skripta MO1

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
PAVEL SCHAUER
APLIKOVANÁ FYZIKA
MODUL 1
STAVOVÉ VELIČINY TERMODYNAMICKÝCH SOUSTAV

STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA



































Recenzoval: Prof. RNDr. Tomáš Rocker, CSc.
© Pavel Schauer, Brno 2006
Obsah
- 3 (36) -
OBSAH
1 Úvod ...............................................................................................................5
1.1 Cíle ........................................................................................................5
1.2 Požadované znalosti..............................................................................5
1.2.1 Fyzika......................................................................................5
1.2.2 Matematika .............................................................................5
1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5
1.4 Klíčová slova.........................................................................................6
1.5 Přehled použitých symbolů...................................................................6
2 Termodynamická soustava..........................................................................7
2.1 Rovnovážný stav...................................................................................7
2.2 Ideální plyn ...........................................................................................7
2.3 Kontrolní otázky ...................................................................................7
3 Stavové veličiny.............................................................................................8
3.1 Tlak .......................................................................................................8
3.2 Teplota ..................................................................................................9
3.3 Látkové množství................................................................................10
3.4 Kontrolní otázky .................................................................................11
4 Stavová rovnice...........................................................................................12
4.1 Jednoduché děje v ideálních plynech..................................................12
4.2 Stavová rovnice...................................................................................13
4.3 Kontrolní otázky .................................................................................15
4.4 Příklady k procvičení ..........................................................................15
5 Souvislost stavových veličin s pohybem částic .........................................21
5.1 Hustota rozdělení rychlostí molekul ...................................................21
5.2 Charakteristické rychlosti molekul plynu ...........................................22
5.2.1 Nejpravděpodobnější rychlost ..............................................22
5.2.2 Průměrná rychlost .................................................................22
5.2.3 Střední kvadratická rychlost .................................................23
5.3 Kontrolní otázky .................................................................................24
5.4 Příklady k procvičení ..........................................................................24
6 Teplotní roztažnost látek ...........................................................................27
6.1 Délková a teplotní roztažnost..............................................................27
6.2 Objemová teplotní roztažnost .............................................................27
6.3 Kontrolní otázky: ................................................................................28
6.4 Příklady k procvičení ..........................................................................28
7 Měření teploty.............................................................................................31
7.1 Dilatační teploměry.............................................................................31
7.2 Elektrické teploměry ...........................................................................32
7.3 Radiační teploměry .............................................................................33
7.4 Kontrolní otázky .................................................................................34
8 Závěr............................................................................................................36
Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 4 (36) -
8.1 Shrnutí ................................................................................................ 36
8.2 Studijní prameny ................................................................................ 36
8.2.1 Seznam použité literatury..................................................... 36
8.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury................................... 36
8.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny .......................... 36
Úvod
- 5 (36) -
1 Úvod
Stavové veličiny jsou měřitelné fyzikální veličiny, které charakterizují stav
fyzikálního systému nezávisle na tom, jak se systém do daného stavu dostal.
Například, pokud dodáváme systému teplo a práci, jeho konečný stav je
charakterizován určitou teplotou T (stavová veličina) bez ohledu na to, zda se
do konečného stavu dostal dodáním tepla nebo přijetím práce, která byla na
soustavě vykonána, nebo obojím způsobem.
Mezi základní stavové veličiny patří objem, tlak, teplota, látkové množství.
Mezi jiné stavové veličiny, které probereme ve druhém modulu
Termodynamika, patří vnitřní energie nebo entropie. Méně známými
stavovými veličinami jsou entalpie, termodynamický potenciál a další.
1.1 Cíle
Tento studijní text je určen pro posluchače Stavební fakulty Vysokého učení
technického v Brně a má sloužit jako jeden ze základních učebních textů pro
studium aplikované fyziky. Cílem je vybudování spolehlivého základu
vědomostí, jež umožní budoucímu stavebnímu inženýrovi zvládat technické
problémy v aplikační oblasti. Studijní text navazuje na moduly základní řady
fyzikálních studijních opor a je součásti série modulů Aplikovaná fyzika, které
spolu jako jeden celek tvoří úplnou studijní literaturu z oblasti termiky, záření a
akustiky.
Tento první modul, Stavové veličiny termodynamických soustav, je rozdělen
do 6 kapitol. Cílem je popsat základní definice a zákony a rozšířit tyto
poznatky o znalosti pro použití v technické praxi.
Výklad je průběžně doplněn kontrolními otázkami, řešenými příklady,
neřešenými příklady a aplikacemi vyskytujícími se v technické praxi.
1.2 Požadované znalosti
1.2.1 Fyzika
Veličiny a jednotky, fyzikální rovnice, mechanika, hydromechanika, kmity,
vlnění, stavové veličiny termodynamických soustav.
1.2.2 Matematika
Vektory, derivace, určitý a neurčitý integrál.
1.3 Doba potřebná ke studiu
10 hodin
Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 6 (36) -
1.4 Klíčová slova
Termodynamická soustava, rovnovážný stav, ideální plyn, stavová veličina,
tlak, teplota, látkové množství, mikročástice, střední kvadratická rychlost.
1.5 Přehled použitých symbolů
α teplotní součinitel délkové roztažnosti, úhel
β teplotní součinitel elektrického odporu
γ teplotní součinitel objemové roztažnosti αγ 3=
ρ hustota
τ časová setrvačnost teploměru
d vzdálenost, tloušťka
pk
,, EEE energie, kinetická energie, potenciální energie
)(vf Maxwellova−Boltzmannova hustota rozdělení rychlostí
F síla
i počet stupňů volnosti
k Boltzmannova konstanta, k=1,381.10
−23
J.K
−1

