Skripta - Křivkové integrály

VYSOK´E UˇCEN´I TECHNICK´E V BRNˇE
FAKULTA STAVEBN´I
MATEMATIKA II
MODUL 2
KˇRIVKOV´E INTEGR´ALY
STUDIJN´I OPORY
PRO STUDIJN´I PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Typeset by LATEX2ε
c© Josef Danˇeˇcek, Oldˇrich Dlouh´y, Oto Pˇribyl 2004
Obsah
1 ´Uvod 4
1.1 C´ıle modulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Poˇzadovan´e znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Doba potˇrebn´a ke studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Kl´ıˇcov´a slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Kˇrivkov´y integr´al ve skal´arn´ım poli 5
2.1 Z´akladn´ı vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Geometrick´e a fyzik´aln´ı aplikace kˇrivkov´eho integr´alu ve skal´arn´ı poli 9
3 Kˇrivkov´y integr´al ve vektorov´em poli 13
3.1 Z´akladn´ı vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Greenova vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Nez´avislost kˇrivkov´eho integr´alu na integraˇcn´ı cestˇe . . . . . . . . . . 21
4 Kontroln´ı ot´azky, autotest 27
5 Studijn´ı prameny. 30
3
1 ´Uvod
1.1 C´ıle modulu
Prostudov´an´ım kapitoly Kˇrivkov´y integr´al ve skal´arn´ım poli byste mˇeli z´ıskat n´asledu-
j´ıc´ı vˇedomosti a dovednosti:
• Umˇet vysvˇetlit integr´aln´ı souˇcet pro kˇrivkov´y integr´al ve skal´arn´ım poli na
z´akladˇe ´ulohy na stanoven´ı hmotnosti oblouku. Zn´at vlastnosti kˇrivkov´eho
integr´alu a vztahy pro v´ypoˇcet kˇrivkov´ych integr´alu po oblouku v rovinˇe i
v prostoru;
• Porozumˇet vztah˚um pro geometrick´e a technick´e aplikace kˇrivkov´eho integr´alu
ve skal´arn´ım poli na z´akladˇe pˇr´ısluˇsn´ych integr´aln´ıch souˇct˚u. Jde zejm´ena
o v´ypoˇcet d´elky kˇrivky, obsahu v´alcov´e plochy, tˇeˇziˇstˇe a momentu setrvaˇcnosti
hmotn´eho oblouku;
N´asleduj´ıc´ı odstavce v´as pˇredbˇeˇznˇe sezn´am´ı s obsahem t´eto kapitoly Kˇrivkov´y in-
tegr´al ve vektorov´em poli a pˇrestav´ı v´am studijn´ı c´ıle, kter´ych m´ate dos´ahnout:
• Sezn´amit se s integr´aln´ımi souˇcty pro kˇrivkov´y integr´al ve vektorov´em poli,
kter´e dostaneme pˇri ˇreˇsen´ı ´ulohy o nalezen´ı pr´ace silov´eho pole po oriento-
van´em oblouku. Tyto ´uvahy vy´ust´ı v definici kˇrivkov´eho integr´alu ve vek-
torov´em poli. Je tˇreba zn´at jeho vlastnosti a vztahy pro v´ypoˇcet v rovinn´em i
prostorov´em vektorov´em poli.
• Sezn´amit se s Greenovou vˇetou, kter´a umoˇzˇnuje pˇrev´est kˇrivkov´y integr´al
v rovinn´em vektorov´em poli na dvojn´y integr´al. Je zapotˇreb´ı zn´at detailnˇe
vˇsechny pˇredpoklady pro jej´ı pouˇzit´ı a umˇet ji aplikovat pˇri ˇreˇsen´ı praktick´ych
´uloh. Jednoduchou ´uvahou se pˇresvˇedˇc´ıte o spr´avnosti vztahu pro v´ypoˇcet
obsahu rovinn´e oblasti uˇzit´ım kˇrivkov´eho integr´alu.
• Z´avˇereˇcn´y odstavec je vˇenov´an nez´avislosti kˇrivkov´eho integr´alu na integraˇcn´ı
cestˇe. Dozv´ıte se o r˚uzn´ych druz´ıch vektorov´ych pol´ı, o jejich charakterizaci
a vz´ajemn´ych vztaz´ıch. Nauˇc´ıte se zjiˇst’ovat, zda je pole nev´ırov´e, urˇcovat po-
tenci´al a jeho uˇzit´ım vypoˇc´ıtat zadan´y kˇrivkov´y integr´al.
1.2 Poˇzadovan´e znalosti
Pro zvl´adnut´ı kˇrivkov´ych integr´al˚u je nezbytn´e dobˇre zvl´adnout problematiku kapi-
toly Dvojn´y integr´al modulu Dvojn´y a trojn´y integr´al a umˇet rovnice a grafy z´aklad-
n´ıch kˇrivek v prostoru R3.
4
1.3 Doba potˇrebn´a ke studiu
Pˇribliˇznˇe lze odhadnout potˇrebnou dobu ke studiu kˇrivkov´eho integr´alu na 25 hodin.
