Diferenciální počet I, Derivace funkce

VYSOK U¨EN˝ TECHNICK V BRN
FAKULTA STAVEBN˝
MATEMATIKA I
MODUL BA01¡M06, GA01¡M05
DIFERENCI`LN˝ PO¨ET I
DERIVACE FUNKCE
STUDIJN˝ OPORY
PRO STUDIJN˝ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
1
0Typeset by LATEX 2"
c O. Dlouh , V. Tryhuk, Brno 2004
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Obsah
1 vod 5
1.1 C le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Po adovanØ znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Doba potłebnÆ ke studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Kl ŁovÆ slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Metodick nÆvod k prÆci s textem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Derivace funkce 7
2.1 Derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Pojem derivace, zÆkladn vlastnosti . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Pravidla pro derivovÆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Tabulka derivac elementÆrn ch funkc . . . . . . . . . . . . 12
2.2 DiferenciÆl funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Vlastnosti funkc spojit ch na intervalu . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Derivace vy„„ ch łÆdø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 DiferenciÆly vy„„ ch łÆdø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6 Taylorøv polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.7 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8 Asymptoty grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.9 ExtrØmy funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.10 Funkce konvexn a konkÆvn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.11 Prøb h funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12 Kontroln otÆzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.13 Kl Ł, Testy ke zpracovÆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Rejstł k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 OBSAH
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kapitola 1
vod
1.1 C le
C le jednotliv ch odstavcø tohoto modulu jsou nÆsleduj c :
2.1 Derivace funkce patł k nejzÆkladn j„ m pojmøm matematickØ anal zy.
Je zapotłeb dobłe zvlÆdnout de nici derivace a na zÆklad jej ho geometrickØho
v znamu um t urŁit rovnici teŁny a normÆly ke grafu funkce v zadanØm bod .
UrŁit si spoŁ tejte alespo jeden pł klad na v poŁet derivace funkce z de nice.
SeznÆm te se takØ se vztahem mezi derivac a spojitost funkce v bod . Dobłe
si zapamatujte pravidla pro derivovÆn funkc a tabulku derivac elementÆrn ch
funkc . Oboj budete potłebovat płi łe„en konkrØtn ch pł kladø a œloh. Pro dobrØ
zvlÆdnut derivovÆn je zapotłeb si vyłe„it dostateŁnØ mno stv pł kladø. Bez
potłebnØ znalosti derivovÆn nen mo nØ œsp „n studovat dal„ ŁÆsti matematickØ
anal zy.
2.2 Um t znÆzornit geometrick v znam diferenciÆlu funkce v bod . ZnÆt
de nici diferenciÆlu a pou it diferenciÆlu v odhadu chyb płi m łen ch zat en ch
chybou.
2.3 SeznÆm te se s vlastnostmi funkc spojit ch na intervalu. M li byste um t
formulovat vybranØ zÆkladn vlastnosti funkc spojit ch na intervalu a znÆt jejich
geometrickou interpretaci.
2.4 Um t zapsat de nici derivace n{tØho łÆdu a znÆt poŁ tÆn derivac vy„„ ch
łÆdø.
2.5 ZnÆt vztahy pro v poŁet diferenciÆlø vy„„ ch łÆdø a podm nky jejich
existence.
2.6 Jde o døle itou problematiku, kterÆ mÆ znaŁnØ vyu it v røzn ch apli-
kac ch (napł klad v numerickØ matematice). C lem je um t de novat Taylorøv
a Maclaurinøv polynom stupn n; znÆt Lagrangeøv tvar zbytku a zÆpis Taylo-
rova polynomu u it m diferenciÆlø.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 vod
2.7 L’Hospitalovo (Łti: lopitalovo) pravidlo vÆm umo n urŁovat limity n kte-
r ch slo it j„ ch funkc . Je zapotłeb um t l’Hospitalovo pravidlo sprÆvn zfor-
mulovat. K pochopen jeho płesnØ formulace vÆm pomohou komentÆłe uvedenØ
v tomto odstavci.
