skripta MO1

ikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 26 (36) -
přičemž zde, na rozdíl od významu v rovnici (P1), poměr
N
dN
určuje
relativní počet molekul s rychlostí v intervalu
rrr
, dvvv + . Relativní počet
molekul, jejichž rychlost překračuje určitou hodnotu, jinými slovy počet
molekul, jejichž relativní rychlosti leží v intervalu )∞,
r
v , určuje integrál
r
2
r
2
r
)exp(
4
dvvv
π
=
N
N
v
x
r
−
∫
∞
. (P4)
Nejpravděpodobnější rychlost molekul plynu v souladu s rovnicí (25) je
M
TR
=
mN
TR
=
m
Tk
v
222
A
p
= ,
kam jsme postupně dosazovali vztahy
A
N
R
= k a mN = M
A
. Po dosazení
hodnot
11
13
11
p
h.km 1454 = s.m 404 =
mol.kg 1040.
K 393 . .molK.J 8,314 . 2
=
−−
−−
−−
v .
Dále podle zadání příkladu hledáme relativní rychlosti
1,375
h.km 1454
h.km 2000

1
1
p
1
1r
===
−
−
v
v
v
, 1,602
h.km 1454
h.km 2330

1
1
p
2
2r
===
−
−
v
v
v
.
Numerickou integrací rovnice (P4) dostaneme relativní počet molekul s
vyšší relativní rychlostí než 1,375 30,0 =
N
N x
a relativní počet molekul s
vyšší relativní rychlostí než 1,602 18,0 =
N
N x
. Zjistili jsme, že 30 % molekul
má větší rychlost než 2000 km.h
-1
a 18 % molekul má rychlost vyšší než
2330 km.h
-1
. V intervalu rychlostí 2000 km.h
-1
až 2330 km.h
-1
se pohybuje
rozdíl (30 − 18) % = 12 % molekul argonu.
Neřešený příklad 5.3
Při jaké teplotě je střední kvadratická rychlost molekul dusíku právě
poloviční jako při pokojové teplotě 20
o
C? [-200
o
C]
Neřešený příklad 5.4
Kolik molekul je v nádobě tvaru koule o poloměru 3 cm naplněné kyslíkem,
když jeho teplota je 27
o
C a tlak 1,33.10
-2
Pa? [3,63.10
14
molekul]
Neřešený příklad 5.5
Střední kvadratická rychlost molekul plynu je 1200 m.s
-1
. Jakým tlakem
působí tento plyn na stěnu nádoby, je-li jeho hustota 1,29 kg.m
-3
?
[6,19.10
5
Pa]

Teplotní roztažnost látek
- 27 (36) -
6 Teplotní roztažnost látek
Všechny látky (kromě několika anomálií) se s rostoucí teplotou roztahují.
U plynů hovoříme o rozpínavosti a ta byla popsána v předchozím článku.
Zde se zaměříme na teplotní roztažnost pevných látek a kapalin, která je (až
na výjimky) podstatně menší než u plynů. Budeme předpokládat, že změnám
rozměrů není bráněno, a že napětí v látce je tedy nulové.
6.1 Délková a teplotní roztažnost
Teplotní délkové změny se popisují teplotním součinitelem délkové
roztažnosti α. Je definován vztahem



kde l je délkový rozměr tělesa a
T
l
∂
∂
je změna délkového rozměru tělesa
připadající na teplotní změnu 1 K. Teplotní součinitel α je obecně funkcí
teploty, v omezeném teplotním rozsahu však můžeme jeho teplotní
závislost zanedbat.
V tom případě, v souladu s definicí (33), je délka tělesa určena vztahem

00
= kde)1()( TTT ,T + lTl −∆∆= α ,
(34)
kde l(T) je délka tělesa odpovídající teplotě T a l
0
je délka tělesa odpovídající
teplotě T
0
.
6.2 Objemová teplotní roztažnost
Objemovou teplotní změnu těles dostaneme tak, že si těleso představíme jako
kvádr rozměrů a
0
, b
0
, c
0
při teplotě T
0
a rozměrů a, b, c při teplotě T. Pak s
využitím rovnice (34) dostaneme objem tělesa při teplotě T

T + c b a = c ba = V )1(
3
000
∆α , (35)
Třetí mocninu závorky je možné provést a zanedbat všechny členy s ∆T s
mocninou větší 2. Za předpokladu, že
0000
c
b
aV = je objem tělesa při teplotě
T
0
, dostaneme

)1(
0
T + V V ∆= γ ,
(36)
kde γ je teplotní součinitel objemové roztažnosti.


