Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika - Základy teorie odhadu

PłedpoklÆdejte, e nÆhodnÆ chyba m łen mÆ normÆln
rozd len .
2. sm rodatnou odchylku nÆhodnØ chyby m łen , kdy v te, e m łic pł stoj
nevykazuje systematickou chybu.
e„en : NÆhodnÆ veliŁina X v pł klad 1.7 je nÆhodnÆ chyba m łen . Płed-
poklÆdÆme, e X N( ; 2).
1. MÆme odhadnout konstantu k, pro kterou plat
P(X k) = 0:95:
Po adovanou pravd podobnost vyjÆdł me pomoc normovanØ nÆhodnØ veli-
Łiny X, tj. pomoc nÆhodnØ veliŁiny U = X , kterÆ mÆ rozd len N(0;1)
Dostaneme
0:95 = P
X

k


= P

U k

:
¨ slo k je tedy 95 procentn kvantil veliŁiny U, tj. u(0:95). V tab A.3
najdeme u(0:95) = 1:645. Odtud
k
= 1:645 ) k = + 1:645 :
Odhad bk horn hranice k pak dostaneme tak, e najdeme odhad b stłedn
hodnoty a odhad b sm rodatnØ odchylky . V pł klad 1.7 mÆme
b = x = 0:10[mm];b = s := 1:29[mm]:
Potom
bk = b + 1:645b := 2:02[mm]
Realizace odhadu horn hranice chyby m łen , kterØ se mø eme dopustit
s pravd podobnost 0.95, je 2.02 mm.
2. Realizace b 2 odhadu rozptylu 2 v pł pad znÆmØ stłedn hodnoty je
b 2 = s20 = 1
n
nX
i=1
(xi )2:
Proto e pł stroj nevykazuje systematickØ chyby, je = 0 a dostÆvÆme tedy
b 2 = s20 = 1
10
10X
i=1
x2i = 1:50 )b = s0 := 1:22[mm]
Realizace odhadu sm rodatnØ odchylky chyby m łen je 1.22 mm.
26 Bodov odhad
2.2 Kontroln otÆzky
1. Vysv tlete, co si płedstavujete pod pojmy: nestrann odhad, nejlep„ ne-
strann odhad, konzistentn odhad.
2. Jak je de novÆna statistika S20? Mø ete ji pou t pro odhad rozptylu, kdy
neznÆte stłedn hodnotu?
3. Rozhodn te, kterÆ z nÆsleduj ch tvrzen jsou pravdivÆ?
a) Je-li T nestrann odhad , potom E( ) = T.
b) MÆme-li dva nestrannØ odhady parametrickØ funkce (#), lep„ je
ten, kter mÆ v t„ rozptyl.
c) Realizace v b rovØ sm rodatnØ odchylky kol saj okolo skuteŁnØ hod-
noty sm rodatnØ odchylky rozd len , ze kterØho v b r pochÆz .
d) Stłedn hodnota rozd len , ze kterØho v b r pochÆz , je X.
e) Je-li odhad nestrann , pak je konzistentn .
2.3 CviŁen
1. PłedpoklÆdejme, e (X1;X2;X3) je nÆhodn v b r z alternativn ho roz-
d len s parametrem p, tj. A(p): Zjist te, zda jsou statistiky T1 =
X1 + X2 X3;T2 = 2X1 + X2 X3 a T3 = 13 Pni=1 Xi = X nestrannØ
odhady parametru p, urŁete jejich rozptyl a stłedn kvadratickou chybu.
2. PłedpoklÆdejme, e (X1;:::;Xn) nÆhodn v b r z rovnom rnØho rozd -
len s parametry 0, b; b > 0 , tj. X R(0;b). Ov łte, zda je statistika
T = 2X
a) nestrann m odhadem b;
b) konzistentn m odhadem b.