2.8 Um t charakterizovat svislØ, vodorovnØ a „ikmØ asymptoty grafu funkce.
ZnÆt vztahy potłebnØ pro jejich v poŁet.
2.9 ZnÆt de nici lokÆln ch extrØmø, nutnØ a postaŁuj c podm nky pro jejich
existenci s vyu it m derivac .
2.10 M li byste m t geometrickou płedstavu o konvexnosti a konkÆvnosti
funkce, znÆt popis t chto vlastnost u it m derivace druhØho łÆdu, um t popsat
in exn body.
2.11 Jde o vyu it poznatkø diferenciÆln ho poŁtu pro hledÆn prøb hø funkc .
Pouze vyłe„en m dostateŁnØho poŁtu pł kladø mø ete z skat potłebnØ poŁetn
zku„enosti.
1.2 Po adovanØ znalosti
Pro potłeby zvlÆdnut tohoto modulu płedpoklÆdÆme znalosti studentø v rozsahu
modulu Matematika I, Moduly BA01¡M04, BA01¡M05.
1.3 Doba potłebnÆ ke studiu
¨as potłebn ke zvlÆdnut tohoto modulu je odhadnut pro prøm rnØho studenta
jako hodnota nejmØn 18 hodin.
1.4 Kl ŁovÆ slova
Derivace funkce, diferenciÆl funkce, Taylorøv polynom, l’Hospitalovo
pravidlo, asymptoty grafu funkce, extrØmy funkce, prøb h funkce.
Na konci modulu załazen Rejstł k, ve kterØm jsou dal„ kl ŁovÆ slova płehledn
uspołÆdÆna i s odkazy na odpov daj c strÆnky.
1.5 Metodick nÆvod k prÆci s textem
Text je uspołÆdÆn podle stejn ch zÆsad, jako ostatn dł ve studovanØ moduly
płedm tu Matematika.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kapitola 2
Derivace funkce
2.1 Derivace funkce
2.1.1 Pojem derivace, zÆkladn vlastnosti
M jme funkci f : y = x2 a hledejme rovnici teŁny k jej mu grafu v bod P0 = [3;9]:
Uva ujme posloupnost bodø Pn = [3 + 1n;(3 + 1n)2] grafu funkce f; kterÆ złejm
konverguje k bodu P0 (nebo» 3 + 1n ! 3;(3 + 1n)2 ! 9 pro n ! 1). Vedeme-
li postupn dvojicemi bodø P0 a Pn pł mky (tzv. seŁny), dostaneme nÆsleduj c
posloupnost (tg fin) sm rnic seŁen:
tg fin = f(3 +
1
n) ¡f(3)
3 + 1n ¡ 3 =
(3 + 1n)2 ¡ 32
1
n
=
6
n +
1
n2
1
n
= 6 + 1n:
Odpov daj c posloupnost seŁen mÆ n{t Łlen sn : y¡9 = (6+ 1n)(x¡3): Je vid t,
e posloupnost seŁen konverguje k teŁn ke grafu funkce v bod P0 a posloupnost
sm rnic seŁen konverguje k Ł slu 6; kterØ nazveme sm rnic teŁny ke grafu funkce
f v bod P0: TeŁna mÆ proto rovnici t : y ¡ 9 = 6(x ¡ 3): Zobecn me na„e
œvahy a budeme uva ovat obecn posloupnost bodø Pn = [3 +hn;(3 +hn)2;] kde
(hn) !n!1 0;hn 6= 0; dostaneme obdobn , e (tg fin) ! 6; nebo»
tg fin = f(3 + hn) ¡f(3)3 + h
n ¡ 3
= 6hn + h
2
n
hn = 6 + hn:
Tyto œvahy nÆs vedou k nÆsleduj c de nici.
