skripta MO4

Laplaceův operátor L
2
, pro který platí


z
T
+
y
T
+
x
T
= T
2
2
2
2
2
2
2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∇ .
(18)
Při platnosti těchto matematických vztahů lze rovnici (13) využít tak, že
porovnáme integrované funkce. Dostaneme

dT c dt w+ Tdt ρλ =∇
2
(19)
a úpravou

t
T
T
c
+
c
w
∂
∂
=∇
2
ρ
λ
ρ
.
(20)
Tato rovnice je obecná diferenciální rovnice vedení tepla.
2.5 Kontrolní otázky
(1) Jakým způsobem dochází k přenosu tepla při kondukci?
(2) Které mechanismy přenosu tepla nevyžadují látkové prostředí?
(3) Které způsoby přenosu tepla se uplatňují při vytápění radiátory?
(4) Uveďte, kterými způsoby se přenáší teplo v pevných látkách, kterými v
tekutinách a kterými ve vakuu. Zdůvodněte svá tvrzení.
(5) Co znamená a jak je definován tepelný tok a jak hustota tepelného
toku?
(6) Jaký směr má hustota tepelného toku v případě vedení tepla?
(7) Jak je formulován Fourierův zákon pro vedení tepla?
(8) Co je to součinitel tepelné vodivosti? Jakou má jednotku?
(9) Co zprostředkovává přenos tepla v kovech a co v izolantech?
(10) Souvisí nějak rychlost zvuku v izolantech s jejich tepelnou vodivostí?
(11) Jak vedou teplo plyny?
Úvod do přenosu tepla
- 13 (40) -
(12) Proč není stěna Dewarovy nádoby průhledná?
(13) Odvoďte diferenciální rovnici vedení tepla.
(14) Jak bude vypadat diferenciální rovnice pro vedení tepla v látce, ve
které neexistuje teplotní spád?

Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 14 (40) -
3 Ustálené vedení tepla stěnami
3.1 Vedení tepla rovinnou stěnou
Vedení tepla, při němž je prostorové rozložení teplot časově neměnné,
nazýváme ustálené. Pak můžeme pro libovolné místo psát 0=
∂
∂
t
T
.
V případě, že ve sledovaném prostředí nejsou tepelné zdroje, přejde obecná
diferenciální rovnice pro vedení tepla (20) na tvar

0
2
=∇ T
(21)
Následující odstavce budou pojednávat o ustáleném vedení tepla.
3.1.1 Jednoduchá rovinná stěna
Uvažujme rovinnou stěnu o tloušťce d, která je znázorněna na obr. 3.1.
Soustavu souřadnic zvolme tak, aby osy y
a z ležely v jednom povrchu stěny a aby
osa x byla na stěnu kolmá. Povrchová
teplota stěny z jedné strany (pro x = 0) je
T
1
, z druhé strany (x = d) je T
2
. Rovinná
stěna je tvořena homogenní látkou, jejíž
součinitel tepelné vodivosti je λ. Pro tuto
stěnu stačí uvažovat změny teplot ve
směru x, změny teplot v ostatních směrech
jsou nulové. Proto rovnici (21) napíšeme
ve tvaru

0
2
2
=
x
T
∂
∂
. (22)
Obecné řešení této rovnice je

12
)( cxc xT += . (23)
Konstanty c
1
, c
2
určíme z okrajových podmínek. Pro x = 0 je T = T
1
a pro x = d
je T = T
2
. Pak dostaneme

d
TT
cTc
12
211
,
−
== . (24)
Průběh teploty v homogenní stěně má tedy tvar

1
12
)( Tx
d
TT
xT +
−
= . (25)
Tento průběh je zakreslen na obr. 3.1. jako přímka v rovině x, T. Pokud
zvážíme, že teplotní spád ve směru osy z je nulový, dostaneme teplotní průběh
y
x
dx0
T
z

obr. 3.1 Jednoduchá rovinná stěn s
vyznačeným teplotním spádem
Ustálené vedení tepla stěnami
- 15 (40) -
ve tvaru roviny, kterou rovněž vidíme na obr. 3.1., včetně barevného
znázornění teplot. Červená barva odpovídá nejvyšší teplotě a modrá nejnižší
teplotě ve stěně.
Hustotu tepelného toku stěnou určíme z jednorozměrného tvaru Fourierova
zákona (8) derivováním funkce T(x), tedy

d
TT
q
21
−
=λ , (26)
kde T
1
a T
2
jsou povrchové teploty stěny (
21
TT > ). Tepelný tok stěnou o
plošném průřezu S pak bude

d
TT
SΦ
21
−
=λ . (27)
Pro přehlednější posouzení tepelných vodivostních vlastností stěn je výhodné
zavést tepelnou vodivost Λ. Je to podíl tepelného toku Φ procházejícího
stěnou a rozdílu teplot povrchů této stěny
21
TTT −=∆ (T
1
>T
2
).


