Skripta - Křivkové integrály

i, coˇz je d´elka oblouku γi.
Protoˇze
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevectorf(Mi)·vectort(Mi)
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle = bardblvectorft(Mi)bardbl pak pr´ace W je pˇribliˇznˇe rovna
W =
nsummationdisplay
i=1
vectorf(Mi)·vectort(Mi)∆si,
coˇz je moˇzno interpretovat jako integr´aln´ı souˇcet pro kˇrivkov´y integr´al
integraldisplay
γ
vectorf ·vectortds.
V aplikac´ıch se ˇcasto tento integr´al oznaˇcuje
integraldisplay
γ
vectorf ·dvectorr.
13
Definice 3.1. Necht’ vectorf je spojit´e vektorov´e pole na orientovan´em oblouku γ.
Kˇrivkov´ym integr´alem ve vektorov´em poli vectorf (kˇrivkov´ym integr´alem druh´eho
druhu) pˇres kˇrivku γ naz´yv´ame integr´al tvaru
integraldisplay
γ
vectorf ·dvectors =
integraldisplay
γ
vectorf ·vectortds.
Jeli Γ : 〈a,b〉 → γ, parametrizace orientovan´eho oblouku γ (tj. parametrizace
oblouku souhlas´ı s jeho orientac´ı), pak plat´ı
integraldisplay
γ
vectorf ·vectortds =
bintegraldisplay
a
vectorf (Γ(t))· ˙Γ(t)
bardbl˙Γ(t)bardblbardbl
˙Γ(t)bardbldt =
bintegraldisplay
a
vectorf (Γ(t))· ˙Γ(t)dt
=
bintegraldisplay
a
bracketleftBig
P (ϕ(t),ψ(t),χ(t)) ˙ϕ(t) +Q(ϕ(t),ψ(t),χ(t)) ˙ψ(t) +R(ϕ(t),ψ(t),χ(t)) ˙χ(t)
bracketrightBig
dt.
Mnohdy se pouˇz´ıv´a oznaˇcen´ı
integraldisplay
γ
vectorf ·vectortds =
integraldisplay
γ
P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz,
kter´e se po dosazen´ı z parametrick´ych rovnic oblouku γ pˇrevede na v´yˇse uveden´y
tvar.
Pozn´amka 3.1. Je-li d´ana kˇrivka pˇredpisem y = g(x), x ∈ 〈a,b〉 a g je spojit´a na
〈a,b〉, pak plat´ı
integraldisplay
γ
P (x,y) dx =
bintegraldisplay
a
P (t,g(t)) dt.
Je-li d´ana kˇrivka pˇredpisem x = h(y), y ∈ 〈c,d〉 a h je spojit´a na 〈c,d〉, pak plat´ı
integraldisplay
γ
Q(x,y) dy =
dintegraldisplay
c
Q(h(t),t) dt.
Pˇr´ıklad 3.1. Vypoˇctˇete
I =
integraldisplay
γ
y2 dx+x(1 +y2)dy,
kde γ je ˇc´ast elipsy 4x2 +y2 = 16, leˇz´ıc´ı v prvn´ım kvadrantu a orientovan´a od bodu
A = [2,0] do bodu B = [0,4].
14
ˇReˇsen´ı: Parametrick´e rovnice jsou:
x = 2cost, y = 4sint, t∈ 〈0,pi2〉.
Odtud
I =
pi/2integraldisplay
0
parenleftBig
−32sin3t+ 8cos2t(1 + 16sin2t)
parenrightBig
dt
= 8
pi/2integraldisplay
0
parenleftBig
−4sin3t+ cos2t+ 16sin2 cos2t
parenrightBig
dt
= 8
bracketleftbigg
−43 cos3t+ 4cost+ 14 sin2t− 12 sin4t+ 52t
bracketrightbiggpi/2
0
= 10pi− 643 .