De nice 2.1.1: Je-li funkce f de novÆna v n jakØm okol U(x0) bodu x0 2R
a existuje-li limita
limx!x
0
f(x) ¡f(x0)
x¡x0 ;
naz vÆme ji derivac funkce f v bod x0 a znaŁ me ji f0(x0):
8 Derivace funkce
Pokud f0(x0) 2R; ł kÆme, e fukce f mÆ v bod x0 vlastn derivaci. Je-li
f0(x0) = §1; ł kÆme, e fukce f mÆ v bod x0 nevlastn derivaci. Pokud
limita neexistuje, łekneme, e fukce f nemÆ v bod x0 derivaci, nebo e derivace
v bod x0 neexistuje.
Existuje-li limx!x0+ f(x)¡f(x0)x¡x0 ; naz vÆme tuto limitu derivac zprava funkce
f v bod x0 a znaŁ me ji f0+(x0): Analogicky de nujeme derivaci zleva a zna-
Ł me ji f0¡(x0):
Je-li f funkce a M = fx 2R; existuje vlastn f0(x0)g; pak funkci
f0 : x 7! f0(x) s de niŁn m oborem M nazveme derivac funkce f na mno-
in M:
4
PoznÆmka: Płi oznaŁen x = x0 + h pou vÆme takØ zÆpis
f0(x0) = lim
h!0
f(x0 + h) ¡f(x0)
h :
ƒ Slovem derivace budeme v dal„ m textu rozum t vlastn derivaci.
Geometrick v znam derivace
- x
6
y f
6
?
f(x) ¡f(x0)
‡‡‡
‡‡‡
‡‡‡
‡‡‡
‡‡‡
‡‡‡
‡teŁna
··
··
··
··
··
··
··
··
··
·seŁna
fis fit
A
AU
x0 xˆ¡
A
Ba
C
x¡x0
Plat f0(x) = tg fit = limx!x
0
tg fis = limx!x
0
f(x) ¡f(x0)
x¡x0 :
Rovnice teŁny a normÆly ke grafu funkce f v bod A = [x0;f(x0)] maj tvar
t : y ¡f(x0) = f0(x0) ¢ (x¡x0);
n : y ¡f(x0) = ¡ 1f0(x
0)
¢ (x¡x0); pokud f0(x0) 6= 0:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1 Derivace funkce 9
(Promyslete si tvar rovnic teŁny a normÆly ke grafu funkce f v pł pad , kdy
je f0(x0) = 0:)
Nyn si uvedeme ukÆzky v poŁtø derivac funkc z de nice.
Pł klad 2.1.1: Odvo te z de nice derivaci f0(x0) funkce
a) f(x) = px; x0 2 (0;1); b) f(x) = sinx; x0 2R:
e„en :
a) f0(x0) = limx!x
0
f(x) ¡f(x0)
x¡x0 = limx!x0
px¡px
0
x¡x0 = limx!x0
px¡px
0
(px¡px0)(px + px0) =
= lim
x!x0
1p
x + px0 =
1
2px0;
b) f0(x0) = lim
x!x0
f(x) ¡f(x0)
x¡x0 = limx!x0
sinx¡ sinx0
x¡x0 = limx!x0
2 sin x¡x02 cos x+x02
x¡x0 =
= limx!x
0
sin x¡x02
x¡x0
2
¢ limx!x
0
cos x + x02 = cosx0:
CviŁen 2.1.1: Odvo te z de nice derivaci f0(x0) funkce
a) f(x) = x3; b) f(x) = 3px; x0 2R:
Z de nice derivace vypl vaj tyto vlastnosti:
1. Funkce f mÆ v bod x0 derivaci prÆv tehdy, kdy mÆ v tomto bod
derivaci zprava i zleva a plat f0+(x0) = f0¡(x0):