3. Dva studenti m łili stejn m pł strojem, kter nevykazuje systematickou
chybu, vzdÆlenost dvou bodø. Jeden z nich zm łil tuto vzdÆlenost 5 krÆt
a za odhad vzal prøm r sv ch m łen . Druh z nich m łil 10 krÆt a za
odhad vzal takØ prøm r sv ch m łen . Nemohli se ale domluvit, zda za
spoleŁn odhad vzdÆlenosti maj vz t
a) prøm r sv ch odhadø;
b) prøm r v„ech m łen .
Kter postup je lep„ ?
4. Płi sledovÆn doby do poruchy v hodinÆch urŁitØho zał zen byly z skÆny
nÆsleduj c œdaje: 23, 49, 69, 98, 75, 15. PłedpoklÆdejme, e se jednÆ o
realizaci nÆhodnØho v b ru z exponenciÆln ho rozd len X s parametrem
, tj. z rozd len s distribuŁn funkc F(x; ) = 1 exp ( x= ) pro x 0,
pro jinÆ x je F(x; ) = 0. Odhadn te stłedn dobu ivotnosti zał zen a
pravd podobnost, e zał zen bude fungovat je„t po 70 hodinÆch.
2.4 Kl Ł a v sledky cviŁen 27
5. Płi m łen urŁitØ vzdÆlenosti jsme z skali nÆsleduj c v sledky (v km):
19.01, 19.02, 18.99, 19.00, 19.05, 19.05, 19.00, 18.98, 18.99, 19.00.
Odhadn te płesnost dÆlkom ru, jestli e v te, e je skuteŁnÆ vzdÆlenost 20
km a chyba m łen je zat ena systematickou chybou -1 km. Jak se zm n
v sledek, kdy neznÆte stłedn hodnotu nÆhodnØ chyby m łen ?
6. Byly zji„t ny odchylky od jmenovitØ hmotnosti 50 kg. Odhadn te sm -
rodatnou odchylku odchylky, kdy v te, e stłedn hodnota odchylky je 0
kg.
Tł da Odchylky v kg nj
1. -0.5 { -0.3 3
2. -0.3 { -0.1 10
3. -0.1 { 0.1 20
4. 0.1 { 0.3 11
5. 0.3 { 0.5 5
2.4 Kl Ł a v sledky cviŁen
OtÆzky:
3. a) Ne - E(T) = . b) Ne. c) Ano - jednÆ se o nestrann odhad. d) Ne
- nen to nestrann odhad. e) Ne - X je odhad stłedn hodnoty. f) Ne -
nemus b t.
CviŁen :
1. E(T1) = E(T3) = p;E(T2) = 2p; T1 a T3 jsou nestrannØ odhady. T2
nen nestrann odhad parametru p. D(T1) = 3p(1 p);D(T2) = 6p(1
p);D(T3) = 13p(1 p);KT1(p) = 3p(1 p);KT2(p) = p(6 5p);KT3(p) =
1
3p(1 p):
2. E(T) = b;D(T) = b23n. a) Ano. b) Ano.
3. Oba odhady jsou nestrannØ. Rozptyl odhadu v a) je 340 2 a rozptyl od-
hadu v b) je 115 2. Postup b) je lep„ .
4. x := 54:833h;P(X > 70) := 0:279:
5. b 2 = s20 = 0:00061km2; b 2 = s2 := 0:00059km2:
6. b = s0 := 0:208kg:
Kapitola 3
Intervalov odhad
C le
Po płeŁten a nastudovÆn tØto kapitoly budete:
v d t, co to je intervalov odhad parametrickØ funkce (#) a proŁ jej
hledÆme;
um t urŁit realizaci intervalovØho odhadu stłedn hodnoty, rozptylu a
sm rodatnØ odchylky normÆln ho rozd len ;
v d t, co je płesnost a spolehlivost odhadu a um t urŁit rozsah v b ru
n z normÆln ho rozd len tak, aby odhad stłedn hodnoty normÆln ho
rozd len m l płedepsanou płesnost a spolehlivost.
