Skripta - Křivkové integrály

f(M)ds =
integraldisplay
γ1
f(M)ds+
integraldisplay
γ2
f(M)ds.
Cviˇcen´ı 2.1. Vypoˇc´ıtejte kˇrivkov´e integr´aly po dan´e kˇrivce γ:
1.
integraldisplay
γ
1
x−y ds, kde γ je useˇcka AB, A = [0,−2], B = [4,0];
bracketleftBig√
5ln2
bracketrightBig
2.
integraldisplay
γ
x2 ds, kde γ je oblouk AB kˇrivky dan´e rovnic´ı y = lnx pro A = [2,ln2], B = [1,0];
bracketleftBig1
3
parenleftBig
5√5−2√2
parenrightBigbracketrightBig
3.
integraldisplay
γ
(x−y) ds, kde γ je kruˇznice x2 + y2 −ax = 0, a > 0;
bracketleftBig1
2pia
2
bracketrightBig
8
4.
integraldisplay
γ
(x2 + y2 + z2) ds, kde γ je oblouk ˇsroubovice x = acost, y = asint, z = at,
t ∈ 〈0,2pi〉, a > 0;
bracketleftBig2√2
3 pia
3(4pi2 + 3)
bracketrightBig
5.
integraldisplay
γ
z ds, kde γ je kˇrivka x = tcost, y = tsint, z = t, t ∈ 〈0,√2〉.
bracketleftBig2
3(4−
√2)bracketrightBig
2.2 Geometrick´e a fyzik´aln´ı aplikace kˇrivkov´eho integr´alu
ve skal´arn´ı poli
(a) D´elka kˇrivky
L =
integraldisplay
γ
ds.
Pˇr´ıklad 2.4. Vypoˇctˇete d´elku kˇrivky urˇcen´e pr˚useˇcnic´ı ploch o rovnic´ıch
y = 2arcsin x2, z = 12 ln 2−x2 +x
od bodu A = [0,0,0] do bodu B = [1,pi/3,−ln3/2].
ˇReˇsen´ı: Pˇri uˇzit´ı pˇrirozen´e parametrizace dostaneme
x = t, y = 2arcsin t2, z = 12 ln 2−t2 +t,
˙x = 1, ˙y = 2√4−t2, ˙z = 2t2 −4.
Odtud
L =
integraldisplay
γ
ds =
1integraldisplay
0
radicaltpradicalvertex
radicalvertexradicalbt1 + 4
4−t2 +
4
(t2 −4)2 dt =
1integraldisplay
0
t2 −6
t2 −4 dt
=
1integraldisplay
0
parenleftBigg
1− 12(t−2) + 12(t+ 2)
parenrightBigg
dt =
bracketleftbigg
t+ 12 ln
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsinglet+ 2
t−2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
bracketrightbigg1
0
= 1 + 12 ln3[m].
(b) Obsah ˇc´asti v´alcov´e plochy Φ s ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou γ ⊂R2, γ : 〈a,b〉 →R2 v rovinˇe
z = 0 a tvoˇr´ıc´ımi pˇr´ımkami rovnobˇeˇzn´ymi s osou z a vymezen´ymi plochami
z = g(x,y), z = f(x,y), g(x,y) ≤f(x,y) pro kaˇzd´e [x,y] ∈γ.
P =
integraldisplay
γ
[f(x,y)−g(x,y)] ds.
9
Pˇr´ıklad 2.5. Vypoˇctˇete obsah ˇc´asti v´alcov´e plochy Φ s ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou γ ⊂R2
danou rovnic´ı y = lnx, x ∈ [1,√e] v rovinˇe z = 0 a tvoˇr´ıc´ımi pˇr´ımkami
rovnobˇeˇzn´ymi s osou z a vymezen´ymi plochami: z = 0, z = x2.
ˇReˇsen´ı:
P =
integraldisplay
γ
[f(x,y)−g(x,y)] ds =
integraldisplay
γ
x2 ds =
√eintegraldisplay
1
t2
radicalBigg
1 + 1t2 dt
=
√eintegraldisplay
1
t√1 +t2dt =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
1 +t2 = u2 t = 1|e
tdt = udu u = √2|√1 +e
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle =
√1+eintegraldisplay
√2
u2du
= 13
parenleftBig
(1 +e)3/2 −23/2
parenrightBig
[m2].
(c) Hmotnost dr´atu ve tvaru kˇrivky.
m =
integraldisplay
γ
rho1(x,y,z)ds
s line´arn´ı hustotou rho1(x,y,z) [kg·m−1].
Pˇr´ıklad 2.6. Vypoˇctˇete hmotnost homogenn´ıho dr´atu ve tvaru kˇrivky γ ⊂
R3 s parametrick´ymi rovnicemi x = tcost, y = tsint, z = t, t ∈ 〈0,2pi〉 a
konstantn´ı line´arn´ı hustotou rho1(x,y,z) = rho1 [kg·m−1].
