Skripta - Silové soustavy

sobišti v různých bodech roviny. Zabývali jsme se možnostmi formulace tří
podmínek ekvivalence, resp. rovnováhy uvažovaných silových soustav v rovi-
ně. Speciální pozornost byla věnovány soustavě rovnoběžných sil v rovině a je-
jímu statickému středu.



























- 29 (48) -
Silové soustavy

- 30 (48) -
Prostorové soustavy sil
4 Prostorové soustavy sil
V této kapitole rozšíříme naše znalosti ze silových soustav na 3D (prostorové)
úlohy. Setkáme se s již známými pojmy (statický moment síly k bodu, dvojice
sil), ale i s novými pojmy (statický moment síly k ose, bivektor apod.).
4.1 Pravoúhlé složky síly v prostoru
Podobně jako v rovině, i v prostoru s výhodou pracujeme s pravoúhlými slož-
kami obecných sil. Následující dvě varianty jsou základními případy, které
budeme velmi často využívat v dalších úvahách, i když s jiným formálním
označením. Budeme se na ně odvolávat pro detailní vyjádření.
4.1.1 Rozklad síly do pravoúhlých složek
Uvažujme v souřadnicové soustavě s osami x, y, z sílu F (obr. 4.1). Ve třech
různých rovinách určených paprskem síly F a jednotlivými souřadnicovými
osami (event. rovnoběžkami s nimi) odměříme směrové úhly α, β, γ, pro něž
platí výrazy (2.5) s kontrolním vztahem (2.6). Jednotlivé složky síly F budeme
vyjadřovat pomocí rovnic (2.8).

Obr. 4.1: Tři síly v jednom bodu
4.1.2 Tři síly se společným působištěm
Působí-li ve zvláštním případě (obr. 4.1) tři navzájem na sebe kolmé síly ve
společném působišti, představuje výslednice R = F tělesovou úhlopříčku kvád-
ru, jehož délky hran se rovnají velikostem sil. Výslednici lze získat postupným
vektorovým součtem
xyyx
FFF =+ , FFFFFF =++=+
zyxzxy
, (4.1)
nebo ve skalárním tvaru
222
xyyx
FFF =+ , , (4.2)
222222
FFFFFF
zyxzxy
=++=+
takže platí rovnice (2.4) a směrové úhly jsou vyjádřeny vztahy (2.5).
- 31 (48) -
Silové soustavy
4.2 Prostorový svazek sil
Každá síla F
i
(i = 1, …, n) soustavy sil se společným působištěm o je dána
svou velikostí, směrem a smyslem (pomocí směrových úhlů α
i
, β
i
, γ
i
). Každou
sílu soustavy sil rozložíme na tři složky navzájem kolmé působící ve směru
souřadnicových os x, y, z podle (2.8)
iiix
FF αcos= ,
iiiy
FF βcos= ,
iiiz
FF γcos= . (4.3)

Obr. 4.2: Prostorový svazek sil
Tím získáme místo původní soustavy sil F
1
až F
n
tři soustavy sil ve společných
paprscích (viz odst. 3.1) ztotožněných se souřadnicovými osami. Algebraickým
součtem složek sil v osách získáme dílčí výslednice R
x
, R
y
, R
z
, pro jejichž ve-
likosti platí
∑∑
==
===
n
i
ii
n
i
ixx
FFRR
11
coscos αα ,
∑∑
==
===
n
i
n
i
iiiyy
FFRR
11
coscos ββ ,
∑∑
==
===
n
i
n
i
iiizz
FFRR
11
coscos γγ . (4.4)
Rovnice (4.4) představují tři statické (silové) podmínky ekvivalence pro pro-
storový svazek sil.Výslednici R prostorového svazku sil s příslušnými směro-
vými úhly α, β, γ vyjádříme podle vztahů (2.4) a (2.5) ve tvaru
222
zyx
RRRR ++= , (4.5)
R
R
R
R
R
R
z
y
x
=== γβα cos ,cos ,cos . (4.6)



- 32 (48) -
Prostorové soustavy sil
Důležité:
Statické (silové) podmínky rovnováhy:
Prostorová soustava sil se společným působištěm je v rovnováze jen teh-
dy, když algebraické součty průmětů všech sil soustavy do tří os navzá-
jem kolmých (obecně i kosoúhlých) jsou rovny nule:
.0 , 0 ,0
111
======
∑∑∑
===
n
i
izz
n
i
iyy
n
i
ixx
FRFRFR (4.7)

Nahrazení a zrušení síly R třemi silami F
i
zadanými paprsky se společným
působištěm
Sílu v prostoru lze jednoznačně rozložit pouze do tří složek. U neznámých sil
F
i
(i = 1, 2, 3) zvolíme zcela libovolně jejich smysly. Při rozkladu síly R do tří
složek řešíme tři statické podmínky ekvivalence (4.4). Úloha zrušení síly R
třemi složkami vede na použití tří statických podmínek rovnováhy (4.7).