T
l
l
= )(
1
∂
∂
α , (33)
Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 28 (36) -
Teplotní součinitel objemové roztažnosti αγ 3= je definován
vztahem


kde V je objem tělesa a
T
V
∂
∂
je změna objemu tělesa připadající na
teplotní změnu 1 K.

6.3 Kontrolní otázky:
(1) Definujte teplotní součinitele délkové a objemové roztažnosti látek!
(2) Pomocí Gay-Lussacova zákona odvoďte hodnotu teplotního
součinitele objemové roztažnosti plynů při konstantním tlaku!
[Výsledek: γ=1/T
0
]
(3) Jaký pohyb částic je příčinou teplotní roztažnosti látek?
(4) Proč se neprojeví teplotní roztažnost látky, jejíž molekuly se pohybují
jako lineární harmonické oscilátory?
(5) Jak souvisí teplotní součinitel délkové roztažnosti s meziatomovou
vzdáleností látky?
(6) Jak ovlivňuje frekvence a hmotnost kmitajících částic, ze kterých je
látka složena, její teplotní součinitel délkové roztažnosti? [Pomůcka:
viz definice tuhosti oscilátoru!]
6.4 Příklady k procvičení
Řešený příklad 6.1
Mosazná koule má při teplotě 15
o
C průměr 4 cm. Jakým minimálním
kruhovým otvorem by koule prošla při teplotě 555
o
C? Pro mosaz je teplotní
součinitel délkové roztažnosti α = 19.10
−6
K
−1
.
Řešení
Hledáme průměr koule při teplotě T
2
= 555
o
C. Najdeme ho řešením rovnice
cm 4,04 = ]K 15)-.(555
K

10
19. + .[1cm4)(
-1-6
0
= T + 1 d = d ∆α .
Řešený příklad 6.2
Ocelovou tyč s průřezem 2 cm
2
zahřejeme z teploty 0
o
C na teplotu 50
o
C a
pak ji prudce ochladíme na původní teplotu. Jakou nejmenší silou ve směru
osy tyče musíme působit na tyč, aby se při ochlazení nezkrátila.
Předpokládáme, že modul pružnosti má hodnotu E = 20,6.10
10
Pa, která se s
teplotou nemění. Teplotní součinitel délkové roztažnosti pro ocel je
12.10
−6
K
−1
.

)(
1

T
V

V

∂
∂
=γ . (37)
Teplotní roztažnost látek
- 29 (36) -
Řešení:
Zvýšením teploty o ∆T, se tyč prodlouží o T
l
= l
0
∆∆ α . O stejnou
hodnotu by se tyč zkrátila snížením teploty o ∆T. Aby se tyč nezkrátila, je
potřeba ve směru její osy působit silou, která by vyvolala prodloužení o ∆l,
tedy
S
F
.
E
=
l
l 1
0
∆
,
kde E je modul pružnosti v tahu. Z toho
αα T SE = T l
l
SE
= l
l
SE
= F
0
∆∆∆
0
0
,
což po dosazení bude
kN 24,7 = N 720 24 =
C
10. 12 . C
50
. ) m
10
( . 2 . Pa106,20
-16 o
2
-210 o
. = F
−
.
Řešený příklad 6.3
Ocelový kužel, který má při pokojové teplotě T
0
= 20
o
C základnu o
průměru c
0
= 12 cm a výšku d
0
= 14 cm, je vsunut vrcholem dolů do
hliníkové válcové nádoby, která má při pokojové teplotě průměr základny
a
0
= 10 cm a výšku b
0
= 30 cm, jak ukazuje obrázek obr. A.11. Kužel i s
nádobou zahřejeme na teplotu T = 300
o
C. a) Vypočítejte, o kolik milimetrů
se po zahřátí změní vzdálenost vrcholu kužele od dna nádoby.
b) Rozhodněte, zda se vzdálenost zvětší nebo zmenší. Teplotní součinitel
délkové roztažnosti pro ocel je α
1
= 12.10
−6
K
−1
a pro hliník
α
2
= 24.10
−6
K
−1
.
Řešení:
a) Z podobnosti trojúhelníků vyplývá
y
a
=
d
c
a tedy
c
d
a =y .
Hledaná vzdálenost od dna nádoby je
c
d
a b =y b = x −− .
Rozdíl této vzdálenosti pro teplou a
studenou soustavu je
02
0
0
002
0
0
2020
0
0
00
10
10
2020
0
0
000
)(
)1(
)1(
)1()1(
)(
xT
c
d
a bT =
c
d
T aT = b