2. MÆ-li funkce f v bod x0 vlastn derivaci, je v tomto bod spojitÆ.
Prvn vlastnost vypl vÆ z analogickØ vlastnosti limit. DruhÆ vlastnost se
Łasto vyu vÆ a proto si ukÆ eme, jak se dÆ odvodit. Z existence vlastn derivace
plyne, e limx!x0 f(x)¡f(x0)x¡x0 = f0(x0) 2R: Odtud
limx!x
0
f(x) = limx!x
0
f(x) ¡f(x
0)
x¡x0 (x¡x0) + f(x0)
¶
=
= limx!x
0
f(x) ¡f(x0)
x¡x0 ¢ limx!x0(x¡x0) + limx!x0 f(x0) = f
0(x0) ¢ 0 + f(x0) = f(x0);
a tedy funkce f je spojitÆ v bod x0:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 Derivace funkce
PoznÆmka. Tvrzen 2: nelze obrÆtit. Funkce spojitÆ v bod x0 2R
nemus m t derivaci, jak ukazuje nÆsleduj c pł klad:
Funkce f : y = jxj je spojitÆ v bod x0 = 0; ale derivaci v tomto
bod nemÆ, nebo» f0+(0) = limx!0+ jxjx = limx!0+ 1 = 1; f0¡(0) =
limx!0¡ jxjx = limx!0¡(¡1) = ¡1 6= f0+(0); tak e f0(0) neexistuje (viz
vlastnost 1:).
2.1.2 Pravidla pro derivovÆn
A) Maj -li funkce f;g derivaci v bod x0 2R a jestli e c 2R; pak plat :
1. (cf)0(x0) = cf0(x0):
2. (f §g)0(x0) = f0(x0) §g0(x0):
3. (f ¢g)0(x0) = f0(x0) ¢g(x0) + f(x0) ¢g0(x0):
4. Je-li g(x0) 6= 0; pak
f
g
¶0
(x0) = f
0(x0) ¢g(x0) ¡f(x0) ¢g0(x0)
(g(x0))2 :
B) MÆ-li funkce g derivaci v bod x0 a funkce f mÆ derivaci v bod y0 = g(x0);
pak plat
(f –g)0 (x0) = (f(g))0(x0) = f0(y0) ¢g0(x0) = f0(g(x0)) ¢g0(x0):
C) Je-li funkce f spojitÆ a ryze monot nn na otevłenØm intervalu J a mÆ-li v
bod y0 2 J derivaci f0(y0) 6= 0; pak funkce f¡1 mÆ derivaci v bod x0 = f(y0)
a plat ¡
f¡1¢0 (x0) = 1f0(y
0)
:
Pravidla A1¡A4;B (o derivaci slo enØ funkce) se mus te dobłe nauŁit,
proto e je budete neustÆle pou vat płi łe„en pł kladø. Pravidlo C
(o derivaci inverzn funkce) slou płedev„ m k odvozen vzorcø pro
derivaci inverzn ch funkc , napł. cyklometrick ch.
UkÆ eme si, jak je mo no odvodit platnost napł klad pravidla A3.
(fg)0(x0) = limx!x
0
(fg)(x) ¡ (fg)(x0)
x¡x0 =
= limx!x
0
f(x)g(x) ¡f(x0)g(x) + f(x0)g(x) ¡f(x0)g(x0)
x¡x0 =
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1 Derivace funkce 11
= limx!x
0
f(x) ¡f(x
0)
x¡x0 g(x) + f(x0)
g(x) ¡g(x0)
x¡x0
¶
= f0(x0)g(x0) + f(x0)g0(x0):
CviŁen 2.1.2: Odvo te si pravidla A1 a A2.
Vyu ijeme je„t pravidla C k odvozen derivace funkce arkussinus.
(arcsinx)0 = 1(siny)0 = 1cosy = 1p1 ¡ sin2 y =
= 1p1 ¡ sin2 (arcsinx) = 1p1 ¡x2; x 2 (¡1;1):
Prov łte si, e jsou spln ny v„echny płedpoklady pravidla C.