Doba potłebnÆ ke studiu
Pro zvlÆdnut tØto kapitoly budete potłebovat asi 4 hodiny bez łe„en pł kladø
ze cviŁen .
Kl ŁovÆ slova
Intervalov odhad, koe ceient spolehlivosti odhadu, spolehlivost odhadu, riziko
odhadu, płesnost odhadu, pł pustnÆ chyba odhadu.
V tØto kapitole (stejn jako v płedchoz ) budeme płedpoklÆdat, e mÆme
nÆhodn v b r (X1;X2;:::;Xn) z rozd len X, kterØ zÆvis na vektorovØm
parametru # = (#1;#2;:::;#m): O parametru # v me pouze, e patł do para-
metrickØho prostoru :
V płedchoz kapitole jsme se zab vali bodov m odhadem T =
T(X1;X2;:::;Xn) parametrickØ funkce (#) a studiem jeho vlastnost . Zdø-
raz ovali jsme, e bodov odhad T je nÆhodnÆ veliŁina, jej hodnoty kol saj
od jednØ realizace nÆhodnØho v b ru k druhØ. V technick ch aplikac ch nÆs
samozłejm zaj mÆ Ł selnÆ hodnota bodovØho odhadu, a ta se prakticky v ce
Łi mØn li„ od skuteŁnØ hodnoty odhadovanØ funkce (#): Płi odhadovÆn
pomoc bodovØho odhadu (a» mÆ sebelep„ vlastnosti) nejsme schopni urŁit
płesnost odhadu, tj. jakØ chyby se dopust me, kdy skuteŁnou hodnotu (#)
29
nahrad me hodnotou bodovØho odhadu vypoŁ tanou na zÆklad realizace nÆ-
hodnØho v b ru z X. Informaci o płesnosti odhadu mø eme z skat pomoc
tzv. intervalovØho odhadu. Płi konstrukci intervalovØho odhadu se sna me
naj t ne jednu, ale dv statistiky, dejme tomu TD = TD(X1;X2;:::;Xn) a
TH = TH(X1;X2;:::;Xn); TD < TH; tak, aby interval hTD;THi płekryl sku-
teŁnou hodnotu parametrickØ funkce (#) s dostateŁn velkou pravd podob-
nost .
De nice 3.1: Intervalov odhad, koeficient spolehlivosti, riziko
Jsou-li TD a TH takovØ statistiky, e pro danØ 2 (0;1) a ka dØ # 2 plat
P (TD (#) TH) = 1 ; (3.1)
potom se interval hTD;THi naz vÆ 100(1 ) procentn intervalov odhad
parametrickØ funkce (#):
¨ slo 1 se naz vÆ koe cient spolehlivosti odhadu, Ł slo riziko
odhadu.
Nahrad me-li statistiky TD a TH jejich realizacemi tD a tH, vypoŁ tan mi
z jednØ realizace nÆhodnØho v b ru, dostaneme interval htD;tHi; kter se
naz vÆ realizace intervalovØho odhadu hTD;THi:
Intervalov odhad (#) se takØ n kdy naz vÆ interval spolehlivosti nebo
kon denŁn interval pro (#):
N kdy nÆs zaj mÆ pouze nejv t„ hodnota (#), se kterou lze płi dan ch
v sledc ch experimentu poŁ tat, nebo naopak pouze nejmen„ mo nÆ hodnota
(#). V prvn m pł pad hledÆme statistiku TH tak, aby platilo
P (TH (#)) = 1 pro ka dØ # 2 : (3.2)
V druhØm pł pad hledÆme statistiku TD tak, aby
P (TD (#)) = 1 pro ka dØ # 2 : (3.3)
Dostaneme tzv. 100(1 ) procentn jednostrannØ intervalovØ odhady
parametrickØ funkce (#). V pł pad (3.2) budeme mluvit o horn m nebo
pravostrannØm intervalovØm odhadu, v pł pad (3.3) budeme mluvit o
doln m nebo levostrannØm intervalovØm odhadu. V t chto pł padech je
pouze jeden kraj intervalovØho odhadu nÆhodnÆ veliŁina. Tak napł., v me-
li jist , e (#) mus b t v t„ ne Ł slo a, bude horn intervalov odhad
(a;THi. Jestli e nen hodnota (#) omezena zdola, bude horn intervalov
odhad ( 1;THi. Jsou-li oba kraje intervalovØho odhadu nÆhodnØ veliŁiny,
naz vÆme jej oboustrann a slovo oboustrann se Łasto vynechÆvÆ.
