Reálná funkce jedné reálné proměnné

VYSOK U¨EN˝ TECHNICK V BRN
FAKULTA STAVEBN˝
MATEMATIKA I
MODUL BA01¡M04, GA01¡M03
RE`LN` FUNKCE JEDN RE`LN PROM NN
STUDIJN˝ OPORY
PRO STUDIJN˝ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
1
0Typeset by LATEX 2"
c O. Dlouh , V. Tryhuk, Brno 2004
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Obsah
1 vod 5
1.1 C le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Po adovanØ znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Doba potłebnÆ ke studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Kl ŁovÆ slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Metodick nÆvod k prÆci s textem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 OznaŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ 11
2.1 Pojem funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Graf funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Slo enÆ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 ZÆkladn vlastnosti funkc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Testovac œlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 ParametrickØ zadÆn funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Inverzn funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Polynomy a racionÆln funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7.1 Polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7.2 RacionÆln funkce, rozklad na parciÆln zlomky. . . . . . . 33
2.7.3 Testovac œlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8 ElementÆrn funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8.1 GoniometrickØ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8.2 CyklometrickØ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8.3 ExponenciÆln a logaritmickØ funkce . . . . . . . . . . . . . 43
2.8.4 MocninnÆ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.8.5 HyperbolickØ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.8.6 HyperbolometrickØ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.7 Testovac œlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.9 Kontroln otÆzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.10 Kl Ł a v sledky cviŁen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Rejstł k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 OBSAH
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kapitola 1
vod
1.1 C le
V tomto modulu jsou obsa eny zÆkladn pojmy z teorie reÆlnØ funkce jednØ reÆlnØ
prom nnØ. Jen struŁn si płipomeneme n kterØ zÆkladn vlastnosti funkc , kterØ
jsou prob rÆny na stłedn ch „kolÆch. Uvedeme si røznØ zpøsoby zadÆn funkc
a mo nosti jejich gra ckØho znÆzorn n pomoc kartØzskØho grafu funkce. Zave-
deme takovØ pojmy, jako je funkce slo enÆ a funkce inverzn . T i„t modulu
bude spoŁ vat ve zvlÆdnut elementÆrn ch funkc , kterØ budou studenti pou vat
v navazuj c ch modulech matematiky, fyziky, mechaniky a dal„ ch płedm tech vy-
uŁovan ch na fakult . Rozebereme podrobn ji obsah jednotliv ch odstavcø mo-
dulu:
2.1 Po zopakovÆn zÆkladn ch pojmø z teorie reÆlnØ funkce jednØ reÆlnØ pro-
m nnØ je uvedenÆ tabulka elementÆrn ch funkc , kterØ jste ji prob rali na stłedn
„kole. Je potłebnØ znÆt grafy t chto funkc , abychom mohli v dal„ ch ostavc ch
studovat jejich vlastnosti (n kterØ z t chto funkc jsou zopakovÆny v odstavci 8).
2.2 Vzhledem k tomu, e v mnoh ch dal„ ch parti ch matematickØ anal zy se
budeme setkÆvat s absolutn hodnotou (napł klad v integrÆln m poŁtu), v nujeme
se jej mu procviŁen v tomto odstavci. Mus te um t urŁit grafy jednoduch ch
funkc s absolutn hodnotou. Promyslete si takØ uvedenØ vlastnosti absolutn ch
hodnot.
2.3 M li byste um t urŁovat de niŁn obory slo en ch funkc a pro jednodu„„
slo enØ funkce nakreslit jejich grafy płedev„ m s vyu it m transformac posunut .
2.4 Ve tvaru tabulky jsou płehledn shrnuty zÆkladn vlastnosti funkc . M li
byste jim dobłe porozum t, proto e v dal„ ch œvahÆch budeme s t mito pojmy
stÆle pracovat. Pro kontrolu porozum n zÆkladn m vlastnostem funkc je załazen
autotest, kter si peŁliv vyłe„te.
2.5 SeznÆm te se s parametrick m zadÆn m funkce. Zapamatujte si dobłe
parametrizaci kru nice, elipsy, cykloidy, œseŁky. Budete je vyu vat płi łe„en œloh
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 vod
na geometrickØ a technickØ aplikace urŁitØho integrÆlu a u kłivkov ch integrÆlø.
