z X, pak ze vztahø (1.1)
a (1.2) lze usuzovat, e x je m rou polohy (t i„t m) hodnot x1;x2;:::;xn; s2
a s jsou m rami rozpt lenosti t chto hodnot okolo x. ¨ m jsou realizace s2 a
tedy i s v t„ , t m jsou hodnoty x1;x2;:::;xn rozpt len j„ .
Uv domme si, e stłedn hodnota E(X), resp. rozptyl D(X) a sm rodatnÆ
odchylka pD(X) nÆhodnØ veliŁiny X, kterØ patł k charakteristikÆm polohy,
14 NÆhodn v b r a statistiky
resp. rozpt lenosti nÆhodnØ veliŁiny X, jsou konstantami. Na rozd l od nich
jsou v b rovØ charakteristiky X;S2 a S nÆhodnØ veliŁiny. Pro konkrØtn re-
alizaci (x1;x2;:::;xn) nÆhodnØho v b ru z X dostaneme konkrØtn realizace
(hodnoty) x a s2 statistik X a S2. Pro jinou realizaci nÆhodnØho v b ru z tØho
rozd len dostaneme jinØ hodnoty statistik X a S2.
r V poŁet realizac x a s2 statistik X a S2
Płi v poŁtu realizac x a s2 statistik X a S2 mø eme postupovat nÆsledovn :
1. Dosad me realizaci (x1;x2;:::;xn) nÆhodnØho v b ru z X do vztahø
(1.1) a (1.2).
2. Pro v poŁet realizac x a s2 lze pou t jak koliv statistick software
nebo EXCEL bez dosazovÆn do vzorc u. Na ni „ œrovni pak kalkulaŁky, kterØ
umo uj statistickØ v poŁty. Realizaci x spoŁ tÆme pomoc programu na v -
poŁet x. Na n kter ch kalkulaŁkÆch se vyskytuje dvojice s a , na n kter ch
n 1 a n. Plat pro n nÆsleduj c vztahy
s = n 1 =
vu
ut 1
n 1
nX
i=1
(xi x)2;
= n =
vu
ut1
n
nX
i=1
(xi x)2 (= +pm):
O statistice M = 1n Pni=1(Xi X)2 budeme mluvit v nÆsleduj c kapitole.
3. Płi v poŁtu realizac v b rovØho prøm ru a v b rovØho rozptylu v pł -
pad realizace (x1;x2;:::;xn) nÆhodnØho v b ru z X roztł d nØho do k tł d
j (j = 1;2;:::;k) postupujeme tak, e hodnoty, kterØ padly do j-tØ tł dy
nahrad me stłedem xj tØto tł dy. Potom
x = 1n
nX
i=1
xi := 1n
kX
j=1
njxj; (1.3)
s2 = 1n 1
nX
i=1
(xi x)2 := 1n 1
kX
j=1
nj(xj x)2; (1.4)
Pł klad 1.7:
Płi m łen veliŁiny konstantn dØlky byly zji„t ny nÆsleduj c chyby m łen
v mm:
1; 2; 1; 0; 1; 2; 1; 1; 1; 1:
UrŁete realizace x a s2.
e„en : NÆhodnou veliŁinou X je zde nÆhodnÆ chyba m łen . K dispozici
mÆme realizaci nÆhodnØho v b ru z X o rozsahu n = 10. Podle vztahø (1:1)
1.3 Kontroln otÆzky 15
a (1:2) dostaneme
x = 110
10X
i=1
xi = 110(x1 + x2 + + x10) = 0:10 [mm];
s2 = 19
10X
i=1
(xi + 0:1)2 = 19[(x1 + 0:1)2 + + (x10 + 0:1)2] := 1:66 [mm2]:
Pł mo (tj. bez dosazovÆn ) s vyu it m kalkulaŁky
x = 0:10 [mm];
s = n 1 := 1:29 [mm] ) s2 := 1:66 [mm2]:
Pł klad 1.8:
VypoŁt te realizaci v b rovØho prøm ru a v b rovØ sm rodatnØ odchylky
v pł klad 1.5.
e„en : V pł klad 1.5 jsm m li realizaci (x1;x2;:::;xn) o rozsahu n =
40. Tuto realizaci jsme roztł d li do k = 6 tł d. Podle vztahø (1:3) a (1:4)
dostaneme
x := 140
6X
j=1
njxj = 140(1 24 + 5 26 + + 4 34) = 29:650 [MPa];
s2 := 139
6X
j=1
nj(xj 29:65)2 = 139[1(24 29:65)2 + + 4(34 29:65)2)]
:= 6:336 [MPa2] )b = s := 2:517 [MPa]:
Stejn jako v płedchoz m pł klad mø eme vyu t statistickØ v poŁty na kal-
kulaŁce. Hodnotu xj ulo me nj-krÆt na v t„in kalkulaŁek tak, e xj nj
ulo me pomoc nab dky DATA.
