Matematika příkaldy do cvičení

ctords.
[V = x2y3 + y je potenci´al vectorF, I=-58]
3. Ovˇeˇrte, ˇze vektorov´e pole vectorF = eyvectorı+xeyvector je potenci´aln´ı v R2 a vypoˇctˇete
pr´aci pole vectorF vykonanou pˇri pohybu z bodu [1,0] do bodu [-1,0] pod´el
p˚ulkruˇznice se stˇredem v bodˇe [0,0] nad osou x. [-2]
4. Vypoˇctˇete integr´al
I =
integraldisplay [1,3]
[−1,2]
y2 dx + 2xydy
uˇzit´ım skuteˇcnosti, ˇze I nez´avis´ı na cestˇe. Hodnotu I vypoˇctˇete iinteg-
rac´ı pod´el ´useˇcky od bodu [-1,2] do bodu [1,3]. [I=13]
5. Dokaˇzte,ˇze integr´al a) I = integraltext[3,2][0,0] 2xeydx+x2eydy, b) I = integraltext[−1,0][2,−2] 2xy3dx+
3y2x2dy nez´avis´ı na cestˇe a urˇcete jeho hodnotu.
6. Ukaˇzte, ˇze integr´al
I =
integraldisplay [3,3]
[1,1]
parenleftbigg
ex lny − e
y
x
parenrightbigg
dx +
parenleftbiggex
y −e
y lnx
parenrightbigg
dy
nez´avis´ı na cestˇe a najdˇete jeho hodnotu.
7. Vypoˇctˇete pr´aci s´ıly vectorF = (ey +yex)vectorı+(xey +ex)vector pˇri pohybu po kˇrivce
(K) : vectorr(t) = sin pit2vectorı + lntvector, 1 ≤ t ≤ 2 v souladu s parametrick´ym
vyj´adˇren´ım. [ln2 − 1]
9
8. Ukaˇzte, ˇze vektorov´e pole vectorF = 1|vectorr|3vectorr = 1√(x2+y3)3(x,y) je potenci´aln´ı
vˇsude, kde je definov´ano a vypoˇctˇete
integraldisplay [−3,4]
[0,−1]
vectorF · vectords.
[0.8]
9. Dokaˇzte, ˇze vektorov´e pole vectorF = 2xy(x2+y2)2vectorı+ y2−x2(x2+y2)2vector je potenci´aln´ı t´ım,
ˇze najdete jeho potenci´al.
10. Rozhodnˇete, zda vektorov´e pole vectorF je potenci´aln´ı a v kladn´em pˇr´ıpadˇe
urˇcete potenci´al, kdyˇz a) vectorF = xyvectorı+x2vector+sinzvectork b) vectorF = sinxvectorı+zvector+yvectork
11. Ukaˇzte, ˇze vektorov´e pole
vectorF = 1
|vectorr|2vectorr =
parenleftbigg x
x2 + y2 + z2,
y
x2 + y2 + z2,
z
x2 + y2 + z2
parenrightbigg
je potenci´aln´ı, najdˇete jeho potenci´al a vypoˇctˇete integraltext[a,b,c][2,2,1] vectorF · vectords.
9 Nekoneˇcn´e ˇrady
1. Vypoˇctˇete limitu
a) limn→∞ nn+1,
b) limn→∞(−1)n+1,
c) limn→∞(1 + (−12)n),
d) limn→∞ nen.
2. Vypoˇctˇete limitu limn→∞(n+1n )n.
3. Uˇzit´ım definice vypoˇctˇete souˇcet ˇrady summationtext∞k=2 1k2−1.
4. Uˇzit´ım definice vypoˇctˇete souˇcet ˇrady summationtext∞n=1 1n(n+1).
5. Uˇzit´ım definice urˇcete souˇcet ˇrady summationtext∞i=1 19i2+3i−2.
6. Uˇzit´ım definice urˇcete souˇcet ˇrady summationtext∞k=2 1k2−1.
10
7. Rozhodnˇete o konvergenci ˇrady summationtext∞i=1 (−1)i+1i2 .
8. Rozhodnˇete o konvergenci ˇrady summationtext∞i=1 1(2i−1)2.
9. Rozhodnˇete o konvergenci ˇrady summationtext∞i=2 1iln(i).
10. Rozhodnˇete o konvergenci ˇrady summationtext∞i=2 1iln(i)2.
11. Rozhodnˇete o konvergenci ˇrady summationtext∞i=1 parenleftbig 1+i1+i2parenrightbig2.
12. Urˇcete obor konvergence ˇrady
∞summationdisplay
i=1
e−i2x.
13. Urˇcete obor konvergence ˇrady
∞summationdisplay
i=1
xi.
14. Urˇcete obor konvergence ˇrady
∞summationdisplay
i=1
ln(x)i.
15. Urˇcete obor konvergence ˇrady
∞summationdisplay
i=1
xi
i2 .
