Skripta - Silové soustavy

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
ING. JIŘÍ KYTÝR, CSc.
ING. ZBYNĚK KERŠNER, CSc.
ING. ROSTISLAV ZÍDEK
ING. ZBYNĚK VLK
ZÁKLADY
STAVEBNÍ MECHANIKY
MODUL BD01-MO1
SILOVÉ SOUSTAVY

STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Silové soustavy




Vážení uživatelé tohoto učebního textu,
dovolujeme si Vás požádat o malé strpení pro využívání této učební pomůcky pro Vaše studi-
um. Při závěrečné kontrole byly navrženy další vylepšující úpravy a drobné formální opravy,
které přispějí ke zlepšení kvality učebního textu.
Z časových důvodů však nebylo možné je dosud realizovat. Předpokládáme, že opravy prove-
deme do konce roku 2005. Posečkejte proto prosím se stahováním a používáním, dokud ne-
zmizí tento upozorňující text.
Děkují autoři
























© Jiří Kytýr, Zbyněk Keršner, Rostislav Zídek, Zbyněk Vlk, Brno 2004
- 2 (48) -
Obsah
OBSAH
1 Úvod ...............................................................................................................5
1.1 Cíle........................................................................................................5
1.2 Požadované znalosti..............................................................................5
1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5
1.4 Klíčová slova.........................................................................................5
2 Úvod do stavební mechaniky.......................................................................7
2.1 Základní pojmy a principy ....................................................................7
2.2 Mechanika pevných těles ......................................................................8
2.3 Výpočty nosných stavebních konstrukcí...............................................8
2.4 Statika dokonale tuhých těles................................................................8
2.5 Axiomy statiky......................................................................................9
2.6 Silové soustavy ...................................................................................10
2.6.1 Síla ........................................................................................10
2.6.2 Moment síly ..........................................................................11
2.6.3 Dvojice sil .............................................................................12
2.6.4 Druhy silových soustav.........................................................13
2.6.5 Základní úlohy ......................................................................13
3 Rovinné soustavy sil ...................................................................................15
3.1 Síly ve společném paprsku..................................................................15
3.2 Rovinný svazek sil ..............................................................................16
3.2.1 Dvě síly působící v jednom bodu..........................................16
3.2.2 Svazek sil ..............................................................................17
3.3 Statický moment síly k bodu v rovině ................................................20
3.4 Síla, dvojice sil a moment v rovině.....................................................20
3.4.1 Dvojice sil .............................................................................20
3.4.2 Síla a dvojice sil (moment) v rovině.....................................21
3.4.3 Redukce síly k bodu..............................................................21
3.5 Obecná rovinná soustava sil................................................................21
3.6 Soustava rovnoběžných sil v rovině....................................................27
4 Prostorové soustavy sil ...............................................................................31
4.1 Pravoúhlé složky síly v prostoru.........................................................31
4.1.1 Rozklad síly do pravoúhlých složek .....................................31
4.1.2 Tři síly se společným působištěm.........................................31
4.2 Prostorový svazek sil ..........................................................................32
4.3 Statický moment síly k bodu v prostoru .............................................34
4.4 Statický moment síly k ose v prostoru................................................34
4.5 Dvojice sil v prostoru..........................................................................36
4.6 Obecná prostorová soustava sil...........................................................38
4.7 Soustava rovnoběžných sil v prostoru ................................................44
- 3 (48) -
Silové soustavy
5.......................................................................................... Studijní prameny 47
5.1 Seznam použité literatury................................................................... 47
5.2 Seznam doplňkové studijní literatury................................................. 47
5.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny......................................... 47