PoznÆmka: UvedenÆ pravidla pro derivovÆn se daj zobecnit. Maj -li funkce
f1;f2;:::;fn derivaci v bod x0 2R a jsou-li c1;c2;:::;cn 2R; pak plat
A2’ (c1f1 + ¢¢¢cnfn)0(x0) = c1f01(x0) + ¢¢¢cnf0n(x0);
A3’ (f1 ¢f2 ¢:::¢fn)0(x0) = f01(x0) ¢f2(x0) ¢:::¢fn(x0)+
+f1(x0) ¢f02(x0) ¢:::¢fn(x0) + ¢¢¢ + f1(x0) ¢f2(x0) ¢:::¢f0n(x0):
B’ (f3 –f2 –f1)0(x0) = f03(v0) ¢f02(u0) ¢f01(x0); kde u0 = f1(x0); v0 = f2(u0):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 Derivace funkce
2.1.3 Tabulka derivac elementÆrn ch funkc
f(x) f0(x) podm nky platnosti
c 0 x 2R; c 2R
xn n¢xn¡1 x 2R; n 2N
x¡n ¡n¢x¡n¡1 x 2 (¡1;0) [ (0;1); n 2N
xk k ¢xk¡1 x 2 (0;1); k 2R
ex ex x 2R
ax ax ¢ lna x 2R; a > 0
lnx 1=x x 2 (0;1)
logax 1x¢lna x 2 (0;1); a > 0; a 6= 1
sinx cosx x 2R
cosx ¡sinx x 2R
tg x 1cos2 x x 2R¡f(2k + 1)…2 ; k 2Zg
cotg x ¡ 1sin2 x x 2R¡fk…; k 2Zg
arcsinx 1p1¡x2 x 2 (¡1;1)
arccosx ¡ 1p1¡x2 x 2 (¡1;1)
arctg x 11+x2 x 2R
arccotg x ¡ 11+x2 x 2R
sinhx coshx x 2R
coshx sinhx x 2R
tgh x 1cosh2 x x 2R
cotgh x ¡ 1sinh2 x x 2 (¡1;0) [ (0;1)
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1 Derivace funkce 13
Pro ilustraci derivovÆn uvedeme n kolik łe„en ch pł kladø. Płi łe„en budeme
pou vat oznaŁen y0 = f0(x):
CviŁen 2.1.3: ZadanØ funkce derivujte a v sledek upravte:
1.
y = 3 3
p
x2 ¡ 15x + p…; x 2R¡f0g:
Vyu it m vlastnost A2, A1 a prvn ch vzorcø z tabulky derivac dostÆvÆme
pro x 6= 0
y0 = (3x23 ¡ 15x¡1 + p… )0 = 3 ¢ 23 ¢x23¡1 ¡ 15 ¢ (¡1) ¢x¡2 + 0 = 23px + 15x2:
Płi derivovÆn souŁinu c¢f(x) konstanty s funkc pou vejte pravidlo A1 a
konstantu vytkn te. Nederivujte c¢f(x) jako souŁin funkc .
2.
y = 3x + 2x2 + 1; x 2R:
Na zÆklad vzorce A4 plat
y0 = (3x + 2)
0 ¢ (x2 + 1) ¡ (3x + 2) ¢ (x2 + 1)0
(x2 + 1)2 =
= 3 ¢ (x
2 + 1) ¡ (3x + 2) ¢ 2x
(x2 + 1)2 =
¡3x2 ¡ 4x + 3
(x2 + 1)2 :
3.
y = p3x2 + 4; x 2R:
Zadanou funkci si vyjÆdł me jako slo enou funkci, płiŁem vn j„ slo ka je
funkce f(u) = pu; vnitłn slo ka u = g(x) = 3x2 + 4: Pak obdr me
y0 = f0(u) ¢g0(x)| {z }
(f0–g)(x)¢g0(x)
= 12u¡12 ¢ 6x = 12 ¢ 1p3x2 + 4 ¢ 6x = 3xp3x2 + 4:
4.
y = sin2 (3x¡ 1); x 2R:
Abychom mohli pou t vzorce z tabulky derivovÆn elementÆrn ch funkc ,
vyjÆdł me si funkci jako trojnÆsobn slo enou funkci , kde u = f1(x) =
3x¡ 1; v = f2(u) = sinu; f3(v) = v2: Pak dle B’ plat
y0 = f03(v) ¢f02(u) ¢f01(x) = 2v ¢ cosu¢ 3 = 2 sin (3x¡ 1) cos (3x¡ 1) ¢ 3 =
= 3 sin (6x¡ 2):
Nejprve jsme tedy derivovali druhou mocninu, pak funkci sinus a nakonec
funkci 3x¡ 1:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 Derivace funkce
5.
