Skripta - Průřezové charakteristiky

(2.13)
kde x
i
, y
i
jsou souřadnice bodu i ohraničujícího polygonu a A
i
= A
1,i
+ A
2,i
. Sta-
tické momenty jsou
,
2,,21,,1, titiix
yAyAU +=
2,,21,,1, titiiy
xAxAU += . (2.14)
Pro celý složený obrazec ohraničený polygonem pak odvodíme výrazy

∑
=
++
+−=
n
i
iiii
yyxxA
1
11
)()(
2
1
,

∑
=
+++
++−=
n
i
iiiiiix
yyyyxxU
1
2
11
2
1
)()(
6
1
,
[
∑
=
++++
+++−=
n
i
iiiiiiiiy
yxxyxxxxU
1
1111
)2()2()(
6
1
], (2.15)
které lze přímo dosadit do vztahů (2.12). Pokud bychom zvolili základní li-
choběžník od ohraničující úsečky kolmo k ose y, získali bychom výraz pro U
y

v jednodušším tvaru (podobně jako je odvozen pro U
x
).
Popsaný algoritmus se hodí i pro obrazce s vnitřním otvorem, který má rovněž
tvar polygonu.
Příklad 2.1
Zadání
Stanovte polohu těžiště složeného obrazce oslabeného kruhovým otvorem
podle obrázku 2.4.

Obr. 2.4 Zadání příkladu 2.1
Řešení
Vyšetřovaný složený obrazec se skládá z obdélníku 1, z trojúhelníků 2 a 3
a z kruhového otvoru 4. Počátek souřadnicové roviny x, y volíme např. v levém
dolním rohu obdélníku 1 podle obrázku 2.5.
Výpočet zahájíme stanovením obsahů a souřadnic těžišť jednotlivých částí:
- 11 (34) -
Průřezové charakteristiky
Obdélník 1
2
1
1, 0 1, 7 1, 7 mA =⋅=
1
(0,5; 0,85)mt
Trojúhelník 2
2
2
1
0,3 0,9 0,135 m
2
A =⋅ ⋅ =
2
(0,1;1,4)mt −
Trojúhelník 3
2
3
1
0,9 0,9 0, 405 m
2
A =⋅ ⋅ =
3
(1, 3; 1, 4) mt
Kruh 4
22
4
0,3 0, 2827 mA π=⋅ =
4
(0,5;1,2)mt

Obr. 2.5 Řešení příkladu 2.1
Protože kruhová část 4 tvoří otvor, budeme v následujících sumách členy od-
povídající této části odečítat. Celkový obsah složeného obrazce určíme podle
vztahu (2.11)
.
2
1234
1,7 0,135 0,405 0,2827 1,9573 mAA A A A=++−=+ + − =
Souřadnice těžiště určíme ze vztahu (2.12)

()
11 22 33 44
1,7 0,5 0,135 0,1 0, 405 1,3 0, 2827 0,5
0,6242 m
1,9573
t
Ax Ax Ax Ax
x
A
++−
==
⋅+ ⋅−+ ⋅− ⋅


11 2 2 33 4 4
1, 7 0, 85 0,135 1, 4 0, 405 1, 4 0, 2827 1, 2
0,9512 m
1, 9573
t
Ay Ay Ay Ay
y
A
++−
==
⋅ + ⋅+ ⋅− ⋅

Poloha těžiště složeného obrazce je naznačena na obr. 2.5.
Shrnutí
Metodika stanovení statického středu rovinné soustavy rovnoběžných sil se
uplatnila při vyšetřování polohy těžiště rovinných čar a obrazců. Byl zaveden
pojem statického momentu geometrického útvaru. Nejprve jsme se zabývali
výpočtem těžiště obecné rovinné křivky a složené rovinné čáry, včetně čáry
- 12 (34) -
Těžiště rovinných geometrických útvarů
lomené. Posléze byla pozornost směřována k vyšetřování polohy těžiště obec-
ného a složeného rovinného obrazce, včetně obrazce ohraničeného polygonem.
- 13 (34) -