- 4 (48) -
Úvod
1 Úvod
1.1 Cíle
V tomto prvním modulu Základů stavební mechaniky shrneme poznatky
z fyziky týkající se vektorů, sil a jejich působení, momentu síly, rovnováhy
apod. Pro potřeby stavební mechaniky je rozšíříme na úroveň potřebnou ke
zvládnutí navazujících témat v předmětech Statika a Pružnost a pevnost.
Naším cílem ve finále budou výpočty nosných stavebních konstrukcí z hlediska
poskytnutí údajů pro jejich dimenzování podle jednotlivých materiálů. Ve
druhém modulu se zaměříme na výpočet polohy těžiště a kvadratických
momentů rovinných obrazců. Ve třetím a čtvrtém modulu Základů stavební
mechaniky se budeme zabývat řešením staticky určitých konstrukcí,
v předmětu Statika pak řešením staticky neurčitých konstrukcí.
1.2 Požadované znalosti
Základy stavební mechaniky navazují na znalosti obecné fyziky. Studenti by
měli být obeznámeni s pojmy skaláry, vektory a operace s nimi, síla, Newtono-
vy zákony a jejich užití, moment síly, rovnováha sil a momentů sil.
Z matematického aparátu využijeme goniometrické funkce, vektorový počet,
diferenciální a integrální počet včetně názorného významu derivace jako směr-
nice funkce a integrálu jako plošného obsahu pod grafem funkce.
1.3 Doba potřebná ke studiu
Modul obsahuje látku probíranou ve dvou týdnech semestru. Doba potřebná
k nastudování jednotlivých kapitol či odstavců se liší od několika minut do
několika desítek minut. Záleží to jednak na předchozí průpravě studenta
v příslušné oblasti, jednak na obtížnosti daného tématu. Potřebná doba ke stu-
diu činí 10 až 15 hodin.
1.4 Klíčová slova
mechanika, statika, pružnost, síla, statický moment síly, dvojice sil, silová sou-
stava, ekvivalence, rovnováha






