skripta MO4

- 23 (40) -
T
dndn
q
TS
dΦ
∆
+
=
∆
=
2211
λ .
Hustotu tepelného toku složené desky určíme pomocí rovnice (35), tedy
2
2
2
1
1
1
λλ
d
n
d
n
T
q
+
∆
=
a dosadíme ji do předchozí rovnice. Dostaneme
122211
221121
2
2
2
1
1
1
22112211
2
2
2
1
1
1
)(
.
λλ
λλ
λλλλ
λ
dn dn
dndn
=
d
n
d
n
dndn

T
dndn

d
n
d
n
T

+
+
+
+
=
∆
+
+
∆
= .
Po dosazení zadaných hodnot dostaneme střední měrnou tepelnou vodivost
..Km.W 0,527 =
.Km.W .66m 0,0003 . 39 + .Km.W 0,12 . m 40.0,001
)m 39.0,0003 + m 40.0,001 ( . .Km.W 0,12 ..Km.W66
11
1111
1111
−−
−−−−
−−−−

= λ

b) Vrátíme se k rovnici (31), kterou upravíme do tvaru
S
dndn
R
T
λ
2211
+
= .
Dosazením zadaných hodnot dostaneme tepelný odpor složené desky
1
211
.WK 0,0491 =
m 2 . .KW.m 0,527
m 0,0003 39. m40.0,001
−
−−
+
=
R T
.
Řešený příklad 3.4
V zahradní chatce jsou kamínka o tepelném výkonu 4 kW. Střecha i
obvodové stěny chatky jsou ze stejného jednoduchého dřevěného panelu a
jejich celková plocha je 56 m
2
. Podlaha je dobře tepelně zaizolovaná, proto
ztráty tepla podlahou zanedbejte. Teplota vzduchu uvnitř chatky je 22
o
C a
venkovní je -8
o
C. Určete a) teplotu vnitřního povrchu obvodových stěn
chatky, b) teplotu jejich vnějšího povrchu, c) tloušťku dřevěného panelu.
Součinitel přestupu tepla na vnitřní straně stěny je 14 W.m
-1
.K
-1
a na vnější
straně 12 W.m
-1
.K
-1
. Součinitel tepelné vodivosti dřeva je 0,17 W.m
-1
.K
-1
.
Řešení:
Vzhledem k tomu, že ztráty tepla podlahou můžeme zanedbat, bude výkon
kamínek rovný tepelnému toku střechou a obvodovými stěnami chatky
Φ = P , přičemž pro tepelný tok přes mezní vrstvu na povrchu stěny chatky
jak zevnitř, tak zvenku, bude platit rovnice získaná drobnou úpravou
rovnice (40),
)( TTSΦ −′= α .
a) Pro přestup tepla na vnitřní straně stěn napíšeme předchozí rovnici s
teplotou vzduchu T
1
' a teplotou povrchu stěny T
1

)'(
111
TTSΦ P −== α
Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 24 (40) -
a odtud zjistíme hledanou teplotu vnitřního povrchu stěny
C 16,9
.KW.m 14 .m 56
W 4.10
C

22'
o
112
3
o
1
11
=−=−=
−−

S
P
TT
α
.
b) Obdobně zjistíme teplotu vnějšího povrchu stěny
C

2,0 =
.KW.m 12 . m 56
W 4.10
C8'
o
112
3
o
2
22
−+−=+
−−
αS
P
T= T .
c) Pro určení tloušťky panelu vyjdeme z rovnice (26). Nahradíme v ní
tepelný tok výkonem kamínek
d
TT
S P
21
−
=λ
a upravíme pro výpočet tloušťky stěny
P
TT
S d
21
−
=λ .
Po dosazení zadaných hodnot bude mít tloušťka stěny hodnotu
cm 4,5 m 0,0451
W 104.
C