Pˇr´ıklad 3.2. Vypoˇctˇete
I =
integraldisplay
γ
y
x+z2 dx−(x+ 2z)dy+
y
z dz,
kde γ je ´useˇcka s poˇc´ateˇcn´ım bodem A = [3,2,1] a s koncov´ym bodem B = [1,1,2].
ˇReˇsen´ı: Parametrick´e rovnice ´useˇcky jsou:
x = 3−2t, y = 2−t, z = 1 +t, t∈ 〈0,1〉.
Odtud
I =
1integraldisplay
0
parenleftbigg2t−4
t2 + 4 + 5 +
2−t
1 +t
parenrightbigg
dt
=
bracketleftbigg
ln(t2 + 4)−2arctg t2 + 4t+ 3ln|t+ 1|
bracketrightbigg1
0
= 4−2arctg 12 + ln 10.
Pˇr´ıklad 3.3. Vypoˇctˇete pr´aci silov´eho pole pˇri pohybu hmotn´eho bodu po pr˚unikov´e
kˇrivce γ = {[x,y,z] ∈R3 : x2 + y2 = 1,z = 1 + y2} od bodu A = [
√3
2 ,
1
2,
5
4] pˇres
bod B = [
√2
2 ,
√2
2 ,
3
2] do bodu C = [0,1,2]. Silov´e pole p˚usob´ı v kaˇzd´em bodˇe silou,kter´a smˇeˇruje kolmo k rovinˇe xz a velikost t´eto s´ıly je rovna pˇrevr´acen´e hodnotˇe
vzd´alenosti bodu od roviny xy.
ˇReˇsen´ı: S´ılu vectorF = (f1,f2,f3) m˚uˇzeme vyj´adˇrit ve tvaru
vectorF = bardblvectorFbardbl· vectorF0 = 1
z ·(0,−
y
|y|,0).
15
Kˇrivku γ lze parametrizovat napˇr. takto: Γ(t) = (cost,sint,1 + sin2t), t ∈ 〈pi6, pi2〉.
Pak dost´av´ame
W =
integraldisplay
γ
vectorF ·dvectors = −
pi
2integraldisplay
pi
6
cost
1 + sin2tdt =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
sint = u t = pi6|pi2
costdt = du u = 12|1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
= −
1integraldisplay
1
2
1
1 +u2 du = −[arctgu]
1
1
2
= −pi4 + arctg 12.
Vˇeta 3.1. (Z´akladn´ı vlastnosti kˇrivkov´eho integr´alu ve vektorov´em poli)
(a) Linearita. Necht’ γ ⊂Rn (n = 2,3) je orientovan´y oblouk a vectorf a vectorg jsou spojit´a
vektorov´a pole na oblouku γ. Pak plat´ı
integraldisplay
γ
(c1 vectorf +c2vectorg)·dvectors = c1
integraldisplay
γ
vectorf ·dvectors+c2
integraldisplay
γ
vectorg·dvectors,
kde c1 a c2 jsou libovoln´e re´aln´e konstanty.
(b) Aditivita. Necht’ γ ⊂ Rn (n = 2,3) je kˇrivka, kter´a je sjednocen´ım dvou
orientovan´ych oblouk˚u γ1, γ2 a vectorf je spojit´a vektorov´e pole na kˇrivce γ. Pak
plat´ı integraldisplay
γ
vectorf ·dvectors =
integraldisplay
γ1
vectorf ·dvectors+
integraldisplay
γ2
vectorf ·dvectors.