Kvadratické momenty rovinných obrazců
3 Kvadratické momenty rovinných obrazců
Kvadratické momenty (momenty druhého stupně) rovinných obrazců patří
k důležitým geometrickým charakteristikám, s nimiž se setkáváme při statické
analýze prutových konstrukcí. Jedná se o momenty setrvačnosti I a deviační
momenty D rovinných obrazců, které představují průřezy reálných prutů.
Označení kvadratických momentů vychází z toho, že se u těchto veličin násobí
plošný prvek dA kvadrátem délky nebo součinem dvou délek.
3.1 Momenty setrvačnosti jednoduchých obrazců
Vztáhneme-li obecný rovinný obrazec A (obr. 3.1) k libovolným souřadnico-
vým osám x, y, ležícím v rovině obrazce, jsou momenty setrvačnosti diferenci-
álního plošného elementu dA = dx·dy ke každé této ose definovány výrazy
AxIAyI
yx
dd ,dd
22
== . (3.1)

Obr. 3.1: Obecný rovinný obrazec
Momenty setrvačnosti celého rovinného obrazce A k příslušným souřadnico-
vým osám jsou
∫∫
==
AA
xx
AyII dd
2
, . (3.2)
∫∫
==
AA
yy
AxII dd
2
Velikost momentu setrvačnosti je vzhledem k definici vždy různá od nuly.
Znaménko závisí pouze na znaménku plošného obsahu obrazce (otvoru přisu-
zujeme záporné znaménko). Základní měrovou jednotkou momentu setrvač-
nosti je m
4
. Momenty setrvačnosti k těžištním osám se označují jako centrální
momenty setrvačnosti a příslušné osy jako centrální osy setrvačnosti.
3.2 Deviační momenty jednoduchých obrazců
Vztáhneme-li obecný rovinný obrazec A (obr. 3.1) současně ke dvěma libovol-
ným souřadnicovým osám x, y, ležícím v rovině obrazce, je deviační moment
diferenciálního plošného prvku dA = dx dy k těmto osám definován výrazem
- 15 (34) -
Průřezové charakteristiky
AxyD
xy
dd = . (3.3)
Deviační moment celého rovinného obrazce k souřadnicovým osám pak je
∫∫
==
AA
xyxy
AxyDD dd . (3.4)
Hodnota deviačního momentu (kladná, záporná či nulová) závisí na znamén-
kách souřadnic, popř. obsahu obrazce u otvoru. Základní měrovou jednotkou
deviačního momentu je m
4
. Dvojice souřadnicových os, k nimž má deviační
moment nulovou hodnotu, označujeme jako hlavní osy setrvačnosti. Jedná-li se
o osy procházející těžištěm obrazce, hovoříme o hlavních centrálních osách
setrvačnosti.

Obr. 3.2: Rovinný obrazec s jednou osou symetrie
Deviační moment rovinného obrazce s alespoň jednou osou symetrie (obr. 3.2)
je k této ose a k další libovolné ose na ni kolmé roven nule. Vyplývá to z toho,
že dva souměrně umístěné diferenciální elementy mají k uvedeným osám devi-
ační momenty stejné hodnoty, ale opačného znaménka.

Obr. 3.3: Transformace při rovnoběžném posunutí os
- 16 (34) -
Kvadratické momenty rovinných obrazců
3.3 Transformace k posunutým osám
3.3.1 Momenty setrvačnosti k rovnoběžným osám
V souřadnicové soustavě x
1
, y
1
s počátkem o
1
uvažujme libovolný obecný ro-
vinný obrazec A (obr. 3.3). Při rovnoběžném posunutí os z původní polohy x
1
,
y
1
do nové polohy x, y o délky c, d platí pro souřadnice plošného elementu dA
vztahy
cyydxx +=+=
11
, . (3.5)
Po dosazení výrazů (3.5) do (3.2) získáme vztahy pro momenty setrvačnosti
k posunutým osám x, y
∫∫ ∫ ∫ ∫
++=++=+==
AA A A
xx
A
x
AccUIAcAycAyAcyAyI
22
1
2
1
2
1
2
11
2dd2dd)(d ,
∫∫ ∫ ∫ ∫
++=++=+==
AA A A
yy
A
y
AddUIAdAxdAxAdxAxI
22
1
2
1
2
1
2
11
2dd2dd)(d ,
(3.6)
kde jsou využity veličiny definované v rovnicích (3.2), (2.9) a (2.7). Obecně
pak můžeme vztahy (3.6) napsat ve tvaru
2
11
2 AccUII
xxx
+±= , . (3.7)
2
11
2 AddUII
yyy
+±=
Záporné znaménko u druhého členu platí, je-li y < y
1
event. x < x
1
. Ztotožní-li
se osy x
1
, y
1
s těžištními osami x
t
, y
t
, pak statické momenty 0
11
==
yx
UU a
vztahy (3.7) přejdou na tvary
, , (3.8)
2
AcII
t
xx
+=
2
AdII
t
yy
+=
které se označují jako
Steinerova věta: Moment setrvačnosti rovinného obrazce k libovolné (mimo-
těžištní) ose je roven momentu setrvačnosti k rovnoběžné těžištní ose, zvětše-
nému o součin plošného obsahu obrazce a čtverce vzdálenosti obou os.