2.6 Jde o døle itou problematiku inverzn ch funkc . Detailn si projd te vy-
łe„en pł klad a na zÆklad dobrØho porozum n łe„te pł klady ze cviŁen .
2.7 Op t jde o velmi døle itou problematiku. Je zapotłeb um t d lit poly-
nomy, urŁovat kołeny polynomu a jejich rozklady v reÆlnØm oboru s vyu it m
Hornerova schØmatu a zÆkladn ch vlastnost polynomu. Porozum t nÆsobnosti
kołenø polynomu a urŁovÆn znamØnka. Nejdøle itej„ problematikou je pak roz-
klad racionÆln ch funkc na parciÆln zlomky. DobrØ zvlÆdnut tØto problematiky
je nezbytnØ pro pozd j„ integrovÆn . Proto se sna te uveden autotest vyłe„it se
stoprocentn œsp „nost .
2.8 Jsou struŁn zopakovÆny goniometrickØ funkce a jejich vlastnosti a za-
vedeny cyklometrickØ funkce jako funkce inverzn ke goniometrick m. Po płi-
pomenut funkc exponenciÆln ch a logaritmick ch jsou shrnuty jejich zÆkladn
vlastnosti. Jejich u it m jsou zavedeny hyperbolickØ a hyperbolometrickØ funkce.
M li byste znÆt jejich grafy a t m i jejich de niŁn obory a zÆkladn vlastnosti.
1.2 Po adovanØ znalosti
Pro potłeby zvlÆdnut tohoto modulu płedpoklÆdÆme znalosti studentø v rozsahu
lÆtky, kterÆ je prob rÆna na stłedn ch „kolÆch a do jistØ m ry zkou„ena u płij ma-
c ch zkou„ek na fakultu.
1.3 Doba potłebnÆ ke studiu
¨as potłebn ke zvlÆdnut tohoto modulu je odhadnut pro prøm rnØho studenta
jako hodnota nejmØn 24 hodin.
1.4 Kl ŁovÆ slova
Funkce, funkce slo enÆ, parametrickØ zadÆn funkce, funkce inverzn ,
polynom, racionÆln funkce, elementÆrn funkce.
ProblØmem tohoto œvodn ho modulu je skuteŁnost, e potenciÆln ch kl Ło-
v ch slov je pom rn velkØ mno stv . Proto je na konci modulu załazen Rejstł k,
ve kterØm jsou kl ŁovÆ slova płehledn uspołÆdÆna i s odkazy na odpov daj c
strÆnky.
1.5 Metodick nÆvod k prÆci s textem
UŁebn text je napsÆn velmi pł stupn m zpøsobem. V razn jsme omezili stroh
zpøsob v kladu provÆd n formou de nice{v ta{døkaz, kter je v t„inou obvykl
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6 OznaŁen 7
v matematickØ literatułe. DoufÆme, e se vÆm modul bude pł jemn studovat a e
se vÆm podał rychle tuto problematiku zvlÆdnout. Je płitom nutnØ si uv domit,
e v tomto modulu jsou vylo eny nejzÆkladn j„ pojmy matematickØ anal zy,
kterØ je pro dal„ studium nezbytnØ dobłe pochopit. K tomu vÆm poslou v b r
pł kladø ve cviŁen ch a autotestech. Soubory œloh je potłebnØ pova ovat za mi-
nimÆln . Na nich byste si m li ov łit, zda jste pochopili zÆkladn pojmy a tvrzen
o nich. Płipom nÆme, e v autotestech mø e b t sprÆvn i v ce uvÆd n ch v -
sledkø, ale v dy je sprÆvn alespo jeden v sledek. Nesna te se sprÆvnØ odpov di
pouze odhadovat. Naopak, nejprve si projd te pł klady łe„enØ v textu a na zÆ-
klad jejich pochopen si detailn vypoŁt te pł klady ve cviŁen ch i autotestech.