y = 1arctg (2x + 1) x 2R¡f¡12g:
FunkŁn płedpis płevedeme na tvar y = (arctg (2x + 1))¡1 a derivujeme
podle vzorce B’ (zde nen vhodnØ derivovat jako pod l funkc ). Pak
y0 = ¡(arctg (2x + 1))¡1¢0 = (¡1) ¢ (arctg (2x + 1))¡2 ¢ 11 + (2x + 1)2 ¢ 2 =
= ¡ 1(2x2 + 2x + 1) ¢ arctg 2(2x + 1):
CviŁen 2.1.4: ZadanØ funkce derivujte a v sledek upravte. UrŁete D(f)
a obor, na kterØm existuje derivace.
1) 2¡3x2p… 2) 2x3px + x2 3px
3) sinx1¡cosx + tg … 4) xlnx1¡x
5) 2 arcsinpx2 ¡p2x¡x2 6) ¡ x+62 p5 + 4x¡x2 + 172 arcsin x¡23
7) 14 ln 1+x+x21¡x+x2 +
p3
6 arctg
xp3
1¡x2 8) ¡
cosx
2 sin2 x + ln
q
1+cosx
sinx
9) 1ln2(x2+1)
2.2 DiferenciÆl funkce
PłedpoklÆdejme, e funkce f mÆ v bod x0 vlastn derivaci f0(x0). Pak plat
limx!x0 f(x)¡f(x0)x¡x0 = f0(x0) a tedy pro libovolnØ " > 0 existuje okol P(x0;–)
takovØ, e
flfl
flf(x)¡f(x0)x¡x0 ¡f0(x0)
flfl
fl < "; tj. mø eme psÆt f0(x0) := f(x)¡f(x0)x¡x0 v P(x0;–)
a tedy
f(x) := f(x0) + f0(x0)(x¡x0):
V„imn me si geometrickØho v znamu tØto płibli nØ rovnosti. V me, e rovnice
teŁny ke grafu funkce f v bod P0 = [x0;f(x0)] mÆ tvar
t : y ¡f(x0) = f0(x0)(x¡x0):
Odtud vypl vÆ, e jsme pł røstek funkŁn ch hodnot f(x) ¡ f(x0) nahradili
pł røstkem f0(x0)(x¡x0) na teŁn t:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 DiferenciÆl funkce 15
- x
6y
- x
6y
P0
P
6
?
f(x) ¡f(x0)
P0
P
?
6f0(x0)(x¡x0)
tT
f(x) ¡f(x0)| {z }
pł røstek funkŁn ch hodnot| {z }
rozd l f(P) ¡f(P0)
:= f0(x
0)(x¡x0)| {z }
pł røstek funkŁn ch hodnot na teŁn | {z }
rozd l f(T) ¡f(P0)
= f0(x0)h
Tyto œvahy nÆs vedou k de nici
De nice 2.2.1: MÆ-li funkce f v bod x0 derivaci, pak v raz
df(x0;h) = f0(x0)h
naz vÆme diferenciÆlem funkce f v bod x0 pro pł røstek h nezÆvisle pro-
m nnØ x:
4
PoznÆmka: Lze ukÆzat, e pro diferenciÆl funkce plat nÆsleduj c vztahy
lim
h!0
f(x) ¡f(x0) ¡ df(x0;h)
jhj = 0;
lim
h!0
f(x) ¡f(x0)
df(x0;h) = 1;
kde x = x0 + h:
Pł klad 2.2.1: U it m diferenciÆlu urŁete absolutn a relativn chybu, kterÆ
vznikne v poŁtem objemu krychle z nam łenØ dØlky hrany krychle a0 = 2m;
jestli e m łen je zat eno chybou, nepłesahuj c 0:2 mm.