Jakob Steiner (1796 – 1863), švýcarský matematik,
jeden z největších přispěvatelů v oboru projektivní
geometrie.





- 17 (34) -
Průřezové charakteristiky
3.3.2 Deviační moment k posunutým osám
Ze známého deviačního momentu obrazce k pravoúhlým osám x
1
, y
1
určeme
deviační moment obrazce k osám x, y rovnoběžně posunutým o délky c, d. Při
využití výrazů (3.5) získáme
AcdcUdUDAcydxAxyD
yxyx
AA
xy
+++=++==
∫∫ 1111
d)()(d
11
. (3.9)
V případě, že osy x
1
, y
1
se ztotožní s těžištními osami x
t
, y
t
, nabývají statické
momenty nulových hodnot a vztahy (3.9) přechází na tvar
, (3.10) AcdDD
tt
yxxy
+=
který je analogií ke Steinerově větě. Platí:
Deviační moment rovinného obrazce k libovolným (mimotěžištním) pravoúh-
lým osám je roven deviačnímu momentu k rovnoběžným těžištním osám, zvět-
šenému o součin plošného obsahu obrazce a vzdáleností příslušných rovnoběž-
ných os.
3.4 Transformace k pootočeným osám
Známe-li kvadratické momenty rovinného obrazce pro pravoúhlou dvojici os x,
y s počátkem o, můžeme pomocí nich určit hodnoty kvadratických momentů
pro jinou dvojici pravoúhlých os x’, y’, pootočenou od původních os o úhel α.
Řešení lze provést analyticky nebo graficky (pomocí Mohrovy kružnice).

Obr. 3.4: Pootočení souřadnicových os


- 18 (34) -
Kvadratické momenty rovinných obrazců
Otto Mohr (1835 – 1918), patrně nejvýraznější
osobnost stavební mechaniky 19. století.






3.4.1 Analytické řešení
Plošný element dA (obr. 3.4) má v pootočené souřadnicové soustavě x’, y’ sou-
řadnice
αα sincos yxx +=′ , αα cossin yxy +−=′ . (3.11)
Kvadratické momenty obrazce k pootočeným osám vyjádříme
, ααααα 2sinsincosd)cossin(d
2222
xyyx
AA
x
DIIAyxAyI −+=+−=′=
∫∫
′
,2sincossind)sincos(d
2222
ααααα
xyyx
AA
y
DIIAyxAxI ++=+=′=
∫∫
′
=+−+=′′=
∫∫
′′
AA
yx
AyxxAyxD d)cossin()sincos(d αααα
() αα 2cos2sin
2
1
xyyx
DII +−= . (3.12)
Změnou úhlu α ve vztazích (3.12) se mění hodnoty kvadratických momentů
k pootočeným osám . Pro určitou polohu os x
0
, y
0
, pootočenou o úhel α
0
, mají
momenty setrvačnosti extrémní hodnoty. Velikost úhlu α
0
zjistíme z extrému
funkce; derivaci výrazu (3.12) pro I
x’
podle proměnné veličiny α položíme rov-
nu nule a získáme rovnici
02cos2cossin2sincos2
d
d
=−+−=
′
ααααα
α
xyyx
x
DII
I
, (3.13)
která po úpravě a dosazení
0
αα = nabývá tvar
() 02cos2sin
2
1
00
00
==+−
yxxyyx
DDII αα . (3.14)
Porovnáním s poslední rovnicí (3.12) zjistíme, že momenty setrvačnosti nabý-
vají extrémních hodnot k takovým osám x
0
, y
0
, k nimž má deviační moment
nulovou hodnotu. Pro hledaný úhel α
0
úpravou (3.14) získáme vztah

