skripta MO4

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
PAVEL SCHAUER
APLIKOVANÁ FYZIKA
MODUL 4
PŘENOS TEPLA

STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

































Recenzoval: Prof. RNDr. Tomáš Ficker, CSc.
© Pavel Schauer, Brno 2006
Obsah
- 3 (40) -
OBSAH
1 Úvod ...............................................................................................................5
1.1 Cíle ........................................................................................................5
1.2 Požadované znalosti..............................................................................5
1.2.1 Fyzika.....................................................................................5
1.2.2 Matematika .............................................................................5
1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5
1.4 Klíčová slova.........................................................................................5
1.5 Přehled použitých symbolů...................................................................6
2 Úvod do přenosu tepla..................................................................................7
2.1 Způsoby přenosu tepla ..........................................................................7
2.2 Základní veličiny přenosu tepla ............................................................8
2.2.1 Hustota tepelného toku při vedení tepla..................................8
2.3 Fourierův zákon vedení tepla................................................................9
2.3.1 Tepelná vodivost různých látek ..............................................9
2.4 Diferenciální rovnice vedení tepla ......................................................11
2.5 Kontrolní otázky .................................................................................12
3 Ustálené vedení tepla stěnami....................................................................14
3.1 Vedení tepla rovinnou stěnou .............................................................14
3.1.1 Jednoduchá rovinná stěna .....................................................14
3.1.2 Příčně složená rovinná stěna.................................................15
3.1.3 Podélně složená rovinná stěna ..............................................16
3.1.4 Obecně složená rovinná stěna...............................................17
3.2 Přestup tepla........................................................................................17
3.3 Vedení tepla válcovou stěnou .............................................................19
3.4 Kontrolní otázky .................................................................................20
3.5 Příklady k procvičení ..........................................................................21
4 Přenos tepla zářením..................................................................................30
4.1 Základní veličiny záření......................................................................30
4.1.1 Černé těleso...........................................................................32
4.2 Zákony záření černého tělesa..............................................................32
4.2.1 Záření reálných těles.............................................................33
4.2.2 Reálné tepelné vyzařování z povrchu tělesa .........................34
4.3 Kontrolní otázky .................................................................................35
4.4 Příklady k procvičení ..........................................................................35
5 Závěr............................................................................................................40
5.1 Shrnutí.................................................................................................40
5.2 Studijní prameny .................................................................................40
5.2.1 Seznam použité literatury .....................................................40
5.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury ...................................40
5.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny...........................40


Úvod
- 5 (40) -
1 Úvod
Přenos tepla je významná oblast fyziky, bez níž se technické aplikace
neobejdou. Teplo se přenáší třemi základními mechanismy – vedením,
prouděním a zářením. Poslední z nich se může uskutečnit i ve vakuu.
Zaměříme se zejména na přenos tepla vedením a zářením.
1.1 Cíle
Tento studijní text je určen pro posluchače Stavební fakulty Vysokého učení
technického v Brně a má sloužit jako jeden z učebních textů pro studium
aplikované fyziky. Cílem je vybudování spolehlivého základu vědomostí, jež
umožní budoucímu stavebnímu inženýrovi zvládat technické problémy v
aplikační oblasti. Studijní text navazuje na moduly základní řady fyzikálních
studijních opor a je součástí série modulů Aplikovaná fyzika, které spolu jako
jeden celek tvoří úplnou studijní literaturu z oblasti termiky, záření a akustiky.
Tento čtvrtý modul, Přenos tepla, je rozdělen do tří kapitol. Cílem je popsat
základní definice a zákony a rozšířit tyto poznatky o znalosti pro použití v
technické praxi.
Výklad je průběžně doplněn kontrolními otázkami, řešenými příklady,
neřešenými příklady a aplikacemi vyskytujícími se v technické praxi.
1.2 Požadované znalosti
1.2.1 Fyzika
Veličiny a jednotky, fyzikální rovnice, mechanika, hydromechanika, kmity a
vlnění, stavové veličiny, termodynamika.
1.2.2 Matematika
Vektory, derivace, určitý a neurčitý integrál.
1.3 Doba potřebná ke studiu
10 hodin
1.4 Klíčová slova
Přenos tepla, tepelný tok, hustota tepelného, Fourierův zákon vedení tepla,
tepelná vodivost, diferenciální rovnice vedení tepla, vedení tepla rovinnou
stěnou, jednoduchá rovinná stěna, příčně složená rovinná stěna, podélně
složená rovinná stěna, přestup tepla, vedení tepla válcovou stěnou, přenos tepla
zářením, veličiny záření, černé těleso, zákony záření černého tělesa.
Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
1.5 Přehled použitých symbolů
α činitel pohlcení, součinitel přestupu tepla
ε spektrální emisivita
Φ tepelný tok
Φλ
spektrální tok
Φe
zářivý tok
λ součinitel tepelné vodivosti
Λ tepelná vodivost
∇ gradient (operátor)
2
∇ Laplaceův operátor
ρ hustota
σ Stefanova-Boltzmannova konstanta záření σ=5,67.10
-8
W.m
-2
.K
-4