1.3 Kontroln otÆzky
1. JakØ vlastnosti mus m t slo ky nÆhodnØho v b ru z rozd len X?
2. Uve te pł klad nÆhodnØho v b ru ze spojitØho a diskrØtn ho rozd len .
3. Jak postupujeme płi tł d n realizace nÆhodnØho v b ru z X?
4. Co jsou relativn a absolutn Łetnosti a jakØ vlastnosti pro n plat ?
5. Co to je statistika?
6. Jak je de novÆn a co udÆvÆ v b rov prøm r, rozptyl a sm rodatnÆ od-
chylka?
16 NÆhodn v b r a statistiky
1.4 CviŁen
1. Mezi deseti v robky je jeden vadn . Z t chto v robkø nÆhodn vybereme
dva. OznaŁme Xi poŁet vadn ch v robkø v i-tØm tahu (i = 1;2).
a) V b r provÆd me tak, e v robek po vyta en a zji„t n , zda je vadn ,
vrÆt me zp t, tak e mø e b t op t vybrÆn.
b) V b r provÆd me tak, e v robky nevrac me zp t.
JakØ rozd len budou m t veliŁiny X1 a X2? Je (X1;X2) nÆhodn v b r?
2. (Pro zÆjemce.) Uva ujme velkou dodÆvku N v robkø, z nich je M vad-
n ch. PłedpoklÆdejme, e z t chto N v robkø budeme nÆhodn vyb rat
n v robkø, kde n je relativn malØ Ł slo vzhledem k N. OznaŁme op t
Xi poŁet vadn ch v robkø v i-tØm tahu (i = 1;:::;n). Dejme tomu, e
N = 500 a n = 10. Lze v tomto pł pad płi v b ru bez vracen pova ovat
nÆhodn vektor (X1;:::;X10) za nÆhodn v b r z rozd len A(M=N)?
3. Prøm r z p ti m łen je 10. Jak se zm n , kdy
a) jsme se spletli a m sto v sledku 3 jsme zapsali v sledek 2;
b) z skÆme jako dal„ v sledek Ł slo 1.
4. PłedpoklÆdejme, e (x1;:::;xn) je realizace nÆhodnØho v b ru z X.
a) ProŁ nemø e b t h = 1n 1 Pni=1(xi x) m rou variability hodnot
x1;:::;xn?
b) Uka te, e plat
nP
i=1
(xi x)2 =
nP
i=1
x2i nx2
a tedy s2 = 1n 1
nP
i=1
x2i nx2

:
5. PłedpoklÆdejme, e (X1;:::;Xn) je nÆhodn v b r z X a nÆhodnÆ ve-
liŁina Y vznikla lineÆrn transformac nÆhodnØ veliŁiny X, tj. Y =
aX + b; kdea; b 2R; a 6= 0: Uka te, e
a) (Y1;:::;Yn) = (aX1 + b;:::;aXn + b) je nÆhodn v b r z Y ;
b) Y = aX + b, kde Y , resp. X je v b rov prøm r pł slu„n veliŁin
Y , resp. veliŁin X;
c) S2Y = a2S2X, kde S2Y , resp. S2X je v b rov rozptyl pł slu„n veliŁin
Y , resp. veliŁin X:
6. Bylo odzkou„eno 10 nÆhodn vybran ch ocelov ch tyŁ k urŁen meze prø-
ta nosti s t mito v sledky v MPa:
277, 280, 291, 263, 277, 286, 281, 305, 290, 291.
VypoŁt te realizaci v b rovØho prøm ru a v b rovØho rozptylu meze prø-
ta nosti oceli.