UkÆ eme, e v„echny tyto druhy intervalov ch odhadø lze z skat z intervalu
(3.1) vhodn m rozd len m rizika .
r Interpretace intervalovØho odhadu
Je zapotłeb si uv domit sprÆvn v klad intervalovØho odhadu. Z ka dØ rea-
lizace nÆhodnØho v b ru dostaneme obecn jinou realizaci intervalovØho od-
hadu. Ka dÆ z t chto realizac bu (#) płekr vÆ nebo nepłekr vÆ. Zvol me-li
30 Intervalov odhad
napł. koe cient spolehlivosti 1 = 0:99 a vypoŁteme velk poŁet realizac 99
procentn ho intervalovØho odhadu parametrickØ funkce (#), pak prøm rn 99
procent t chto realizac płekr vÆ skuteŁnou hodnotu (#). Vol me-li tedy koe -
ceint spolehlivosti 1 bl zk jednØ, je skoro jistØ, e realizace intervalovØho
odhadu vypoŁtenÆ z jednØ realizace nÆhodnØho v b ru płekryje skuteŁnou
hodnotu (#).
Dosavadn technickØ normy vy aduj v t„inou poŁ tat 99 procentn nebo 95
procentn intervaly spolehlivosti (tj. volbu = 0:01 nebo = 0:05).
r Koe cient spolehlivosti a dØlka intervalovØho odhadu
Koe cient spolehlivosti intervalovØho odhadu udÆvÆ spolehlivost odhadu, tj.
vyjadłuje, s jakou pravd podobnost se mø eme spolehnout na to, e interval
płekryje skuteŁnou hodnotu funkce (#). DØlka oboustrannØho intervalovØho
odhadu udÆvÆ płesnost intervalovØho odhadu. ¨ m je tato dØlka men„ ,
t m je odhad płesn j„ . Płi pevn zvolenØm rozsahu nÆhodnØho v b ru plat ,
e Ł m v t„ koe cient spolehlivosti odhadu zvol me, t m men„ bude płesnost
odhadu. ¨ m v ce si toti chceme b t jisti, e intervalov odhad płekryje sku-
teŁnou hodnotu (#), t m mus b t tento interval „ir„ . Nepłim łen m zv t„o-
vÆn m koe cientu spolehlivosti mø eme dosÆhnout tak malou płesnost, tj. tak
„irok interval, e nebude m t prakticky Ædnou vypov dac schopnost. Proto
se v technick ch aplikac ch doporuŁuje volit koe cient spolehlivosti odhadu
prÆv 0.99 nebo 0.95, v n kter ch pł padech pak 0.90.
r Konstrukce intervalovØho odhadu funkce (#)
Postup, kter se zpravidla pou vÆ płi konstrukci 100(1 ) procentn ho in-
tervalovØho odhadu funkce (#), bude uveden na stran 35 a po vyłe„en
konkrØtn ho pł kladu.