=
c
d
+ a b
T +
c
T +
d
T + aT + = b

=
c
d
a b
c
d
a = b xx = x
∆=−∆∆−∆
−
∆
∆
∆−∆
−−−−∆
αααα
α
α
αα
y
x
c
d
a
b

Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 30 (36) -
a po dosazená teplotního rozdílu ∆T = T − T
0
= 280 K a ostatních zadaných
veličin
mm 1,23 = cm 0,123 = )
cm12
cm 14
. cm 10 cm 30 ( . K 280 . K1024
16
−∆
−−
. = x .
b) Má-li se vzdálenost po zahřátí zvětšit, musí platit ∆x > 0, neboli
0
0
0
000
>
c
d
a bx −= ,
což odpovídá podmínce
cm 11,7 =
cm 12
cm 14
. cm10
0
0
00
=
c
d
a >b ,
která je splněna. Vzdálenost po zahřátí se tedy zvětší.
Neřešený příklad 6.4
Při teplotě 10
o
C má zinková tyč délku 200 mm a měděná 201 mm. Jejich
příčné rozměry jsou při této teplotě stejné. Při které teplotě budou mít obě
tyče a) stejné délky, b) stejný objem. Teplotní součinitel délkové roztažnosti
pro zinek je 26,3.10
−6
K
−1
, pro měď 16,8.10
−6
K
−1
. [a) 541
o
C, b) 187
o
C]
Neřešený příklad 6.5
Tenkostěnná křemenná nádobka, jejíž teplotní roztažnost je zanedbatelná, je
naplněna při −22
o
C suchým vzduchem tlaku 100 kPa a neprodyšně
uzavřena. Určete teplotu, na kterou může být nádobka bezpečně zahřátá,
snesou-li její stěny maximální tlak 151 kPa. [106
o
C]

Měření teploty
- 31 (36) -
7 Měření teploty
Se změnou teploty látek se mění řada dalších veličin, které jsou poměrně
snadno měřitelné a umožňují tedy měření teploty. Zařízení, pomocí kterého
měříme teplotu, je teploměr, nebo teplotní čidlo. Podle toho, jestli teploměr
dáváme do styku s látkou, jejíž teplotu měříme, rozdělujeme teploměry na
kontaktní a bezkontaktní. Podle fyzikální veličiny, která na teplotu reaguje a
pomocí které teplotu indikujeme, rozdělujeme teploměry do několika skupin.
7.1 Dilatační teploměry
Dilatační teploměr pracuje na principu změny délky nebo objemu látky s
teplotou. Princip kapalinového teploměru je dán odlišnou teplotní objemovou
roztažností skleněné nádobky a v ní obsažené kapaliny. Kapalinou může být
například rtuť. Má přibližně lineární teplotní roztažnost v rozmezí −38,87
o
C
(bod tuhnutí) až 265
o
C. Při měření pod teplotu −38
o
C se kapalinové
teploměry plní lihem (ethylalkoholem), který je použitelný v oblasti teplot
−114
o
C (bod tuhnutí) až 78
o
C (bod varu).
Kapalinový teploměr můžeme sestrojit rovněž jako teplotní elektrický spínač.
Do kapiláry, v níž stoupá zespodu roztahující se rtuť, zavedeme shora tenký
drátek, jehož koncovou polohu nastavíme magnetem. Po vystoupení rtuťového
sloupce k drátku dojde k elektricky vodivému spojení kovů a uzavření
elektrického obvodu.