1.5 Kl Ł a v sledky cviŁen 17
7. UrŁete realizaci v b rovØho prøm ru, rozptylu a sm rodatnØ odchylky
mno stv roŁn ch srÆ ek v mm v Brn v obdob 1981-2000:
718.5, 492.3, 431.5, 540.5, 514.7, 548.0, 385.0, 532.0, 531.0, 578.3,
551.9, 613.6, 476.0, 661.3, 518.0, 508.5, 488.7, 494.9, 544.6, 673.5.
8. Płi zkou„kÆch vlhkosti stavebn ho materiÆlu Hobrex byla zm łena pro-
centa vlhkosti u 100 vzorkø. V sledky jsou uvedeny v tabulce:
Tł da Vlhkost v % nj Tł da Vlhkost v % ni
1. 19.75 - 20.75 5 4. 22.75 - 23.75 20
2. 20.75 - 21.75 27 5. 23.75 - 24.75 2
3. 21.75 - 22.75 46
UrŁete realizaci v b rovØho prøm ru a sm rodatnØ odchylky vlhkosti. Na-
kreslete histogram rozd len relativn ch Łetnost .
9. ZvÆ en m 50 souŁÆstek vyroben ch za ustÆlen ch v robn ch podm nek
jsme dostali tyto v sledky (płi m łic jednotce gram)
83, 85, 81, 82, 84, 82, 79, 84, 80, 81, 82, 82, 80, 82, 80, 82, 83, 84, 79, 79, 83,
82, 83, 85, 82, 82, 81, 80, 82, 82, 83, 80, 82, 85, 81, 83, 81, 81, 83, 82, 81, 85,
83, 79, 81, 85, 81, 84, 81, 82.
Sestavte tabulku rozd len Łetnost . Nakreslete œseŁkov diagram a histo-
gram relativn ch a absolutn ch Łetnost . VypoŁ tejte realizaci v b rovØho
prøm ru a v b rovØ sm rodatnØ odchylky hmotnosti souŁÆstek.
1.5 Kl Ł a v sledky cviŁen
CviŁen :
1. V pł pad a) i b) budou m t ob nÆhodnØ veliŁiny alternativn rozd len
s parametrem 1/10. V pł pad a) jsou veliŁiny nezÆvislØ a jednÆ se o
nÆhodn v b r z rozd len A(1=10). V pł pad b) jsou zÆvislØ a nejednÆ
se o nÆhodn v b r.
2. Ano - VeliŁiny X1;:::;Xn maj rozd len A(M=N). Nav c vyb rÆme-li
z velkØho poŁtu N relativn mal poŁet n, zm n se podm nky zcela ne-
patrn a veliŁiny X1;X2;:::;Xn mø eme pova ovat za nezÆvislØ.
3. a) x = 51=5; b) x = 51=6.
4. a) Proto e h = 0.
6. x = 284:100 MPa, s2 := 126:989 MPa2.
7. x = 540:140mm;s2 := 6347:592mm2;s := 79:672mm:
8. x = 22:12%; s := 0:86%:
9. Vol me-li 9 tł d o dØlce d = 1 se stłedy 79 a 85, dostaneme x =
81:98g;s := 1:66g:
Kapitola 2
Bodov odhad
C le
Po płeŁten a nastudovÆn tØto kapitoly budete:
v d t, co to je bodov odhad parametrickØ funkce;
znÆt n kterØ døle itØ vlastnosti bodov ch odhadø a um t je posoudit.
Doba potłebnÆ ke studiu
Pro zvlÆdnut tØto kapitoly budete potłebovat asi 3 hodiny studia.
Kl ŁovÆ slova
Bodov odhad, realizace bodovØho odhadu, nestrann odhad, nejlep„ ne-
strann odhad, stłedn ŁtvercovÆ chyba, konzistentn odhad.
V tØto a nÆsleduj c kapitole budeme płedpoklÆdat, e znÆme typ rozd -
len (tzv. statistick model), ze kterØho nÆhodn v b r pochÆz . Pokud ne-
znÆme typ rozd len , z n ho v b r pochÆz (v minulosti nebyly provÆd ny
experimenty danØho druhu a rozd len nelze odvodit ani na zÆklad teoretickØ
œvahy), vyb rÆme vhodn typ rozd len napł. na zÆklad posouzen tvaru his-
togramu rozd len Łetnost a dal„ anal zy realizace nÆhodnØho v b ru (viz
posledn kapitola nÆsleduj c ho modulu). Je-li napł. jako vhodn model rozd -
len zvolen model normÆln ho rozd len , znÆme typ rozd len obecn a na dva
parametry a 2: Je-li jako vhodn model zvolen model Poissonova rozd len ,
znÆme typ rozd len a na jedin parametr . Budeme tedy płedpoklÆdat, e
znÆme typ rozd len sledovanØ nÆhodnØ veliŁiny X a na m parametrø (ne-
znÆm ch konstant), m 1. Tyto parametry budeme znaŁit #1;#2;:::;#m:
OznaŁme pro # = (#1;#2;:::;#m) jako mno inu v„ech pł pustn ch hodnot
vektorovØho parametru #, kterou naz vÆme parametrick prostor.
