skripta MO1

V
0
0
m
T
0
T
V
m
=V
p0
p
pm

obr. 4.5 p−V diagram k odvození stavové rovnice
V
T
W
dW
V =
V0
T0
T
p
V
W
dW

obr. 4.4 Závislost objemu na teplotě pro
izobarický děj
obr. 4.4 Jednoduché děje v p−V diagramu
Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 14 (36) -

T
p

T
p
V
V

T
p
T
p
=⇒=
0
0
0
m
m
,
(15)
kde jsme využili rovnosti T
m
=T
0
. Úpravou poslední rovnice dostaneme

konst =
T
V p

T
Vp
=
0
00
.
(16)
Z Avogadrova zákona vyplývá, že jeden mol všech ideálních plynů má za
normálních podmínek stejný objem, a to při tlaku p
n
=1,01325.10
5
Pa a teplotě
T
n
=273,15 K objem V
nm
=22,414.10
-3
m
3
.mol
-1
, nazvaný normální molární
objem. Pro jeden mol ideálního plynu je tedy konstanta v rovnici (16) pro
všechny plyny stejná. Nazývá se molární plynová konstanta a značíme ji R.
Její hodnotu dostaneme dosazením tlaku, teploty a molárního objemu za
normálních podmínek do rovnice (16). Pak dostaneme molární plynovou
konstantu

.Kmol.J 8,314 =
K 273,15
m
10. 22,414 . Pa10013251
11
335
−−
−
. ,
= R .
Stavovou rovnici ideálního plynu lze tedy napsat


kde p, V, T jsou stavové veličiny v libovolném stavu ideálního plynu a R
je molární plynová konstanta, R= 8,314 J.mol
-1
.K
-1

Pro n molů plynu je kon-
stanta na pravé straně
rovnice (16) rovna Rn .
Dosadíme-li do rovnice
(17) látkové množství ve
tvaru (10) dostaneme

T R
N
N
V p
A
= .
(18)
nebo-li

TkN V p = ,
(19)
kde jsme zavedli Bol-
tzmannnovu konstantu

TRn=V p
,
(17)
tl
a
k

p
tlak
p
tlak
p
O
b
j
e
m

V
O
b
j
e
m

V
O
b
j
e
m

V
T
e
p
l
o
t
a

T
T
e
p
l
o
t
a

T
T
e
p
l
o
t
a

T
Konstantní objem
Konstantní teplota
Konstantní tlak

obr. 4.6 Grafický rozbor stavové rovnice
Stavová rovnice
- 15 (36) -

K.J 1,381.10 =
mol6,023.10
.mol.KJ 8,314
123
123
11
A
−
−
−−
=
N
R
= k .
(20)
Boltzmannova konstanta je plynová konstanta vztažená na jednu molekulu
plynu.
4.3 Kontrolní otázky
(1) Co je to izoterma? Jaký má tvar v p−V diagramu?
(2) Znázorněte jednoduché děje v plynech v p−V diagramu!
(3) Napište stavovou rovnici pro libovolné množství plynu!
(4) Napište stavovou rovnici pro jeden mol plynu!
(5) Jak se mění poměr tlaku a hustoty plynu při konstantní teplotě?
4.4 Příklady k procvičení
Řešený příklad 4.1
Hustota dusíku při teplotě 0
o
C a tlaku 1,01.105 Pa je 1,251 kg.m
−3
. Určete
a) Kolik molů obsahuje jeden litr dusíku při teplotě 0
o
C? b) Jaká je
hmotnost jednoho litru dusíku při teplotě 35
o
C a tlaku 130 kPa?
Řešení:
a) Ze stavové rovnice
1111
TRnVp = určíme látkové množství n
1
pro teplotu
T
1
= 273 K, tlak p
1
= 1,01.10
5
Pa a objem V
1
= 0,001 m
3
, tedy
mol 0,0445 =
K 273 . mol.K.J 8,314
m
10. Pa10011
11
335
1
11
1 −−
−
=
. ,
=
R T
Vp
n .
b) Dále určíme molární hmotnost dusíku. Využijeme k tomu rovnici
M
m
= n
1
1
, kde látkové množství n
1
přebereme z části a) řešení příkladu a m
1

získáme z hustoty
11
V =
m1
ρ , tedy
13
333
1
11
mol.kg 1028,11. =
mol 0,0445
m
10 . m.kg2511
−−
−−
,
=
n
V
= M
ρ
.
Hmotnost jednoho litru dusíku pro teplotu T
2
= 308 K a tlak p
2
= 130 kPa
dostaneme ze stavové rovnice TRnVp
222
= , kam dosadíme
M
m
n
2
2
= a
odtud
.g 1,43 kg 101,43.
mol.kg 1028,11. .
K 308..molK.J 8,314
m10 . Pa1031
3
13
11
335
2
22
2
==
===
−
−−
−−
. ,
M
RT
Vp
m

Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 16 (36) -
Řešený příklad 4.2
V posluchárně o rozměrech 6 m, 7 m, 3,5 m je teplota 18
o
C a tlak 100 kPa.
Vypočítejte a) kolik kilogramů vzduchu je v této posluchárně b) kolik
kilogramů vzduchu unikne, nezmění-li se tlak a zvýší-li se teplota na 24
o
C.
Molární hmotnost vzduchu je 29 g.mol
−1
.
Řešení:
a) Pro teplotu T
0
= 18
o
C = 291 K a tlak p
0
= 10
5
Pa napíšeme stavovou
rovnici ve tvaru
0
0
00
T R
M
m
= Vp ,
ze které vypočítáme hmotnost
kg 176,3 =
K 291 ..molK.J 8,314
mol.kg 10 . 29 .m 147 . Pa10
11
1335
0
00
−−
−

=
RT
MVp
=
m0
,
kde objem V
0
= 6 m.7 m.3,5 m = 147 m
3
.
b) Při nezměněném tlaku a objemu a změněné teplotě je hmotnost
R T
M
V
p
m =
0
0
.
Odečtením m
0
dostaneme
)
11
.(
0
00
0
0000
0
TT

R
MVp
=
R T
MVp

R T
MVp
= mm = m −−−∆ ,
po dosazení zadaných hodnot dostaneme úbytek hmotnosti (záporný
výsledek)
kg 3,5 = )
K 291
1

K 297
1
( .
.molK.J 8,314
mol.kg 1029. . m 147 . Pa101
11
1335
−−∆
−−
−−
.
= m .

Řešený příklad 4.3
Tlaková nádoba obsahuje stlačený plyn teploty 27
o
C a tlaku 4 MPa. Jak se
změní jeho tlak, jestliže poloviční množství plynu vypustíme a teplota plynu
přitom poklesne o 15
o
C?
Řešení:
Stavovou rovnici v počátečním stavu napíšeme ve tvaru
11
2
TR
n
V = p a
v konečném stavu ve tvaru
22
2
TR
n
V = p . Když mezi sebou rovnice
vydělíme, bude
1
2
1
2
2 T
T
=
p
p

a odtud
Stavová rovnice
- 17 (36) -
MPa 1,90 = Pa 101,90. =
K 300 . 2
K 285
. Pa104
2
66
1
2
12
. =
T
T
= pp

Řešený příklad 4.4
Vypočítejte hmotnost 5 m
3
vzduchu a) na povrchu Země, b) ve výšce
h = 4 km nad Zemí, když na povrchu Země je hustota vzduchu 1,293 kg.m
−3

a atmosférický tlak 101,3 kPa.
Řešení:
a) Na povrchu Země bude mít uvažovaný objem vzduchu hmotnost
kg 6,47 = m 5 . kg.m2931
33
00
−
, V = ρ = m .
b) Podobně ve výšce h bude mít uvažovaný objem vzduchu hmotnost
V =m ρ , kde ρ je hustota vzduchu ve výšce h. Tu určíme úpravou stavové
rovnice na tvar
T R = T R
V
m
= M p ρ a odsud
T R
M p
= ρ .
Tlak vzduchu ve výšce h určíme pomocí závislosti (viz modul Chobola:
Mechanika deformovatelných těles)
)(exp
0
0
0
h
p
gρ
pp =

− ,
kterou dosadíme do předchozí rovnice a určíme hustotu vzduchu ve výšce h,
)(exp)(exp
0
0
0
0
00
h
p
gρ
ρ = h
p
gρ