T
Φ
=
∆
Λ . (28)
Reciprokou hodnotou tepelné vodivosti je tepelný odpor R
T



Φ
T
=
1
= R
T
∆
Λ
. (29)
Použijeme-li vztah (27), dostaneme pro tepelnou vodivost a tepelný odpor
jednoduché rovinné stěny vztahy

d
Sλ
=Λ
,
(30)


S
d
R
T
λ
=
. (31)
3.1.2 Příčně složená rovinná stěna
S tepelnou vodivostí a tepelným odporem
můžeme v případě skládání rovinných stěn
za sebe nebo vedle sebe pracovat podobně
jako s odporem a vodivostí v elektřině.
Seřadíme-li rovinné stěny různých
tepelných odporů za sebe (obr. 3.2)
vznikne příčně složená rovinná stěna. Její
povrchová teplota bude z jedné strany T
1
a
na protilehlé straně T
2
. Výsledný tepelný
odpor R
T
stěny dostaneme podobně jako v
elektřině tak, že tepelné odpory (řazené
q

obr. 3.2 Příčně složená rovinná
stěna
Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 16 (40) -
sériově) všech stěn sečteme. Dostaneme

...
321
+++=
TTTT
RRRR
(32)
nebo také, po využití rovnice (31)

∑
=
=+++=
n
i i
i
T
d
S
ddd

S
R
13
3
2
2
1
1
1
...)(
1
λλλλ
,
(33)
kde d
i
jsou tloušťky jednotlivých stěn a λ
i
jejich součinitelé tepelné vodivosti.
Tepelný tok příčně složené stěny dostaneme z rovnice (27),

T
R
TT
Φ
21
−
= ,
(34)
po dosazení za tepelný odpor z rovnice (33) získáme tepelný tok příčně
složenou rovinnou stěnou ve tvaru

∑
=
−
=
n
i i
i
d
TT
SΦ
1
21
λ
,
(35)
kde n je počet stěn, ze kterých je složená stěna sestavena.
3.1.3 Podélně složená rovinná stěna
Stěny různých tepelných odporů můžeme
skládat i vedle sebe, jak ukazuje obr. 3.3.
Pak vznikne podélně složená rovinná stě-
na, kde jednotlivými stěnami tečou různé
hustoty tepelných toků. Teploty protilehlých
povrchů stěn vlevo a vpravo před-
pokládejme po celé ploše konstantní
(v praxi nebude tato podmínka zcela splně-
na). Při řešení takové stěny platí opět analo-
gie s elektrickým obvodem, výslednou te-
pelnou vodivost Λ dostaneme tak, že se-
čteme tepelné vodivosti
i
Λ jednotlivých
stěn, jejichž plošný průřez je S
i
a součinitel
tepelné vodivosti λ
i
. Dostaneme

...
321
+Λ+Λ+Λ=Λ
(36)
a po dosazení

∑
=
=+++=Λ
n
i
i
S
d
SSS
d
1
1332211
1
...)(
1
λλλλ .
(37)
Tepelný tok stěnou pak bude mít tvar

Λ−= )(
21
TTΦ , (38)
q
2
q
1
q
3
obr. 3.3 Podélně složená rovinná
stěna
Ustálené vedení tepla stěnami
- 17 (40) -
nebo-li