Ke stanoven rozd len pak staŁ odhadnout parametry tohoto rozd len .
N kdy ale nemÆme tak velkØ po adavky a zaj mÆ nÆs pouze odhad ur-
ŁitØ funkce parametrø rozd len - napł. stłedn hodnoty. OznaŁme (#) =
(#1;#2;:::;#m) urŁitou reÆlnou funkci vektorovØho parametru # de novanou
na parametrickØm prostoru . Funkci (#) naz vÆme parametrickÆ funkce.
19
Proto e parametr #i, tj. i-tÆ slo ka vektorovØho parametru ##; je speciÆln m pł -
padem funkce (#); budeme se zab vat odhadem funkce (#):
Pł klad 2.1:
Płi m łen vzdÆlenosti konkrØtn m pł strojem, kter nevykazuje systema-
tickou chybu (tj. nÆhodnØ chyby kol saj okolo nuly), je v sledek pokusu X
normÆln nÆhodnÆ veliŁina s neznÆmou stłedn hodnotou - skuteŁnou vzdÆ-
lenost a (v t„inou) znÆm m rozptylem 2 (vyjadłuj c m płesnost pł stroje).
Potom pro hustotu f nÆhodnØ veliŁiny X plat
f = f(x; ) = 1p2 exp
h
12 2 (x )2
i
pro x 2R;
kde 2 (0;1): ZnÆme tedy typ rozd len a na jeden parametr , tj # =
#1 = # = ; = (0;1):
Płi m łen neodzkou„en m pł strojem bude neznÆm i rozptyl, potom
f = f(x; ; 2) = 1p2 exp
h
12 2 (x )2
i
pro x 2R;
kde ( ; 2) 2 (0;1) (0;1): ZnÆme typ rozd len a na dva parametry
a 2, tedy # = (#1;#2) = ( ; 2) a = (0;1) (0;1):
Pł klady parametrick ch funkc (#) = ( ; 2) jsou v pł pad N( ; 2)
płi obou neznÆm ch parametrech funkce:
( ; 2) = stłedn hodnota rozd len ,
( ; 2) = 2 rozptyl rozd len ,
( ; 2) = sm rodatnÆ odchylka rozd len ,
( ; 2) = + u( ) 100 procentn kvantil rozd len ,
( ; 2) = ((x )= ) hodnota distribuŁn funkce v bod x.
Vra»me se zp t k na„emu odhadovÆn . Na zÆklad realizace nÆhodnØho v -
b ru (X1;X2;:::;Xn) z X budeme cht t odhadnout skuteŁnou hodnotu para-
metrickØ funkce (#) pomoc jedinØho reÆlnØho Ł sla. Je tedy złejmØ, e t mto
Ł slem bude funkce realizace nÆhodnØho v b ru z X, tj. realizace statistiky.
De nice 2.1: Bodov oddhad
Statistiku, kterou pou vÆme pro odhad parametrickØ funkce (#); budeme
naz vat (bodov m) odhadem funkce (#) a jej realizaci realizac (bo-
dovØho) odhadu (#).
Prakticky se sna me za odhad (#) volit takov odhad, tj. takovou statis-
tiku, jej hodnoty v n jakØ smyslu co nejlØpe aproximuj skuteŁnou hodnotu
(#). Chceme-li tedy, aby byl odhad kvalitn , m l by m t urŁitØ vlastnosti. My
se zde budeme zab vat pouze tzv. nestrann mi, nejlep„ mi nestrann mi a kon-
zistentn mi odhady. IdeÆln by bylo, kdyby odhadovÆ statistika m la v„echny
v „e uvedenØ vlastnosti. Toho ale nelze b n dosÆhnout.
Pro hledÆn bodov ch odhadø existuj røznØ metody, kterØ zaji„»uj dobrØ
vlastnosti odhadø (napł. metoda maximÆln v rohodnosti), t mi se zde ale
zab vat nebudeme.