ˇReˇsen´ı:
m =
integraldisplay
γ
rho1(x,y,z)ds = rho1
integraldisplay
γ
ds = rho1
2piintegraldisplay
0
√2 +t2dt
=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
t = √2u t = 0|2pi
dt = √2du u = 0|2pi/√2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle = 2rho1
2pi/√2integraldisplay
0
√1 +u2du
= rho1
bracketleftBig
u√1 +u2 + ln
parenleftBig
u+√1 +u2
parenrightBigbracketrightBig2pi/√2
0
= rho1
parenleftBigg2pi
√2√1 + 2pi2 + ln
parenleftBigg2pi
√2 +√1 + 2pi2
parenrightBiggparenrightBigg
[kg].
(d) Statick´y moment hmotn´eho dr´atu ve tvaru kˇrivkyγ ⊂R2 vzhledem k pˇr´ımcep.
Sp =
integraldisplay
γ
d([x,y],p)·rho1(x,y)ds,
10
kde d([x,y],p) je orientovan´a vzd´alenost bodu [x,y] od pˇr´ımky p.
Speci´aln´ı pˇr´ıpad vzhledem k souˇradnicov´ym os´am x a y.
Sx =
integraldisplay
γ
y·rho1(x,y)ds, Sy =
integraldisplay
γ
x·rho1(x,y)ds.
(e) Statick´e momenty hmotn´eho dr´atu ve tvaru kˇrivkyγ ⊂R3 vzhledem k rovinˇeτ.
Sτ =
integraldisplay
γ
d([x,y,z],τ)·rho1(x,y,z)ds.
kde d([x,y,z],τ) je orientovan´a vzd´alenost bodu [x,y,z] od roviny τ.
Speci´aln´ı pˇr´ıpad vzhledem k souˇradnicov´ym rovin´am xy, xz a yz.
Sxy =
integraldisplay
γ
z·rho1(x,y,z)ds, Sxz =
integraldisplay
γ
y·rho1(x,y,z)ds, Syz =
integraldisplay
γ
x·rho1(x,y,z)ds.
(f) Tˇeˇziˇstˇe hmotn´eho dr´atu ve tvaru kˇrivky γ ⊂R2 a γ ⊂R3.
T =
bracketleftbiggS
y
m,
Sx
m
bracketrightbigg
, T =
bracketleftbiggS
yz
m ,
Sxz
m ,
Sxy
m
bracketrightbigg
.
Pˇr´ıklad 2.7. Vypoˇctˇete tˇeˇziˇstˇe homogenn´ıho dr´atu ve tvaru kˇrivky γ ⊂R3
s parametrick´ymi rovnicemix = t−sint,y = 1−cost,z = 4cos(t/2),t∈ 〈0,pi〉
a konstantn´ı line´arn´ı hustotou rho1(x,y,z) = rho1 [kg·m−1].
ˇReˇsen´ı:
m =
integraldisplay
γ
rho1(x,y,z)ds = rho1
integraldisplay
γ
ds = 2rho1
piintegraldisplay
0
√1−costdt
= 2√2rho1
piintegraldisplay
0
sin t2 dt = −4√2rho1
bracketleftbigg
cos t2
bracketrightbiggpi
0
= 4√2rho1 [kg],
Syz =
integraldisplay
γ
xrho1(x,y,z)ds = rho1
integraldisplay
γ
xds = 2√2rho1
piintegraldisplay
0
(t−sint)sin t2 dt
= 2√2rho1
bracketleftbigg
−2tcos t2 + 3sin t2 + 13 sin 32t
bracketrightbiggpi
0
= 16
√2
3 rho1 [kg·m],
Sxz =
integraldisplay
γ
yrho1(x,y,z)ds = rho1
integraldisplay
γ
yds = 2√2rho1
piintegraldisplay
0
(1−cost)sin t2 dt
= 2√2rho1
bracketleftbigg
−3cos t2 + 13 cos 32t
bracketrightbiggpi
0
= 16
√2
3 rho1 [kg·m],
11
Sxy =
integraldisplay
γ
zrho1(x,y,z)ds = rho1
integraldisplay
γ
zds = 8√2rho1
piintegraldisplay
0
sin t2 cos t2 dt
= 4√2rho1
piintegraldisplay
0
sintdt = −4√2rho1[cost]pi0 = 8√2rho1 [kg·m],
T =
bracketleftbiggS
yz
m ,
Sxz
m ,
Sxy
m
bracketrightbigg
=
bracketleftbigg4
3,
4
3,2
bracketrightbigg
.
(g) Moment setrvaˇcnosti hmotn´eho dr´atu ve tvaru kˇrivky γ ⊂R2, γ ⊂R3 vzhle-
dem k pˇr´ımce p⊂R2, resp. p⊂R3.
Ip =
integraldisplay
γ
d2([x,y],p)·rho1(x,y)ds, Ip =
integraldisplay
γ
d2([x,y,z],p)·rho1(x,y,z)ds,
kde d([x,y],p) je vzd´alenost bodu [x,y] od pˇr´ımky p ⊂R2, resp. d([x,y,z],p)
je vzd´alenost bodu [x,y,z] od pˇr´ımky p⊂R3.
Speci´aln´ı pˇr´ıpad vzhledem k souˇradnicov´ym os´am x a y.