3.1 IntervalovØ odhady parametrø normÆl-
n ho rozd len
DÆle se budem zab vat intervalov mi odhady parametrø a 2 rozd len
N( ; 2). Tj. u nÆs bude (#) = v pł pad na„eho zÆjmu o odhad a
(#) = 2 v pł pad odhadu 2: Płitom budeme rozli„ovat situace, kdy jsou
neznÆmØ oba parametry nebo pouze jeden z nich. PłedpoklÆdejme tedy, e
(X1;X2;:::;Xn) je nÆhodn v b r z rozd len N( ; 2):
r Rozd len n kter ch v b rov ch charakteristik
Płi konstrukci intervalov ch odhadø a 2 vychÆz me z bodov ch odhadø
X;S2 a S20 t chto parametrø, proto potłebujeme znÆt jejich rozd len nebo
rozd len funkc t chto odhadø, tzv. v b rovÆ rozd len .
3.1 IntervalovØ odhady parametrø normÆln ho rozd len 31
Tak napł. pro v b rov prøm r X plat (viz vztahy (2.1) a (2.2)), e
E(X) = ;D(X) =
2
n :
Proto e płedpoklÆdÆme, e v b r pochÆz z normÆln ho rozd len , bude m t
normÆln rozd len i v b rov prøm r X, proto e je lineÆrn kombinac nezÆ-
visl ch normÆln ch nÆhodn ch veliŁin. Tedy
X N( ;
2
n ):
NormovÆn m statistiky X dostaneme veliŁinu
X E(X)q
D(X)
= X q
2
n
= X pn;
kterÆ mÆ normovanØ normÆln rozd len . MÆme-li tedy nÆhodn v b r z roz-
d len N( ; 2); mÆ normovan v b rov prøm r rozd len N(0;1).
Dal„ v b rovÆ rozd len , kterÆ se pou vaj ke konstrukci intervalov ch od-
hadø parametrø normÆln ho rozd len a testech hypotØz o parametrech normÆl-
n ho rozd len (viz nÆsleduj c modul), zde nebudeme odvozovat, ale shrneme
je v„echny v nÆsleduj c m tvrzen .
Tvrzen 3.1: V b rovÆ rozd len
Je-li (X1;:::;Xn) nÆhodn v b r z rozd len X N( ; 2). Potom
X

pn N(0;1);
X
S
pn t(n 1);
nS20
2
2(n);
(n 1)S2
2
2(n 1):
Płi konstrukci i v poŁtu intervalov ch odhadø parametrø a 2 v jed-
notliv ch situac ch budeme potłebovat pracovat s kvantily v „e uveden ch
rozd len .
kol 3.1:
Zopakujte si z teorie pravd podobnosti, jak je de novÆn 100 procentn
kvantil rozd len nÆhodnØ veliŁiny X a co udÆvÆ. Nakreslete si obrÆzky.
32 Intervalov odhad
PoznÆmka 3.1: Kvantily v b rov ch rozd len
Kvantily v b rov ch rozd len jsou jednak tabelovÆny (viz [11] a u nÆs
v pł loze A), jednak je poŁ tÆ ka d statistick software a mø eme vyu-
t i Excel. 100 procentn kvantily rozd len N(0;1);t(n) a 2(n) budeme
postupn znaŁit u( );t(n; ) a 2(n; ). Kvantily u( ) a t(n; ) jsou tabelo-
vÆny pro 0:5, pro < 0:5 je u( ) = u(1 ) a t(n; ) = t(n; 1 ):
Nakreslete si obrÆzky a płesv dŁte se o t chto rovnostech. Pro n > 30 je
t(n; ) := u( ). Pro kvantily 2(n; ) v tomto pł pad plat 2(n; ) :=
1
2[
p2n 1 + u( )]2, tak e v n kter ch statistick ch tabulkÆch jsou tyto
kvantily tabelovÆny pro n 30 .
kol 3.2:
1. Jak vypadaj tvary hustoty rozd len N( ; 2);t(n) a 2(n)?
2. UrŁete nÆsleduj c kvantily:
u(0:95);u(0:05);t(10; 0:9);t(15; 0:05);t(31; 0:99);
2(5; 0:05); 2(19; 0:99); 2(100; 0:99); 2(100; 0:01):
3. K jakØ hodnot se bl 100 procentn kvantily rozd len N(0;1);t(n) a
2(n), kdy se bl k jednØ, resp. k nule? Nakreslete si obrÆzky!