20 Bodov odhad
2.1 Vlastnosti odhadø
2.1.1 Nestrann odhad
Uv domme si, e odhad T parametrickØ funkce (#) je nÆhodnÆ veliŁina.
V technickØ praxi nÆs samozłejm zaj mÆ Ł selnÆ hodnota odhadu, tj. realizace
odhadu. Z ka dØ realizace nÆhodnØho v b ru mø eme obecn dostat jinou re-
alizaci odhadu, tj. jinou Ł selnou hodnotu. NejŁast ji se vyskytuje po adavek,
aby realizace t odhadu T parametrickØ funkce (#) kol saly okolo skuteŁnØ hod-
noty tØto funkce, tj. aby byl odhad T funkce (#) nestrann (nevych len ).
Uv dom me-li si nyn , e realizace nÆhodnØ veliŁiny T kol saj okolo jej stłedn
hodnoty (pokud existuje), budeme po adovat, aby stłedn hodnota odhadu T
byla rovna skuteŁnØ hodnot parametrickØ funkce (#). Proto e neznÆme sku-
teŁnou hodnotu vektorovØho parametru # 2 , budeme cht t, aby po adovanÆ
rovnost platila, a» je skuteŁnÆ hodnota # kdekoliv v , tj. pro ka dØ # 2 .
De nice 2.2: Nestrann odhad
ekneme, e statistika T je nestrann m nebo nevych len m odhadem
parametrickØ funkce (#), kdy pro ka dØ # 2 plat
E(T) = (#):
Neplat -li tato rovnost, pak odhad naz vÆme vych len m a rozd l B(#) =
E(T) (#) je vych len odhadu T.
Pł klad 2.2:
PłedpoklÆdejme, e je (X1;X2;:::;Xn) nÆhodn v b r z rozd len s koneŁ-
nou stłedn hodnotou a koneŁn m rozptylem 2. Zjist te, zda je v b rov
prøm r X nestrann m odhadem a urŁete jeho rozptyl.
e„en : V tomto pł pad je (#) = : V b rov prøm r X je nevych len m
odhadem stłedn hodnoty , kdy pro ka dØ # 2 plat
E(X) = :
Proto e nÆhodnØ veliŁiny X1;X2;:::;Xn maj stejnØ rozd len jako nÆhodnÆ
veliŁina X, plat
E(Xi) = ;D(Xi) = 2 pro i = 1;2;:::;n:
Potom
E(X) = E
1
n
nX
i=1
Xi

= 1n
nX
i=1
E(Xi) = 1n
nX
i=1
= : (2.1)
V b rov prøm r X je nestrann m odhadem stłedn hodnoty rozd len ,
z n ho v b r pochÆz (a» znÆme nebo neznÆme 2).
2.1 Vlastnosti odhadø 21
Vzhledem k tomu, e jsou veliŁiny X1;X2;:::;Xn stochasticky nezÆvislØ,
je
D(X) = D
1
n
nX
i=1
Xi

= 1n2
nX
i=1
D(Xi) = 1n2
nX
i=1
2 =
2
n : (2.2)
Rozptyl v b rovØho prøm ru klesÆ s rostouc m rozsahem n v b ru.
Zab vejme se nyn dal„ døle itou Ł selnou charakteristikou rozd len X,
z n ho v b r pochÆz . Podobn (jenom slo it ji) jako v pł kladu 2.2 lze ukÆzat,
e pro v b rov rozptyl S2 plat E(S2) = 2. Tedy statistika S2 je nestrann m
odhadem rozptylu 2. V b rovÆ sm rodatnÆ odchylka S ale nen nestrann m
odhadem sm rodatnØ odchylky . Kdyby byla, muselo by platit
D(S2) = E(S2) [E(S)]2 = 2 2 = 0;
co by znamenalo, e v b rov rozptyl S2 je konstantn .
V pł pad , e znÆme stłedn hodnotu rozd len X, ze kterØho v b r po-
chÆz , nebudeme ji samozłejm odhadovat a je „koda tuto informaci nevyu t
i płi odhadu rozptylu 2. OznaŁme
S20 = 1n
nX
i=1
(Xi )2:
Potom lze ukÆzat, e E(S20) = 2. Tedy S20 je nestrann m odhadem rozptylu
2 v pł pad znÆmØ stłedn hodnoty .