- 5 (48) -
Silové soustavy


- 6 (48) -
Úvod do stavební mechaniky
2 Úvod do stavební mechaniky
Vědní obor Mechanika jako součást fyziky se zabývá zkoumáním mechanic-
kých jevů. Mechanika zahrnuje kinematiku a dynamiku, jejíž součástí je stati-
ka. Stavební mechanika se v obvyklém pojetí člení na statiku a dynamiku sta-
vebních konstrukcí, teorii pružnosti a plasticity, hydromechaniku apod.
Statika stavebních konstrukcí zkoumá podmínky rovnováhy konstrukcí a všech
působících vnějších sil, dynamika stavebních konstrukcí řeší dynamické účinky
vnějších sil měnících se v čase, teorie pružnosti a plasticity se zabývá určová-
ním deformací a napětí v částech konstrukce za pružného či plastického stavu.
Cílem Stavební mechaniky je optimální návrh stavební konstrukce tak, aby
bezpečně přenesla statické i dynamické zatížení, vykazovala přípustné defor-
mace a splňovala kritéria hospodárnosti.
2.1 Základní pojmy a principy
Mechanika studuje mechanický pohyb hmotných těles. Zvláštním případem
mechanického pohybu je relativní klid tělesa. Pohyb tělesa se děje v prostoru
a času působením sil. Vychází se z klasické Newtonovy mechaniky, jejímž
základen jsou tři základní Newtonovy zákony – princip setrvačnosti, princip
změny hybnosti (síly) a princip akce a reakce. Posledně uvedený princip je
základním zákonem statiky.
Z dalších principů se v lineární mechanice aplikuje princip superpozice účinků
(jednotlivé účinky lze algebraicky či vektorově sčítat) a princip úměrnosti (k–
násobně větší síla vyvolá k–násobně větší účinek).
Prostor je geometrické neomezené spojité prostředí, v němž existují hmotné
objekty. Předpokládá se trojrozměrný euklidovský prostor. Nejčastější je orto-
gonální (pravoúhlá) pravotočivá souřadnicová soustava se třemi osami x, y, z
navzájem kolmými.
Užitečnou fyzikální abstrakcí je hmotný bod. Pomocí něho je formulována
většina základních vět klasické mechaniky. Přisuzuje se mu nulový moment
hybnosti k ose procházející jeho středem, tedy nulový moment setrvačnosti.
Hmotné těleso se představuje jako množina velkého počtu vzájemně vázaných
hmotných bodů. Nemění-li se vzájemné vzdálenosti hmotných bodů, hovoří se
o dokonale tuhém tělese, které se účinkem vnějších sil nedeformuje. Je pod-
statné rozlišit, kdy je možno reálná tělesa pro účely výpočtu považovat za do-
konale tuhá a kdy nikoliv. Ve statice lze těleso považovat za dokonale tuhé,
jestliže se jeho deformace projeví zanedbatelným vlivem na velikost reakcí ve
vazbách tělesa s okolím. V řadě případů statických a pružnostních řešení je
však nezbytné uplatnit poddajnost těles. V dynamice je otázka aplikace tuhého
tělesa podstatně složitější.
Hmotný bod, dokonale tuhé těleso, dokonale tuhá deska v rovině a osamělá síla
jsou nejdůležitější abstraktní pojmy ve statice pevných dokonale tuhých těles.
- 7 (48) -
Silové soustavy
2.2 Mechanika pevných těles
Mechanika aplikovaná na stavební konstrukce se nazývá stavební mechanika.
Pojednává o výpočtech nosných stavebních konstrukcí. Ty se zpravidla nachá-
zejí v klidu a splňují podmínky rovnováhy a jejich řešením se zabývá statika
stavebních konstrukcí. Naopak dynamické účinky vnějších sil vyšetřuje sta-
vební dynamika.
Při vyšetřování konstrukcí je nutné přihlížet i k jejich přetvoření (deformaci).
Výpočet deformací a napětí za pružného i plastického stavu patří do teorie
pružnosti a plasticity. Uvedené vědní disciplíny se navzájem prolínají a není
možné mezi nimi určit přesné hranice.
2.3 Výpočty nosných stavebních konstrukcí
Komplikovanost skutečných dějů v reálných mechanických soustavách vede
k nutnosti vytvořit přiměřeně zjednodušený fyzikální model. Čím má být model
výstižnější, tím je komplikovanější a tím též obtížněji matematicky zpracova-
telný. Fyzikální model je vždy kompromisem. Struktura fyzikálního modelu
rozhoduje o přesnosti získaných výsledků a o výpočtové postižitelnosti sledo-
vaných jevů.
Z fyzikálního modelu se odvozuje model výpočtový (matematický). Ten před-
stavuje příslušnou soustavu rovnic, jejichž řešení je řešením daného problému.
V závěrečné analýze výsledků řešení se opět uplatní mechanická interpretace
pro dimenzování nosné stavební konstrukce.
2.4 Statika dokonale tuhých těles
Pod dokonale tuhým tělesem rozumíme takové těleso, které nemění svůj tvar,
působí-li na ně zcela libovolná soustava sil. Je-li jeden rozměr (např. tloušťka
d) dokonale tuhého tělesa mnohem menší než zbývající délkové rozměry, ho-
voříme o dokonale tuhé desce.
Desku se souměrně rozloženou hmotností podle roviny souměrnosti desky
včetně souměrně působícího zatížení nazýváme dokonale tuhou deskou
v rovině. Přitom pohyb desky probíhá tak, že body roviny souměrnosti zůstáva-
jí stále v této rovině. Pojem „dokonale tuhá deska“ je abstraktní a musíme ho
odlišovat od pojmu „deska“ ve smyslu teorie pružnosti, kde se jedná o plošný
útvar příčně zatěžovaný. Dokonale tuhá deska spíše připomíná to, co se v teorii
pružnosti označuje jako „stěna“.
Dokonale tuhou desku, jejíž jeden rozměr l značně převládá nad příčnými roz-
měry d a h, vyšetřujeme jako prut. Prut uložený pomocí vazeb se nejčastěji
označuje jako nosník.
- 8 (48) -
Úvod do stavební mechaniky
2.5 Axiomy statiky
Pro soustavu sil působící na dokonale tuhé těleso platí následující axiomy.
• Axiom o rovnoběžníku sil: Vektor výslednice R dvou sil F
1
a F
2
, působících
na tuhé těleso v jednom bodu m (obr. 2.1) je tvořen úhlopříčkou rovnoběž-
níku o stranách rovných délkám vektorů sil F
1
a F
2
. Platí
R = F
1
+ F
2
= F
2
+ F
1
. (2.1)

Obr. 2.1: Rovnoběžník sil
• Axiom o rovnováze dvou sil: Dvě síly F
1
a F
2
působící na tuhé těleso
(obr. 2.2), jsou v rovnováze jen tehdy, jsou-li stejně velké, opačného smys-
lu a působí-li v jednom paprsku, tedy
F
1
+ F
2
= 0 . (2.2)

Obr. 2.2: Rovnováha dvou sil
• Axiom o přidání rovnovážné soustavy: K tělesu lze přidat rovnovážnou sou-
stavu sil, aniž by se tím změnil pohybový stav tuhého tělesa (obr. 2.3).