Kovové dilatační teploměry se používají hlavně jako spínače. V širším
teplotním rozsahu mají průběh teplotní roztažnosti nelineární, a proto k měření
absolutní teploty nejsou vhodné. Efekt délkových změn u kovových dilatačních
teploměrů zvyšujeme pomocí geometrických úprav. Stočíme například kovový
pásek větší délky do spirály, jeden jeho konec upevníme a druhý připevníme k
ručičce, která na stupnici ukazuje teplotu. Dvojkovové nebo-li bimetalové
teploměry pracují na principu různé teplotní roztažnosti dvou kovů. Spojíme-li
plošně dva kovové pásky různé teplotní roztažnosti vytvarované do kruhového
oblouku, jak dokumentuje obr. 7.2, bude se vlivem různé teplotní roztažnosti
kovů měnit poloměr r oblouku a tím i vzdálenost d konce oblouku. Této
d
kov 2

R
T
W
dW

obr. 7.2 Princip bimetalového teploměru obr. 7.2 Teplotní závislost odporu pro kov,
polovodič (termistor) a polovodičovou diodu
Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 32 (36) -
vlastnosti lze využít především ke konstrukci spínacích teploměrů, umístíme-li
na spojnici d proti sobě kontakty.
Tlakové teploměry
Tlakové teploměry jsou nádobky konstantního objemu naplněné plynem
(vodík, helium, dusík a pod.), u něhož se v širokém rozsahu teplot mění tlak
lineárně s teplotou, viz rovnice (12). Ke zjištění teploty měříme tlakoměrem
tlak plynu.
7.2 Elektrické teploměry
a) Elektrické odporové teploměry jsou založeny na principu změny
elektrického odporu látek s teplotou. Odpor kovového odporového teploměru
s teplotou lineárně stoupá, přibližně podle rovnice

)1(
0
T + β R = R ∆ ,
(38)
kde β je teplotní součinitel elektrického odporu, který je např. u platiny
β=3,7.10
−3
K
−1
. Citlivost odporových teploměrů, tj. jejich relativní změna
odporu při teplotní změně 1 K, je definována vztahem


dT
dR

R
s =
1
, (39)
Pro kovy je citlivost (s = β) poměrně malá. Navíc kovové odporové teploměry
nelze miniaturizovat, protože by se příliš zmenšil jejich elektrický odpor. Tím
se nedá snížit jejich značná teplotní setrvačnost.
Mírou setrvačnosti teplotního čidla je časová konstanta


S
K
=
α
τ ,
(40)
kde K je tepelná kapacita čidla, S je jeho povrch a α je koeficient přestupu tepla
mezi čidlem a okolím.
Výhodnější jsou polovodičové odporové teploměry, které nazýváme
termistory. Jejich závislý odpor se řídí rovnicí


T
B
R = R )(exp
0
, (41)
Citlivost termistoru
2
T
B
s = − strmě klesá s rostoucí teplotou. Ještě v oblasti
pokojových teplot je však citlivost termistorů větší než kovových odporových
teploměrů, např. pro křemík při teplotě 300 K je s = 1.10
−2
K
−1
. Termistory je
možné dobře miniaturizovat a tím snížit jejich teplotní setrvačnost.
Výhody kovových odporových teploměrů (lineární teplotní závislost) a
termistorů (miniaturizace) spojuje odporový teploměr na bázi polovodičové
diody. Závislost odporu na teplotě polovodičové diody v oblasti teplot 70 K až
400 K je klesající přímka
Měření teploty
- 33 (36) -