Obr. 4.3: Nahrazení síly R třemi silami F
1
, F
2
, F
3
Otázky
1. Jaký je výsledný účinek sil působících v prostoru na společný bod?

Příklad 4.1
Zadání
Stanovte výslednici R prostorového svazku tří sil pro F
i
, α
i
, β
i
, γ
i
, i = 1, 2, 3
zadané v tabulce 4.1.
Řešení
Výpočet uspořádáme pro větší přehlednost a snadnou kontrolu do tabulky 4.1.
Nejprve vyčíslíme osové (x, y, z) složky jednotlivých sil podle vztahů (4.3).
Sečtením hodnot v posledních třech sloupcích získáme složky výslednice R
x
,
R
y,
a R
z
které odpovídají vztahům (4.4).
- 33 (48) -
Silové soustavy
Tab. 4.1 Zadání a řešení příkladu 4.1
i
i
F
[kN]

i
α
[°]

β
i

[°]

γ
i

[°]

cos
ix i i
FF α=
[kN]
cosβ=
iy i i
FF
[kN]

cosγ=
iz i i
FF
[kN]
1 300 90 90 0 0 0 300,00
2 400 60 30 90 200,00 346,41 0
3 500 45 90 45 353,55 0 353,55
3
1i=
∑
553,55=
x
R 346,41
y
R = 653,55
z
R =

Výslednice R má velikost podle vztahu (4.5)

222 2 2 2
553,55 346,41 653,55 923,88kN
xyz
RRRR=++= + + =
a směr výslednice určíme pomocí směrových kosinu podle vztahů (4.6)

553,55
cos 0,599 53 11'
923,88
x
R
R
αα== = ⇒=°,

346,41
cos 0,375 67 59'
923,88
y
R
R
ββ== = ⇒=°,

653,55
cos 0,707 44 59'
923,88
z
R
R
γγ== = ⇒=°.
4.3 Statický moment síly k bodu v prostoru
Moment síly k bodu byl pro jednu sílu definován v odst. 2.6.2. V případě větší-
ho počtu sil F
i
různě působících v prostoru jsou roviny statických momentů
jednotlivých sil (určených paprskem síly a bodem) obecně různé a vektory
momentů M
s,i
jsou rovněž různé.
Pak Varignonova věta pro síly k bodu v prostoru zní: Statický moment M
s

výslednice R prostorové soustavy sil F
1
, …, F
n
k libovolnému bodu s
v prostoru je roven vektorovému součtu statických momentů M
s,1
, …, M
s,n

jednotlivých sil soustavy k tomuto bodu
∑
=
==
n
i
isRss
1
,,
MMM . (4.8)
4.4 Statický moment síly k ose v prostoru
Moment síly k ose byl zmíněn v odst. 2.6.2. Libovolným bodem m paprsku síly
(působištěm síly) proložme rovinu ρ kolmou k momentové ose O. Sílu F roz-
ložme do složek F’=F·sin(α) a F’’=F·cos(α).
- 34 (48) -
Prostorové soustavy sil
Statický moment M
o
vyvolá pouze síla působící v rovině ρ (obr. 4.4), takže
αsin´ pFpFM
o
== . (4.9)

Obr. 4.4: Statický moment síly k ose
Varignonova věta k ose v prostoru zní: Statický moment síly F (výslednice R
libovolné prostorové soustavy sil) k momentové ose O je roven algebraické-
mu součtu statických momentů jejích složek (jednotlivých sil soustavy) k téže
ose.
V odst. 4.6 budeme využívat speciální případ, a to statický moment síly F
k souřadnicovým osám x, y, z a k počátku souřadnic o. Sílu F v působišti
m (x, y, z) proto ekvivalentně nahradíme třemi pravoúhlými složkami rovno-
běžnými se souřadnicovými osami (obr. 4.5) podle vztahů (2.8). Statické mo-
menty M
x
, M
y
, M
z
síly F k osám jsou dány výrazy
)coscos(
1
βγ zyFzFyFMM
yzsx
−=−== ,
)coscos(
2
γα xzFxFzFMM
zxsy
−=−== ,
)coscos(
3
αβ yxFyFxFMM
xysz
−=−== . (4.10)