R T
Mp
ρ =



−− ,
kde
R T
Mp
= ρ
0
0

je hustota vzduchu na povrchu Země pro izotermickou atmosféru. Hledaná
hmotnost vzduchu o objemu 5 m
3
ve výšce h = 4 km bude
)(exp
0
0
0
h
p
gρ
VρVm = −=ρ .
a po dosazení
kg 3,92 = ) m 4000 .
Pa 10 . 1,013
s.m 9,81 . m.kg 1,293
( exp . kg6,465
5
23 −−
− = m .
Řešený příklad 4.5
Jak hluboko pod povrchem jezera se bude hustota vzduchové bubliny
rovnat 1 % hustoty vody? Teplota vzduchové bubliny je 4
o
C a atmosférický
tlak vzduchu nad hladinou jezera je 100 kPa. Hustota vzduchu při tomto
tlaku a teplotě 0
o
C je 1,293 kg.m
−3
.
Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 18 (36) -
Řešení:
Vztahy pro závislost hustoty vzduchu na jeho tlaku a teplotě pro bublinu v
hloubce h a na hladině převezmeme z řešení předchozího příkladu, tedy
TR
M p
= ρ ,
0
0
0
T R
M p
= ρ .
Po vzájemném vydělení obou rovnic je
Tp
T
p
ρρ =
0
0
0
,
kde h g + p = p
10
ρ je tlak vzduchu v bublině pod vodou v hloubce h,
(
1
ρ
je hustota vody). Po dosazení tlaků bude hustota vzduchu v hloubce h
Tp
T
g hρ + p
ρρ =
0
0
10
0
)(
.
Vyjádřením h z poslední rovnice a s využitím podmínky ze zadání příkladu
100
1
ρ
ρ = dostaneme
T
g ρρ
T
ρ T ρ
p =
T
g ρ
T

ρ
Tρ
p =
T
g ρ
T

ρ
ρ T
ph =
0
10
0
01
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
100
100100 −
−−
,
numericky
m 70,7 =
K 273 . s.m 9,81 . m.kg
10
. m.kg 1,293 . 100
K 273 m.kg 1,293 . 100 K 277 . m.kg
10
. Pa
10
2333
333
5
−−−
−−
−
= h .
Řešený příklad 4.6
Jaká výsledná síla působí na balón objemu 3000 m
3
naplněný a) vodíkem,
b) héliem ve výšce 6000 m nad povrchem Země, při teplotě 0
o
C a tlaku
50 kPa? Hustota vzduchu za normálních podmínek ( p
0
=101 kPa,
T
0
=273 K ) je 1,293 kg.m
−3
.
Řešení:
Balón je ve vzduchu nadlehčován silou, která je rozdílem vztlakové síly
vypočtené podle Archimédova zákona a tíhy balónu, tedy
gVgV = F
pv
ρρ − , kde ρ
v
je hustota vzduchu, ve kterém se balón vznáší
a ρ
p
je hustota plynu, kterým je balón naplněn. Hustotu vzduchu ve výšce h
určíme z rovnice
)(exp
0
0
0
h
p
g
=
ρ
ρρ − ,
kterou jsme odvodili při řešení příkladu 4.4 a která bude mít po dosazení
hodnotu
3-
3
-2-3
3-
m.kg 0,609 = )m 6000 .
Pa 10101.
m.s 9,81 . m.kg 1,293
( exp m.kg2931 − , = ρ .
Stavová rovnice
- 19 (36) -
Pro výpočet hustoty vodíku resp. hélia použijeme rovnici
T R
M p
= ρ
rovněž odvozenou v příkladu [7]. To dává pro vodík, jehož molekula má
molární hmotnost 2 g.mol
−1
, hodnotu
3
11
133
H
m.kg 0,0447=
K 273 . molJ.K 8,314
mol. kg 10. 2 . Pa 10 . 50
=
−
−−
−−
ρ
a pro hélium, jehož molekula má molární hmotnost 4 g.mol
−1

3
11
133
He
m.kg 0,0894 =
K 273 . molJ.K 8,314
mol. kg 10. 4 . Pa 10 . 50
=
−
−−
−−
ρ .
Nyní, po nalezení všech potřebných hustot, již můžeme najít výslednou sílu,
kterou je balón nadlehčován.
a) Pro vodík
kN, 16,6 = N 1016,6. = )m.kg 0,0447 m.kg (0,609 .s.m .9,81m 3000 =
33323
H
−−−
−F