2,05 + C

16,9
.m 56 . .KW.m17,0
3
oo
211
===
−−
d .
Řešený příklad 3.5
Určete tepelný odpor zdvojeného okna s rámem zkonstruovaného podle obr.
3.8, je-li prostor mezi skleněnými tabulemi vyplněn vzduchem. Tepelný
odpor vzduchem vyplněného prostoru je 2,7 K.W
-1
(zahrnuje všechny
mechanizmy přenosu tepla vzduchovou vrstvou). Součinitel tepelné
vodivosti skla je 0,74 W.m
-1
.K
-1
, dřeva pevného rámu 0,21 W.m
-1
.K
-1
a
dřeva pohyblivého rámu 0,36 W.m
-1
.K
-1
.
Řešení:
Při dalším řešení budou často využívána následující pravidla platná u
odporových sítí: u sériově spojených odporů sčítáme jejich odpory, u
paralelně spojených odporů sčítáme jejich vodivosti, odpor je převrácená
hodnota vodivosti. Dále již na to nebudeme upozorňovat.
55 55120
55
5
5
120
míry jsou v cm
dřevo 1 dřevo 2 sklo
10
0,3
R
T2
R
T1
R
T3
R
T4
R
T3
obr. 3.8 Konstrukce zdvojeného okna s
rámem
obr. 3.9 Náhradní schéma tepelné sítě
pro výpočet tepelného odporu okna
Ustálené vedení tepla stěnami
- 25 (40) -
Příklad budeme řešit pomocí náhradního elektrického obvodu, sestaveného
na obr. 3.9, ve kterém je možno jednotlivé tepelné odpory popsat rovnicemi:
1) tepelný odpor pevného rámu
1
211
11
1
1
K.W 1,76 =
m0,27 . .KW.m 0,21
m 0,1
−
−−
==
S
d
R
T
λ
,
2) tepelný odpor pohyblivého rámu, který má stejnou tloušťku s pevným
rámem, d
1
= d
2

1
211
22
1
2
K.W 1,11 =
m 0,25 . .KW.m 0,36
m 0,1

−
−−
==
S
d
R
T
λ
,
3) tepelný odpor jedné skleněné tabule
1-
112
33
3
3
K.W0,0015
.KW.m.0,74m1,44
m 0,003
===
−−

S
d
R
T
λ
,
4) tepelný odpor vzduchového prostoru mezi skly je zadán
1
4
K.W70,2
−
=
T
R .
Tepelný odpor vzduchového prostoru a dvou skleněných tabulí označíme
R
T5
. Ve shodě s elektrickým schématem na obr. 3.9 bude (tepelný odpor skel
je v tomto příkladu zanedbatelný)
-1
4435
K.W70,22 =≅+=
TTTT
RRRR .
Pro výslednou tepelnou vodivost okna bude ve shodě s elektrickým
schématem platit
R
+
R
+
R
=
R
=
T T T T
T
5211
1111
Λ

a po dosazení hodnot
1
111
K.W 1,84 =
W.K 702,
1
+
W.K 1,11
1
+
W.K761
1
−
−−−
Λ
,
=
T
,
z čehož vychází tepelný odpor okna
1
1
W.K 0,544 =
K.W84,1
11
−
−
=
Λ
=

R
T
T
.
Řešený příklad 3.6
Vypočítejte tepelný výkon, který dodává při vytápění plechový radiátorový
článek s tloušťkou plechu 3 mm, jestliže teplota vody v radiátoru je 60
o
C.
Jeho povrch má plochu 0,18 m
2
. Předpokládejme, že polovina povrchu
článku má okolní teplotu vzduchu 26
o
C a druhá polovina povrchu má
teplotu okolního vzduchu 45
o
C. Součinitel tepelné vodivosti plechu je
84 W.m
-1
.K
-1
, součinitel přestupu tepla na vnitřním povrchu radiátoru je
84 W.m
-2
.K
-1
a na vnějším povrchu radiátoru 22 W.m
-2
.K
-1
.

Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 26 (40) -
Řešení:
Náhradní odporová síť pro naše
zadání je zakreslena na obr. 3.10.
Předpokládáme v ní, že vnější
povrchová teplota T
2
' je na celém
povrchu radiátoru, vzhledem k velmi
dobré tepelné vodivosti plechu,
stejná. Tepelný odpor mezní
povrchové vrstvy na vnitřní straně
radiátoru je
S
R
1
1
1
α
α
= ,
tepelný odpor stěny radiátoru
S
R
λ
1
1
=
a dva stejné tepelné odpory na dvou různých mezních vrstvách na vnějším
povrchu radiátoru budou
S
S
R
2
2
2
2
2
1
α
α
α
== .
Na obr. 3.10 jsou rovněž zakresleny tepelné toky jednotlivými větvemi
odporové sítě a teploty, které se nacházejí uvnitř radiátoru (T
1
) a v jeho
vnějším okolí (T
2
, T
3
). Sestavíme rovnice podle pravidel elektrické
odporové sítě s tím, že elektrický proud nahradíme tepelným tokem, rozdíl
potenciálů (napětí) nahradíme rozdílem teplot a elektrické odpory
nahradíme tepelnými odpory.
Pro uzel s teplotou T
2
' platí pro tepelné toky rovnice

ΦΦΦ
321
+= ,
(P1)
pro horní větev odporové sítě platí

2211121
)(
αα
RΦRRΦTT ++=− ,
(P2)
a pro dolní větev platí

2311131
)(
αα
RΦRRΦTT ++=− .
(P3)
Úpravou rovnice (P2) dostaneme

2
11121
2
)(
α
α
R
RRΦTT
Φ
+−−
= , (P4)
dosazením rovnice (P1) do rovnice (P3)

22111131
)()(
αα
RΦΦRRΦTT −++=− ,
(P5)
R
1R
α1
R
α2
R
α2
T
1 T1 T
2
T
2
T
3
'
'
Φ
1
Φ
2
Φ
3
obr. 3.10 Náhradní odporová síť pro
příklad „radiátor“
Ustálené vedení tepla stěnami
- 27 (40) -

a dosazením rovnice (P4) do (P5) s následnou úpravou vyjde
211
321
1
22
2
αα
RRR
TTT
Φ
++
−−
= .
Po dosazení jednotlivých tepelných odporů z úvodních rovnic bude tepelný
tok článkem radiátoru
λαα
d
TT
TS
Φ
++
+
−
=
21
32
1
1
11
)
2
(

a po dosazení zadaných hodnot
W76,8
.KW.m84
m0,003
.KW.m22
1
.KW.m84
1
)
2
C45C26
C(60.m0,18
111212
oo
o2
1
=
++
+
−
=
−−−−−−
Φ .
Pokud si dobře všimneme jmenovatele výrazu s dosazenými hodnotami,
mohli jsme od začátku zanedbat tepelný odpor stěny radiátoru, který je asi
300 x menší než přechodový tepelný odpor na vnitřním povrchu radiátoru.
Ponechali jsem ho tam však z didaktických důvodů, protože ne vždy tomu
tak musí být.
Řešený příklad 3.7
Válcové ocelové potrubí pro rozvod tepla, délky 22 m, vnitřního průměru
70 mm a vnějšího průměru 76 mm je
obalené azbestovým izolačním obalem
tloušťky 30 mm. Vnitřní povrch potrubí
má teplotu 10
o
C a vnější povrch obalu
teplotu −10
o
C. Součinitel tepelné
vodivosti oceli je 51 W.m
-1
.K
-1
a
azbestové izolace 0,129 W.m
-1
.K
-1

a) Vypočítejte ztráty tepla do okolí za 24
hodin. b) Jaké by byly ztráty, kdyby
potrubí nebylo obaleno izolačním
obalem?