xy
xy
II
D
−
=
2
2tg
0
α . (3.15)
Této rovnici vyhovují dva úhly α
0
a α
0
+π/2, které určují polohu dvou os x
0
, y
0

navzájem kolmých.
- 19 (34) -
Průřezové charakteristiky
Extrémní hodnoty momentů setrvačnosti , představují tzv. hlavní mo-
menty setrvačnosti, příslušející hlavním osám setrvačnosti x
00
,
yx
II
0
, y
0
. Určíme je ze
vztahů (3.12) dosazením známého úhlu α
0
podle (3.15), takže
00
2
0
2
2sinsincos
0
ααα
xyyxx
DIII −+= ,
00
2
0
2
2sincossin
0
ααα
xyyxy
DIII ++= . (3.16)
3.4.2 Hlavní momenty setrvačnosti
Vztahy (3.16) nejsou příliš vhodné pro numerické výpočty, neboť obsahují
různé násobky úhlu α
0
. Uvážíme-li proto geometrické závislosti
)2cos1(
2
1
sin),2cos1(
2
1
cos
00
2
00
2
αααα −=+= ,
získáme (3.17) jako funkce pouze dvojnásobného úhlu ve tvaru
00
2sin2cos)(
2
1
)(
2
1
0
αα
xyyxyxx
DIIIII −−++= ,
00
2sin2cos)(
2
1
)(
2
1
0
αα
xyyxyxy
DIIIII +−−+= . (3.17)
Po uplatnění vztahů
0
2
0
0
2
0
0
2tg1
1
2cos,
2tg1
2tg
2sin
α
α
α
α
α
+
=
+
=
do rovnic (3.17) a s využitím (3.15) obdržíme po úpravě výhodnější tvar

22
2,1minmax,
4)(
2
1
2
xyyx
yx
DII
II
II +−±
+
== . (3.18)

Obr. 3.5: Rozlišení hlavních os setrvačnosti
Hlavní momenty setrvačnosti odpovídají hlavním osám setrvačnosti 1, 2. Je-li
deviační moment D
xy
obrazce k původním osám x, y kladný (obr. 3.5a), pro-
chází osa setrvačnosti, jíž přísluší maximální (minimální) moment setrvačnosti,
druhým a čtvrtým (prvním a třetím) kvadrantem. Při záporném D
xy
(obr. 3.5b)
je tomu právě naopak.
Mezi momenty setrvačnosti I
x
, I
y
k původním osám a I
x’
, I
y’
k pootočeným
osám a rovněž I
max
, I
min
k hlavním osám setrvačnosti platí závislost
minmax
IIIIII
yxyx
+=+=+
′′
, (3.19)
- 20 (34) -
Kvadratické momenty rovinných obrazců
která vyjadřuje konstantní hodnotu součtu momentů setrvačnosti rovinného
obrazce ke dvěma libovolným vzájemně kolmým osám, vedeným stejným bo-
dem o. Vztah (3.19) se označuje jako první (lineární) invariant momentů
setrvačnosti. Jak dokážeme v odst. 3.6, je roven polárnímu momentu setrvač-
nosti obrazce pro bod o.
3.4.3 Mohrova kružnice
Hlavní momenty setrvačnosti lze určit také graficky pomocí Mohrovy kružni-
ce. Vychází se ze známých hodnoty kvadratických momentů k původním osám
x, y.

Obr. 3.6: Mohrova kružnice
Zvolíme libovolně dvě osy I, D (obr. 3.6) navzájem kolmé, nezávislé na osách
x, y. Od počátku O vyneseme na osu I hodnoty momentů setrvačnosti I
x
= OU a
I
y
= OV. V bodech U, V kolmo k ose I vyneseme hodnotu D
xy
= UX = VY tak,
že při kladném D
xy
vynášíme UX nad osu I a VY pod osu I. Kružnice sestrojená
nad průměrem XY je Mohrovou kružnicí se středem S na ose I ve vzdálenosti
)(
2
1
yx
IIOS += (3.20)
a poloměr ρ má velikost

222
2
22
4)(
2
1
2
xyyxxy
yx
DIID
II
UXSU +−=+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=+=ρ . (3.21)
- 21 (34) -
Průřezové charakteristiky
Bodem X vedeme rovnoběžku s původní osou x a bodem Y rov