Reálná funkce dvou a více proměnných Il

VYSOK U¨EN˝ TECHNICK V BRN
FAKULTA STAVEBN˝
MATEMATIKA I
MODUL BA01 M10, GA04 M04
RE`LN` FUNKCE DVOU A V˝CE PROM NN CH { II
STUDIJN˝ OPORY
PRO STUDIJN˝ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
1
0Typeset by LATEX 2"
c O. Dlouh , V. Tryhuk, Brno 2004
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Obsah
1 vod 5
1.1 C le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Po adovanØ znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Doba potłebnÆ ke studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Kl ŁovÆ slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Metodick nÆvod k prÆci s textem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Funkce dvou a v ce prom nn ch 7
2.1 LokÆln extrØmy funkce dvou prom nn ch . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Implicitn funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Implicitn funkce jednØ prom nnØ . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Implicitn funkce dvou prom nn ch . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Absolutn extrØmy funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 TeŁna a normÆlovÆ rovina prostorovØ kłivky . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 ProstorovÆ kłivka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2 Geometrick v znam derivace teŁnØho vektoru . . . . . . . 25
2.4.3 TeŁna a normÆlovÆ rovina ke kłivce . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 TeŁnÆ rovina a normÆla plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 SkalÆrn pole, gradient, sm rovÆ derivace skalÆrn ho pole . . . . . 31
2.6.1 SkalÆrn pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.2 Hladiny skalÆrn ho pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.6.3 Gradient skalÆrn ho pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6.4 Sm rovÆ derivace skalÆrn ho pole . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Kontroln otÆzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8 V sledky cviŁen , test ke zpracovÆn . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Rejstł k 44
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 OBSAH
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kapitola 1
vod
1.1 C le
V odpov daj c ch Ł seln vyjÆdłen ch odstavc ch textu jsou stanoveny nÆsleduj c
c le:
2:1 Um t de novat lokÆln extrØmy funkce dvou prom nn ch. SeznÆmit se
s nutn mi a postaŁuj c mi podm nkami pro existenci lokÆln ch extrØmø. Um t
łe„it œlohy s touto problematikou.
2:2 V tomto odstavci se seznÆm te s funkcemi jednØ a dvou prom nn ch,
kterØ jsou urŁenØ implicitn rovnic a bodem. Je vhodnØ znÆt jednoduchØ pł klady
konkrØtn ch funkc urŁen ch implicitn . Na zÆklad tvrzen o implicitn ch funkc ch
byste m li um t rozhodnout, zda je rovnic a bodem urŁenÆ funkce implicitn .
2:3 ZvlÆdnout postupy płi urŁovÆn absolutn ch extrØmø a jednoduch ch
vÆzÆn ch extrØmø, łe„iteln ch sn en m poŁtu nezÆvisle prom nn ch v zadanØ
funkci za jednØ zadanØ podm nky.
2:4 Tento odstavec patł k jednodu„„ m. Po seznÆmen se s de nic hladkØ
kłivky a s konstrukc teŁnØho vektoru ke kłivce vÆm ji nebude d lat problØmy
urŁit rovnici teŁny a normÆlovØ roviny k zadanØ kłivce. Jde vlastn o vyu it
znÆm ch poznatkø z modulu v novanØho analytickØ geometrii v E3:
2:5 Um t odvodit normÆlov vektor teŁnØ roviny plochy urŁenØ implicitn
rovnic F(x;y;z) = 0: Pak ji lehce urŁ te rovnici normÆly a teŁnØ roviny. K tomu
vÆm op t staŁ poznatky z modulu analytickØ geometrie.
2:6 Po prostudovÆn byste m li um t nalØzt hladiny skalÆrn ho pole, urŁit
gradient a sm rovou derivaci.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 vod
1.2 Po adovanØ znalosti
Pro potłeby zvlÆdnut tohoto modulu płedpoklÆdÆme znalosti studentø v roz-
sahu modulu Matematika I, Moduly BA01 M04 , BA01 M05, BA01 M06,
BA01 M09.