21
, kk tuhost oscilátoru, koeficient anharmoničnosti oscilátoru
K tepelná kapacita
l délka
m hmotnost
r
, MM molární hmotnost, relativní molekulová hmotnosti látky
n látkové množství, koncentrace částic
V
N
n =
N celkový počet částic
A
N Avogadrova konstanta,
-123
A
mol 6,023.10=N
p hybnost, tlak
r poloměr, vzdálenost
R molární plynová konstanta R=8,314 J.K
−1
.mol
−1
, elektrický
odpor
s citlivost odporového teploměru
S plocha, průřez
t čas, teplota (ve
o
C)
T termodynamická teplota (v K)
m
, UU vnitřní energie. vnitřní energie jednoho molu látky
T
U elektrické napětí na elektrickém teploměru ( při teplotě T )
skp
,,, vvvv rychlost, nejpravděpodobnější rychlost, průměrná rychlost,
střední kvadratická rychlost
V objem
Termodynamická soustava
- 7 (36) -
2 Termodynamická soustava
Termodynamickou soustavou rozumíme soubor částic tvořících látkové
předměty nebo prostředí, vyskytující se v určitém vymezeném prostoru.
Pokud si taková soustava nevyměňuje částice s okolím, nazýváme ji
uzavřenou, v opačném případě je otevřená. Uzavřená soustava, která si
nemůže vyměňovat s okolím energii, se nazývá izolovaná.
2.1 Rovnovážný stav
Termodynamická soustava, která nemá snahu svými vnitřními silami
svůj stav změnit, se nachází v termodynamicky rovnovážném stavu.
Pak v soustavě, izolované od okolí, neprobíhají žádné makroskopicky
pozorovatelné změny. Termodynamická soustava, která se nenachází v
rovnovážném stavu, má snahu bez pomoci okolí přejít do
termodynamické rovnováhy.
2.2 Ideální plyn
Termodynamickou soustavou může být rovněž plyn. Nejjednodušší zákony je
možno zformulovat pro ideální plyn.
Ideální plyn je takový, ve kterém všechny srážky mezi molekulami nebo
atomy jsou dokonale pružné a ve kterém nepůsobí mezimolekulární síly.
Je to tedy plyn, jehož molekuly se pohybují volně až do doby, než se srazí s
jinou molekulou, pak se opět pohybují volně, přičemž srážky probíhají
dokonale pružně. Tyto vlastnosti jsou splněny zejména tehdy, je-li vlastní
objem všech molekul plynu dostatečně malý vzhledem k objemu, ve kterém
jsou umístěny. Je to tehdy, pokud není příliš vysoká koncentrace molekul
plynu.
2.3 Kontrolní otázky
(1) Co je to termodynamická soustava?
(2) Kdy je termodynamická soustava uzavřená a kdy izolovaná?
(3) Kdy je termodynamická soustava v rovnovážném stavu?
(4) Co je to ideální plyn?

Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 8 (36) -
3 Stavové veličiny
V termice se k popisu tepelných vlastností soustav většinou nepoužívají
veličiny, které by přímo popisovaly mechanický (tepelný) pohyb částic.
3.1 Tlak
Vznik tlaku plynu na plochu (stěnu) je důsledkem tepelného pohybu
částic. Při svém pohybu část molekul plynu neustále naráží na stěnu a
vytváří tlak.
Při svém pohybu působí molekuly na stěnu nádoby silou F, pro niž podle
zákonů mechaniky platí

td
vmd
F =
)(
, (1)
kde )( vmd je změna hybnosti dopada-
jících částic za čas dt. Dopadá-li za
jednotku času kolmo na stěnu nádoby
N
S
částic ideálního plynu, které se od-
razí do protisměru aniž by se snížila
jejich rychlost (jsou dokonale pružné),
můžeme změnu hybnosti částic za jed-
notku času vyjádřit výrazem vmN
S
2.
Předpokládejme, že plyn je uzavřen v
krychlové nádobě (obr. 3.1) a všech N
částic plynu se pohybuje přibližně
rovnoměrně v šesti různých směrech.
Pak na námi sledovanou stěnu směřuje 1/6 všech částic. Je-li koncentrace
částic v nádobě
V
N
n = a všechny mají rychlost v, pak přes plochu S jich za
jednu sekundu projde
6
vSn
SN
s
= . Takže tlak p, který definujeme jako sílu
působící na jednotkovou plochu, bude
Zavádí se veličiny, které popisují vnější tepelné projevy soustavy. Tyto
veličiny musí být dobře měřitelné. Jsou to stavové veličiny. Většinou
nestačí zavést jen jednu stavovou veličinu. K úplnému popisu
termodynamické soustavy obecně potřebujeme čtyři stavové veličiny. Jsou
to:
tlak teplota
objem látkové množství
U plynů, které tvoří termodynamické soustavy s největším počtem stupňů
volnosti, využijeme všechny stavové veličiny.
a
a
a

obr. 3.1 K odvození tlaku na stěnu nádoby
Stavové veličiny
- 9 (36) -

2
3
12
n m v =
S
m vN
=
S
F
p =
S
, (2)
Všechny částice plynu však nemají stejné rychlosti. Jak uvidíme v další
kapitole, rychlosti částic plynu jsou statisticky rozloženy. Má-li n
1
částic
rychlost v
1
, n
2
částic rychlost v
2
atd., můžeme rovnici pro tlak plynu napsat ve
tvaru

+ ... vm n + vmnp =
2
22
2
11
3
1
3
1
, (3)
jejíž úpravou dostaneme výraz

∑∑
==
n
i
ii
n
i
ii
vn
n
m n = vn mp =
1
2
1
2
1
3
1
3
1
,
(4)
kde zavedeme

vn
n
v
n
i
ii∑
=
=
1
2
sk
1
, (5)
což je střední kvadratická rychlost částic, o které podrobněji pojednáme
v části 5.2. Tlak plynu je potom s ohledem na platnost vztahu mn=ρ , kde ρ
je hustota plynu, vyjádřen rovnicí