Pro z´ısk´an´ı zkuˇsenost´ı a zruˇcnosti ve v´ypoˇctu bude jeˇstˇe zˇrejmˇe zapotˇreb´ı dalˇs´ı ˇcas
z´avisl´y na dosavadn´ı poˇcetn´ı praxi studenta.
1.4 Kl´ıˇcov´a slova
Kˇrivkov´y integr´al ve skal´arn´ım poli, z´akladn´ı vlastnosti kˇrivkov´eho integr´alu ve
skal´arn´ım poli, d´elka kˇrivky, obsah ˇc´asti v´alcov´e plochy, tˇeˇziˇstˇe hmotn´eho oblouku,
kˇrivkov´y integr´al ve vektorov´em poli, pr´ace v silov´em poli, z´akladn´ı vlastnosti kˇrivko-
v´eho integr´alu ve vektorov´em poli, Greenova vˇeta, nez´avislost kˇrivkov´eho integr´alu
na integraˇcn´ı cestˇe, potenci´aln´ı vektorov´e pole, potenci´al, jednoduˇse souvisl´a oblast,
ploˇsnˇe jednoduˇse souvisl´a oblast.
2 Kˇrivkov´y integr´al ve skal´arn´ım poli
2.1 Zaveden´ı pojmu, z´akladn´ı vlastnosti kˇrivkov´eho integr´alu
ve skal´arn´ım poli
Pr˚uvodce studiem
Pˇred studiem t´eto kapitoly je nutn´e si zopakovat z´akladn´ı pojmy z teorie kˇrivek
– viz Modul Urˇcit´y integr´al, Dodatek A.
Necht’ je d´an oblouk γ ⊂R2, kter´y m´a parametrick´e rovnice
x = ϕ(t), y = ψ(t), t∈ 〈a,b〉.
V kaˇzd´em bodˇeM kˇrivkyγ zn´ame hustoturho1(M). Chceme zn´at hmotnost cel´e kˇrivky.
Na oblouku AiAi+1 si zvol´ıme libovoln´y bod Mi = [ξi,ηi] a vypoˇcteme rho1(ξi,ηi) =
rho1(Mi). Pˇredpokl´adejme, ˇze ta stejn´a hustota je v kaˇzd´em bodˇe oblouku hatwiderAiAi+1.
Oznaˇcme ∆si d´elku oblouku hatwiderAiAi+1. Hmotnost tohoto oblouku hatwiderAiAi+1 bude tedy
d´ana pˇribliˇznˇe vztahem
∆mi = rho1(Mi)∆si.
Celkem dost´av´ame
mn =
nsummationdisplay
i=1
∆mi =
nsummationdisplay
i=1
rho1(Mi)∆si.
Toto ˇc´ıslo jistˇe neud´av´a hmotnost kˇrivky γ pˇresnˇe, ale pˇribliˇznˇe. Poloˇzme
νn = max{∆s1,∆s2,...,∆sn}
a pˇrejdeme-li ve v´yrazu mn k limitˇe, tj. bude-li existovat limita
limν
n→0
nsummationdisplay
i=1
rho1(Mi)∆si,
5
pak tuto limitu nazveme hmotnost dr´atu ve tvaru kˇrivky γ a budeme znaˇcit m.
V naˇs´ı ´uvaze, ale m˚uˇzeme m´ısto hustoty rho1 uvaˇzovat libovolnou spojitou funkci
f na oblouku γ. Integr´aln´ı souˇcet bude m´ıt tvar
Sn =
nsummationdisplay
i=1
f (Mi)∆si =
nsummationdisplay
i=1
f (ξi,ηi)∆si.
Definice 2.1. Jestliˇze existuje koneˇcn´a limita integr´aln´ıho souˇctu
limn→∞Sn = limn→∞
nsummationdisplay
i=1
f (ξi,ηi)∆si,
kter´a nez´avis´ı jak na zp˚usobu dˇelen´ı kˇrivky γ, tak na v´ybˇeru bod˚u Mi = [ξi,ηi]
na oblouc´ıch hatwiderAiAi+1, pak tuto limitu znaˇc´ıme
ıγf (M)s = ıγf (x,y)s.
a nazveme ji kˇrivkov´ym integr´alem funkce f pˇres kˇrivku γ.
Vˇeta 2.1. Necht’ oblouk γ je d´an parametrick´ymi rovnicemi
x = ϕ(t), y = ψ(t), t∈ 〈a,b〉
a funkce f (x,y) je spojit´a na oblouku γ. Pak plat´ı
integraldisplay
γ
f (M) ds =
integraldisplay
γ
f (x,y) ds =
bintegraldisplay
a
f (ϕ(t),ψ(t))
radicalBig
˙ϕ2 (t) + ˙ψ2 (t)dt.