1.3 Doba potłebnÆ ke studiu
¨as potłebn ke zvlÆdnut tohoto modulu je odhadnut pro prøm rnØho studenta
jako hodnota nejmØn 20 hodin.
1.4 Kl ŁovÆ slova
LokÆln extrØmy, implicitn funkce, absolutn extrØmy, vÆzanØ extrØmy,
teŁna kłivky, normÆlovÆ rovina kłivky, teŁnÆ rovina plochy, normÆla
plochy, skalÆrn pole, hladina, gradient, sm rovÆ derivace.
Na konci modulu załazen Rejstł k, ve kterØm jsou dal„ kl ŁovÆ slova płehledn
uspołÆdÆna i s odkazy na odpov daj c strÆnky.
1.5 Metodick nÆvod k prÆci s textem
Text je uspołÆdÆn podle stejn ch zÆsad, jako ostatn dł ve studovanØ moduly
płedm tu Matematika.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kapitola 2
Funkce dvou a v ce prom nn ch
2.1 LokÆln extrØmy funkce dvou prom nn ch
V tØto kapitole se nauŁ me hledat lokÆln extrØmy funkce dvou pro-
m nn ch. Pojem lokÆln ho extrØmu je op t de novÆn podobn m zpø-
sobem jako u funkce jednØ prom nnØ.
De nice 2.1.1: ekneme, e funkce z = f(x;y) mÆ v bod [x0;y0] 2 D(f) lo-
kÆln maximum, kdy existuje prstencovØ okol P(x0;y0) takovØ, e pro v„echny
body [x;y] 2P(x0;y0) plat podm nka f(x;y) f(x0;y0): Je-li v podm nce ostrÆ
nerovnost f(x;y) < f(x0;y0); hovoł me o ostrØm lokÆln m maximu funkce f
v bod [x0;y0]:
4
loha: De nujte lokÆln minimum funkce z = f(x;y) v bod [x0;y0] 2 D(f):
4
LokÆln maxima a lokÆln minima funkce souhrn naz vÆme lokÆln mi ex-
trØmy funkce.
4
Pro hledÆn lokÆln ch extrØmø funkce dvou prom nn ch je u iteŁnØ
znÆt tzv. nutnØ a postaŁuj c podm nky pro existenci lokÆln ho extrØmu
v E2. ZaŁn me pł klady jednoduch ch funkc .
a) Grafem funkce z = x2+y2 = f(x;y); [x;y] 2E2; je rotaŁn paraboloid s osou
rotace v ose z a vrcholem v poŁÆtku [x0;y0] = [0;0] souładnicovØ soustavy,
ve kterØm je funkŁn hodnota f(0;0) = 0: V libovolnØm bod [x;y] 2P(0;0)
plat nerovnost f(x;y) = x2 + y2 > 0 = f(0;0); proto mÆ funkce f v bod
[0;0] ostrØ lokÆln minimum. DÆle, v bod [0;0] existuj parciÆln derivace
f0x(x;y) = 2x; f0y(x;y) = 2y; kterØ jsou rovny nule. Geometricky mø eme
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 Funkce dvou a v ce prom nn ch
tuto skuteŁnost interpretovat takto: funkce g(x) = f(x;y0) = f(x;0) = x2
mÆ v bod x0 = 0 derivaci g0(0) = f0x(0;0) = 0 a funkce h(y) = f(x0;y) =
f(0;y) = y2 mÆ v bod y0 = 0 derivaci h0(0) = f0y(0;0) = 0: Grafem funkce
g je prønik grafu funkce y = f(x;y) s rovinou y = 0 (= y0) a grafem funkce
h je prønik grafu funkce y = f(x;y) s rovinou x = 0 (= x0): Nen problØ-
mem se płesv dŁit, e ob funkce maj v bod 0 ostrØ lokÆln minimum.