Vra»me se je„t ke statistice M = 1n Pni=1(Xi X)2, o kterØ jsme mluvili
v minulØ kapitole. Złejm
M = n 1n S2 =) E(M) = n 1n E(S2) = n 1n 2 = 2 1n 2:
Statististika M je tedy vych len odhad rozptylu 2:
2.1.2 Nejlep„ nestrann odhad
V n kter ch pł padech lze naj t v ce statistik, kterØ jsou nestrann mi odhady
funkce (#): Tak napł. v b rov prøm r X = 1n Pni=1 Xi a nÆhodnÆ veliŁina
X1 jsou nestrannØ odhady stłedn hodnoty rozd len , z n ho v b r pochÆz .
Płitom nejsou stejn vhodnØ. Nestrannost t chto odhadø sice zaruŁuje, e jejich
realizace kol saj okolo skuteŁnØ stłedn hodnoty , ale samozłejm vhodnost
nestrannØho odhadu zÆvis na tom, jakÆ je rozpt lenost jeho realizac okolo
skuteŁnØ hodnoty . V na„em pł pad mÆme D(X) = 2n a D(X1) = 2:
V b rov prøm r je tedy vhodn j„ odhad stłedn hodnoty (pro n > 1).
Existuj -li nestrannØ odhady parametrickØ funkce (#), pak samozłejm bu-
deme cht t pou t ten nestrann odhad, kter mÆ ze v„ech nestrann ch odhadø
parametrickØ funkce (#) nejmen„ rozptyl. Takov odhad (pokud existuje) bu-
deme naz vat nejlep„ nestrann odhad funkce (#).
22 Bodov odhad
De nice 2.3: Nejlep„ nestrann odhad
Je-li T = T(X1;X2;:::;Xn) nestrann odhad parametrickØ funkce (#) a
jestli e pro ka d jin nestrann odhad T = T (X1;:::;Xn) funkce (#)
plat
D(T) D(T ) pro ka dØ # 2 ;
naz vÆ se statistika T nejlep„ nestrann odhad funkce (#).
2.1.3 Stłedn kvadratickÆ chyba
Uva ujme nyn tłi odhady T, U a V parametrickØ funkce (#), jejich hustoty
h(t), g(u) a s(v) maj tvar jako na obrÆzku 2.1. V tomto pł pad vid me, e
odhad T je sice nevych len , ale mÆ pł li„ velk rozptyl. Odhad U mÆ sice
nejmen„ rozptyl, ale je pł li„ vych len . Jako nejvhodn j„ se jev odhad V ,
kter mÆ nejlep„ kombinaci malØho vych len a malØho rozptylu. Vid me tedy,
e dal„ m m ł tkem kvality odhadu, by m l b t ukazatel, kter m ł prÆv
tuto kombinaci. T mto ukazatelem je, jak ukÆ eme, stłedn hodnota Łtverce
odchylky odhadu od skuteŁnØ hodnoty odhadovanØ parametrickØ funkce.
ObrÆzek 2.1: Odhad V s nejlep„ kombinac malØho rozpt len
a malØho vych len
De nice 2.4: Stłedn kvadratickÆ chyba
Stłedn kvadratickÆ chyba K(#) odhadu T parametrickØ funkce (#)
je de novÆna jako
K(#) = Ef[T (#)]2g:
2.1 Vlastnosti odhadø 23
Proto e plat
D(T) = D[(T (#)] = Ef[T (#)]2g fE[T (#)]g2
= K(#) [E(T) (#)]2
= K(#) B2(#);
dostÆvÆme
K(#) = D(T) + B2(#):
KvadratickÆ chyba odhadu je tedy rovna souŁtu rozptylu odhadu a Łtverci vy-
ch len odhadu. Budeme-li dva odhady funkce (#) posuzovat z hlediska K(#)
a vybereme ten, kter mÆ K(#) men„ , dostaneme ten, kter mÆ lep„ kombi-
naci rozptylu a vych len . KonkrØtn ze dvou nevych len ch odhadø vybereme
ten, kter mÆ men„ rozptyl a ze dvou odhadø se stejn m rozptylem vybereme
ten, kter mÆ men„ vych len . Je-li statistika T nestrann m odhadem funkce
(#), je stłedn kvadratickÆ chyba K(#) = D(T).