Obr. 4.5: Statický moment síly k souřadnicovým osám a k počátku
- 35 (48) -
Silové soustavy
Působiště vektorů M
x
, M
y
, M
z
statických momentů lze volit v libovolném bodu
souřadnicových os x, y, z; výhodně zvolíme počátek o. Výsledný vektor static-
kého momentu M
o≡s
síly F k bodu o≡s určíme vektorovým součtem statických
momentů M
x
, M
y
, M
z
k souřadnicovým osám. Podle (2.4) a (2.5) získáme veli-
kost M
o≡s
a směrové úhly λ, µ, ν ve tvaru
222
zyxso
MMMM ++=
≡
, (4.11)
o
z
o
y
o
x
M
M
M
M
M
M
=== νµλ cos ,cos ,cos . (4.12)
4.5 Dvojice sil v prostoru
V odst. 2.6.3 jsme uvedli, že účinek dvojice sil lze vyjádřit volným vektorem o
velikosti dané rovnicí (2.13). Vektor svírá se souřadnicovými osami x, y, z
směrové úhly λ, µ, ν (obr. 4.6).

Obr. 4.6: Dvojice sil v prostoru
Pro dvojici sil v prostoru platí (podobně jako pro dvojici sil v rovině), že ji
v její rovině ρ můžeme:
• libovolně posunout nebo pootočit,
• nahradit libovolnou jinou dvojicí sil, která má s původní dvojicí sil
moment stejné velikosti a smyslu,
• dvojici sil v prostoru posunout do libovolné roviny φ rovnoběžné
s rovinou ρ (dojde pouze ke změně polohy působiště, ale výsledný úči-
nek zůstává stejný).
Statický moment M
O
dvojice sil působící v rovině φ k libovolné ose O
v prostoru (obr. 4.7) je roven průmětu vektoru M momentu dvojice sil do
osy O
ϕϕ coscos pFMM
O
== , (4.13)
- 36 (48) -
Prostorové soustavy sil
kde ϕ je úhel, který svírá vektor M s osou O a rovněž úhel mezi rovinami ρ a
φ. Statický moment M
o
k ose O dvojice sil v rovině φ je roven momentu dvoji-
ce sil, kterou obdržíme promítnutím dvojice sil do roviny ρ ⊥ O, takže
ϕcospFpFM
O
=′= . (4.14)


obr. 4.7: Statický moment dvojice sil k ose a bodu v prostoru
Skládání silových dvojic v prostoru
Uvažujme soustavu silových dvojic v prostoru o momentech M
i
(i =1,…,n),
působících na tuhé těleso v obecných rovinách ρ
i
(obr. 4.8). Jednotlivé silové
dvojice zobrazíme volnými vektory přemístěnými do počátku o pravoúhlého
souřadnicového systému x, y z. Tím získáme soustavu vektorů momentů M
i

(i =1,...,n) se společným působištěm o. Pro výsledný vektor momentu M
r

uplatníme stejný postup jako pro výslednici R v odst. 4.2. Každý vektor M
i

rozložíme pomocí směrových úhlů λ
i
, µ
i
, ν
i
na tři pravoúhlé složky M
ix
, M
iy
,
M
iz
o velikostech
iiiziiiyiiix
MMMMMM νµλ cos ,cos ,cos === . (4.15)