e„en : Absolutn chybu odhadneme absolutn hodnotou diferenciÆlu, tj.
j4Vj := jdV (a0;h)j; kde a0 = 2 m, jhj = 2 ¢ 10¡4 m. V me, e V = a3 a odtud
jdV (a0;h)j = jV 0(a0) ¢ hj = j3a20 ¢ hj = 0:0024 m3: Relativn chybu odhadneme
takto: flfl
flfl4V
V
flfl
flfl := jdVj
V =
0:0024
8
:= 0:0003;
tj. 0:3 –=––:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 Derivace funkce
CviŁen 2.2.1: VypoŁ tejte:
1) df(1; 0;2) pro funkci f(x) = arctg (2x¡ 1).
2) df(x0;h) pro funkci f(x) = ln (x + p1 + x2).
3) df(0;h) pro funkci f(x) = ex cos 3x.
2.3 Vlastnosti funkc spojit ch na intervalu
Uvedeme si struŁn płehled n kter ch vlastnost funkc spojit ch v intervalu,
kterØ maj znaŁnou vyu itelnost zejmØna płi zdøvod ovÆn a odvozovÆn røzn ch
vztahø v diferenciÆln m a integrÆln m poŁtu, v numerickØ matematice a podobn .
Tvrzen jsou geometricky velmi nÆzornÆ.
V dal„ m budeme płedpoklÆdat, e a;b 2R; a < b:
1. Cauchyova v ta o nulovØ hodnot :
Je-li funkce f spojitÆ na intervalu < a;b > a plat -li f(a) ¢f(b) < 0;
pak existuje c 2 (a;b) takovØ, e f(c) = 0:
-x
6
y
a
bc
2. Weierstrassova v ta:
Je-li funkce f spojitÆ na intervalu < a;b >; pak je f na intervalu
< a;b > ohraniŁenÆ a nab vÆ na n m svØ nejv t„ a nejmen„ hodnoty.
-x
6
y
a
b
m
M M = max ff(x); x 2< a;b >g
m = min ff(x); x 2< a;b >g
3. Rolleova v ta:
Je-li funkce f spojitÆ na intervalu < a;b > a mÆ-li derivaci v intervalu
(a;b); płiŁem f(a) = f(b); pak existuje c 2 (a;b) tak, e f0(c) = 0:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3 Vlastnosti funkc spojit ch na intervalu 17
-x
6
y
a
bc
f(a) = f(b)
TeŁna grafu v bod c je rovnob nÆ s osou x:
4. Lagrangeova v ta o pł røstku funkce:
Je-li funkce f spojitÆ na intervalu < a;b > a mÆ-li derivaci v intervalu
(a;b); pak existuje c 2 (a;b) tak, e f(b) ¡f(a) = f0(c) ¢ (b¡a):
-x
6
y
a b
‡‡‡
‡‡‡
‡‡‡
‡‡
‡‡‡ ‡‡‡
c1 c2
TeŁna grafu v bod c 2 fc1;c2g je rovnob nÆ se spojnic bodø
[a;f(a)];[b;f(b)]:
pp KomentÆł 2.3.1: M sto teoretickØho zdøvod ovÆn platnosti jednotliv ch
tvrzen si pouze ukÆ eme jejich interpretaci na konkrØtn funkci. M jme funkci
f(x) = 4x2 ¡ 4x¡ 3; x 2< 0;2 > :
1. Proto e f je spojitÆ na intervalu < 0;2 > a płitom f(0) = ¡3; f(2) = 5;
tj f(0) ¢f(2) < 0; existuje Ł slo c 2 (0;2) takovØ, e f(c) = 0: Je to kołen
c = 3=2 (viz Obr. 2.1 vlevo).
2. Funkce f nab vÆ v intervalu < 0;2 > svØ nejv t„ hodnoty M = f(2) = 5
a nejmen„ hodnoty m = f(1=2) = ¡4 (viz Obr. 2.1 vlevo).