Obr. 2.3: Změna působiště síly
• Poučka o působišti síly: Vyplývá z druhého a třetího axiomu – viz obr. 2.3.
Působiště m
1
síly F
1
lze posunout do libovolného bodu m
2
jejího paprsku,
aniž by se tím změnil účinek síly na těleso. Dokážeme to tak, že necháme
- 9 (48) -
Silové soustavy
v bodu m
2
paprsku působit rovnovážnou soustavu sil F
2
, F
3
tak, aby F
2
=
– F
3
= F
1
. Pak podle třetího axiomu lze odejmout od tělesa rovnovážnou
soustavu sil F
1
, F
3
a zbude síla F
2
v novém působišti m
2
.
2.6 Silové soustavy
Pojem osamělá síla je jeden z nejdůležitějších abstraktních pojmů ve statice
pevných dokonale tuhých těles.
2.6.1 Síla
Pojem síly vznikl abstrakcí subjektivního pocitu tlaku či tahu při vyvozování
silového účinku člověkem na těleso. Fyzikálně se síla chápe jako vektor,
k jehož určení je potřebné zadat velikost, působiště, směr a smysl. Přímka,
v níž vektor síly leží, je paprskem (nositelkou) síly. Jednotkou pro měření veli-
kosti síly je newton (1 N = 1 kg⋅m⋅s
–2
).
Ve vazbách mezi tělesy soustavy rozlišujeme síly akční a reakční, síly pracovní
konají práci při elementárním pohybu soustavy a síly vazbové nekonají práci a
jsou složkami vazbových reakcí.
Sílu F (obr. 2.4) jako vektor lze rozložit do složek F
x
, F
y
, F
z
v souřadnicových
osách x, y, z ortogonálního souřadnicového systému promítnutím vektoru síly F
do těchto os. Složky F
x
, F
y
, F
z
jsou skaláry. Značí-li i, j, k jednotkové vektory
ve směru souřadnicových os, platí
F = i F
x
+ j F
y
+ k F
z
. (2.3)

Obr. 2.4: Síla v pravoúhlém pravotočivém souřadnicovém systému
Velikost síly F pak (s představou tělesové úhlopříčky kvádru) je
F =
222
zyx
FFF ++=F . (2.4)
Pro směrové úhly α, β, γ, odměřované ve třech různých rovinách určených
paprskem síly a rovnoběžkami s jednotlivými souřadnicovými osami (kladný-
mi poloosami), platí
F
F
F
F
F
F
z
y
x
=== γβα cos ,cos ,cos , (2.5)
- 10 (48) -
Úvod do stavební mechaniky
a vždy musí být podle (2.4) splněna podmínka
1coscoscos
222
=++ γβα . (2.6)
Složky F
x
, F
y
, F
z
lze vyjádřit jako skalární součin vektoru F a příslušných jed-
notkových vektorů
F
x
= F ⋅ i , F
y
= F ⋅ j, F
z
= F ⋅ k (2.7)
nebo častěji z výrazů (2.5)
αcosFF
x
= , βcosFF
y
= , γcosFF
z
= . (2.8)
Ve smyslu maticového počtu lze sílu F o složkách F
x
, F
y
, F
z
považovat za
sloupcovou matici (vektor)
, (2.9) {
T
,,
zyx
z
y
x
FFF
F
F
F
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=F }
zapisovaný často pro úsporu místa formou řádkového vektoru s transpozičním
znaménkem
T
. Graficky se síla vyjadřuje orientovanou úsečkou, jejíž délka je
v příslušném měřítku dána velikostí síly F.
2.6.2 Moment síly
Značí-li (obr. 2.5) r polohový vektor (průvodič) působiště m síly F, pak veliči-
na M
s
vyjadřuje (statický) moment síly F k bodu s (momentovému středu) a
je dána vektorovým součinem
M
s
= r × F . (2.10)

Obr. 2.5: Statický moment síly k momentovému středu
Moment síly je vektor vázaný na bod s, kolmý na rovinu danou vektory r a F.
Je orientovaný tak, že při pohledu proti (zdvojené) šipce vektoru M
s
se jeví
pootočení ze směru r do směru F v kladném smyslu, tj. proti smyslu pohybu
hodinových ručiček. Fyzikálně vyjadřuje moment míru točivého účinku síly
k bodu s. Moment síly F k bodu s se nemění, posuneme-li sílu F v jejím pa-
prsku. Velikost momentu je
ϕsinFr ⋅=
s
M = r ⋅ F sin ϕ = F ⋅ r sin ϕ = F ⋅ p [N⋅m]. (2.11)
- 11 (48) -
Silové soustavy