Obr. 4.8: Prostorový svazek vektorů momentů
- 37 (48) -
Silové soustavy
Tím jsme prostorový svazek vektorů momentů nahradili třemi soustavami vek-
torů v souřadnicových osách, takže pro jejich velikosti platí
∑∑
==
===
n
i
n
i
iiixrrx
MMMM
11
coscos λλ ,
∑∑
==
===
n
i
n
i
iiiyrry
MMMM
11
coscos µµ ,
∑∑
==
===
n
i
n
i
iiizrrz
MMMM
11
coscos νν . (4.16)
Rovnice (4.16) představují tři podmínky ekvivalence pro soustavu silových
dvojic v prostoru. Podle (2.4) a (2.5) platí pro velikost výsledného vektoru
momentu M
r
a jeho směrové úhly vztahy
222
rzryrxr
MMMM ++= , (4.17)
r
rz
r
ry
r
rx
M
M
M
M
M
M
=== νµλ cos ,cos ,cos . (4.18)
Závěrem můžeme konstatovat, že soustavu silových dvojic v prostoru o mo-
mentech M
i
lze nahradit jedinou výslednou dvojicí sil (momentem) o velikosti
M
r
, který lze zobrazit volným vektorem M
r
.
Důležité:
Momentové podmínky rovnováhy:
Soustava silových dvojic v prostoru o momentech M
1
, …, M
n
je
v rovnováze jen tehdy, když algebraické součty průmětů všech vektorů
momentů silových dvojic do tří os navzájem kolmých (obecně i kosoúh-
lých) jsou rovny nule:
∑∑∑
===
======
n
i
n
i
n
i
izrziyryixrx
MMMMMM
11
0 ,0 ,0
1
. (4.19)
4.6 Obecná prostorová soustava sil
Obecnou prostorovou soustavou sil rozumíme soustavu sil, jejíž paprsky neleží
v jediné rovině a ani neprocházejí jedním bodem. V souřadnicové soustavě x,
y, z s počátkem o je každá síla soustavy F
i
(i =1, …, n) zadána velikostí, půso-
bištěm m
i
(x
i
, y
i
, z
i
) a směrovými úhly α
i
, β
i
, γ
i
(obr. 4.9).
- 38 (48) -
Prostorové soustavy sil

Obr. 4.9: Obecná prostorová soustava sil
Redukce síly F
i
k bodu o
Posuneme-li sílu F
i
rovnoběžně do počátku o souřadnicové soustavy, musíme
(pro zachování stejného účinku) přidat dvojici sil o momentu M
io
(rovném co
do velikosti a smyslu statickému momentu síly F
i
k počátku o) s velikostí
iiio
pFM = . (4.20)
Vektor momentu M
io
, vztyčený v bodu o, je kolmý k rovině ρ (tvořené pa-
prskem síly a bodem o). Nejvýhodnější je provést redukci síly F
i
k bodu o po-
mocí již uvedených pravoúhlých složek síly
iiiziiiyiiix
FFFFFF γβα cos ,cos ,cos === . (4.21)
Pro jejich přeložení do počátku o musíme přidat celkem šest silových dvojic
(působících po dvou v jednotlivých souřadnicových rovinách), takže
)coscos(
iiiiiiiyiizix
zyFzFyFM βγ −=−= ,
)coscos(
iiiiiiiziixiy
xzFxFzFM γα −=−= ,
)coscos(
iiiiiiixiiyiz
yxFyFxFM αβ −=−= . (4.22)
Výsledným účinkem tří silových dvojic o momentech M
ix
, M
iy
, M
iz

v jednotlivých souřadnicových rovinách je jediná dvojice sil o momentu M
io
,
který je roven statickému momentu síly F
i
k počátku o. Pro velikost momentu a
směrové úhly podle (4.17) a (4.18) platí
222
iziyixio
MMMM ++= , (4.23)
io
iz
i
io
iy
i
io
ix
i
M
M
M
M
M
M
=== νµλ cos ,cos ,cos . (4.24)
Výsledný účinek obecné prostorové soustavy sil
Po redukci všech sil soustavy do počátku o souřadnicové soustavy x, y,
z dostáváme prostorový svazek vektorů sil F
i
a prostorový svazek vektorů mo-
mentů M
io
(i=1,…, n) v bodu o.
- 39 (48) -
Silové soustavy
Velikost výslednice R prostorového svazku sil podle (4.5), jejích pravoúhlých
složek R
x
, R
y
, R
z
(rovných algebraickému součtu průmětů všech sil soustavy
do jednotlivých os) podle (4.4) a směrových úhlů α, β, γ podle (4.6) jsou
222
zyx
RRRR ++= , (4.25)
∑∑
==
===
n
i
n
i
iiixx
FFRR
11
coscos αα ,
∑∑
==
===
n
i
n
i
iiiyy
FFRR
11
coscos ββ ,
∑∑
==
===
n
i
n
i
iiizz
FFRR
11
coscos γγ , (4.26)
R
R
R
R
R
R
z
y
x
=== γβα cos ,cos ,cos . (4.27)
Výsledným účinkem prostorového svazku vektorů momentů M
io
je podle vzta-
hu (4.17) v odst. 4.5 jediná dvojice sil o momentu M
r
s působištěm v počátku o
souřadnicové soustavy o velikosti
222
rzryrxr
MMMM ++= , (4.28)
kde pravoúhlé průměty M
rx
, M
ry
, M
rz
vektoru M
r
do souřadnicových os x, y, z,
rovné algebraickým součtům statických momentů sil soustavy k těmto osám,
spolu se směrovými úhly λ, µ, ν mají podle (4.16) a (4.18) velikosti
∑∑
==
−=−==
n
i
n
i
iiiiiiiyiizrrx
zyFzFyFMM
11
)coscos()(cos βγλ ,
∑∑
==
−=−==
n
i
n
i
iiiiiiiziixrry
xzFxFzFMM
11
)coscos()(cos γαµ ,
∑∑
==
−=−==
n
i
n
i
iiiiiiixiiyrrz
yxFyFxFMM
11
)coscos()(cos αβν , (4.29)
r
rz
r
ry
r
rx
M
M