∑
=
−
=
n
i
i
S
d
TT
Φ
1
1
21
λ ,
(39)
kde n je počet skládaných stěn.
3.1.4 Obecně složená rovinná stěna
Orientačně lze podobnými metodami řešit i složitěji sestavené stěny. Pak je
výhodné překreslit tepelné odpory tak, aby
reprezentovaly elektrické odpory v obvodu
a získat výsledný odpor náhradní
elektrické sítě metodami užívanými v
elektřině. Jedna taková analogie je
ukázána pro případ složené stěny na obr.
3.4., kde je rovněž zakreslena elektrická
odporová síť, která tuto složenou stěnu
simuluje. Na tomto principu jsou založeny
metody analogového měření tepelných
vlastností stěn. Pomocí elektrických
odporových sítí můžeme vytvořit analogové modely reálných stěn a
elektrickými metodami měřit jejich modelové tepelné vlastnosti.
3.2 Přestup tepla
Při řešení průchodu tepla stěnami jsme
dosud uvažovali povrchové teploty stěn.
V praxi se však spíše setkáváme s
případy, kde stěna je obklopena z jedné
nebo obou stran tekutým prostředím
(kapalinou nebo plynem) a není známa
povrchová teplota stěny, nýbrž teplota
obklopujícího tekutého prostředí. Proto
je třeba řešit přenos tepla na rozhraní
pevné látky a tekutiny nazývaný
přestup tepla.
Přestup tepla vzniká proto, že v blízkosti povrchu stěny se vytvoří tenká
mezní vrstva, na jejíž površích jsou rozdílné teploty. Napříč touto
vrstvou vzniká přenos tepla. Jde o složitý proces, který závisí mimo jiné
na rychlosti a typu proudění tekutiny podél stěny, viskozitě tekutiny a na
jakosti povrchu stěny.
Situace, kterou popisujeme, je vyobrazena na obr. 3.5. Předpokládejme, že
teplota prostředí je T' a povrchová teplota stěny je T. Experimenty ukazují, že
není-li rozdíl teplot T TT −′=∆ větší než několik kelvinů, je možno hustotu
tepelného toku q při přestupu tepla počítat pomocí empirického Newtonova
vztahu

obr. 3.4 Obecně složená stěna a
její náhradní elektrický obvod
Orientačně
proto, protože v
mnohých pří-
padech vznikne
při obecně
sestavené stěně
vícerozměrný
tepelný tok,
tedy tok nejen
ve směru osy x.
mezní vrstva
tekuté
prostředí
pevná
látka
T'
T

obr. 3.5 Teplotní průběh při přestupu
tepla
Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 18 (40) -

)( T T q −′=α ,
(40)
kde koeficient α je součinitel přestupu tepla, jehož jednotka je
12
2
.KW.m
K
W.m
][
−−
−
==α .
Pro přestup tepla je možné, podobně jako v případě složených stěn, zavést
tepelnou vodivost Λ
α
a tepelný odpor R
α
. Budeme je definovat rovnicemi
analogickými k (28) a (29). S přihlédnutím k rovnici (40) dostaneme

S = α
α
Λ ,
(41)


S
= R
α
α
1
.
(42)
V případě, že řešíme přestup tepla na obou stranách rovinné stěny, zahrneme
příslušné tepelné odpory do rovnic pro vedení tepla. Stejným postupem jako v
článku 3.1.2 dostaneme pro příčně složenou rovinnou stěnu

i
i
n
1=i
d
+
1
+
1
STT
= Φ
λαα
∑
−
21
21
)''(
,
(43)
kde teploty T
1
', T
2
' jsou teploty obklopujícího tekutého prostřed. Je-li zadána
jedna povrchová teplota, např. T
1
a z druhé strany stěny teplota prostředí T
2
',
dostaneme stejným postupem vztah

λ
α
i
i
n
1=i
d
+
)ST (T
= Φ
∑
−
2
21
1
'
,
(44)
Pro podélně složenou stěnu si pomůžeme
náhradní elektrickou sítí na obr. 3.6. Pro
celkový odpor sítě R
T
bude platit

2
1
1
1
)
1
(
αα
R
R
RR
n
i Ti
T
++=
−
=
∑
,
(45)

a po dosazení tepelných odporů z rovnic
(31) a (42) dostaneme

1
21
)(
11
−
∑
d
S
+
S
+
S
= R
ii
n
1=i
T
λ
αα
,
(46)
kde S je příčný plošný průřez stěnou.
Tepelný tok podélně složené rovinné stěny s přestupem tepla dostaneme z
rovnice (29), kam dosadíme R
T
z rovnice (46), takže
R
T1
R
T2
R
T3
R
Ti
R
α1 R
α2

obr. 3.6 Náhradní elektrická síť
pro vedení tepla podélně složené
stěny s přestupem tepla
Ustálené vedení tepla stěnami
- 19 (40) -