V sledek:
2. 1:645; 1:645;1:372; 1:753;2:326;1:146;36:19;135:02;69:39:
3. Kdy se bl k jednØ, bl se v„echny kvantily k 1. Kdy se bl
k nule, bl se kvantily N(0;1) a t(n) k 1 a kvantil 2(n) k nule. M sto
limit budeme psÆt napł. u(1) = 1;u(0) = 1.
Ne płejdeme k intervalov m odhadøm parametrø normÆln ho rozd len ,
ukÆ eme vyu it tvrzen 3.1 płi v poŁtu pravd podobnosti.
Pł klad 3.1:
Płi kontrole stejnorodosti dodÆvky mandarinek balen ch po 1 kg se odb ratel
rozhodl zvÆ it 20 nÆhodn vybran ch bal Łkø. DodÆvku płijme, jestli e bude
v b rovÆ sm rodatnÆ odchylka nanejv „ 20 g. JakÆ je pravd podobnost płi-
jet dodÆvky, jestli e je znÆmo, e hmotnost bal Łkø mÆ płibli n rozd len
N(1kg;0:0262kg2)?
e„en : Odb ratel mÆ k dispozici nÆhodn v b r (X1;:::;Xn) o rozsahu
n = 20 z rozd len N(1kg;0:0262kg2): PoŁ tÆme pravd podobnost P(S 0:02).
VyjÆdł me ji pomoc nÆhodnØ veliŁiny (n 1)S2 2 , kterÆ mÆ rozd len 2(n 1).
P(S 0:02) = P
(n 1)S2
2
(n 1)0:022
2

= P
(n 1)S2
2
19 0:022
0:0262

= P
(n 1)S2
2 11:24

:
Tedy Ł slo 11.24 je 100 procentn kvantil rozd len 2(19). Z tabulky A.4 do-
staneme, e := 0:1. Płijet dodÆvky lze oŁekÆvat s pravd podobnost 0.1.
3.1 IntervalovØ odhady parametrø normÆln ho rozd len 33
3.1.1 Intervalov odhad stłedn hodnoty
Pł klad 3.2:
UrŁete 100(1 ) procentn intervalov odhad stłedn hodnoty normÆln ho
rozd len N( ; 2) se znÆm m rozptylem 2.
e„en : Podle de nice 3.1 potłebujeme urŁit statistiky TD a TH tak, aby
pro ka dØ platilo
P(TD TH) = 1 : (3.4)
1. Vyjdeme z nejlep„ ho nestrannØho odhadu parametru ; tj. v b rovØho
prøm ru X. Hodilo by se nÆm naj t takovou nÆhodnou veliŁinu K, kterÆ
je funkc parametru a jeho odhadu X, tj. K = K( ;X), jej rozd len
znÆme a nezÆvis na , tj. je urŁeno jednoznaŁn . Takovou veliŁinou je
veliŁina
K = X pn;
kterÆ mÆ podle tvrzen 3.1 rozd len N(0;1), jeho 100 procentn kvan-
tily u( ) jsou tabelovÆny. V„imn te si, e veliŁina K je skuteŁn funkc
pouze a X, proto e znÆme a n je dan rozsah v b ru.
2. Znalost a jednoznaŁnost rozd len K nÆm umo uje urŁit konstanty kD
a kH, kD < kH; takovØ, e pro ka dØ plat
P(kD K kH) = 1 : (3.5)
Kdy pak za K do vztahu (3.5) dosad me X pn a z nerovnosti uvnitł
kulat ch zÆvorek vyjÆdł me , dostaneme hledan 100(1 ) procentn
intervalov odhad . V nujme se tedy urŁen konstant kD a kH (viz obr.
