Skripta - Průřezové charakteristiky

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
ING. JIŘÍ KYTÝR, CSc.
ING. ZBYNĚK KERŠNER, CSc.
ING. ROSTISLAV ZÍDEK
ING. ZBYNĚK VLK
ZÁKLADY
STAVEBNÍ MECHANIKY
MODUL BD01-MO2
PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY

STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Průřezové charakteristiky




Vážení uživatelé tohoto učebního textu,
dovolujeme si Vás požádat o malé strpení pro využívání této učební pomůcky pro Vaše studi-
um. Při závěrečné kontrole byly navrženy další vylepšující úpravy a drobné formální opravy,
které přispějí ke zlepšení kvality učebního textu.
Z časových důvodů však nebylo možné je dosud realizovat. Předpokládáme, že opravy prove-
deme do konce roku 2005. Posečkejte proto prosím se stahováním a používáním, dokud ne-
zmizí tento upozorňující text.
Děkují autoři
























© Jiří Kytýr, Zbyněk Keršner, Rostislav Zídek, Zbyněk Vlk, Brno 2004
- 2 (34) -
Obsah
OBSAH
1 Úvod ...............................................................................................................5
1.1 Cíle........................................................................................................5
1.2 Požadované znalosti..............................................................................5
1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5
1.4 Klíčová slova.........................................................................................5
2 Těžiště rovinných geometrických útvarů...................................................7
2.1 Těžiště rovinných čar ............................................................................7
2.1.1 Obecná rovinná křivka............................................................7
2.1.2 Složená rovinná čára...............................................................8
2.2 Těžiště rovinných obrazců ....................................................................8
2.2.1 Obecný rovinný obrazec .........................................................9
2.2.2 Složený rovinný obrazec.........................................................9
2.2.3 Obrazec ohraničený polygonem ...........................................10
3 Kvadratické momenty rovinných obrazců...............................................15
3.1 Momenty setrvačnosti jednoduchých obrazců....................................15
3.2 Deviační momenty jednoduchých obrazců.........................................15
3.3 Transformace k posunutým osám .......................................................17
3.3.1 Momenty setrvačnosti k rovnoběžným osám .......................17
3.3.2 Deviační moment k posunutým osám...................................18
3.4 Transformace k pootočeným osám .....................................................18
3.4.1 Analytické řešení ..................................................................19
3.4.2 Hlavní momenty setrvačnosti ...............................................20
3.4.3 Mohrova kružnice .................................................................21
3.5 Poloměr a elipsa setrvačnosti..............................................................22
3.6 Polární moment setrvačnosti...............................................................23
3.6.1 Polární momenty ke dvěma libovolným bodům...................24
3.7 Kvadratické momenty složených obrazců ..........................................25
3.7.1 Obrazec ohraničený polygonem ...........................................25
4 Studijní prameny........................................................................................33
4.1 Seznam použité literatury....................................................................33
4.2 Seznam doplňkové studijní literatury .................................................33
4.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny .........................................33











- 3 (34) -
Průřezové charakteristiky

- 4 (34) -
Úvod
1 Úvod
1.1 Cíle
Základy stavební mechaniky pokračují v tomto druhém modulu opět s využitím
poznatků z fyziky týkajících se vektorů, sil a jejich působení, momentu síly,
rovnováhy apod. Pro potřeby stavební mechaniky je také v tomto modulu
rozšíříme na úroveň potřebnou ke zvládnutí navazujících témat v předmětech
Statika a Pružnost a pevnost.
Jak je již uvedeno v prvním modulu Základů stavební mechaniky, je naším
cílem v budoucnu výpočet nosných stavebních konstrukcí z hlediska jejich
dimenzování podle jednotlivých materiálů. Ve druhém modulu se zaměříme na
výpočet polohy těžiště a kvadratických momentů rovinných obrazců. Ve třetím
a čtvrtém modulu Základů stavební mechaniky se budeme zabývat řešením
staticky určitých konstrukcí, v předmětu Statika pak řešením staticky
neurčitých konstrukcí.
1.2 Požadované znalosti
Základy stavební mechaniky navazují na znalosti obecné fyziky. Studenti by
měli být obeznámeni s pojmy skaláry, vektory a operace s nimi, síla, Newtono-
vy zákony a jejich užití, soustavy částic a jejich těžiště, moment síly, rovnová-
ha sil a momentů sil.
Z matematického aparátu využijeme opět goniometrické funkce, vektorový
počet, diferenciální a integrální počet včetně názorného významu derivace jako
směrnice funkce a integrálu jako plošného obsahu pod grafem funkce.
1.3 Doba potřebná ke studiu
Modul obsahuje látku probíranou ve dvou týdnech semestru. Doba potřebná
k nastudování jednotlivých kapitol či odstavců se tedy liší od několika minut
do několika desítek minut. Záleží jednak na předchozí průpravě studenta
v příslušné oblasti, jednak na obtížnosti daného tématu. Potřebná doba ke stu-
diu činí 10 až 15 hodin.
1.4 Klíčová slova
mechanika, statika, síla, statický moment síly, dvojice sil, silová soustava,
ekvivalence, rovnováha, těžiště, kvadratické momenty, momenty setrvačnosti,
deviační momenty, transformace, hlavní momenty setrvačnosti, poloměr setr-
vačnosti, elipsa setrvačnosti, složený obrazec