Lze ukÆzat, e pro stłedn kvadratickou chybu odhadø S2 a M rozptylu 2
v pł pad v b ru z normÆln ho rozd len plat :
E[(S2 2)2] = 2n 1 4;
E[(M 2)2] = 2n 1n2 4:
Proto e plat 2n 1n2 < 2n 1; mÆ statistika M men„ stłedn kvadratickou chybu
ne statistika S2. Tedy ka d z t chto odhadø je lep„ v jinØm smyslu.
2.1.4 Konzistentn odhad
K dal„ Łasto po adovanØ vlastnosti odhadu patł tzv. konzistence odhadu, ta
zhruba łeŁeno znamenÆ, e Ł m v t„ bude rozsah v b ru n, t m bude realizace
odhadu bl ke skuteŁnØ hodnot odhadovanØ parametrickØ funkce. Abychom
zdøraznili, e zpracovÆvÆme nÆhodn v b r o rozsahu n, budeme odhad znaŁit
Tn m sto T.
De nice 2.5: Konzistentn odhad
Odhad Tn parametrickØ funkce (#) naz vÆme konzistentn odhad
funkce (#), jestli e pro ka dØ > 0 a pro ka dØ # 2 plat
limn!1P jTn (#)j < = 1:
Złejm plat
P jTn (#)j < = P (#) < Tn < (#) +
Je-li tedy Tn konzistentn odhad funkce (#), potom s rostouc m rozsahem
v b ru n roste pravd podobnost, e tento odhad nabude hodnoty libovoln
bl zkØ skuteŁnØ hodnot odhadovanØ funkce (#):
Ov łen konzistence odhadu nÆm usnadn nÆsleduj c tvrzen .
24 Bodov odhad
Tvrzen 2.1: NutnÆ podm nka konzistence
Odhad Tn parametrickØ funkce (#) je konzistentn odhad funkce (#),
jestli e pro ka dØ # 2 plat
limn
!1
E(Tn) = (#); (2.3)
limn!1D(Tn) = 0: (2.4)
Vztah (2.3) je triviÆln spln n pro nestrannØ odhady. Vztah (2.4) ł kÆ, e se
s rostouc m n zu uje rozd len odhadu Tn kolem skuteŁnØ hodnoty funkce (#).
Pł klad 2.3:
Płi stejn ch podm nkÆch jako v pł kladu 2.2 zjist te, zda je v b rov prøm r
X konzistentn m odhadem stłedn hodnoty .
e„en : OznaŁme
Tn = X = 1n
nX
i=1
Xi pro n = 1;2;::::
Proto e plat
E(Tn) = E(X) = ; D(Tn) = D(X) =
2
n pro n = 1;2;:::;
dostÆvÆme
lim
n!1
E(Tn) = lim
n!1E
(X) = limn
!1
= ;
limn!1D(Tn) = limn!1D(X) = limn!1
2
n = 0:
Tedy X je konzistentn odhad stłedn hodnoty .
Tuto kapitolu uzavłeme tvrzen m, kterØ shrnuje n kterØ ukÆzanØ poznatky
a n kterØ dal„ o odhadu stłedn hodnoty a rozptylu nÆhodnØ veliŁiny X.
Tvrzen 2.2: Odhady stłedn hodnoty a rozptylu
Pro nÆhodn v b r z rozd len N( ; 2) plat :
1. Nejlep„ m nestrann m a konzistentn m odhadem stłedn hodnoty je
v b rov prøm r X:
2. Nejlep„ m nestrann m a konzistentn m odhadem rozptylu 2 je:
v b rov rozptyl S2 v pł pad , e neznÆme stłedn hodnotu ;
statistika S20 v pł pad , e znÆme stłedn hodnotu :
Pro nÆhodn v b r z jinØho rozd len s koneŁnou stłedn hodnotou a
koneŁn m rozptylem 2 jsou uvedenØ odhady nestrannØ a konzistentn .
2.1 Vlastnosti odhadø 25
Pro odhad sm rodatnØ odchylky b n pou vÆme statistiku S, resp. S0
v pł pad , e neznÆme, resp. znÆme stłedn hodnotu , i kdy se nejednÆ o
nestrannØ odhady.
Pł klad 2.4:
Vra»te se k pł kladu 1.7 a odhadn te:
1. horn hranici nÆhodnØ chyby m łen , kterØ se mø eme dopustit s pravd -
podobnost 0.95.