Podle (2.11) lze tedy velikost momentu určit skalárním součinem velikosti síly
F a ramene p (délky kolmice spuštěné z bodu s na paprsek síly F), což předsta-
vuje plošný obsah rovnoběžníku sestrojeného z vektorů r a F.
Moment M
O
síly F k ose (přímce) O vyjadřuje její točivý účinek vzhledem
k této ose. K určení momentu zvolíme na ose vhodný libovolný bod, k němuž
určíme moment podle vztahu (2.10). Vektor tohoto momentu pak promítneme
do směru osy O a získáme tak hledaný moment k ose.
Síla F rozložená do složek podle výrazu (2.3) má k libovolnému bodu moment
M = r × F = (r × i) F
x
+ (r × j) F
y
+ (r × k) F
z
. (2.12)
Pak Varignonova (momentová) věta, vyjadřující vztah mezi momentem síly a
momenty jejích složek, zní: Moment síly k libovolnému bodu je vektorovým
součtem momentů složek této síly k témuž bodu.

Pierre Varignon (1654 – 1722) působil jako profesor
na Collége Mazarin a byl členem Akademie. Zabýval
se matematikou, fyzikou, hydraulikou, astronomií
a filosofií. V r. 1725 vyšla jeho kniha Nová mechani-
ka neboli statika, obsahující statiku tuhých těles, za-
ložená na rovnoběžníku sil.
Za zmínku možná stojí, že momentovou větu,
v podstatě zákon páky, zformuloval Archimédes (287
př. Kr. – 212 př. Kr.), největší matematik a mechanik
starověku, a to takto: Nestejná závaží jsou na páce
v rovnováze jen tehdy, jsou-li nepřímo úměrná rame-
nům, na nichž jsou zavěšená.
2.6.3 Dvojice sil
Dvojice sil (silová dvojice) je speciální soustavou dvou sil F stejné velikosti a
směru, ale opačného smyslu, neležících na stejném paprsku (obr. 2.6). Při
vzdálenosti p paprsků obou sil je mohutnost točivého účinku dvojice sil vyjád-
řena momentem dvojice sil o velikosti
M = F ⋅ p . (2.13)

Obr. 2.6: Dvojice sil

- 12 (48) -
Úvod do stavební mechaniky
Vektor M je vztyčený kolmo na rovinu dvojice sil tak, že při pohledu proti
šipce vektoru otáčí dvojice v kladném smyslu. Ke všem bodům roviny dvojice
i prostoru je moment dvojice sil stejný a nezávisí na paprscích sil. Lze jej libo-
volně přemísťovat v prostoru při zachování jeho směru a smyslu, proto se na-
zývá volným vektorem.
2.6.4 Druhy silových soustav
Silové soustavy rozdělujeme podle různých hledisek:
Podle polohy jednotlivých sil rozeznáváme soustavy
• přímkové, 1D – všechny síly soustavy působí v jedné přímce,
• rovinné, 2D – paprsky všech sil soustavy leží v jedné rovině,
• prostorové, 3D – paprsky sil soustavy leží obecně v prostoru.
Podle působišť sil rozlišujeme
• obecnou soustavu sil – paprsky sil mají zcela libovolné polohy,
• svazek sil – všechny síly soustavy mají společné působiště, paprsky
všech sil se protínají v jednom bodu,
• soustavu rovnoběžných sil – paprsky sil jsou rovnoběžné, průsečík pa-
prsků leží v nekonečnu.
2.6.5 Základní úlohy
U každé silové soustavy můžeme řešit tyto základní úlohy:
• ekvivalenci – danou soustavu sil nahradit výslednicí (silou, momen-
tem) nebo jinou soustavou sil, tedy:
– nahrazení dané soustavy sil výslednicí,
– nahrazení dané síly soustavou sil zadaných paprsky (rozklad síly),
– nahrazení dané soustavy sil jinou soustavou sil se zadanými pa-
prsky.
•