c měrná tepelná kapacita
c
1
první konstanta Planckova zákona c
1
=2πhc
2

c
2
druhá konstanta Planckova zákona c
2
=(hc)/k
d vzdálenost, tloušťka
E energie
h Planckova konstanta, s.J1063,6
34
.h
−
=
k Boltzmannova konstanta, k=1,381.10
−23
J.K
−1

m hmotnost
M
e
intenzita vyzařování
M
λ
spektrální intenzita vyzařování
P výkon
q hustota tepelného toku
Q teplo
r poloměr, vzdálenost
R poloměr
R
T
tepelný odpor
S plocha, průřez
t čas, teplota (ve
o
C)
T termodynamická teplota (v K)
V objem
w měrný objemový výkon
W práce
Úvod do přenosu tepla
- 7 (40) -
2 Úvod do přenosu tepla
2.1 Způsoby přenosu tepla
Šíření tepla se může uskutečnit několika způsoby:
Přenos tepla vedením tepla (kondukcí) nastává tehdy, vyměňují-li si
svoji kinetickou energii částice látky, které spolu sousedí. Podmínkou je
existence spojitého látkového prostředí, ve vakuu vedení tepla nenastane.
Vedení tepla probíhá v látkách ve všech skupenstvích.

Přenos tepla prouděním (konvekcí) je přenos způsobený pohybem
tekutých látek, např. pohybem vzduchu nebo vody. Proudící tekutina
s sebou přenáší energii ve formě tepla. Teplá proudící tekutina teplo
přináší (vytápění), chladná odebírá (ochlazování klimatizací). Podmínkou
přenosu tepla prouděním je existence látkového prostředí. Proudění tepla
často nastává v kombinaci s vedením tepla. Zahříváme-li např. kapalinu
na plotýnce, částice kapaliny s nižší hustotou se přemísťují k hladině
(přenos prouděním) a zároveň si částice srážkami předávají svoji
kinetickou energii (přenos vedením). Proudění látek může být volné nebo
nucené, záleží na tom, jaký je důvod pohybu částic.
U volného proudění vznikne pohyb v
důsledku různých teplot v objemu kapaliny
nebo plynu a tím i různých hustot, které se
vyrovnávají. Lehčí teplejší látka stoupá
vzhůru a těžší chladnější klesá, přičemž se
dostane na její místo. Tam se zahřeje a
proces se může opakovat. Nucené
proudění tepla vznikne vnějšími silami
(čerpadlem, ventilátorem). Užívá se ho v
technické praxi k zesílení přenosu tepla.
Výhodou je, že nucené proudění může
nastat i proti teplotnímu spádu. Prouděním tedy lze i chladit.
Přenos tepla zářením (sáláním, radiací) jediný nevyžaduje látkové
prostředí. Teplo se přenáší elektromagnetickým zářením a to i ve vakuu.
Pokud je prostor mezi zářícím a ozařovaným tělesem vyplněn látkou, její
teplota může být libovolně nižší nebo vyšší než teplota těles,
předávajících si teplo. Tak se dostává teplo ze Slunce na Zemi. Tímto
způsobem lze vytápět pomocí infrazářičů, nebo tepelně zpracovávat
potraviny.
teplá voda
stoupá
chladná
voda
klesá
konvekční proudy

obr. 2.1 Cirkulace kapaliny
způsobená volným prouděním
Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 8 (40) -
2.2 Základní veličiny přenosu tepla
Dále se zaměříme na vedení tepla. Některé veličiny však budou platné i pro
jiné způsoby přenosu tepla. Patří k nim tepelný tok Φ .
Tepelný tok je definován diferenciálním podílem tepla dQ, které projde
nějakou plochou (průřezem) S za čas dt a tohoto času

.
dt
dQ
= Φ (1)
Jednotka tepelného toku je shodná s jednotkou výkonu (W). Proto se někdy
tepelný tok označuje jako tepelný výkon. Známe-li tepelný tok, můžeme, na
základě definice (1) počítat přenesené teplo Q pomocí rovnice