Cviˇcen´ı 3.1. Vypoˇc´ıtejte kˇrivkov´e integr´aly po dan´e kˇrivce γ (uvaˇzujeme pravotoˇciv´y
souˇradnicov´y syst´em):
1.
integraldisplay
γ
ydx + xdy, kde γ je orientovan´a ˇctvrtkruˇznice vectorr(t) = acost·vectori + asint·vectorj,
0 ≤ t ≤ pi/2 a kde bod A = [a,0] je dan´y jako poˇc´ateˇcn´ı bod, a > 0 konstanta;
bracketleftBig
0
bracketrightBig
2.
integraldisplay
γ
xdx + ydy + zdzradicalbig
x2 + y2 + z2 −x−y + 2z, kde γ je orientovan´a ´useˇcka AB, s poˇc´ateˇcn´ım bo-
dem A = [1,1,1] a koncov´ym bodem B = [4,4,4];
bracketleftBig
3√3
bracketrightBig
3.
integraldisplay
γ
(x2 + y2)dx + (x2 −y2)dy, kde γ je orientovan´a kˇrivka y = 1 − |1−x| pro
0 ≤ x ≤ 2, poˇc´ateˇcn´ı bod A = [2,0];
bracketleftBig
− 43
bracketrightBig
4.
integraldisplay
γ
yzdx + xzdy + xydz , kde γ je oblouk AB ˇsroubovice
vectorr(t) = acost·vectori + asint·vectorj + bt/2pi ·vectork
(orientovan´y) od bodu A = [a,0,0] do B = [a,0,b], a,b > 0 konstanty.
bracketleftBig
0
bracketrightBig
16
Cviˇcen´ı 3.2. V kaˇzd´em bodˇe silov´eho pole vR2 (resp.R3) p˚usob´ı s´ıla −→F (vectorr). Vypoˇc´ıtejte
pr´aci A tohoto pole pˇri pohybu hmotn´eho bodu po orientovan´e kˇrivce γ:
1. −→F = xy ·vectori + (x + y)·vectorj, γ je oblouk AB kˇrivky γ dan´e rovnic´ı y = arctgx od bodu
A = [1,?] do bodu B = [0,?];
bracketleftBig 1
32
parenleftbig16−8pi −pi2parenrightbig−ln2bracketrightBig
2. −→F (vectorr) = yvectori + zvectorj + yzvectork, γ : vectorr(t) = (cost,sint,ct) orientovan´e souhlasnˇe s dan´ym
parametrick´ym vyj´adˇren´ım pro t ∈ 〈0,pi〉, c > 0.
bracketleftBigpi
2
parenleftbig2c2 −4c−1parenrightbigbracketrightBig
3.2 Greenova vˇeta
Oblast Ω ⊂R2 se naz´yv´a jednoduˇse souvisl´a vR2, jestliˇze s kaˇzdou kruˇznic´ı, kter´a
je obsaˇzena v Ω je tak´e vnitˇrek kruˇznice obsaˇzen v Ω. Mezikruˇz´ı nen´ı jednoduˇse
souvisl´a mnoˇzina vR2.
Vˇeta 3.2. (Greenova vˇeta) Necht’ Ω ⊂ R2 je otevˇren´a, ohraniˇcen´a mnoˇzina,
jej´ıˇz hranic´ı je jedin´a kladnˇe orientovan´a jednoduch´a uzavˇren´a kˇrivka γ. D´ale necht’
vectorf = (P,Q) je spojit´e vektorov´e pole na Ω a ∂P/∂y, ∂Q/∂x jsou spojit´e funkce na Ω.
Pak plat´ı
integraldisplayintegraldisplay
Ω
parenleftBigg∂Q
∂x (x,y)−
∂P
∂y (x,y)
parenrightBigg
dxdy =
integraldisplay
γ
vectorf(x,y)· dvectors
=
integraldisplay
γ
P(x,y)dx+Q(x,y)dy.
D˚ukaz. D˚ukaz provedeme pouze pro oblast prvn´ıho druhu
{[x,y] ∈R2 : a 0.