3.1). Vztah 3.5 pat prÆv tehdy, kdy
= P K =2 hkD;kHi
= P (K < kD) [ (K > kH) = P(K < kD) + P(K > kH):
ObrÆzek 3.1: UrŁen kD a kH
34 Intervalov odhad
Konstanty kD a kH tedy staŁ vybrat tak, aby
P(K > kH) = 1 a P(K < kD) = 2;
kde 1 a 2 jsou dv nezÆpornÆ Ł sla s vlastnost 1 + 2 = : Złejm
kH = u(1 1) a kD = u( 2). Vzhledem k tomu, e (a tedy i 2)
vol me prakticky malØ Ł slo (urŁit men„ ne 0.5), pro prÆci s tabulkami
potłebujeme płevodn vztah u( 2) = u(1 2). Potom kD = u(1 2).
Tedy
P u(1 2) K u(1 1) = :
3. Z nerovnosti
u(1 2) X pn u(1 1)
(kterÆ plat z pravd podobnost 1 ) vyjÆdł me : Dostaneme
X u(1 1) pn X + u(1 2) pn:
Tedy interval
D
X u(1 1) pn;X + u(1 2) pn
E
(3.6)
je hledan 100(1 ) procentn intervalov odhad stłedn hodnoty .
Vra»me se zp t k rozd len rizika .
Jestli e zvol me 1 = 2, potom 1 = 2 = 2 a
u(1 1) = u(1 2) = u(1 2 ):
Dosazen m do vztahu (3.6) dostaneme
D
X u(1 2 ) pn;X + u(1 2 ) pn
E
;
co je 100(1 ) procentn oboustrann intervalov odhad :
Jestli e zvol me 1 = 0, potom 2 = a
u(1 1) = u(1) = 1; u(1 2) = u(1 ):
Dostaneme interval

1;X + u(1 ) pn
E
;
co je 100(1 ) procentn horn intervalov odhad :
Podobn płi volb 1 = ; 2 = 0 dostaneme interval
D
X u(1 ) pn;1

;
kter je 100(1 ) procentn m doln m intervalov m odhadem :
Postup, kter jsme pou ili v pł kladu 3.2 ke konstrukci intervalovØho od-
hadu parametru normÆln ho rozd len se znÆm m rozptylem 2, lze zobecnit
na konstrukci intervalovØho odhadu parametrickØ funkce (#).
3.1 IntervalovØ odhady parametrø normÆln ho rozd len 35
r Konstrukce intervalovØho odhadu funkce (#)
Płi konstrukci 100(1 ) procentn ho intervalovØho odhadu funkce (#) se
zpravidla postupuje nÆsledovn :
1. Vyjdeme z nejlep„ ho nestrannØho odhadu T parametrickØ funkce (#).
Najdeme nÆhodnou veliŁinu K takovou, e K = K( (#);T); tj. K je
funkc (#) a jej ho odhadu T; jej rozd len znÆme a nezÆvis na #.
2. Pomoc tohoto rozd len urŁ me konstanty kD a kH, kD < kH; takovØ, e
P(kD K kH) = 1 (3.7)
K tomu staŁ konstanty kD a kH vybrat tak, aby
P(K > kH) = 1 a P(K < kD) = 2; (3.8)
kde 1 a 2 jsou dv nezÆpornÆ Ł sla s vlastnost 1 + 2 = :
3. Nerovnost kD K kH pak płevedeme na ekvivalentn nerovnost
TD (#) TH (v pł padech, kterØ zde budeme uva ovat, to bude
v dy mo nØ), tak e plat
P(kD K kH) = P(TD (#) TH) = 1
pro ka dØ #, proto e rozd len nÆhodnØ veliŁiny K nezÆvis na ##: Tj.
interval hTD;THi je 100(1 ) procentn intervalov odhad parametrickØ
funkce (#):
PoznÆmka 3.2: Rozd len rizika
Riziko lze rozd lit na nezÆpornÆ Ł sla 1 a 2 nekoneŁn mnoha zpøsoby.