∫
=
t
dtΦQ
0
,
(2)
která v případě stacionárního tepelného toku (který je časově neměnný) přejde
na tvar

tΦ Q = ,
(3)
kde t je doba přenosu tepla.
Často je výhodnější počítat přenos tepla jednotkovou plochou. Pak
zavádíme hustotu tepelného toku q, kterou definujeme diferenciálním
podílem tepelného toku dΦ , který prochází elementární plochou dS a
velikosti této plochy


dS
dΦ
= q , (4)
kde element plochy dS musí být kolmý ke směru šíření tepla.
2.2.1 Hustota tepelného toku při vedení tepla
V případě přenosu tepla vedením
můžeme hustotu tepelného toku
pokládat za vektor, jehož směr je
shodný se směrem největšího
teplotního spádu (rozdílu teplot),
který určuje nejen směr vedení tepla,
ale i jeho kvantitu. Teplotní spád je
určen záporným gradientem teploty,
který je určen rovnicí


z
T
,
y
T
,
x
T
= T )(
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−∇− .
(5)

obr. 2.2 Vektorový popis hustoty
tepelného toku
Úvod do přenosu tepla
- 9 (40) -
T = q ∇−λ
r

K označení gradientu jsme použili symbol ∇ (čti nabla). Záporný gradient
teploty má v daném bodě teplotního pole takový směr, v němž je spád (pokles)
teploty největší.
Po zavedení vektoru hustoty tepelného toku musí tepelný tok splňovat rovnici

SdqdΦ
r
r
.= , (6)
přičemž zde již může mít plocha Sd
r
jakýkoliv směr.
2.3 Fourierův zákon vedení tepla
Na základě experimentálních výsledků stanovil v r.1811 francouzský
matematik a fyzik Jean Batiste Joseph Fourier (1768-1830) závislost
hustoty tepelného toku na gradientu teploty pro vedení tepla rovnicí


kde konstanta úměrnosti λ je součinitel tepelné vodivosti, který
vyjadřuje schopnost materiálu vést teplo. Jeho jednotka je W.m
-1
.K
-1
.
Pokud má gradient teploty směr kolmo na
plochu, můžeme vedení tepla sledovat pouze
v jednom vybraném směru, například ve směru
osy x. Potom můžeme Fourierův zákon (7) napsat
ve tvaru

dx
dT
q λ−= . (8)
2.3.1 Tepelná vodivost různých látek
Přenos tepla vedením v pevných látkách je
zprostředkován buď volnými elektrony nebo fonony.
Elektronová teplotní vodivost je založena na přenosu energie pomocí
volných elektronů, podobně jako se přenáší elektrický náboj při vedení
elektrického proudu. Dobré vodiče elektrického proudu mají dostatek
volných elektronů a proto jsou i dobrými tepelnými vodiči.
Dobrými vodiči tepla jsou proto kovy, které jsou také dobrými vodiči
elektrického proudu.
Fononová teplotní vodivost je založena na přenosu energie, který je
podobný přenosu energie akustickým vlněním. Energie, kterou si mohou
kmitající částice předávat, se přenáší po dávkách (kvantech). Tento druh
přenosu tepla přisuzujeme částicím, které nazýváme fonony.
Říkáme, že k přenosu tepla dochází srážkami mezi fonony. Fonony se teplo
přenáší rychlostí zvuku.
y
x
z
obr. 2.3 Jednorozměrný
tepelný tok
(7)
Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 10 (40) -
Elektrické izolanty jsou, až na výjimky, i dobrými tepelnými izolanty, protože
obsahují velmi málo volných elektronů. Jsou však mezi nimi značné rozdíly,
protože u nich záleží na fononové tepelné vodivosti. Keramika a termoplast
jsou např. přibližně stejné elektrické izolanty. Keramika však, vzhledem k větší
rychlosti a střední volné dráze fononů, vede znatelně lépe teplo než plasty.
Teflon, který je velmi dobrý elektrický izolant, má vysoký podílů fononové
tepelné vodivosti, která se blíží k tepelné vodivosti některých kovů. Používá se
proto všude tam, kde je třeba zachovat elektrickou izolaci a zároveň docílit
tepelný kontakt těles.
Na vedení tepla v pevných látkách se tedy mohou podílet jak volné elektrony,
tak fonony. Výsledný součinitel tepelné vodivosti je pak dán součtem obou
složek,