Ka d krok i v sledn zÆv r si døkladn zdøvodn te. Pro z skÆn poŁetn zruŁ-
nosti a v t„ zku„enosti je potłebnØ si vyłe„it dostateŁn poŁet dal„ ch pł kladø
ze sb rky, uvedenØ v seznamu literatury.
1.6 OznaŁen
Płehled zÆkladn ch u van ch pojmø a oznaŁen
LogickØ spojky a kvanti kÆtory
oznaŁen nÆzev Łteme
^ konjunkce a
P ^Q plat P i Q
_ alternativa nebo
(disjunkce)
P _Q plat P nebo Q
) implikace implikuje (vypl vÆ)
P ) Q jestli e plat P; pak plat Q
z P plyne Q
P je postaŁuj c pro Q
, ekvivalence prÆv kdy
P plat prÆv tehdy, kdy plat Q
P je nutnØ a staŁ pro Q
8 obecn pro v„echna
kvanti kÆtor
8x 2 M;V (x) pro ka d prvek x 2 M plat V (x)
ka d prvek x 2 M mÆ vlastnost V (x)
9 existenŁn existuje
kvanti kÆtor
9x 2 M;V (x) existuje prvek x 2 M s vlastnost V (x)
9! existuje prÆv jedno
9!x 2 M;V (x) existuje prÆv jeden prvek x 2 M
s vlastnost V (x)
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 vod
Mno inovÆ symbolika
oznaŁen Łteme
x 2 A x je prvkem mno iny A
x 62 A x nen prvkem mno iny A
fx 2 A; V (x)g mno ina v„ech prvkø mno iny A,
kterØ maj vlastnost V (x)
; prÆzdnÆ mno ina
A = fa1;a2;:::;ang mno ina A je urŁenÆ prvky a1;a2;:::;an
A = B , (8x)(x 2 A) , (x 2 B) rovnost mno in
mno iny A;B obsahuj tytØ prvky
A B , (8x)(x 2 A) ) (x 2 B) A je podmno ina B
ka d prvek mno iny A je takØ
prvkem mno iny B
A[B = fx; (x 2 A) _ (x 2 B)g sjednocen mno in A;B
mno ina obsahuj c v„echny prvky
mno iny A i mno iny B
A\B = fx; (x 2 A) ^ (x 2 B)g prønik mno in A;B
mno ina t ch prvkø, kterØ patł
souŁasn do mno iny A i do mno iny B
A¡B = fx; (x 2 A) ^ (x 62 B)g rozd l mno in A;B
mno ina t ch prvkø mno iny A,
kterØ nepatł do mno iny B
A£B = f(a;b); (a 2 A) ^ (b 2 B)g kartØzsk souŁin mno in A;B
mno ina v„ech uspołÆdan ch dvojic (a;b)
takov ch, e a 2 A;b 2 B
¨ selnÆ osa a jej podmno iny
oznaŁen Łteme
N = f1;2;:::;n;:::g mno ina płirozen ch Ł sel
Z = f:::;¡n;¡n + 1;:::;¡1;0;1;1;2;:::;n;:::g; mno ina cel ch Ł sel, n 2N
Q = fx 2R; x = mn ; m 2Z; n 2Z¡f0gg mno ina racionÆln ch Ł sel
R = (¡1;1) mno ina reÆln ch Ł sel
R+ = (0;1) mno ina kladn ch
reÆln ch Ł sel
R+0 = h0;1) mno ina nezÆporn ch
reÆln ch Ł sel
R⁄ = R[f1;¡1g = h¡1;1i mno ina reÆln ch Ł sel
roz„ łenÆ o nevlastn body
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.6 OznaŁen 9
Intervaly
PłedpoklÆdÆme a < b; a;b 2R:
oznaŁen Łteme
ha;bi = fx 2R; a • x • bg uzavłen interval a b
(a;b) = fx 2R; a < x < bg otevłen interval aa ab
(a;bi = fx 2R; a < x • bg polouzavłen interval aa b
ha;b) = fx 2R; a • x < bg polouzavłen interval aa b
ha;1) = fx 2R; x ‚ ag a 1-
(a;1) = fx 2R; x > ag aa 1-
(¡1;b) = fx 2R; x < bg ¡1 ab
(¡1;bi = fx 2R; x • bg ¡1 b
Okol bodu
PłedpoklÆdÆme x0 2R;– 2R;– > 0;h 2R:
oznaŁen Łteme
U(x0;–) = (x0 ¡–;x0 + –) –{okol bodu x0 ax
0 ¡–
a
x0 + –x0
P(x0;–) = U(x0;–) ¡fx0g prstencovØ (ryz ) –{okol bodu x0 ax
0 ¡–
a
x0 + –
a
x0
U+(x0;–) = hx0;x0 + –) pravØ –{okol bodu x0 ax
0 + –x0
U¡(x0;–) = (x0 ¡–;x0i levØ –{okol bodu x0 ax
0 ¡– x0
P+(x0;–) = (x0;x0 + –) pravØ prstencovØ –{okol bodu x0 ax
0 + –
a
x0
P¡(x0;–) = (x0 ¡–;x0) levØ prstencovØ –{okol bodu x0 ax
0 ¡–
a
x0
U(1;h) = P(1;h) = U¡(1;h) = P¡(1;h) = (h;1) okol bodu 1
U(¡1;h) = P(¡1;h) = U+(¡1;h) = P+(¡1;h) = (¡1;h) okol bodu ¡1
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 vod
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kapitola 2
ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ
prom nnØ
2.1 Pojem funkce
Płi vysoko„kolskØm studiu pł rodov dn ch a technick ch płedm tø se
seznÆm te s mnoha røzn slo it mi funkŁn mi vztahy. Płipome me si
n kterØ jednodu„„ funkŁn zÆvislosti, se kter mi jste se setkali ji na
stłedn „kole, a kterØ budete i nadÆle vyu vat:
† plo„n obsah rovnostrannØho trojœheln ka o stran a je roven
P = a24 p3;
† objem koule o polom ru r je roven V = 43…r3;
† kinetickÆ energie hmotnØho bodu o hmotnosti m; kter se pohy-
buje rychlost v je dÆna vztahem Ek = 12mv2;
† v chylka u z rovnovÆ nØ polohy harmonickØho pohybu je dÆna
vztahem u = um sin (!t + ’0); kde um;!;’0 jsou konstantn ve-
liŁiny;
† zobrazovac rovnice ŁoŁky je dÆna vztahem 1=a + 1=a0 = 1=f;
kde a je płedm tovÆ vzdÆlenost, a0 je obrazovÆ vzdÆlenost, f je
ohniskovÆ vzdÆlenost ŁoŁky.
FunkŁn zÆvislosti zde ukazuj vztahy, kter mi jsou mezi sebou vÆzÆny studovanØ
prom nnØ veliŁiny. Jestli e si odmysl me geometrick , fyzikÆln nebo technick
v znam prom nn ch veliŁin, dostaneme se k matematickØ charakterizaci zÆklad-
n ho pojmu matematickØ anal zy { reÆlnØ funkci jednØ reÆlnØ prom nnØ.
De nice 2.1.1: ekneme, e funkŁn m płedpisem y = f(x) je urŁena
reÆlnÆ funkce f jednØ reÆlnØ prom nnØ x; jestli e
a) je dÆn obor A ‰ E1 pł pustn ch reÆln ch hodnot nezÆvisle prom nnØ x;
12 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
b) ka dØmu x 2 A je płiłazena prÆv jedna reÆlnÆ hodnota zÆvisle prom nnØ y
dle funkŁn ho płedpisu y = f(x):
4
UvedenØ zadÆn funkce f tØ naz vÆme jej m explicitn m zadÆn m a ł -
kÆme, e prom nnÆ y je vyjÆdłena explicitn funkc prom nnØ x: Mno inu
A = D(f) naz vÆme de niŁn m oborem funkce f; mno inu v„ech funkŁ-
n ch hodnot naz vÆme oborem funkŁn ch hodnot funkce f a znaŁ me jej
H(f) = f(A): Funkci f pak Łasto zapisujeme ve tvaru
f : y = f(x); x 2 A:
Pokud nen de niŁn obor zadÆn, pak za n j budeme poklÆdat tzv. płirozen
de niŁn obor, co je mno ina v„ech reÆln ch Ł sel, pro kterØ mÆ funkŁn płedpis
y = f(x) smysl.