b) pro hélium
kN 15,3 = )m.kg 0,0894 m.kg (0,609 . s.m 9,81 . m 3000 =
3323
He
−−−
−F .
Řešený příklad 4.7
Tenký balónek kulového tvaru o poloměru 10 cm, nafouknutý vzduchem,
začne stoupat ze dna nádrže hluboké 10 m. Teplota vody u hladiny je 20
o
C
a u dna 7
o
C. Jaký bude poloměr balónku až vystoupí k hladině?
Řešení:
Vzduch v balónku, jehož látkové množství n se nemění, považujeme za
termodynamickou soustavu, pro kterou platí stavová rovnice. U dna ji
napíšeme ve tvaru
111
TRnVp = , u hladiny bude
222
TRnVp = . Rovnice
mezi sebou vydělíme a po úpravě dostaneme objem
12
21
12
Tp
Tp
VV = .
Balónek tvaru koule má u dna objem
3
11
3
4
rV π= , protože u dna je tlak
součet hydrostatického a atmosférického tlaku p
1
= ρ g h + p
a
. U hladiny,
kde je atmosférický tlak p
2
= p
a
, má objem
3
22
3
4
rV π= . Dosazením objemů
a tlaků dostaneme
1a
2a
3
1
3
2
)(
3
4
3
4
Tp
T ph + g
r = r
ρ
ππ
a úpravou
Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 20 (36) -
3
1a
2a
12
)(
Tp
T ph + g
= rr
ρ
,
po dosazení
cm 12,8 =
K 280 . Pa
10
K 293 . ) Pa 10+ m 10 . s.m 9,81 . m.kg
10
(
cm10
3
5
5233
2
−−
= r .

Neřešený příklad 4.8
Určete hustotu CO
2
při teplotě 0
o
C a tlaku 93 kPa, víte-li že při 0
o
C a tlaku
101 kPa je hmotnost jednoho litru CO
2
1,96 g. [1,8 kg.m
−3
]
Neřešený příklad 4.9
Vypočtěte hmotnost kyslíku uzavřeného při přetlaku 50 kPa a teplotě 25
o
C
v nádrži o objemu 60 l. Tlak vzduchu je 101 kPa. [117 g]
Neřešený příklad 4.10
Určete hustotu CO
2
při tlaku 90 kPa a teplotě 10
o
C, víte-li, že atomová
hmotnost uhlíku je 12 a atomová hmotnost kyslíku je 16. [1,68 kg.m
−3
]


Stavová rovnice
- 21 (36) -
5 Souvislost stavových veličin s pohybem
částic
Termodynamické soustavy obsahují velký počet částic (atomů nebo molekul)
stejného typu. Stavové veličiny, které popisují vnější projev těchto soustav,
nejsou veličiny popisující vlastnosti individuálních částic, ale jsou to veličiny
související se středními hodnotami veličin všech částic. Vztahy pro výpočet
těchto středních hodnot nám poskytuje počet pravděpodobnosti. V dalším
výkladu se omezíme na ideální plyn.
5.1 Hustota rozdělení rychlostí molekul
Budeme se zajímat o rychlosti částic, které tvoří plyn, tedy o rychlosti molekul
plynu. Považujme rychlost molekuly za náhodnou veličinu a vezměme si na
pomoc pravděpodobnost. Zaveďme hustotu rozdělení rychlostí molekul plynu.
Ve shodě s počtem pravděpodobnosti to bude funkce )(vf pro kterou platí

N
dN
dvvf =)(, (21)
kde dN je počet molekul plynu s rychlostí v intervalu ),( dvvv + a N je počet
všech molekul v plynu. Je zřejmé, že rychlost každé molekuly musí patřit do
intervalu ),0( ∞ a proto musí v souladu s rovnicí (21) platit

1)(
0
=
∫
∞
dvvf .
(22)
Rovnice (22) je normovací podmínka hustoty rozdělení rychlostí molekul.
Funkci hustoty rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu odvodili
Maxwell a Boltzmann ve tvaru

)
2
exp()
2
(
4
)(
2
2
2
3
T k
vm
v
T k
m
vf −=
π
, (23)
kde v je rychlost molekuly plynu,
m hmotnost jedné molekuly, k je
Boltzmannova konstanta a T je
absolutní teplota plynu. Graficky
je vztah (23) znázorněn pro
vzduch a tři teploty plynu na obr.
5.1. Jak je vidět, hustota rozdělení
rychlostí molekul není symetrická
funkce. Maximu křivky odpovídá
nejpravděpodobnšjší rychlosti
molekul. Na grafu dále můžeme
zhodnotit vliv teploty na rozložení
rychlostí. Zvýšením teploty dojde
k posuvu nejpravděpodobnější
Pravděpodobnost,
že rychlost moleku-
ly bude mezi 0 až
∞ je jistota.
f (v)
v/m.s
-1