B. Vypoˇctˇete kˇrivkov´e integr´aly 2 druhu po dan´e kˇrivce γ:
4)
integraldisplay
γ
xdx + ydy + (x+y−1)dz , kde γ je orientovan´a ´useˇcka A = [1,1,1],
B = [2,3,4];
5)
integraldisplay
γ
(y2 −x2)dx + (x2 +y2)dy, kde γ je orientovan´a kˇrivka x+|y−1| = 1 pro
0 ≤y ≤ 2 s koncov´ym bodem B = [0,2];
6)
integraldisplay
γ
xydx + y2 dy, kde γ je oblouk AB kˇrivky y = arctgx od bodu A = [1,?]
do bodu B = [0,?].
C. Ovˇeˇrte, ˇze dan´y integr´al nez´avis´ı na integraˇcn´ı cestˇe a vypoˇctˇete jeho hodnou
od bodu A do bodu B:
7)
integraldisplay
γ
1−y2
(1 +x)2 dx +
2y
1 +x dy, A = [0,0], B = [1,1];
8)
integraldisplay
γ
xz2 dx + y3 dy + x2zdz , A = [−1,1,2], B = [−4,2,−1].
D. Ovˇeˇrte, ˇze jsou splnˇeny podm´ınky pro uˇzit´ı Greenovy vˇety a uˇzijte ji k v´ypoˇctu
integr´al˚u:
9)
integraldisplay
γ
(x+y)2 dx − (x+y)2 dy, kde γ je kladnˇe orientovan´y obvod troj´uheln´ıka
ABC, A = [0,0], B = [1,0] a C = [0,1];
10)
integraldisplay
γ
(xy+x+y)dx + (xy+x−y)dy, kde γ je kladnˇe orientovan´a kruˇznice
x2 +y2 = ax, a> 0 konstanta.
E. Vypoˇctˇete d´elku kˇrivky γ, je-li:
11) γ : vectorr(t) = acostvectori+vtvectorj +asintvectork, 0 ≤t≤pi/4, a,v> 0 konstanty.
F. Vypoˇctˇete obsah rovinn´eho obrazce A, je-li
12) A =
braceleftBig
[x,y] ∈R2 : 3x2 + 4y2 ≤ 12, x≤ 2y ≤ 3x
bracerightBig
.
G. Vypoˇctˇete hmotnost kˇrivky γ, je-li hustota kˇrivky σ(vectorr):
13) γ : y = √x3 pro 0 ≤x≤ 4/9, σ(x,y) ≡x.
H. V kaˇzd´em bodˇe silov´eho pole vR3 p˚usob´ı s´ıla −→F (vectorr). Vypoˇc´ıtejte pr´aci tohoto
pole pˇri pohybu hmotn´eho bodu po orientovan´e kˇrivce γ:
14) γ : vectorr(t) = (cost, sint, ct) orientovan´e souhlasnˇe s dan´ym parametrick´ym
vyj´adˇrn´ım pro t∈ 〈0,pi〉; −→F (vectorr) ≡y·vectori+z·vectorj +yz·vectork.
pˇr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 summationdisplay opravil(a)
max. bod˚u 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14
z´ıs. bod˚u
29
5 Studijn´ı prameny.
[1] Brabec, J., Hr˚uza, B.: Matematick´a anal´yza II., SNTL, Praha 1986.
[2] Dr´abek, P., M´ıka, S.: Matematick´a anal´yza II., FAV, Plzeˇn 1997, 2. vyd´an´ı.
[3] Fichtˇengolc G.M.: Kurs diferencialnovo i integralnovo isˇcislenija III., Nauka,
Moskva 1966, 4. vyd´an´ı.
[4] Rektorys, K. a kol.: Pˇrehled uˇzit´e matematiky I., Prometheus, Praha 1995, 6.
pˇrepracovan´e vyd´an´ı.
[5] ˇSkr´aˇsek, J., Tich´y, Z.: Z´aklady aplikovan´e matematiky II., SNTL, Praha 1986.
[6] ˇZen´ıˇsek, A.: Kˇrivkov´y a ploˇsn´y integr´al, PC-DIR, Brno 1997.
30