Sd +
S
1
+
S
1
TT
Φ
-
ii
n
1=i
)(
''
1
21
21
λ
αα
∑
−
= ,
(47)
kde T
1
', T
2
' jsou teploty tekutého prostředí obklopujícího protilehlé povrchy
stěny, d je její tloušťka, S
i
jsou plošné průřezy jednotlivých podélně skládaných
stěn a S = ΣS
i
je plošný průřez celé složené stěny.
3.3 Vedení tepla válcovou stěnou
Předpokládejme stěnu válcového tvaru, která je v řezu zakreslena na obr. 3.7.
Vnitřní poloměr a povrchová teplota stěny jsou r
1
, T
1
, vnější poloměr a
povrchová teplota stěny r
2
, T
2
. Najdeme tepelný tok touto stěnou.
Hledejme nejdříve tepelný odpor
tenké válcové vrstvy o poloměru r a
tloušťce dr. Tepelně se tato vrstva
chová jako rovinná stěna obdél-
níkového tvaru o plošném průřezu S =
2πrh, kde h je výška stěny. Tepelný
odpor této vrstvy, jejíž součinitel
tepelné vodivosti je λ , bude podle
rovnice (31)

S
dr
=
dRT
λ
, (48)
a po dosazení za plochu S

r
rd

h
= dR
T
λπ2
1
,
(49)
Válcová stěna vznikne příčným složením mnoha válcových vrstev, jejichž
poloměry se mění od r
1
do r
2
, tepelný odpor válcové stěny tedy vznikne
integrací tepelných odporů všech vrstev

∫∫
==
2
1
2
1
r
r
TT
r
dr
h
dRR
λπ
,
(50)
Po integraci dostáváme tepelný odpor válcové stěny

1
2
ln
2
1
r
r
h
R
T
λπ
= ,
(51)
a s využitím vztahu (29) tepelný tok válcovou stěnou
r
1
r
2
S
T
1
T
2
dr
r
obr. 3.7 Řez válcovou stěnou (k
odvození rovnice pro vedení tepla
válcovou stěnou)
Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 20 (40) -

1
2
21
ln
)(2
r
r
TTh
= Φ
−λπ
.
(52)
Chceme-li do výpočtu zahrnout přestup tepla, musíme s přihlédnutím k rovnici
(42) psát

S
+
r
r
h2
+
S
R
22
T
α
λπα
1
ln
11
1
2
11
= ,
(53)
kde S
1
= 2πr
1
h je plocha vnitřního povrchu válcové stěny a S
2
= 2πr
2
h je plocha
jejího vnějšího povrchu. Tepelný tok s přestupem tepla pak bude

,
r
+
r
r
+
r
TT h
Φ
221
2
11
21
ln
)''(2
α
λ
α
λ
λπ −
=
(54)
kde T
1
' a T
2
' jsou vnitřní a vnější teplota tekutých prostředí obklopujících stěnu
a α
1
a α
2
jsou vnitřní a vnější součinitelé přestupu tepla.
3.4 Kontrolní otázky
(1) Odvoďte teplotní průběh T(x) v jednoduché rovinné stěně při
ustáleném vedení tepla ve směru kolmo na stěnu.
(2) Odvoďte hustotu tepelného toku při ustáleném vedení tepla
jednoduchou rovinnou stěnou.
(3) Co je to teplený odpor a co je tepelná vodivost? Jaké vztahy je určují?
Jak spolu souvisí?
(4) Odvoďte rovnici pro ustálený tepelný tok příčně složenou rovinnou
stěnou.
(5) Odvoďte rovnici pro ustálený tepelný tok podélně složenou rovinnou
stěnou.
(6) Na jakém principu jsou založeny metody analogového měření
tepelných vlastností stěn?
(7) Najděte obecný vztah pro výpočet tepelné vodivosti stěny podle obr.
3.4.
(8) Proč nebývá teplota povrchu tělesa a teplota obklopujícího tekutého
prostředí stejná?
(9) Jakou roli má při přestupu tepla mezní vrstva? Jak ji ztenčíme?
(10) Co je to součinitel přestupu tepla?Jakou má jenotku?
(11) Jak počítáme hustotu tepelného toku při přestupu tepla?
(12) Jak se změní rovnice pro ustálený tepelný tok složenými rovinnými
stěnami, zahrneme-li do výpočtu přestup tepla?
Ustálené vedení tepla stěnami
- 21 (40) -
(13) Znázorněte graficky teplotní spády při průchodu tepla rovinnou
stěnou, a to jak v tekutině, která ji obklopuje, tak ve stěně.
(14) Odvoďte rovnici pro ustálený tepelný tok válcovou stěnou.
(15) Jsou hustoty tepelného toku válcovou stěnou při vnitřním a vnějším
povrchu stěny stejné?
(16) Jaká bude odpověď na stejnou otázku v případě tepelného toku?
3.5 Příklady k procvičení
Řešený příklad 3.1
Jeden konec měděné tyče délky 30 cm a příčného průřezu 3 cm
2
udržujeme
na teplotě 300
o
C a druhý zasahuje do tajícího ledu. Tyč je izolována od
okolí. Určete: a) hustotu tepelného toku tyčí, b) tepelný tok tyčí, c) hmotnost
ledu, který roztaje za 10 minut. Součinitel tepelné vodivosti mědi je
389 W.m
-1
.K
-1
, měrné skupenské teplo tání ledu je 3,3.10
5
J.kg
-1
.
Řešení:
a) Použijeme rovnici pro hustotu tepelného toku stěnou (26), kde d bude
délka tyče. Hustota tepelného toku tyčí pak bude
d
TT
q
21
−
=λ ,
kde T
1
je teplota teplého konce tyče a T
2
je teplota studeného konce.
Numericky dostaneme
2211
kW.m 389 = W.m 3,89
m 0,3
K 0) (300
.KW.m 389
−−−−
=
−
= q .
b) Tepelný tok tyčí určíme na základě definice hustoty tepelného toku 0
W 116,7 )m 10( . 3 .m.W10.389
2223
=
−−
= Sq = Φ .
c) Vzhledem k tomu, že nedochází k žádné ztrátě tepla do okolí, bude za čas
t dodáno ledu teplo t Φ =Q , které se celé spotřebuje na tání ledu. Na tání
ledu o hmotnosti m je potřeba teplo l m Q = , takže porovnáním tepel
dostaneme hmotnost rozpuštěného ledu
l
t Φ
m =
a hmotnost ledu, který roztaje za 10 minut bude
g 212 = kg 0,212
kg.J 103,3.
s 10 . 60 . W7,116
1-5
=