M
M

M
M
=== νµλ cos,cos,cos . (4.30)
Vektory R a M
r
v počátku souřadnic o (obr. 4.10) svírají navzájem úhel ψ, pro
který platí vztah
=++= νγµβλαψ coscoscoscoscoscoscos

2
0
π
ψ ≠⇒≠
++
=
r
rzzryyrxx
RM
MRMRMR
. (4.31)
- 40 (48) -
Prostorové soustavy sil

Obr. 4.10: Bivektor R, M
r
obecné prostorové soustavy sil
Závěr:
Obecnou prostorovou soustavu sil F
i
(i =1,…,n) lze ekvivalentně nahradit silou
R procházející zvoleným počátkem o a dvojicí sil o momentu M
r
rovném sta-
tickému momentu všech sil soustavy k bodu o. Tento výsledný účinek se nazý-
vá bivektorem (dynamou) R, M
r
a je vyjádřen šesticí nezávislých veličin
R
x
, R
y
, R
z
, M
rx
, M
ry
, M
rz
.
Rovnice (4.26) pro R
x
, R
y
, R
z
spolu s rovnicemi (4.29) pro M
rx
, M
ry
, M
rz
před-
stavují šest statických podmínek ekvivalence obecné prostorové soustavy sil.
Důležité:
Podmínky rovnováhy:
Obecná prostorová soustava sil F
i
(i =1,…, n), působící na tuhé těleso, je
v rovnováze jen tehdy, když algebraické součty průmětů všech sil sou-
stavy do každé souřadnicové osy jsou rovny nule a když součty static-
kých momentů všech sil soustavy k těmž osám jsou rovněž nulové
∑∑
==
===
n
i
n
i
iiixx
FFR
11
0cosα , ⎫
∑∑
==
===
n
i
n
i
iiiyy
FFR
11
0cosβ , ⎬ silové podmínky rovnováhy
∑∑
==
===
n
i
n
i
iiizz
FFR
11
0cosγ , ⎭
- 41 (48) -
Silové soustavy
∑∑
==
=−==
n
i
n
i
iiiiiixrx
zyFMM
11
0)coscos( βγ , ⎫ momentové
∑∑
==
=−==
n
i
n
i
iiiiiiyry
xzFMM
11
0)coscos( γα , ⎬ podmínky
∑∑
==
=−==
n
i
n
i
iiiiiizrz
yxFMM
11
0)coscos( αβ . ⎭ rovnováhy
(4.32)
Místo tří silových a tří momentových podmínek rovnováhy lze s výhodou pou-
žít i vyšší počet momentových podmínek (při celkovém počtu šesti podmínek).
Nejvýhodnější je použití šesti momentových podmínek k šesti vhodně zvole-
ným osám. Silové podmínky pak slouží jako kontrolní.
Nahrazení síly nebo soustavy sil šesti silami zadanými paprsky
Nahraďme účinek libovolné síly F = R v prostoru, určené velikostí, působištěm
m (x, y, z) a směrovými úhly α, β, γ, šesti silami F
k
(k =1,…, 6) působícími
v zadaných paprscích.
Síla R má pravoúhlé průměty do souřadnicových os R
x
, R
y
, R
z
a statické mo-
menty M
x
, M
y
, M
z
k souřadnicovým osám x, y, z. Zvolíme zcela libovolně
smysly všech sil F
k
(k =1, …, 6), kterým odpovídají směrové úhly α
k
, β
k
, γ
k
a
působiště m
k
. Velikosti a správné smysly těchto sil obdržíme řešením šesti sta-
tických podmínek ekvivalence (4.26) a (4.29), které lze napsat mezi soustavou
sil F
k
a silou F = R
∑∑∑
== =
===
6
1
6
1
6
1
, ,
kk k
zkzykyxkx
RFRFRF ,
∑∑∑
===
===
6
1
6
1
6
1
, ,
kkk
zkzykyxkx
MMMMMM . (4.33)
Řešení je možné a jednoznačné, pokud determinant soustavy rovnic D ≠ 0.
Úloha zrušení síly F = R šesti silami F
k
(k=1,…,6), působícími v zadaných
paprscích představuje rovnovážnou soustavu sil, pro niž sestavujeme šest sta-
tických podmínek rovnováhy (4.32) ve tvaru
∑∑∑
===
=+=+=+
6
1
6
1
6
1
0 ,0 ,0
kkk
zkzykyxkx
RFRFRF ,
∑∑∑
===
=+=+=+
6
1
6
1
6
1
0 ,0 ,0
kkk
zkzykyxkx
MMMMMM . (4.34)
Nahrazení a zrušení obecné prostorové soustavy sil P
i
(i=1,…,n) šesti silami
F
k
(k=1,…,6) působícími v zadaných paprscích se řeší podobně, jen v rovnicích
(4.33) a (4.34) místo F = R figuruje prostorová soustava n sil P
i
. S touto úlo-
hou se setkáváme při výpočtu reakcí vazeb tuhého tělesa.