2
sk
3
1
v p ρ= . (6)
3.2 Teplota
Pro posouzení tepelných jevů je zavedena teplota.
Teplota charakterizuje vnitřní stav látek. Má tu vlastnost, že při styku
více látek se teploty vyrovnávají. To proto, že vznikne termodynamická
soustava, která přechází do termodynamické rovnováhy. Na tomto
principu se teplota měří. Pro teplotu existuje více teplotních stupnic.
Nejznámější jsou dvě, Celsiova a Kelvinova.
Celsiova teplotní stupnice vyšla z pozorování, že voda tuhne a vře vždy při
stejných teplotách (za stejných podmínek). Tuhnutí vody je přiřazena hodnota
teploty t
o
= 0
o
C. Podobně varu vody je přiřazena teplota t
v
= 100
o
C. Obě
hodnoty platí pro normální tlak 1,013.10
5
Pa. Teplotu vyjádřenou v Celsiově
stupnici označujeme symbolem t, jednotkou je
o
C (Celsiův stupeň).
Ve fyzice je výhodnější Kelvinova (absolutní nebo také termodynamická)
teplotní stupnice. Anglický fyzik Kelvin ji zavedl z důvodu jednoduššího
vyjádření termodynamických zákonů. Vychází z té skutečnosti, že stavu, kdy
ustane tepelný pohyb částic, přiřazujeme teplotu 0 K. Tento stav je sice
prakticky nedosažitelný (třetí termodynamická věta), avšak připustíme jej
teoreticky. Dále respektuje skutečnost, že teplotní rozdíl ∆T v absolutní
Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 10 (36) -

123
mol10.0236
−
,=
N A
.
teplotní stupnici a teplotní rozdíl ∆t v Celsiově stupnici je shodný. Budeme-li
teplotu vyjádřenou v absolutní stupnici označovat T a bude-li její jednotka K
(kelvin), platí

{ } { }
0
TT = t − .
(7)
kde teplota T
0
= 273,15 K je teplota tuhnutí vody (přesněji teplota trojného
bodu vody, tj. teplota rovnovážného stavu tří skupenství vody). Byla zvolena
tak, aby byla respektována rovnost ∆T = ∆t.
3.3 Látkové množství
Množství látky, které se zúčastňuje tepelných dějů, se zavádí jiným
způsobem, než např. v mechanice, kde jsme používali hmotnost. Pro
zjednodušení zákonů zavádíme veličinu látkové množství n. Její
jednotka je mol. Molem bude takové množství látky, jehož hmotnost
vyjádřena v gramech je číselně rovna relativní molekulové
hmotnosti látky M
r
.
Počet molů tedy dostaneme jako

M
m
= n
r
kg . mol
10
1
3
−
.
(8)
Ve vztahu (8) vystupuje hmotnost látky m v kilogramech. Relativní
molekulová hmotnost M
r
látky je hmotnost molekuly látky vydělená
hmotností 1/12 atomu uhlíku
12
C
6
. Snadno ji vyhledáme v periodické soustavě
prvků, protože je číselně rovna součtu atomových hmotností prvků, ze kterých
je molekula složena. Například pro kyslík O
2
je M
r
= 2.16 = 32, pro vodík H
2

je M
r
= 2.1 = 2 atd. Ze vztahu (8) vyplývá, že molární hmotnost M (hmotnost
jednoho molu látky) je M=M
r
.10
−3
(kg/mol) =M
r
(g/mol).
Známe-li ji, můžeme látkové množství určit rovnicí


M
m
= n . (9)

Avogadrův zákon říká, že počet molekul N
A
, obsažený v jednom molu
látky je za stejných podmínek, pro všechny látky stejný. Za normálních
podmínek (p
n
= 1,01325.10
5
Pa, T
n
= 273,15 K) jej udává Avogadrova
konstanta


Známe-li celkový počet molekul plynu N, na základě Avogadrova zákona
můžeme látkové množství určit vztahem
Symboly v závor-
kách {} vyjadřují
velikost veličiny
bez jednotky.
Rovnice (7) tedy
porovnává pouze
velikosti, Celsio-
va a Kelvinova
teplota mají růz-
né jednotky.
Stavové veličiny
- 11 (36) -