Z uvedenØ de nice funkce vypl vÆ, e funkce f a g jsou si rovny (p „eme
f = g), kdy 1) D(f) = D(g) = A; 2) f(x) = g(x) pro ka dØ x 2 A:
Nyn si płipomeneme funkŁn płedpisy n kter ch elementÆrn ch funkc ,
s nimi jste se seznÆmili na stłedn „kole.
płedpis płedpoklady nÆzev
1: y = k k 2R; x 2R konstantn funkce
2: y = ax + b a;b 2R; a 6= 0; x 2R lineÆrn funkce
3: y = jxj x 2R absolutn hodnota
4: y = xn n 2N; x 2R mocninnÆ funkce s płirozen m
exponentem (grafem je parabola
n{tØho stupn )
y = xn = 1=x¡n ¡n 2N mocninnÆ funkce s cel m
x 2 (¡1;0) [ (0;1) zÆporn m exponentem (grafem
je tzv. hyperbola stupn n)
5: y = npx n 2N; n ‚ 2 n{tÆ odmocnina
n sudØ, x 2h0;1)
y = npx n 2N; n ‚ 2 n{tÆ odmocnina
n lichØ, x 2R
6: y = sinx x 2R sinus
7: y = cosx x 2R kosinus
8: y = tg x x 2R;x 6= (2k + 1)…2 tangens
k 2Z
9: y = cotg x x 2R;x 6= k…;k 2Z kotangens
10: y = ax a > 0;a 6= 1;x 2R exponenciÆln funkce o zÆkladu a
11: y = ex x 2R;e = 2:71::: exponenciÆln funkce o zÆkladu e
12: y = loga x a > 0;a 6= 1 logaritmickÆ funkce o zÆkladu a
x 2R+ = (0;1)
13: y = lnx = loge x x 2R+ = (0;1) płirozen logaritmus (o zÆkladu e)
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 Graf funkce 13
2.2 Graf funkce
Zadanou funkci f si Łasto znÆzor ujeme u it m (kartØzskØho) grafu funkce f;
kter z skÆme jako mno inu t ch bodø [x;y] v rovin (se zavedenou kartØzskou
{ pravoœhlou soustavou souładnic h0;x;yi), jejich prvn souładnice x je prvkem
D(f) a druhÆ souładnice je rovna y = f(x): Mø eme tedy psÆt
Grf = graf f := f[x;y] 2 E2; x 2 D(f); y = f(x)g:
PoznÆmka. MÆme-li zjistit, zda zadan graf je grafem n jakØ explicitn
funkce y = f(x); pak staŁ ov łit, e ka dÆ rovnob ka s osou y protne graf
nejv „e v jednom bod . Jinak by toti k n jakØmu prvku x0 existovalo v ce
røzn ch funkŁn ch hodnot, co je ve sporu s po adavkem jednoznaŁnosti,
uvedenØm v de nici funkce.
ObrÆzek 2.1:
ObrÆzek 2.2:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
CviŁen 2.2.1: e„te pł klady:
a) Rozhodn te, zda jde v Obr. 2.2 o grafy funkc f : y = f(x) (zdøvodn te
proŁ) a urŁete z grafø obory D(f) a H(f):
b) NaŁrtn te grafy funkc
1) f : y = 2x + 1; x 2h¡1;2i
2) g : y = ¡3x + 2; x 2R
3) h : y = (4x2 ¡ 9)=(2x + 3):
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Absolutn hodnota reÆlnØho Ł sla
f(x) = jxj = maxfx;¡xg =
8
<
:
x pro x > 0;
0 pro x = 0;
¡x pro x < 0:
Pro v„echna x1;x2 2R plat
jx1j‚ x1;
jx1 + x2j•jx1j + jx2j;
jjx1j¡jx2jj•jx1 ¡x2j•jx1j + jx2j;
jx1 ¢x2j = jx1j¢jx2j;
jx1x2j = jx1jjx2j; pokud x2 6= 0:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pł klad 2.2.1: Nakreslete graf funkce f : y = j2 ¡xj¡j2x¡ 9j:
e„en : ¨ selnou osu rozd l me nulov mi body (kołeny) v razø v absolutn ch
hodnotÆch na intervaly, v nich tyto v razy nem n znamØnko.