Ix =
integraldisplay
γ
y2 ·rho1(x,y)ds, Iy =
integraldisplay
γ
x2 ·rho1(x,y)ds.
Speci´aln´ı pˇr´ıpad vzhledem k souˇradnicov´ym os´am x, y a z.
Ix =
integraldisplay
γ
parenleftBig
y2 +z2
parenrightBig
·rho1(x,y,z)ds, Iy =
integraldisplay
γ
parenleftBig
x2 +z2
parenrightBig
·rho1(x,y,z)ds,
Iz =
integraldisplay
γ
parenleftBig
x2 +y2
parenrightBig
·rho1(x,y,z)ds.
Cviˇcen´ı 2.2. Uˇzit´ım kˇrivkov´eho integr´alu ve skal´arn´ım poli vypoˇctˇete:
1. D´elku kˇrivky γ : vectorr = acost·vectori+asint·vectorj+vt·vectork pro t ∈ 〈0, pi2〉, a,v > 0;
bracketleftBigpi
2
√a2 + v2bracketrightBig
2. Obsah ˇc´asti v´alcov´e plochy Φ : 4x2 + 9y2 = 36 pro y ≥ 0 s ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou γ
v rovinˇe z = 0 a tvoˇr´ıc´ımi pˇr´ımkami rovnobˇeˇzn´ymi s osou z a vymezen´ymi plochami
z = 0, z = −xy;
bracketleftBig76
5
bracketrightBig
3. Hmotnost konick´a ˇsroubovice
γ = {[x,y,z] ∈R3;x = tcost, y = tsint,z = t, t ∈ 〈0,2pi〉},
je-li hustota kˇrivky σ(x,y,z) ≡ z;
bracketleftBig√2
3
parenleftBig√
2pi2 + 1−2
parenrightBigbracketrightBig
4. Souˇradnice tˇeˇziˇstˇe T = [xT,yT] homogen´ıho oblouku cykloidy
γ : vectorr(t) = a(t−sint)vectori + a(1−cost)vectorj, t ∈ 〈0,2pi〉,
kde a > 0 je konstanta, je-li hustota kˇrivky σ(vectorr(t)) ≡ k.
bracketleftBig
T = [pia,4a/3]
bracketrightBig
12
3 Kˇrivkov´y integr´al ve vektorov´em poli
3.1 Zaveden´ı pojmu, z´akladn´ı vlastnosti kˇrivkov´eho integr´alu
ve skal´arn´ım poli
Ve fyzice a v technick´ych aplikac´ıch se ˇcasto setk´av´ame s r˚uzn´ymi druhy rovinn´ych
nebo prostorov´ych vektorov´ych pol´ı – silov´e pole, pole rychlost´ı ˇc´astic proud´ıc´ı nestla-
ˇciteln´e kapaliny, pole magnetick´e a elektrick´e intenzity.
Z matematick´eho hlediska jde vlastnˇe o zobrazen´ı, kter´e bod˚um pˇriˇrazuje vektory.
Vektorov´e pole je zobrazen´ı
vectorf :→ ΩRn,
kde Ω ⊂Rn je otevˇren´a mnoˇzina. V technick´e praxi je nejˇcastˇejˇs´ı pouˇzit´ı pron = 2,3.
V tomto pˇr´ıpadˇe budeme jednoduˇse ps´at
vectorf(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)), vectorf(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),
kde P, Q, R jsou sloˇzky (komponenty) vektorov´e funkce vectorf.
ˇR´ık´ame, ˇze vektorov´e pole vectorf je spojit´e vektorov´e pole, nebo struˇcnˇeji je tˇr´ıdy C
na Ω, kdyˇz vˇsechny sloˇzky jsou spojit´e na Ω. ˇR´ık´ame, ˇze vektorov´e pole vectorf je tˇr´ıdyC1
na Ω, kdyˇz vˇsechny sloˇzky tohoto pole maj´ı spojit´e vˇsechny prvn´ı parci´aln´ı derivace
na mnoˇzinˇe Ω.
Uvaˇzujeme-li orientovan´y obloukγ : 〈a,b〉 →R2(resp.R3), pak m˚uˇzeme v kaˇzd´em
bodˇe M = Γ(t), t∈ (a,b) oblouku γ urˇcit jednotkov´y teˇcn´y vektor vztahem
vectort(M) = ˙Γ(t)
bardbl˙Γ(t)bardbl.
Mˇejme nyn´ı spojit´e vektorov´e silov´e pole vectorf na oblouku γ a hledejme pr´aci, kter´a
se vykon´a v zadan´em vektorov´em poli, pohybuje-li se hmotn´y bod po oblouku γ
ve smˇeru jeho orientace. Rozdˇel´ıme-li oblouk γ na dostateˇcnˇe mal´e oblouky γi, i =
1,...,n m˚uˇzeme vektor s´ıly vectorf na oblouku γi aproximovat konstantn´ım vektorem
vectorf(Mi). Z fyziky je zn´amo, ˇze absolutn´ı hodnota pr´ace Wi je pak rovna souˇcinu
velikosti teˇcn´e sloˇzky vectorft s´ıly vectorf(Mi) a d´elky dr´ahy ∆s