)1(
0
T+βR=R ∆ ,
(42)
kde pro křemíkovou diodu je β = −4.10
−3
K
−1
, tedy citlivost s = β je
přibližně stejně velká jako u kovových odporových teploměrů. Možnost
miniaturizace je u diod velmi dobrá, navíc jsou cenově velmi dostupné. Ze
všech uvedených odporových teploměrů jsou diodové odporové teploměry
nejvýhodnější.
Grafické průběhy odporu v závislosti na teplotě pro kov, polovodič (termistor)
a polovodičovou diodu jsou na obr. 7.2.
b) Termočlánky jsou elektrické
teploměry, které na principu
Seebeckova jevu převádějí teplotní
rozdíl na termoelektrické napětí.
Jde tedy o zdroje elektrického
proudu, jejichž elektromotorické
napětí se řídí rozdílem teplot.
Klasický termočlánek vznikne spoje-
ním dvou kovů nebo polovodičů, jejichž výstupní práce se liší. Výstupní prací
se rozumí energie, kterou musíme dodat volnému elektronu v kovu nebo
polovodiči, aby opustil povrch, tedy
aby z kovu nebo polovodiče
"vystoupil".

...TcTb=a
U T
+∆+∆+
2
, (43)
Spojení provedeme ve dvou spojích
S, S
0
, jak uvádí obr. 7.3. Spoj ter-
močlánku S
0
nazýváme referenční,
na něm udržujeme definovanou
konstantní teplotu T
0
, např. T
0
= 0
o
C. Druhý spoj termočlánku S slouží k
měření teploty T, přičemž termoelektrické napětí na termočlánku U
T
je funkcí
rozdílu teplot ∆T=T−T
0
podle rovnice, kde koeficienty a, b, c, ... jsou
zjišťovány měřením nebo jsou tabelovány pro kombinace kovů nebo
polovodičů. Dle požadované přesnosti výpočtu termoelektrického napětí se
považují za nenulové pouze koeficienty a, b, při přesnějších měřeních ještě
koeficient c. Termoelektrická napětí na kovových termočláncích bývají velmi
malá (do 0,1 mV K
−1
) a jejich měření vyžaduje citlivé voltmetry s vysokým
vnitřním odporem nebo použití kompenzačních měřících metod.
Při méně přesných měřeních se používá zapojení termočlánku podle obr. 7.4.
Potom se netemperuje referenční spoj, který se zde vlastně vyskytuje dvakrát
(spoje připojení k měřícímu obvodu) a ponechává se na teplotě okolí T
0
.
7.3 Radiační teploměry
Radiační teploměry pracují na principu měření teplotního záření
(elektromagnetického záření černého tělesa), o kterém je podrobněji pojednáno
v modulu Termika-Záření. Radiační měření teplot je bezkontaktní. Teplotní
elektromagnetické záření vysílají všechna tělesa, jejichž teplota je vyšší než 0
vodič B
vodič B
S, T S
0
, T
0
obr. 7.3 Termočlánek s referenčním spojem
S, T

obr. 7.4 Termočlánek bez referenčního spoje
Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 34 (36) -
K. Při konstantní teplotě tělesa je nejintenzivnější teplotní záření určité vlnové
délky, podle níž lze zjistit teplotu povrchu tělesa. Podle Planckova zákona
záření (viz rovnice v modulu „Záření“) platí, že čím vyšší je teplota tělesa, tím
intenzivnější záření těleso vysílá a současně klesá vlnová délka záření.
Záření těles není vždy viditelné lidským okem, záleží na vlnové délce záření a
tím nepřímo na teplotě zářícího tělesa. Chladnější tělesa (T < 500
o
C) vyzařují
infračervené záření (elektromagnetické vlnění vyšších vlnových délek,
0,7 µm < λ < 10,6 µm). Pro detekci tohoto záření jsou nejvýhodnější
polovodičové fotodetektory, ať už jako homogenní polovodič, nebo
polovodičová struktura. Pro měření v oblasti vlnových délek 0,7 µm až 1 µm
mají dominantní postavení prvky na bázi křemíku. Křemík je ještě vhodný pro
pásmo viditelných vlnových délek (0,38 µm < λ < 0,7 µm) a pro infračervenou
oblast až do vlnové délky asi 1,1 µm. Pro oblast vlnových délek 1,1 µm až
1,6 µm se používají fotodetektory na bázi germania a zejména fotodetektory na
bázi sloučenin A
III
B
V
.
Teplotní záření těles o teplotě vyšší než
520
o
C je možné pozorovat lidským okem.
Teploměry, pracující v této oblasti teplot
jsou pyrometry. Porovnávají barvu povrchu
tělesa, jehož teplotu měříme, s barvou
vodiče, který je rozžhaven známým
elektrickým proudem. Jsou-li barvy
zmíněných dvou těles shodné, jsou shodné i
jejich teploty (platí přesně pro absolutně
černá tělesa). Převodní charakteristika je
závislost teploty na elektrickém proudu
žhaveného vodiče T=f ( I ). Musíme ji zjistit
cejchováním, nebo je dodávána s
pyrometrem. Pyrometry spolehlivě pracují
od teplot 600
o
C. Podle barvy teplotně
zářících těles můžeme podle tab. 7.1 stanovit jejich teplotu orientačně, bez
měřících přístrojů.
Na principu teplotního záření pracuje rovněž termovize, jejíž kamera je citlivá
na široký rozsah teplotního záření. Grafická informace o teplotě těles (zejména
o rozložení teplot) se předává ve formě barevných útvarů na displeji nebo
fotografii.
7.4 Kontrolní otázky
(1) Na jakém principu pracují kontaktní teploměry?
(2) Popište princip činnosti bimetalového teplotního elektrického spínače!
(3) Jaké jsou výhody a nevýhody termistoru proti kovovému odporovému
teploměru?
(4) Jaké jsou výhody a nevýhody termodiody proti termistoru?
(5) Jak je definována citlivost odporového teploměru?
(6) Je možné zhotovit termočlánek z polovodičů?