-‘a
2
‘a
9
2
+ ¡ ¡znam (2 ¡x)
-‘a
2
‘a
9
2
¡ ¡ +znam (2x¡ 9)
Podle de nice absolutn hodnoty v intervalu (¡1;2i je j2 ¡ xj = 2 ¡ x;
j2x¡ 9j = ¡(2x¡ 9) = 9 ¡ 2x a tedy celkem dostÆvÆme:
x 2 (¡1;2i =) f1 : y = 2 ¡x + 2x¡ 9 = x¡ 7:
Analogicky ve zb vaj c ch intervalech plat :
x 2 (2;9=2i =) f2 : y = x¡ 2 + 2x¡ 9 = 3x¡ 11;
x 2 (9=2;1) =) f3 : y = x¡ 2 ¡ 2x + 9 = ¡x + 7:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3 Slo enÆ funkce 15
ObrÆzek 2.3:
CviŁen 2.2.2: Nakreslete grafy funkc
a) f(x) = j2 + xj + j3x¡ 1j;
b) g(x) = j2x¡ 1j¡j3 + 2xj;
c) k(x) = jx2 ¡ 1j:
mluva. Pokud nebude łeŁeno jinak, budeme v dal„ m pod struŁn m
oznaŁen m funkce v dy rozum t reÆlnou funkci jednØ reÆlnØ prom nnØ.
Nam sto oznaŁen f : y = f(x) budeme takØ mnohdy u vat zÆpis pouze
funkŁn ho płedpisu, napł. m sto f : y = x2 pou ijeme zÆpis f(x) = x2: Po-
kud nebudeme potłebovat zdøraznit, e jde o funkci f; pak takØ pou ijeme
zÆpisy y = x2 nebo x 7! x2:
2.3 Slo enÆ funkce
V matematickØ anal ze i v technick ch oborech se budete płevÆ n setkÆvat
s komplikovan j„ mi funkcemi, kterØ lze z skat tzv. sklÆdÆn m funkc . Dosad me-
li toti za nezÆvisle prom nnou u ve funkŁn m płedpisu y = f(u) pro funkci f
vyjÆdłen zÆvisle prom nnØ u z funkŁn ho płedpisu u = g(x) pro funkci g; pak
dostaneme funkŁn płedpis pro tzv. slo enou funkci h = f(g) = f – g; pro
kterou plat
h : y = f(g(x)):
Funkci f naz vÆme vn j„ slo kou, funkci g vnitłn slo kou slo enØ funkce
h: Je-li napł klad f : y = lnu; g : u = sinx; pak pro slo enou funkci h = f(g)
plat h : y = ln sinx: V konkrØtn ch œlohÆch na sklÆdÆn funkc je Łasto nezÆvisle
prom nnÆ oznaŁovÆna stÆle p smenem x a zÆvisle prom nnÆ p smenem y; i kdy
jde o røznØ funkŁn płedpisy.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
Pł klad 2.3.1: UrŁete funkŁn płedpisy pro slo enØ funkce h = f(g);
k = g(f); jestli e
a) f(x) = px; g(x) = sinx; b) f(x) = x3; g(x) = x¡ 1x + 1:
e„en :
a) h : y = psinx;k : y = sinpx; b) h : y =
x¡ 1
x + 1
¶3
;k : y = x
3 ¡ 1
x3 + 1:
CviŁen 2.3.1: UrŁete funkŁn płedpisy pro h = f(g);k = g(f); je-li
a) f(x) = px¡ 1; g(x) = x3 + 1; b) f(x) = x2 ¡x; g(x) = 2 + ex:
pp KomentÆł 2.3.1:
(¶) Chceme-li zjistit płirozen de niŁn obor slo enØ funkce h = f(g); pak
mus me urŁit takovÆ x 2 R; pro kterÆ mÆ funkŁn płedpis y = f(g(x))
smysl. Jde złejm o takovÆ x z D(g); pro n g(x) 2 D(f): Je-li napł klad