Řešení:
a) Vyjdeme z rovnice pro tepelný odpor válcové stěny (52), kde výšku h
nahradíme délkou l. Pro ocelovou válcovou stěnu dostaneme
1
2
1
1
ln
2
1
r
r

l
R
T
λπ
=
a pro azbestovou válcovou stěnu bude
r
1
r
3
r
2
R
T1
R
T2
obr. 3.11 Průřez potrubím s izolací
Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 28 (40) -
2
3
2
2
ln
2
1
r
r

l
R
T
λπ
= ,
Výsledný tepelný odpor bude součet
)lnln(
2
1
2
3
1
1
2
2
21
21
r
r

r
r

l
RRR
TTT
λλ
λλπ
+=+=
a s využitím rovnice (29) dostaneme hledaný tepelný tok
2
3
1
1
2
2
21
lnln
2
r
r

r
r

Tl
Φ
λλ
λλπ
+
∆
= .
Po dosazení bude mít tepelný tok izolovaného potrubí hodnotu
.kW 1,07 = W 1071 =

mm 76
mm 106
ln . .KW.m 51 +
mm 70
mm 76
ln . .KW.m 0,129
K 20 . m 22 . .KW.m 0,129 . .KW.m 51 . π 2
1111
1111
=
−−−−
−−−−
= Φ