- 42 (48) -
Prostorové soustavy sil
Otázky
1. Jaké jsou výsledné účinky obecné prostorové soustavy sil?
2. Kolik je podmínek rovnováhy pro obecnou prostorovou soustavu sil a ja-
ké to mohou být (silové, momentové)?

Příklad 4.2
Zadání
Stanovte výsledný účinek obecné prostorové soustavy sil vztažené
k pravoúhlým souřadnicovým osám x, y, z s počátkem o. Síly F
i
(i = 1, 2, 3)
jsou zadány velikostí, směrovými úhly α
i
, β
i
, γ
i
a polohou působiště m
i
(x
i
, y
i
,
z
i
) podle tabulky 4.2.
Tab. 4.2 Zadání příkladu 4.2
i
i
F
[kN]

i
α
[°]

β
i

[°]

γ
i

[°]

i
x
[m]
i
y
[m]

i
z
[m]
1 116 220 70 37 3,5 6,1 4,2
2 220 80 35 240 –5,3 2,9 3,7
3 164 54 310 80 2,8 –4,0 5,2

Řešení
Výpočet uspořádáme pro větší přehlednost a snadnou kontrolu do tabulky 4.3.
Nejprve vyčíslíme složky jednotlivých sil ve směrech os x, y, z podle vztahů
(4.21). Dále určíme velikosti momentů kolem os x, y, z od jednotlivých sil
podle vztahů (4.22). Sečtením hodnot v odpovídajících sloupcích získáme
složky výslednice R
x
, R
y,
a R
z
a momenty M
x
, M
y
a M
z
. které odpovídají vzta-
hům (4.26) a (4.29).
Tab. 4.3 Řešení příkladu 4.2
i
ix
F
[kN]
iy
F
[kN]

iz
F
[kN]
ix
M
[kNm]
iy
M
[kNm]

iz
M
[kNm]
1 –88,856 39,672 92,684 398,750 –697,589 680,874
2 38,280 180,180 –110,000 –985,666 –441,364 –1065,966
3 96,432 105,452 28,536 –662,494 421,546 680,994
3
1i=
∑

45,856
x
R =

325,304
y
R =

11, 220
z
R =


717,407
ry
M =
− 295,902
rz
M =

1249,410
rx
M =
−

Výslednice R má velikost podle vztahu (4.25)
- 43 (48) -
Silové soustavy

222 2 2 2
45,856 325,304 11,220 328,712kN
xyz
RRRR=++= + + =
a směr výslednice určíme pomocí směrových kosinu podle vztahů (4.27)

45,856
cos 0,1395 81 59'
328,712
x
R
R
αα== = ⇒=°,

325,304
cos 0,9896 8 15'
328,712
y
R
R
ββ== = ⇒=°,

11, 220
cos 0,0341 88 03'
328,712
z
R
R
γγ== = ⇒=°.
Velikost vektoru M
r