obr. 5.1 Hustota rozdělení rychlostí molekul
vzduchu pro tři teploty
Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 22 (36) -
rychlosti k vyšším hodnotám. Zvýšením hmotnosti molekuly dojde ke snížení
nejpravděpodobnější rychlosti částic.
5.2 Charakteristické rychlosti molekul plynu
Zjistit skutečné rychlosti jednotlivých molekul plynu není možné. Z hlediska
fyziky jsou však zajímavé spíše
veličiny, popisující plyn jako celek,
což jsou takové, které jsou přístupné
měření.
Z funkce hustoty rozdělení rychlostí
molekul ideálního plynu (23) může-
me spočítat tři charakteristické rych-
losti pro molekuly ideálního plynu.
Jsou to rychlost nejpravděpodob-
nější, rychlost průměrná a nejvý-
znamnější rychlost střední kvadra-
tická.
5.2.1 Nejpravděpodobnější rychlost
Nejpravděpodobnější rychlost molekul plynu
p
v je rychlost, kterou se
pohybuje největší počet molekul plynu. Tato rychlost tedy odpovídá maximální
hodnotě rozdělovací funkce (23). Proto ji vypočítáme tak, že derivaci funkce
dv
vfd )(
položíme rovnu nule. Tím dostaneme rovnici


kT
m v
v )
kT
vm
(v 0)
2
exp(]2[
2
p
p
p2
p
=−+− , (24)
ve které musí být nulový člen v hranaté závorce. Jednoduchým uspořádáním
dostáváme výraz pro nejpravděpodobnější rychlost molekul plynu


m
Tk
v
2
p
= . (25)
5.2.2 Průměrná rychlost
Průměrná rychlost molekul plynu v je střední hodnota všech rychlostí
molekul plynu. Vypočteme ji tedy jako

dvf(v)Nv
N
v
∫
∞
=
0
1
,
(26)
v
f(v)
Maxwe
l
l
o
v
a
hu
s
t
o
t
a
ro
z
d
ě
le
n
í
ry
c
h
l
o
stí
rychlost molekuly
ne
j
p
rav
d
ě
po
do
bn
ě
jš
í
r
y
c
h
lo
st
pr
ů
m
ě
rná
ry
c
h
los
t
st
ř
ed. kv
adratick
á

ry
chlos
t
v
p
v
v
sk

obr. 5.2 Charakteristické rychlosti molekul
plynu
Stavová rovnice
- 23 (36) -
kde f(v)NvdN = je, v souladu s definicí (21), počet molekul pohybující se
rychlostí v až v+dv. Po dosazení rozdělovací funkce (23), substituci
Tk
vm
z
2
2
= a
integraci dostaneme pro průměrnou rychlost molekul plynu výsledek


m
Tk
v
π
8
= .
(27)
5.2.3 Střední kvadratická rychlost
Pro popis termodynamické soustavy jedinou rychlostí molekul není
nejvýhodnější nejpravděpodobnější rychlost. Pro popis je výhodnější střední
kvadratická rychlost molekul plynu v
sk
. Definujeme ji tak, že její kvadrát
zjišťujeme jako střední hodnotu kvadrátů rychlostí jednotlivých částic, tedy
podle rovnice

dvvfNv
N
dNv
N
v
)(
1
=
1
=
2
0
2
0
2
sk
∫∫
∞∞
,
(28)
ve které dvvfNdN )(= udává v souladu s definicí (21) počet molekul s
rychlostí v až v+dv. Integrál ve vztahu (28) tedy udává součet kvadrátů
rychlostí všech částic. Vydělíme-li jej počtem částic N, dostáváme čtverec
střední kvadratické rychlosti jedné částice. Řešením rovnice (28) s využitím
rozdělovací funkce (23) dostaneme

)
2
( exp )
2
(
4
=
2
4
0
2
3
2
sk
dv
Tk
mv
v
kT
m
v
−
∫
∞
π
.
(29)
Po vyřešení integrálu v rovnici (29) získáme vztah pro střední kvadratickou
rychlost molekul plynu


3
=
sk
m
Tk
v
. (30)