a tepelné ztráty izolovaného potrubí za 24 hodin budou
MJ 92,6 = J 109,26. = s 24) . 60 . (60 . W10.07,1
73
tΦQ == .
b) V případě, že nebude potrubí izolováno, přejde rovnice pro výpočet
tepelného toku na základní tvar (52), takže
1
2
1
ln
2
r
r
Tl
Φ
∆
=
λπ
.
Po dosazení dostaneme hodnotu tepelného toku neizolovaného potrubí
MW 1,71 = W 101,71. =
mm 70
mm 76
ln
K 20 . m 22 . 512
6
.
=
π
Φ
a tepelné ztráty neizolovaného potrubí za 24 hodin
J G 148 = J 101,48. = s 24) . 60 . (60 . W10.71,1
116
t Φ Q == .
Neřešený příklad 3.8
V tlustostěnné uzavřené kovové nádobě je kapalina teploty T
1
. Teplota
vnějšího vzduchu je T
2
. Obecně vypočítejte teplotu vnější stěny nádoby T',
je-li součinitel tepelné vodivosti kovu λ, součinitel přestupu tepla pro
rozhraní kov-vzduch α a pro rozhraní kov-kapalina je tento součinitel
nekonečně velký. Tloušťka stěny je d. [
d +
Td + T
= T
αλ
αλ
21
′ ]
Neřešený příklad 3.9
Tři desky týchž rozměrů jsou položeny na sebe. prostřední deska je olověná,
obě krajní jsou stříbrné. Vnější stranu jedné stříbrné desky udržujeme na
teplotě 100
o
C, vnější stranu druhé stříbrné desky udržujeme chlazením v
Ustálené vedení tepla stěnami
- 29 (40) -
ledu na teplotě 0
o
C. Určete teploty na rozhraní olověné desky s oběma
stříbrnými. [98
o
C; 10,8
o
C]
Neřešený příklad 3.10
Ve válcové nádobě o poloměru 5 cm a výšce 15 cm je elektrická topná
spirála o výkonu 165 W. Teplota na vnějším povrchu nádoby se ustálila na
80
o
C, přičemž teplota místnosti byla 15
o
C. Určete součinitel přestupu tepla
na povrch nádoby. [40,4 W.m
-2
.K
-1
]
Neřešený příklad 3.11
Navrhněte správnou tloušťku materiálu použitého na izolaci parní turbíny,
jehož součinitel tepelné vodivosti je 0,07 W.m
-1
.K
-1
. Turbína pracuje s
vodní párou teploty 410
o
C. Aby nedošlo ke zranění, je kladena podmínka,
aby teplota povrchu izolačního materiálnu nepřekročila 50
o
C při teplotě
vzduchu ve strojovně 20
o
C. Součinitel přestupu tepla na povrchu izolace ve
strojovně je 11,9 W.m
-2
.K
-1
, na protilehlém povrchu izolace přestup tepla
neuvažujeme. [7 cm]
Neřešený příklad 3.12
Pokojová stěna šířky 4 m, výšky 2,4 m a tloušťky 30 cm je postavena z
cihel, které mají součinitel tepelné vodivosti λ
c
= 0,755 W.m
-1
.K
-1
. Stěna
obsahuje okno rozměrů 2 m x 1,2 m, jehož tepelná vodivost je
Λ = 4,3 W.K
-1
. Stěna je oboustranně omítnuta omítkou tloušťky 2 cm s
měrnou tepelnou vodivostí λ
o
= 0,87 W.m
-1
.K
-1
. Na vnitřní straně stěny je
přes celou její šířku do výšky 1,2 m dřevěné obložení tlusté 18 mm
(připevněno se vzduchovou mezerou 3 cm). Součinitel tepelné vodivosti
použitého dřeva je λ
d
= 0,21 W.m
-1
.K
-1
, vzduchu λ
v
= 24.10
-3
W.m
-1
.K
-1
.
Určete tepelnou vodivost stěny. [12,4 W.K
-1
]
Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 30 (40) -
4 Přenos tepla zářením
Každé tuhé nebo kapalné těleso vysílá do svého okolí elektromagnetické
vlnění. Jde o únik části vnitřní energie těles do okolí, tím se těleso ochlazuje.
Proto takovému záření říkáme teplotní záření.
Teplotní záření vydávají všechna tělesa, jejichž teplota je vyšší než 0 K,
tedy všechna reálná tělesa. Je-li teplota zářícího tělesa dostatečně
vysoká, vnímáme teplotní záření okem jako světlo.
Ještě nedávno převládal názor, že pro teplotní záření vyzařují jen tělesa silně
zahřátá, protože slabé záření nebylo možné měřit. Dnes vlivem velkého rozvoje
měřící elektroniky je již tento názor překonán. Elektronické detektory záření
jsou schopné změřit záření těles jejichž teplota je desítky stupňů pod bodem
mrazu. Moderní elektronika například, na základě měření a vyhodnocování
záření, navádí řízené střely.
Pro lidské oko je teplotní záření pozorovatelné od teplot přibližně 700
o
C,
kdy se projevuje jako infračervené záření (infrazářič). Při vyšších
teplotách se k infračervenému záření, které zůstává dominantní, přidává
viditelné světlo (žárovka). Při velmi vysokých teplotách se v teplotním
záření tělesa objevuje i ultrafialové záření (Slunce).
4.1 Základní veličiny záření
Pro přenos energie zářením zavádíme zářivý tok Φ
e
, který určuje energii
(teplo), která vystupuje z plochy (povrchu tělesa) nebo prochází danou
plochou za časovou jednotku.
Je definován rovnicí

dt
dQ
Φ
=
e
. (55)
Zde dt je čas, po který teplo dQ vystupovalo z plochy (procházelo plochou).
Zářivý tok je kvantitativně shodný s tepelným tokem, který jsme zavedli
v článku 2.2 a má jednotku W (watt). Vyjadřuje výkon záření, v němž jsou
zastoupeny všechny vlnové délky.
Pro zjištění spektrálního rozdělení zářivého toku v závislosti na vlnové
délce záření zavádíme spektrální tok (někdy spektrální zářivý tok) Φ
λ
,
který je definován diferenciálním podílem zářivého toku a vlnové délky.
Definujeme ho rovnicí


e
λ
λ
d
dΦ

Φ
= , (56)
Přenos tepla zářením
- 31 (40) -

obr. 4.1 K definici intenzity
vyzařování
kde λλ
λ
dΦdΦ )(
e
= je zářivý tok obsahující jen záření vlnových délek v
intervalu ( λλλ d, + ). Spektrální tok má jednotku W.m
-1
.
Pomocí zářivého nebo spektrálního toku můžeme vyjádřit energii (teplo), která
je přenášena zářením. Vzhledem k definici (56) totiž platí