- 5 (34) -
Průřezové charakteristiky


- 6 (34) -
Těžiště rovinných geometrických útvarů
2 Těžiště rovinných geometrických útvarů
Podle fyziky [3] je těžiště tělesa nebo soustavy těles definováno jako bod, který
se pohybuje tak, jakoby v něm byla soustředěna veškerá hmota tělesa či sou-
stavy a působily v něm všechny vnější síly působící na těleso. Rovněž se hovo-
ří o středu hmotnosti, který je jednoznačně určen rozložením hmotnosti
v soustavě. Za těžiště se označuje bod, vůči němuž je moment výsledné tíhové
síly stejný jako součet všech momentů sil působících na jednotlivé částice těle-
sa. Pro určení těžiště rovinných geometrických útvarů využijeme v našich úva-
hách statický střed soustavy fiktivních rovnoběžných sil v rovině (odst. 3.6),
které jsou úměrné velikostem elementů či jednoduchých částí geometrického
útvaru.
Setkáme se zde s pojmem statického (lineárního) momentu útvaru, u něhož je
element (délkový ds či plošný dA) násoben délkou.
2.1 Těžiště rovinných čar
V následujících dvou odstavcích probereme výpočet souřadnic těžiště rovinné
čáry, a to obecné křivky a čáry složené z jednoduchých přímých event. zakři-
vených částí. Lze to aplikovat např. při stanovení polohy těžiště prutové (pří-
hradové) konstrukce apod.
2.1.1 Obecná rovinná křivka
V souřadnicové soustavě xy s počátkem o je definována obecná rovinná homo-
genní křivka s (obr. 2.1), která je v intervalu 〈a, b〉 popsána funkcí y = f(x).
Rozdělme křivku na diferenciální elementy ds o souřadnicích x, y. Pro element
ds platí
xyx
x
y
yxs d1d
d
d
1ddd
2
2
22
′+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+= , (2.1)
takže celková délka je
∫
′+=
b
a
xys d1
2
(2.2)

Obr. 2.1: Obecná rovinná křivka
- 7 (34) -
Průřezové charakteristiky

Definujme statický moment dU
x
(resp. dU
y
) elementu křivky k ose x (resp. y)
jako součin délky elementu ds a vzdálenosti y (resp. x) jeho těžiště od této osy
syU
x
dd = , sxU
y
dd = . (2.3)
Statické momenty celé křivky pak jsou
∫∫∫
=′+===
s
t
b
as
xx
ysxyysyUU d1dd
2
,
∫∫∫
=′+===
s
b
a
t
s
yy
xsxyxsxUU d1dd
2
. (2.4)
Souřadnice těžiště t křivky podle rovnice (3.37) prvního modulu jsou
,
d1
d1
2
2
∫
∫
′+
′+
==
b
a
b
a
y
t
xy
xyx
s
U
x
∫
∫
′+
′+
==
b
a
b
ax
t
xy
xyy
s
U
y
d1
d1
2
2
. (2.5)
2.1.2 Složená rovinná čára
Složená rovinná čára sestává z n jednoduchých přímých či zakřivených částí
délek s
1
,…, s
n
a má celkovou délku
∑
=
=
n
i
i
ss
1
.
Mají-li těžiště jednotlivých částí souřadnice (x
1
, y
1
), …, (x
n
, y
n
), pak pro sou-
řadnice těžiště složené čáry platí vztahy
,
1
1
∑
∑
=
=
==
n
i
i
n
i
ii
y
t
s
xs
s
U
x
∑
∑
=
=
==
n
i
i
n
i
ii
x
t
s
ys
s
U
y
1
1
. (2.6)
Speciálním případem složené čáry je lomená čára. Její jednotlivé části jsou
tvořeny pouze úsečkami, jejichž těžiště leží ve středech úseček.
2.2 Těžiště rovinných obrazců
Polohu těžiště potřebujeme znát u průřezů prutů, z nichž jsou sestavovány pru-
tové konstrukce. K osám procházejícím těžištěm se vztahují další veličiny, sou-
řadnice těžiště proto patří k základním průřezovým charakteristikám. V násle-
dujících odstavcích budeme obecně hovořit o obrazcích.
- 8 (34) -
Těžiště rovinných geometrických útvarů
2.2.1 Obecný rovinný obrazec
Uvažujme rovinný obrazec A libovolného tvaru (obr. 2.2), umístěný
v souřadnicové soustavě x, y. Obrazec rozdělíme na diferenciální elementy
o obsahu dA=dx·dy. Celkový plošný obsah obrazce je
∫∫∫
==
AA
yxAA ddd . (2.7)