DoporuŁujeme ŁtenÆłi promyslet si proto i skuteŁnost, e existuj druhØ
parciÆln derivace funkce f v bod [0;0] a f00xx(0;0); f00yy(0;0) jsou kladnØ.
b) Grafem funkce z = px2 + y2 = f(x;y); [x;y] 2E2; je horn ŁÆst rotaŁn ho
ku elu s osou rotace v ose z a vrcholem v poŁÆtku [x0;y0] = [0;0] souład-
nicovØ soustavy, ve kterØm je funkŁn hodnota f(0;0) = 0: V libovolnØm
bod [x;y] 2 P(0;0) plat nerovnost f(x;y) = px2 + y2 > 0 = f(0;0);
proto mÆ funkce f v bod [0;0] ostrØ lokÆln minimum. Płitom parciÆln
derivace f0x(x;y) = xpx2+y2; f0y(x;y) = xpx2+y2 v bod [0;0] neexistuj .
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1 LokÆln extrØmy funkce dvou prom nn ch 9
c) Grafem funkce z = jyj = f(x;y); [x;y] 2E2; je plocha rovnob nÆ s osou x:
V ka dØm bod [x0;0] le c m na ose x je funkŁn hodnota f(x0;0) = j0j = 0:
V okol P(x0;0) takovØho bodu pak je f(x;y) = jyj 0 = f(x0;0) a funkce
f mÆ proto v bod [x0;0] lokÆln minimum, kterØ nen ostrØ. ParciÆln de-
rivace f0x(x;y) = (jyj)0x = 0 v ka dØm bod de niŁn ho oboru funkce f;
proto takØ v bod [x0;0]: ParciÆln derivace f0y(x;y) = (jyj)0y v bod [x0;0]
neexistuje.
De nice 2.1.2: Bod A = [x0;y0] 2 D(f) nazveme stacionÆrn m bodem
funkce f; jestli e v n m existuj parciÆln derivace f0x;f0y a plat f0x(x0;y0) = 0;
f0y(x0;y0) = 0:
4
V „e uvedenØ pł klady podporuj platnost nutnØ podm nky existence lokÆl-
n ho extrØmu.
Tvrzen : Nech» mÆ funkce z = f(x;y) v bod A = [x0;y0] 2 D(f) lokÆln
extrØm. Pak je bod [x0;y0] stacionÆrn m bodem funkce f; nebo alespo jedna
z parciÆln ch derivac f0x(A);f0y(A) neexistuje.
Zab vejme se nyn tzv. postaŁuj c mi podm nkami, płi jejich spln n bude m t
funkce f v bod A napł klad lokÆln minimum. PłedpoklÆdejme, e mÆ funkce
f v okol O(A) spojitØ parciÆln derivace druhØho łÆdu. Z Taylorova polynomu
dostaneme rovnost
f(X) = f(A) + df(A;~u) + 12d2f( ~A;~u):
Proto e A je stacionÆrn bod, je df(A;~u) = 0 a tedy f(X) f(A) = 12d2f( ~A;~u):
Pokud d2f( ~A;~u) > 0; pak je f(X) > f(A) v n jakØm okol O(A) a v bod A
nastÆvÆ lokÆln minimum.
Zab vejme se proto znamØnkem polynomu d2f( ~A;~u) = P(h;k):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Pro k 6= 0 lze psÆt
P(h;k) = k2

f00xx( ~A)
h
k
2
+ 2f00xy( ~A)hk + f00yy( ~A)
!