dΦ
Φ
∫
∞
=
0
e
λ
λ

(57)
a celkové teplo přenášené zářením pak v souladu s rovnicí (55) bude

∫∫∫
∞
==
tt
dtdΦdtΦQ
000
e
λ
λ
,
(58)
kde t v horní mezi integrálu je čas, po který je záření přenášeno.
Ukazuje se výhodné zavést veličinu, která bude vyjadřovat zářivý tok Φ
e

vyzařovaný jednotkovou plochou povrchu tělesa. Bude to intenzita
vyzařování M
e
.
Intenzita vyzařování je definovaná rovni-
cí

dS
dΦ
M
e
e
= ,
(59)
kde dΦ
e
je ta část zářivého toku, která je
vyzařovaná z povrchu tělesa o ploše dS
jak dokumentuje obr. 4.1.

Analogicky zavedeme spektrální intenzitu vyzařování M
λ
, kterou zase
odvodíme od spektrálního zářivého toku Φ
λ
.
rovnicí

dS
dΦ
M
λ
λ
= , (60)
kde, podobně jako v definici (59), dΦ
λ
je ta část spektrálního toku, která je
vyzařovaná z povrchu tělesa o ploše dS.
Se schopností těles vydávat záření úzce souvisí jejich schopnost pohlcovat je.
Ukazuje se, že čím lépe těleso záření pohlcuje, tím lépe je i vydává.
Schopnost těles pohlcovat záření vyjadřuje bezrozměrný spektrální
činitel pohlcení α(λ).
Spektrální činitel pohlcení je definovaný poměrem

λ
λ
λα
Φ
Φ
=
a
)(,
(61)
Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 32 (40) -
kde Φ
λa
je spektrální tok pohlcený povrchem tělesa a Φ
λ
je spektrální tok
dopadající na povrch tělesa.
4.1.1 Černé těleso
V dalším výkladu budeme sledovat jen záření černého tělesa. Je to
takové těleso, které má schopnost pohltit veškeré záření, které na něj
dopadá. Pro černé těleso tedy v celém rozsahu vlnových délek platí
α(λ) = 1.
4.2 Zákony záření černého tělesa
Teorií záření černého tělesa se zabývali nejdříve na základě empirických
poznatků (pozorování) Stefan, Boltzmann a Wien a přestože získali dodnes
používané zákony, jejich studie nebyla ucelená.
Teprve později, německý fyzik Max Karl Planck (1858-1947), provedl
ucelenou kvantovou studii teorie záření, která přinesla řadu nových
poznatků, avšak rovněž potvrdila dříve zjištěné rovnice. Planck v roce
1901 odvodil zákon záření černého tělesa.
Planckův zákon záření černého tělesa popisuje rovnice

)1(
)(
2
5
1
−
T
c
e
λ
c
= λ, TM
λ
λ
,
(62)
kde konstanty c
1
, c
2
mají hodnoty

2-162
1
W.m3,7418.102 = ch c π= , (63)

m.K 1,4388.10
2-
2
=
k
c h
c = .
(64)
Zde h je Planckova konstanta, k je Boltzmannova konstanta a c je rychlost
světla. Grafické vyjádření Planckova zákona záření je na obr. 4.2. Vidíme na
něm, že se zvyšující se teplotou zářícího tělesa se křivka závislosti spektrální
intenzity vyzařování na vlnové délce zužuje a její maximum se posouvá k
nižším vlnovým délkám. Pro porovnání je na obr. 4.2 zakreslena rovněž křivka
pro Rayleighův-Jeansův zákon (1905) )/(2
4
λπ
λ
TckM = , který souhlasí
s průběhem Planckova zákona pouze pro vlnové délky od µm200>λ . Značný
nesouhlas Rayleighova-Jeansova zákona od reálného průběhu pro
µm200