N
N
= n
A
.
(10)
3.4 Kontrolní otázky
(1) Jmenujte stavové veličiny!
(2) Kolik stavových veličin obecně potřebujeme k úplnému popisu
termodynamické soustavy?
(3) Jak stanovíme celkovou sílu, jíž působí molekuly plynu na stěnu
nádoby?
(4) Jak závisí tlak plynu na koncentraci částic a jak na jejich rychlosti?
(5) Jakou vlastnost má teplota při styku dvou těles?
(6) Jaký rozdíl je mezi Kelvinovou a Celsiovou teplotní stupnicí? V čem
jsou shodné?
(7) Jaký byl důvod zavedení Kelvinovy teploty?
(8) Jak souvisí látkové množství s hmotností stejného množství látky?
(9) Jak je možno vyjádřit látkové množství pomocí počtu molekul plynu?
Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 12 (36) -
4 Stavová rovnice
4.1 Jednoduché děje v ideálních plynech
Dříve, než popíšeme souvislost stavových veličin pro obecný děj v ideálním
plynu, seznámíme se s empiricky objevenými zákony, které popisují chování
dvou stavových veličin pro případ, že třetí stavová veličina je konstantní.
Množství plynu se přitom nemění.
Boylův-Mariottův zákon udává souvislost mezi objemem a tlakem
ideálního plynu při stálé teplotě, popisuje tedy izotermický děj.
Boylův-Mariottův zákon je vyjádřen vztahem

T=konst
V
ppV = konst = V p pro , nebo,
0
0
,
(11)
kde p
0
je jeho počáteční tlak plynu a V
0
je počáteční objem. Graficky je
závislost p=f(V) pro izotermický děj vyjádřena hyperbolou, která se nazývá
izoterma (obr. 4.1).
p
V
W
dW
p=p0V0
1
V
>

p
T
W
dW
p =
p0
V0
T


Gay Lussacovy zákony udávají souvislost mezi tlakem a teplotou ideálního
plynu při konstantním objemu plynu a souvislost mezi objemem a teplotou
ideálního plynu při konstantním tlaku. Popisují tedy izochorický a
izobarický děj.
Matematicky se dají vyjádřit rovnicemi

V=konst ,
T
p
=
T
p
= konst ,
T
p
pronebo
0
0
,
(12)


= pro , = nebo
0
0
konstp
T
V
T
V
,konst =
T
V
,
(13)

obr. 4.1 Závislost tlaku na objemu pro
izotermický děj
obr. 4.2 Závislost tlaku na teplotě pro
izochorický děj
Empirický zákon
je takový, který
vznikl
pozorováním
Stavová rovnice
- 13 (36) -
kde p
0
, V
0
, T
0
jsou počáteční veličiny dějů. Zákon (12), při konstantním
objemu, popisuje izochorický děj. Grafický průběh závislosti p = f (T) je
přímka (obr. 4.2). Zákon (13), při konstantním tlaku, je izobarický děj, jehož
grafickým znázorněním V= f (T) je přímka, jak uvádí obr. 4.4.
Stavové děje plynu znázorňujeme nejčastěji závislostí tlaku p na objemu plynu
V, které říkáme p−V diagram. p−V diagramy zákonů (11), (12), (13) jsou
společně uvedeny na obr. 4.4.
4.2 Stavová rovnice
Kombinací jednoho z Gay Lussacových zákonů (12) se zákonem
Boylovým-Mariottovým (11) dostaneme stavovou rovnici ideálního plynu,
platnou pro změny všech tří stavových veličin p, V, T. Předpokládejme, že plyn
se nachází ve stavu popsaném veličinami p
0
, V
0
, T
0
a chceme zjistit jak se tlak,
objem a teplota změní přechodem do libovolného jiného stavu, popsaného
veličinami p, V, T. Do tohoto
stavu můžeme přejít libovolnou
cestou, tj. přes libovolné stavy
plynu.
Zvolme tedy cestu přes mezistav
p
m
, V
m
, T
m
, který je vyznačen v
p−V diagramu na obr. 4.5.
Mezistav vznikne izotermickým
přechodem (T
0
=T
m
) plynu z
počátečního stavu tak, aby jeho
objem V
m
byl shodný s
konečným objemem V plynu
(V
m
= V). Pro tento izotermický
děj bude podle rovnice (11)
platit

m0mmm00
TT V,p VpVp === .
(14)
Z mezistavu přejde plyn do konečného stavu izochorickou změnou, pro kterou
podle rovnice (12) a rovnice (14) upravené na tvar
0
0
m
p
V
V
p = platí
p
V
W
dW