Obr. 2.2: Obecný rovinný obrazec
Polohu diferenciálního elementu dA určují souřadnice x a y. Statický moment
dU
x
(resp. dU
y
) elementu dA k ose x (resp. y) je definován jako součin obsahu
elementu a vzdálenosti y (resp. x) těžiště elementu od příslušné osy
AyU
x
dd = , . (2.8) AxU
y
dd =
Pro celý obrazec jsou statické momenty
∫∫∫∫
===
AAA
xx
yxyAyUU dddd ,
∫∫∫
===
AA A
yy
yxxAxUU dddd . (2.9)
Souřadnice x
t
, y
t
těžiště t obrazce se určí ze vztahů
,
dd
dd
∫∫
∫∫
==
A
A
y
t
yx
yxx
A
U
x
∫∫
∫∫
==
A
Ax
t
yx
yxy
A
U
y
dd
dd
. (2.10)
Ztotožněním počátku o souřadnicové soustavy s těžištěm t obrazce vyjde x
t
= y
t

= 0, takže musí být U
x
= U
y
= 0. Z toho vyplývá, že statický moment obsahu
rovinného obrazce k libovolné ose jdoucí těžištěm je roven nule.
2.2.2 Složený rovinný obrazec
Vyšetřovaný složený rovinný obrazec rozdělíme na n jednoduchých částí (dí-
lů), např. obdélník, čtverec, trojúhelník kruh, půlkruh apod., u nichž známe
plošné obsahy A
i
a souřadnice těžišť t
i
(x
i
, y
i
). Celkový plošný obsah složeného
obrazce je
- 9 (34) -
Průřezové charakteristiky
∑
=
=
n
i
i
AA
1
. (2.11)
Po určení statických momentů U
x,i
= A
i
y
i
a U
y,i
= A
i
x
i
jednotlivých částí
k osám x, y lze stanovit souřadnice x
t
, y
t
těžiště t celého složeného rovinného
obrazce ze vztahů

,
1
1
∑
∑
=
=
==
n
i
i
n
i
ii
y
t
A
xA
A
U
x
∑
∑
=
=
==
n
i
i
n
i
ii
x
t
A
yA
A
U
y
1
1
. (2.12)
Obsahuje-li složený obrazec otvor (nebo i výřez či odstraňovanou část), potom
všechny hodnoty (plošný obsah a statické momenty) týkající se otvoru musíme
ve výpočtu uvažovat záporně.
Otázky
1. Jak určujeme těžiště rovinných čar a rovinných obrazců?
2.2.3 Obrazec ohraničený polygonem
Je-li složený rovinný obrazec ohraničený polygonem, tj. má tvar obecného
mnohoúhelníku (obr. 2.3), lze souřadnice těžiště obrazce určit pomocí vztahů
(2.12) vyjádřením dílčích obsahů A
i
a statických momentů U
x,i
, U
y,i
lichoběžní-
ků, vytvořených pod každou ohraničující úsečkou s koncovými body i, i+1
(obr. 2.4). Dodržíme-li číslování vrcholů mnohoúhelníku proti směru chodu
hodinových ručiček, vyjdou hodnoty veličin A
i
, U
x,i
, U
y,i
podle obr. 2.4 kladné,
v případě opačné orientace ohraničující úsečky vyjdou hodnoty záporné.

Obr. 2.3: Rovinný obrazec ohraničený polygonem Obr. 2.4: Lichoběžník i, i+1
Každý lichoběžník omezený ohraničující úsečkou s koncovými body i, i+1
(obr. 2.4) můžeme rozdělit na obdélník 1 a trojúhelník 2. Pro jejich plošné ob-
sahy a souřadnice těžišť získáme výrazy
,
iiii
yxxA )(
1,1 +
−= )(
2
1
11, +
+=
iit
xxx ,
it
yy
2
1
1,
= ,
)()(
2
1
11,2 iiiii
yyxxA −−=
++
, )2(
3
1
12, +
+=
iit
xxx , )2(
3
1
12, +
+=
iit
yyy ,
- 10 (34) -
Těžiště rovinných geometrických útvarů