B n se pou vaj (stejn jako v pł kladu 3.2) pouze tłi:
1. 1 = 2 = 2;
2. 1 = 0; 2 = ;
3. 1 = ; 2 = 0:
Je-li 1 > 0 a 2 > 0 dostaneme oboustrann intervalov odhad. Płi prv-
n m zpøsobu rozd len rizika tedy dostaneme oboustrann intervalov od-
had. DÆle budeme pod oboustrann m intervalov m odhadem rozum t prÆv
tento interval. Jestli e vol me druh nebo tłet zpøsob, pak dostaneme jed-
nostrannØ intervalovØ odhady.
Vra»me se zp t k normÆln mu rozd len . Jestli e potłebujeme naj t inter-
valov odhad stłedn hodnoty normÆln ho rozd len s neznÆm m rozptylem
2 (co je jist Łast j„ situace), nemø eme pou t intervalov odhad (3.6).
Nejlep„ m nestrann m odhadem zøstavÆ X; ale pro konstrukci intervalovØho
odhadu zde nemø eme pou t veliŁinu X pn, proto e neznÆme . V tomto
pł pad pracujeme s veliŁinou K = X S pn z tvrzen 3.1, kdy neznÆmØ na-
hrad me odhadem S. NÆhodnÆ veliŁina K mÆ rozd len t(n 1), jeho tvar
hustoty je podobn tvaru hustoty rozd len N(0;1) v tom smyslu, e je sy-
metrick podle osy y. Hledan intervalov odhad bychom dostali analogicky
36 Intervalov odhad
jako v pł kladu 3.2. Od intervalovØho odhadu (3.6) se bude li„it t m, e m sto s
kvantily rozd len N(0;1) mus me pracovat s kvantily rozd len t(n 1) a ne-
znÆmou sm rodatnou odchylku nahradit jej m odhadem S. V sledky shrnuje
nÆsleduj c tvrzen .
Tvrzen 3.2: Intervalov odhad parametru
MÆme-li nÆhodn v b r o rozsahu n z rozd len N( ; 2), potom 100(1 );
tj. 100[1 ( 1 + 2)]; procentn intervalov odhad stłedn hodnoty je:
1. v pł pad znÆmØho rozptylu 2 interval
D
X u(1 1) pn;X + u(1 2) pn
E
;
2. v pł pad neznÆmØho rozptylu 2 interval
D
X t(n 1; 1 1) Spn;X + t(n 1; 1 2) Spn
E
:
Rozd len rizika na 1 a 2 je dÆno v poznÆmce 3.2. Płi druhØm, resp.
tłet m zpøsobu rozd len rizika dostaneme horn , resp. doln intervalov
odhad.
PoznÆmka 3.3: Intervalov odhad stłedn hodnoty
IntervalovØ odhady z tvzen 3.1 mø eme pou t i pro intervalov odhad
stłedn hodnoty E(X) nÆhodnØ veliŁiny X, kterÆ nemÆ normÆln rozd len .
Rozsah nÆhodnØho v b ru z rozd len X mÆ b t v tomto pł pad v t„ ne
30. Spolehlivost odhadu je pak płibli n 1 :
Pł klad 3.3:
Z produkce konkrØtn cihelny bylo nÆhodn vybrÆno osm cihel pÆ-
len ch pln ch a byla zm łena jejich dØlka v mm. V sledky mełen byly:
290, 287, 289, 292, 293, 291, 286, 291.
PłedpoklÆdÆme, e dØlka cihly je normÆln nÆhodnÆ veliŁina. UrŁete realizaci
95 procentn ho
a) oboustrannØho intervalovØho odhadu stłedn hodnoty dØlky cihly;
b) d