Matematika 02

ch): Nechť funkce u(x),v(x) mají spojitou derivaci na intervalu , pak platí :
Substitu č ní metoda : pomocí substituce g(x)=t transformujeme původní interval na interval nový.


3. 3
4. Definujte nevlastní integrál z ohrani čené funkce na neohraničeném intervalu.
Je-li funkce f ohraničená na intervalu je integrovatelná na každém intervalu , a existuje-li konečná limita , pak nevlastní integrál funkce f na konverguje (existuje). Číslo I je hodnota tohoto nevlastního integrálu a píšeme: . Jestliže uvedená limita neexistuje, nebo je nekonečná, pak nevlastní integrál diverguje (neexistuje). Podobně mluvíme o konvergenci na hodnotě nevlastního integrálu kde rozhoduje, zda je konečné číslo. Píšeme , konečně u integrálu

rozhoduje, zda limity , pro libovolné c jsou konečné. Píšeme

4. 4
5. Definujte nevlastní integrál z n eohraničené funkce na ohraničeném intervalu .
Jestliže fce f je neohraničená na v pravém koncovém bodě b intervalu , je integrovatelná na každém intervalu a jestliže existuje konečná limita , pak říkáme, že nevlastní integrál a fce f na intervalu konverguje, číslo I je hodnota tohoto integrálu a píšeme . Pokud uvedená limita neexistuje nebo je nekonečná nevlastní integrál diverguje. Podobně pokud je funkce neohraničená
v bodě a píšeme . V případě, že f je neohraničená ve vnitřním bodě c intervalu rozdělíne intregrál na dva, jeden v intervalu druhý v intervalu .
Weierstrassovo srovnávací kritérium :Jestliže pro pro nevlastní integrál vzhledem k horní mezi nebo pro pro nevlastní integrál vzhledem k neohraničenosti v bodě b, pak platí nebo
Z konvergence integrálu funkce g plyne konvergence integrálu funkce f; z divergence integrálu funkce f plyne divergence integrálu funkce g.


5.
Uveďte geometrické a fyzikální aplikace určitého integrálu
Obsah rovinného obrazce

Délky oblouku křivky v druhém taháku
Objem rotačního tělesa

Obsah rotačního tělesa


Jestliže f(x) je spojitá i se svou derivací na intervalu , na němž je spojitá a nezáporná, pak statické momenty S x , S y , momenty setrvačnosti I x , I y , hmotnost m hmotné křivky y=f(x), pokryté hmotou, jejíž hustota v bodě je a souřadnice těžiště se vypočtou dle vzorců: , , , , .
Křivočarý lichoběžník :


6.
Co nazýváme součtem nekonečné řady čísel? Co je nutná podmínka konvergence nekonečné řady?
Nekonečnou číselnou řadou se nazývá výraz . Čísla a jsou členy řady číslo n je sčítací index. K řadě sestrojímečástečné součty s 1=a, s 2=a 1+a 2, s n=a 1+a 2+ .......+a n
Pro limitu n-tého řádu částečného součtu mohou nastat tři případy.
1) Existuje vlastní limita pak řada konverguje a má součet s
2) Existuje nevlastní limita řada diverguje k
3) Neexistuje limita (vlastní ani nevlastní ), pak řada diverguje a osciluje

7. 7
8. Formulujte z ákladní kriteria konvergence nekonečných číselných řad.
Limitní podílové kriterium: je-li a n řada s kladnými členy a platí-li , pak řada konverguje; je-li pak řada diverguje.
Limitní odmocninové kriterium: je-li a n řada s kladnými členy a platí-li pak řada konverguje diverguje .
Srovnávací kriterium: Jsou -li řady s kladnými členya platí-li pro všechna ,pak konverguje-li řada konvergujke i řada a naopak.
Integrální kriterium: f(x) je spojitá kladná nerostoucí funkce na , pak řada konverguje , právě tehdy když konverguje nevlastní intagrál


8. 8
9. Kdy řada konverguje absolutně a jaké relace platí mezi konvergencí a divergencí řad , ? Kdy řada konverguje relativně?
Říkáme, že řada konverguje absolutně, konverguje-li řada . Říkáme, že řada konverguje relativně, pokud řada konverguje, ale řada diverguje.


9. 9
10. Co jsou al ternující řady konstant? Jak zní Leibnitzovo kriterium konvergence pro alter řady konst?
Řada a 1- a 2+ a 3- a 4+...(-1) n+1 a n= kde a n > 0 pro všechna n ,je alternující řada. Leibnitzovo kriterium: platí-li:1) ;
2) ; pak řada konverguje.