h : y = ln sinx; pak z de niŁn ho oboru funkce sinus mus me vz t pouze
takovÆ x; pro kterÆ sinx > 0; nebo» pak bude takØ de novÆna funkŁn hod-
nota ln sinx: Proto e sinus je kladn v intervalech tvaru (2k…;(2k + 1)…);
k 2Z; mø eme psÆt D(h) = [k2x5a(2k…;(2k + 1)…):
Płi v poŁtu limit, derivac a integrÆlø budeme naopak rozklÆdat zadanØ
slo enØ funkce na slo ky. Zpøsob rozkladu bude zÆvisl na konkrØtn łe„enØ
œloze. Jednu z variant rozkladu si mø eme płibl it na v poŁtu funkŁn ch
hodnot na kalkulaŁce, napł klad pł v poŁtu funkŁn hodnoty h(9) funkce
h : y = ln sinx: Nejprve vypoŁteme u0 = sinx0 = sin 9 a pak teprve
y0 = lnu0 = ln sinx0 = ln sin 9: Symbolicky
x0 -g u0 = g(x0) -f y0 = f(u0)
-h
(¶¶) Na pł kladech si ukÆ eme, jak je mo nØ ze znÆm ch grafø n kter ch
elementÆrn ch funkc z skat grafy slo it j„ ch funkc . Uva ujme napł klad
kvadratickou funkci y = ¡2x2 + 4x + 1; x 2R; a zkusme nalØzt jej graf.
pravami dostaneme y = ¡2(x¡ 1)2 + 3 a graf pak mø eme postupn ob-
dr et v kroc ch a);b);c);d);e) viz obrÆzek 2.4.
(¶¶¶) Podobn postupujme v pł pad funkce y = (2x + 3)=(x + 1); x 6= 1:
Mø eme psÆt y = 2 + 1=(x + 1); pomoc posunut grafu funkce 1=x o jed-
notku doleva ve sm ru osy x a o 2 jednotky ve sm ru osy y z skÆme hledan
graf (viz obrÆzek 2.5).
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3 Slo enÆ funkce 17
ObrÆzek 2.4:
Pł klad 2.3.2: UrŁete de niŁn obor funkce f : y = p2x2 ¡ 5x¡ 3:
e„en : MÆme urŁit takovÆ reÆlnÆ Ł sla, pro kterÆ plat 2x2 ¡ 5x ¡ 3 ‚ 0:
VypoŁ tÆme-li kołeny (nulovØ body) polynomu 2x2 ¡ 5x¡ 3; dostaneme rozklad
2x2¡5x¡3 = (2x+1)(x¡3) a łe„en m nerovnice (2x+1)(x¡3) ‚ 0 je sjednocen
intervalø (¡1;¡1=2i a h3;1): Tedy D(f) = (¡1;¡1=2i[h3;1):
Pł klad 2.3.3: Zjist te, zda se rovnaj funkce
f : y = 4x
2 ¡ 9
2x + 3 ; g : y = 2x¡ 3
na sv ch płirozen ch de niŁn ch oborech.
e„en : AŁkoliv je mo no funkŁn płedpis pro funkci f formÆln upravit
4x2 ¡ 9
2x + 3 =
(2x + 3)(2x¡ 3)
2x + 3 = 2x¡ 3;
je jasnØ, e posledn rovnost plat pouze pro x 6= ¡3=2: De niŁn obory funkc
f;g jsou D(f) = R¡f¡3=2g; D(g) = R a funkce f 6= g:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 ReÆlnÆ funkce jednØ reÆlnØ prom nnØ
ObrÆzek 2.5:
Pł klad 2.3.4: Je dÆna funkce f : y = 3x2 ¡4x+ 1: VyjÆdłete a upravte pod l
f(a + h) ¡f(a)
h pro h 6= 0:
e„en :
f(a + h) ¡f(a)
h =
3(a + h)2 ¡ 4(a + h) ¡ 1 ¡ 3a2 + 4a¡ 1)
h =
= 6ah + 3h
2 ¡ 4h
h = 6a + 3h¡ 4 pro h 6= 0:
CviŁen 2.3.2: e„te pł klady