3. Uva ujme nyn funkci f(x) = 4x2 ¡ 4x ¡ 3 v intervalu x 2< ¡1;2 > :
Pak jsou spln ny płedpoklady Rolleovy v ty vŁetn rovnosti f(¡1) = f(2):
Existuje tedy alespo jeden bod c takov , e f0(c) = 0: Jde o bod c = 1=2
(viz Obr. 2.1 vpravo).
4. Zvol me si op t interval < 0;2 >; pak pro funkci f(x) = 4x2 ¡ 4x ¡ 3
existuje f0(x) = 8x¡ 4 a dle Lagrangeovy v ty existuje bod c 2 (0;2) tak,
e
f(2) ¡ f(0) = f0(c) ¢ (2 ¡ 0); tj. f0(c) = f(2)¡f(0)2 = 4: Odtud 8c ¡ 4 = 4;
tedy c = 1 (viz Obr. 2.1 vlevo).
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 Derivace funkce
ObrÆzek 2.1:
2.4 Derivace vy„„ ch łÆdø
MÆ-li funkce f s de niŁn m oborem D(f) koneŁnou derivaci f0(x) pro ka dØ x
z mno iny M ‰ D(f); pak pro vnitłn bod x0 2 M mÆ smysl se ptÆt, zda funkce
f0 mÆ v bod x0 derivaci, tj. zda existuje
lim
x!x0
f0(x) ¡f0(x0)
x¡x0 :
Pokud existuje, pak ji nazveme derivac 2: łÆdu (druhou derivac ) funkce f
v bod x0 a oznaŁ me ji f00(x0): Analogicky mø eme zavØst f000 jako derivaci z
funkce f00: Obecn pak pro n 2N dostÆvÆme
||||||||||||||||||||||||||||||||||
f(n)(x0) = ¡f(n¡1)¢0 (x0) = limx!x
0
f(n¡1)(x) ¡f(n¡1)(x0)
x¡x0 :
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Je jasnØ, e k existenci derivace n{tØho łÆdu je nutnÆ existence neje-
nom (n ¡ 1){n derivace funkce f; ale i v„ech płedchoz ch derivac . Aby tato
de nice byla smysluplnÆ i pro n = 1; budeme funkci f oznaŁovat za nultou
derivaci funkce f: P „eme f(0) = f:
Pł klad 2.4.1: VypoŁ tejte Łtvrtou derivaci funkce f : y = sin 3x:
e„en : Funkce f(x) = sin 3x mÆ płirozen de niŁn obor D(f) = R: Pro
ka dØ x 2 D(f) existuje
f0(x) = (sin 3x)0 = cos 3x¢ (3x)0 = 3 cos 3x; D(f0) = D(f):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 DiferenciÆly vy„„ ch łÆdø 19
Analogicky
f00(x) = (3 cos 3x)0 = ¡9 sin 3x; D(f00) = D(f0);
f000(x) = (¡9 sin 3x)0 = ¡27 cos 3x; D(f000) = D(f00);
f(4)(x) = (¡27 cos 3x)0 = 81 sin 3x; D(f(4)) = D(f000) = R:
CviŁen 2.4.1: VypoŁ tejte druhou derivaci funkce f a v sledek upravte. Na-
jd te obory D(f); D(f00).
1) f(x) = ln 1x+px2¡1 2) f(x) = arctg (x¡px2 + 1)
3) f(x) = x¢ (¡1 + lnx) 4) f(x) = xpx2 + 3
2.5 DiferenciÆly vy„„ ch łÆdø
MÆ-li funkce f v bod x0 (vlastn ) derivaci f(n)(x0); pak funkci g; pro kterou plat
g(h) = f(n)(x0) ¢hn; h 2R;
naz vÆme diferenciÆlem n{tØho łÆdu funkce f v bod x0 nebo struŁn ji n{t m
diferenciÆlem funkce f v bod x0: Hodnotu g(h) znaŁ me dnf(x0;h) a plat tedy
dnf(x0;h) = f(n)(x0) ¢hn; h 2R:
De nice 2.5.1: Existuje-li (vlastn ) n{tÆ derivace f(n) na mno in M ‰ D(f);