Pozn´amka 2.1. Je-li d´ana kˇrivka pˇredpisem y = g(x), x ∈ 〈a,b〉 a derivace gprime je
spojit´a na 〈a,b〉, pak plat´ı
integraldisplay
γ
f (x,y) ds =
bintegraldisplay
a
f (x,g(x))
radicalBig
1 + (gprime(x))2 dx.
Je-li d´ana kˇrivka pˇredpisem x = h(y), y ∈ 〈c,d〉 a derivace hprime je spojit´a na 〈c,d〉,
pak plat´ı
integraldisplay
γ
f (x,y) ds =
dintegraldisplay
c
f (h(y),y)
radicalBig
1 + (hprime(y))2 dy.
Pˇr´ıklad 2.1. Vypoˇctˇete
I =
integraldisplay
γ
xy2 ds,
6
kde je kˇrivka γ ⊂R2 d´ana rovnic´ı x2 +y2 = ax, a> 0.
ˇReˇsen´ı:
x = a2 + a2 cost, y = a2 sint, t∈ 〈0,2pi〉
I = a
3
8
2piintegraldisplay
0
(1 + cost)sin2t
radicalBigg
a2
4 sin
2t+ a2
4 cos
2tdt
= a
4
16
2piintegraldisplay
0
parenleftBig
sin2t+ costsin2t
parenrightBig
dt = a
4
16


2piintegraldisplay
0
sin2tdt+
2piintegraldisplay
0
costsin2tdt


= a
4
16
parenleftBigg1
2
bracketleftbigg
t− 12 sin2t
bracketrightbigg2pi
0
+
bracketleftbigg1
3 sin
3t
bracketrightbigg2pi
0
parenrightBigg
= pia
4
16 .
Vˇeta 2.2. Necht’ oblouk γ je d´an parametrick´ymi rovnicemi
x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t) t∈ 〈a,b〉
a funkce f (x,y,z) je spojit´a na oblouku γ. Pak plat´ı
integraldisplay
γ
f (M) ds =
integraldisplay
γ
f (x,y,z) ds
=
bintegraldisplay
a
f (ϕ(t),ψ(t),χ(t))
radicalBig
˙ϕ2 (t) + ˙ψ2 (t) + ˙χ2 (t)dt.
Pˇr´ıklad 2.2. Vypoˇctˇete
I =
integraldisplay
γ
z√
x2 +y2 +z2 ds,
kde je kˇrivka γ ⊂R3 d´ana parametrick´ymi rovnicemi x = acost, y = asint, z = bt,
t∈ 〈0,2pi〉, a> 0, b> 0.
ˇReˇsen´ı:
radicalBig
˙ϕ2 (t) + ˙ψ2 (t) + ˙χ2 (t) =
radicalBig
a2 sin2t+a2 cos2t+b2 = √a2 +b2
I = b√a2 +b2
2piintegraldisplay
0
t√
a2 sin2t+a2 cos2t+b2t2 dt = b
√a2 +b2 2piintegraldisplay
0
t√
a2 +b2t2 dt
= b√a2 +b2
bracketleftbigg1
b2
√a2 +b2t2bracketrightbigg2pi
0
=
√a2 +b2
b
parenleftBig√
a2 + 4pi2b2 −a
parenrightBig
.
7
Pˇr´ıklad 2.3. Vypoˇctˇete
I =
integraldisplay
γ
xyds,
kde kˇrivka γ ⊂R3 je pr˚useˇc´ık ploch x2 +y2 +z2 −a2 = 0, x2 +y2 −ay = 0, x> 0,
y> 0, z > 0, a> 0.
ˇReˇsen´ı:
x = a2 sin2t, y = asin2t, z = acost, t∈ 〈0,pi/2〉,
˙ϕ(t) = acos2t, ˙ψ(t) = asin2t, ˙χ(t) = −asint.
Odtud
I = a3
pi/2integraldisplay
0
costsin3t
radicalBig
1 + sin2tdt =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
1 + sin2t = u t = 0|pi/2
2sintcostdt = du u = 1|2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
= a
3
2
2integraldisplay
1
(u−1)√udu = a
3
2
bracketleftbigg2
5u
5/2 − 2
3u
3/2
bracketrightbigg2
1
= 2
parenleftBig
1 +√2
parenrightBig
15 a
3.
Vˇeta 2.3. (Z´akladn´ı vlastnosti kˇrivkov´eho integr´alu ve skal´arn´ım poli)
(a) Linearita. Necht’ γ ⊂Rn (n = 2,3) je oblouk a funkce f a g jsou spojit´e na
oblouku γ. Pak plat´ı
integraldisplay
γ
(c1f +c2g)(M)ds = c1
integraldisplay
γ
f(M)ds+c2
integraldisplay
γ
g(M)ds,
kde c1 a c2 jsou libovoln´e re´aln´e konstanty.
(b) Aditivita. Necht’ γ ⊂ Rn (n = 2,3) je kˇrivka, kter´a je sjednocen´ım dvou
oblouk˚u γ1, γ2 a funkce f je spojit´a na kˇrivce γ. Pak plat´ı
integraldisplay
γ