Střední kvadratická rychlost má pro termiku mimořádný význam. Je to
proto, že řada veličin v termice (např. vnitřní energie, teplota, tlak) jsou
funkcí kvadrátů rychlostí. Počítáme-li tedy např. průměrnou energii
molekuly, hledáme vlastní střední hodnotu kvadrátů rychlostí (protože
2
2
1
k
vmE = ). Proto budeme při odvozování veličin, které závisí na
rychlosti molekuly, dosazovat za rychlost střední kvadratickou rychlost.
Pomocí střední kvadratické rychlosti snadno vyjádříme teplotu nebo tlak
ideálního plynu. Jednoduchou úpravou rovnice (30) dostaneme teplotu ve tvaru
Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 24 (36) -


3
1
2
sk
k
vm
T = . (31)
Pokud chceme získat tlak plynu, upravíme stavovou rovnici (19) na tvar
V
TkN
p = a postupně dosadíme za teplotu z rovnice (31), a zlomek
V
mN

nahradíme hustotou plynu, protože Nm je celková hmotnost plynu. Dostaneme
rovnici

2
sk
3
1
v = p ρ , (32)
kterou jsme již odvodili jiným způsobem v kapitole 3.1.
5.3 Kontrolní otázky
(1) Napište normovací podmínku pro hustotu rozdělení rychlostí molekul!
(2) Je funkce hustoty rozdělení rychlostí molekul plynu závislá na
polohách molekul a na směru jejich rychlostí?
(3) Vyjádřete graficky tvar funkce hustoty rozdělení rychlostí molekul f(v)
pro tři rostoucí teploty plynu!
(4) Vyjádřete graficky tvar funkce hustoty rozdělení rychlostí molekul f(v)
pro tři rostoucí hmotnosti molekul!
(5) Čemu odpovídá maximum funkce hustoty rozdělení rychlostí molekul
f(v)?
(6) Jak je definována střední kvadratická rychlost molekul plynu?
(7) Proč má pro termiku střední kvadratická rychlost mimořádný
význam?
(8) Jak závisí teplota plynu na střední kvadratické rychlosti jeho molekul?
(9) Jak závisí tlak plynu na střední kvadratické rychlosti jeho molekul?
5.4 Příklady k procvičení
Řešený příklad 5.1
Při které teplotě se střední kvadratická rychlost molekul oxidu uhličitého
rovná střední kvadratické rychlosti molekul dusíku při teplotě 0
o
C?
Řešení
Hmotnost jedné molekuly plynu označíme m
0
a rovnici pro střední
kvadratickou rychlost molekul plynu (30) upravíme s využitím relace pro
Boltzmannovu konstantu
M
Rm
=
m
M
R
=
N
R
= k
0
0
A

Stavová rovnice
- 25 (36) -
na tvar
M
R T

m
k T
v
33

0
sk
== .
Využijeme zadané podmínky pro rovnost středních kvadratických rychlostí
pro dva různé plyny při dvou různých teplotách, tedy
2
2
1
1
33
M
T R

M
T R
= .
Molární hmotnost dusíku N
2
je M
1
= 28 g.mol
-1
a molární hmotnost CO
2

M
2
= (12+32) g.mol
-1
= 44 g.mol
-1
. Pro hledanou teplotu oxidu uhličitého,
tedy dostaneme
1
1
2
2
T
M
M
= T ,
po dosazení hodnot
K 429 = K 273 .
mol.g 28
mol.g44
1
1
2
−
−

= T ,
což je 156
o
C.
Řešený příklad 5.2
Vypočítejte, kolik procent molekul argonu se při teplotě 120
o
C pohybuje v
intervalu rychlostí od 2000 km.h
-1
do 2330 km.h
-1
!
Řešení:
Relativní počet molekul, vztažený k celkovému počtu molekul N, s rychlostí
v intervalu (v,v+dv), udává vztah vycházející z rovnice (21) dv f(v) =
N
dN
,
kam za hustotu rozdělení rychlostí dosadíme rovnici (23), tedy
dv
Tk
vm
v
Tk
m

π
=
N
dN
)
2
(exp)
2
(
4
2
2
2
3
− . (P1)
hustotu rozdělení rychlostí zjednodušíme zavedením relativní rychlosti v
r

jejíž diferenciál získáme derivací
m
k T
v

v
v

vr
2
p
== , )
2
(
m
Tk
vdv = d
r
, (P2)
kde
p
v je nejpravděpodobnější rychlost molekul plynu určená rovnicí (25).
Po dosazení obou substitucí (P2) do výchozí rovnice (P1) je
r
2
r
2
rrr
)( exp
4
= )( dvvvdv
v
f =
N
Nd
−
π
, (P3)
Apl