+
λλ
λ
ef
= ,
(9)
kde λ
f
je fononová složka součinitele tepelné vodivosti a λ
e
jeho elektronová
složka. Pro elektrické vodiče je λ . λ
e
. Pro elektrické izolanty je tomu naopak,
v důsledku zanedbatelného počtu volných elektronů u nich převládá fononová
tepelná vodivost a λ . λ
f
.
Vedení tepla v plynech se uskutečňuje srážkami molekul. Proto mají
velmi malou tepelnou vodivost, která u plynů závisí na četnosti srážek, tj.
na střední volné dráze molekul.
Proto jsou dobrými tepelnými izolanty látky, jež v dutinách obsahují vzduch.
Jsou to např. skelná vlna, minerální plst, pěnový beton, cihly a pod. Vodivost
takových látek však značně závisí na jejich vlhkosti.
Nejlepším tepelným izolantem je vakuum, kterým se však dobře šíří tepelné
záření, kterému musíme zamezit vhodnou úpravou. Provádí se to nanesením
zrcadlových povrchů stěn. Vakuum se rovněž používá k tepelné izolaci
Dewarovy nádoby. Je to nádoba s dvojitou stěnou, mezi kterou je vyčerpán
vzduch. Přenos tepelného záření je snížen postříbřením povrchů stěn.
Součinitel tepelné vodivosti λ vybraných látek [W.m
-1
.K
-1
]
polystyrén 0,033
dřevo (dub), kolmo
na vlákna
0,21÷0,27 led (0
o
C) 2,21
vzduch (0
o
C)

0,0242
dřevo (dub), rovno-
běžně s vlákny
0,35÷0,37 rtuť 8,2
vzduch 0,0256 vodík 0,205 olovo 34,3
laminát 0,04 lidská kůže 0,14÷0,17 železo 80,2
izolační skelná
vlna
0,043 voda 0,598 zinek 126
cín 0,063 cihla pálená 0,72 hliník 235
překližka 0,12 sklo obyčejné 0,6÷1,05 měď 401
hélium 0,138 beton 0,8÷1,3 stříbro 428
sádra 0,17 led (−50
o
C) 2,78 diamant 1000
tab. 2.1 Součinitel tepelné vodivosti vybraných látek při teplotě 20
o
C (není-li
uvedeno jinak).
Úvod do přenosu tepla
- 11 (40) -
Dewarovou nádobou je i termoska, kterou známe z domácnosti. Velmi účinně
se snižuje tepelná vodivost oken, pokud je zdvojíme, vyčerpáme vzduch z
prostoru mezi skly a následně prostor mezi skly naplníme speciálním plynem
s nízkou tepelnou vodivostí (např. argonem), který ponecháme
na atmosférickém tlaku. Tím nedojde k úniku plynu netěsnostmi a nedojde
k promáčknutí skel tlakovou silou.
Součinitel tepelné vodivosti je nepatrně závislý na teplotě. Pro naše potřeby
jej budeme považovat za konstantu. Teplotní změny součinitele tepelné
vodivosti jsou významnější při teplotách nižších než 200K.
2.4 Diferenciální rovnice vedení tepla
Uvažujme látku objemu V libovolného tvaru (obr. 2.4), ve které mohou být
zdroje tepla, které generují teplo měrného objemového výkonu w. Tyto zdroje
vytvoří ve zkoumaném objemu V za čas dt teplo

dVdt wdQ
V
z
∫
= ,
(10)
kde dV je objemový element sledované látky.
Jedna část tohoto tepla dQ
T
se spotřebuje ke
zvýšení teploty celého objemu látky o dT.
Zjistíme ji rovnicí

dTdVc = Q
V
T
ρ
∫
,
(11)
kde c je měrná tepelná kapacita a ρ hustota
látky.
Druhá část dodaného tepla dQ
q
unikne do
okolí. Toto teplo zjistíme z Fourierova zákona
(7)

,dtSd T
dtSdq dQ
S
S
q
r
r
r
.
.
∇−=
==
∫
∫
λ
(12)
kde integrujeme přes plochu S, kterou teplo uniká. Zákon zachování energie
vyžaduje splnění podmínky

dQ + dQ = dQ
qTz
,
(13)
a tím i rovnice

dtST.d dVdTc dtdV w
SVV
r
∇−=
∫∫∫
λρ .
(14)
Pro úpravu této rovnice využijeme integrální Gaussovu-Ostrogradského větu
známou z matematiky, která má obecný tvar
T
TT
T
T
T
Q
q
S

obr. 2.4 K odvození
diferenciální rovnice vedení
tepla
Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 12 (40) -

dVa = Sd . a
VS
) div(
r
r
r
∫∫
,
(15)
kde operátor div se nazývá divergence a platí pro něj

+ + = div
z
a
y
a
x
a
a
z
y
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂r
.
(16)
Je to skalár. Rovnice (15) pro naše potřeby bude

∫∫∫
∇=∇=∇
VVS
dVTdVTSdT
2
)div().(
r
.
(17)
Zde operátor div (L) je