barva

teplota/
o
C
temně červená na
hranici vnímání
520
třešňově červená 900
oranžová 1100
žlutá 1200
zažloutle bílá 1300
bílá až oslňující >1500
tab. 7.1 Teploty některých barev
teplotního záření
Sloučeninou typu
A
III
B
V
se rozumí
sloučenina složená
z prvků III a V
grupy periodické
soustavy prvků,
např. CdTe
Měření teploty
- 35 (36) -
(7) Musí být pro funkci termočlánku jeden jeho spoj udržován v teplotní
lázni?
(8) Jak lze měřit teplotu bezkontaktně?
(9) Jakého teplotního čidla použijeme pro bezkontaktní měření teploty
tělesa, která je nižší než 500
o
C?
(10) Jak a od kterých nejnižších teplot pracuje pyrometr?
(11) Čím určíte bezkontaktně rozložení teplot na stěně v místnosti?
(12) Dokažte platnost vztahu (40) τ = K / (α.S)! [Pomůcka: Využijte rovnici
termodynamiky Q = K.(T
1
−T
2
) a rovnici přestupu tepla
q(t)=α.[T(t)−T
2
)], kde t je čas, T
1
počáteční a T
2
konečná teplota
čidla. Viz také moduly Termika-Termodynamika a Termika-Přenos
tepla.


Aplikovaná fyzika · Stavové veličiny soustav
- 36 (36) -
8 Závěr
8.1 Shrnutí
Modul STAVOVÉ VELIČINY TERMODYNAMICKÝCH SOUSTAV
pojednává o oblasti fyziky vztahující se k popisu látky stavovými veličinami.
Základním stavovými veličinami jsou tlak, objem, teplota a látkové množství.
Kromě stavových veličin byly vysvětleny pojmy termodynamická soustava,
rovnovážný stav, ideální plyn, stavová rovnice ideálního plynu, jednoduché
děje v ideálních plynech, souvislost stavových veličin s pohybem částic,
teplotní roztažnost látek, měření teploty.
8.2 Studijní prameny
8.2.1 Seznam použité literatury
[1] Schauer, P. Termika a záření. CERM 1998
[2] Horák, Z., Krupka, F. Fyzika. SNTL/ALFA 1976, 2 svazky
[3] Binko, J., Kašpar, I. Fyzika stavebního inženýra. SNTL/ALFA 1983
[4] Krempaský, J. Fyzika. ALFA/SNTL 1982
8.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury
[5] Holliday, D., Resnick, R, Walker, J. Fyzika. VUT/VUTIUM 2000
8.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny
[6] http://fyzika.fce.vutbr.cz