= m .
Řešený příklad 3.2
Navrhněte tloušťku izolační stěny mrazírny z materiálu, jehož součinitel
tepelné vodivosti je 0,1 W.m
-1
.K
-1
, má-li vzduch chlazeného prostoru
teplotu -24
o
C a vnější povrch stěny nesmí mít nižší teplotu než 15
o
C při
Aplikovaná fyzika · Přenos tepla
- 22 (40) -
teplotě vzduchu vně mrazírny 25
o
C. Součinitel přestupu tepla na obou
stranách izolační stěny je 12 W.m
-2
.K
-1
.
Řešení:
Budeme pracovat se stěnou, u které známe teplotu vzduchu chlazeného
prostoru T
2
' a teplotu vnější povrchovou teplotu stěny T
1
. Pro stěnu
napíšeme rovnici (43) bez přestupu tepla na vnější straně, tedy
λα
d

TT
= q
+
−
2
21
1
'

a úpravou nalezneme neznámou tloušťku stěny
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
2
21
1'
α
λ
q
TT
= d .
Hustotu tepelného toku izolační stěnou určíme ze znalosti teploty jejího
vnějšího povrchu a teploty vzduchu vně izolační stěny. Použijeme k tomu
rovnici (40) pro přestup tepla na povrchu stěny
)(
111
T T = q −′α .
Dosazením poslední rovnice do rovnice pro tloušťku stěny dostaneme
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
1
'
'1
'
'1
11
21
211
21
1
TT
TT
TT
TT
= d
α
λ
αα
λ ,
kde jsem využili rovnost
21
αα = . Dosazením numerických hodnot vyjde
tloušťka izolační stěny mrazírny
.cm 2,42 m 0,0242 1
C 15C 25
C 24 + C 15
.
.KW.m 12
.KW.m 0,1
oo
oo
11
11
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
−−
−−
d
Řešený příklad 3.3
Deska se skládá ze 40 železných plechů tloušťky 1 mm o ploše 2 m
2
, mezi
nimiž je 39 papírových listů tloušťky 0,3 mm o stejné ploše. Součinitel
tepelné vodivosti železa je 66 W.m
-1
.K
-1
a papíru 0,12 W.m
-1
.K
-1
. Určete
a) střední měrnou tepelnou vodivost složené desky, b) tepelný odpor desky.
Řešení:
a) Počet, tloušťku a měrnou tepelnou vodivost plechů označíme n
1
, d
1
, λ
1
a
podobně pro papírový list n
2
, d
2
, λ
2
. Porovnáním tepelného odporu desky z
definiční rovnice (29) a tepelného odporu desky na základě rovnice (31)
dostaneme
S
d

Φ
T
λ
=
∆

a úpravou, s dosazením tloušťky složené desky
2211
dndn = d + a hustoty
tepelného toku S/Φ = q , získáme střední měrnou tepelnou vodivost
složené desky
Ustálené vedení tepla stěnami