16. Urˇcete obor konvergence ˇrady
∞summationdisplay
i=1
xi2.
11
10 Fourierovy ˇrady
1. Najdˇete Fourierovu ˇradu funkce f(x) = x v intervalu 〈−pi,pi〉.[x =
2summationtext∞n=1 (−1)n+1n sinnx
bracketrightBig
2. Najdˇete Fourierovu ˇradu funkce f(x) = 12x2 v intervalu 〈−pi,pi〉 a
dokaˇzte, ˇze
1 − 14 + 19 − 116 + ··· + (−1)
n−1
n2 + ··· =
pi2
12.
bracketleftBig
1
2x
2 = pi2
6 + 2
summationtext∞
n=1
(−1)n
n2 cosnx
bracketrightBig
3. Najdˇete Fourierovu ˇradu funkce f(x) =
braceleftbigg x + pi pro x < 0
x pro x ≥ 0 v inter-
valu 〈−pi,pi〉 a dokaˇzte, ˇze
1 − 13 + 15 − 17 + ··· + (−1)
n
2n + 1 + ··· =
pi
4.
bracketleftbigf(x) = pi
2 −
summationtext∞
n=1
sin2nx
n
bracketrightbig
4. Najdˇete Fourierovuˇradu funkce f(x) = |x|v intervalu〈−pi,pi〉a dokaˇzte,ˇze
1 + 19 + 125 + ··· + 1(2n− 1)2 + ··· = pi
2
8 .
bracketleftBig
|x| = pi2 − 4pi summationtext∞n=1 1(2n−1)2 cos(2n− 1)x
bracketrightBig
5. Najdˇete Fourierovu ˇradu funkce f(x) = pi2 − x2 v intervalu 〈−pi,pi〉 a
dokaˇzte, ˇze
1 − 14 + 19 − 116 + ··· + (−1)
n+1
n2 + ··· =
pi2
12.
bracketleftBig
f(x) = 2pi23 + 4summationtext∞n=1 (−1)n+1n2 cosnx
bracketrightBig
6. Najdˇete Fourierovu ˇradu funkce f(x) =
braceleftbigg −1 pro x < 0
1 pro x ≥ 0 v intervalu
〈−pi,pi〉. bracketleftbigf(x) = 4summationtext∞n=1 1n sinnxbracketrightbig
12
7. Najdˇete Fourierovu ˇradu funkce f(x) = xsinx v intervalu 〈−pi,pi〉 a
dokaˇzte, ˇze
∞summationdisplay
n=2
(−1)n
n2 − 1 =
1
4.
bracketleftBig
xsinx = 1 − 12 cosx + 2summationtext∞n=2 (−1)n−1n2−1 cosnx
bracketrightBig
8. Najdˇete Fourierovu ˇradu funkce f(x) =
braceleftbigg 3x pro x < 0
2x pro x ≥ 0 v intervalu
〈−pi,pi〉.bracketleftBig
f(x) = −pi2 + 2pi summationtext∞n=1 cos(2n−1)x(2n−1)2 + 5summationtext∞n=1 (−1)n+1n sinnx
bracketrightBig
9. Najdˇete Fourierovuˇradu funkce sinhx = 12(ex+e−x) v intervalu〈−pi,pi〉.bracketleftBig
sinhx = (epi −e−pi)
parenleftBig
1
2pi +
summationtext∞
n=1
(−1)n
1+n2pi cosnx
parenrightBigbracketrightBig
10. Najdˇete sinovou Fourierovuˇradu funkce f(x) = pi4 −x2 v intervalu 〈0,pi〉.bracketleftbig
f(x) = summationtext∞n=1 sin2nx2n bracketrightbig
11. Najdˇete kosinovou Fourierovu ˇradu funkce f(x) = pi4 − x2 v intervalu
〈0,pi〉.bracketleftBig
f(x) = 2pi summationtext∞n=0 cos(2n+1)x(2n+1)2
bracketrightBig
12. Funkci f(x) = x(pi−x) rozviˇnte do sinov´e Fourierovy ˇrady na intervalu
〈0,pi〉. Dokaˇzte, ˇze
1 − 133 + 153 − 173 + ··· + (−1)
n−1
(2n− 1)3 + ··· =
pi3
32.
bracketleftBig
x(pi −x) = 8pi summationtext∞n=1 sin(2n−1)x(2n−1)3
bracketrightBig
13. Najdˇete kosinovou Fourierovu ˇradu funkce f(x) = ex v intervalu 〈0,1〉.bracketleftBig
ex = e− 1 + 2summationtext∞n=1 (−1)ne−11+n2pi2 cosnpix
bracketrightBig
14. Najdˇete sinovou Fourierovu ˇradu funkce f(x) = ex v intervalu 〈0,1〉.bracketleftBig
ex = 2pisummationtext∞n=1 (1−(−1)n)n1+n2pi2 sinnpix
bracketrightBig
13