:
Płi oznaŁen l = h=k mø eme m sto znamØnka polynomu P(h;k) vy„etłovat
znamØnko polynomu
Q(l) = f00xx( ~A)l2 + 2f00xy( ~A)l + f00yy( ~A):
Je-li
4

f00xy( ~A)
2
4f00xx( ~A)f00yy( ~A) < 0;
(jde o diskriminant rovnice Q(l) = 0), pak mus b t f00xx( ~A) 6= 0 a souŁasn
D2( ~A) = f00xx( ~A)f00yy( ~A)

f00xy( ~A)
2
> 0:
Polynom Q(l) pak nebude m nit znamØnko (mÆ zÆporn diskriminant)
a płitom
lim
l!1
Q(l) =
= lim
l!1
l2

f00xx( ~A) + 2f00xy( ~A)1l + f00yy( ~A) 1l2

=
1 pro f00
xx( ~A) > 0
1 pro f00xx( ~A) < 0 :
Je vid t, e znamØnko polynomu Q(l) je urŁeno znamØnkem f00xx( ~A):
Pro k = 0 je P(h;k) = P(h;0) = f00xx( ~A)h2 a tedy
P(h;0) > 0 pro f00xx( ~A) > 0;
P(h;0) < 0 pro f00xx( ~A) < 0:
Płipome me si, e spojitost parciÆln ch derivac druhØho łÆdu v okol bodu A mÆ
za nÆsledek spojitost funkce
D2(X) = f00xx(X)f00yy(X) f00xy(X) 2 :
Z poznÆmky k Bolzanov v t vypl vÆ existence okol bodu A; v n m plat
znamØnko D2(X) = znamØnko D2(A); znamØnko f00xx(X) = znamØnko f00xx(A):
DochÆz me k tomuto zÆv ru: PłedpoklÆdÆme-li, e D2(A) > 0 a f00xx(A) > 0; pak
existuje okol v n m takØ D2( ~A) > 0 a f00xx( ~A) > 0: Odtud vypl vÆ, e pak takØ
d2f( ~A;~u) = P(h;k) > 0 pro v„echna h;k 2 R a tedy v bod A nastÆvÆ lokÆln
minimum.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1 LokÆln extrØmy funkce dvou prom nn ch 11
Tvrzen : Bu A = [x0;y0] stacionÆrn m bodem funkce z = f(x;y) a nech»
existuj spojitØ parciÆln derivace druhØho łÆdu funkce f v bod A: OznaŁme
D(X) = f
00
xx(X) f
00
xy(X)
f00xy(X) f00yy(X)
determinant vytvołen z parciÆln ch derivac druhØho łÆdu funkce f: Pak plat :
a) Je-li D(A) > 0; pak mÆ funkce f v bod A lokÆln extrØm, a to
( ) ostrØ lokÆln maximum, je-li f00xx(A) < 0;
( ) ostrØ lokÆln minimum, je-li f00xx(A) > 0:
b) Je-li D(A) < 0; pak nemÆ funkce f v bod A lokÆln extrØm.
c) Je-li D(A) = 0; pak funkce f v bod A lokÆln extrØm m t mø e, ale
nemus .
Pł klad 2.1.1: Vy„etłete lokÆln extrØmy funkce f : z = x2 +y2 + 2x+ 6y + 3:
e„en : De niŁn m oborem funkce f je D(f) = E2 a v„ude v D(f) existuj
spojitØ parciÆln derivace prvn ho i druhØho łÆdu funkce f: Plat f0x(x;y) = 2x+2;
f0y(x;y) = 2y + 6 a pro stacionÆrn body dostÆvÆme systØm rovnic
x + 1 = 0; y + 3 = 0:
Vid me, e existuje pouze jeden stacionÆrn bod S = [ 1; 3] 2 D(f); ve kterØm
mø e nastat lokÆln extrØm funkce f: DruhØ parciÆln derivace
f00xx(x;y) = 2; f00xy(x;y) = 0; f00yy(x;y) = 2
jsou konstantn funkce a maj tedy stejnØ hodnoty i v bod S: Determinant
D(S) = 2 00 2 = 4 > 0;
proto mÆ funkce f v bod S lokÆln extrØm, a to ostrØ lokÆln minimum s ohledem
na skuteŁnost, e f00xx(S) = 2 > 0: Zb vÆ stanovit funkŁn hodnotu
f(S) = f( 1; 3) = 7 v bod S ostrØho lokÆln ho minima funkce f:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Pł klad 2.1.2: Vy„etłete lokÆln extrØmy funkce f(x;y) = (x 2y)exy:
e„en : De niŁn m oborem funkce f je D(f) = E2 a płitom existuj v D(f)
spojitØ parciÆln derivace prvn ho i druhØho łÆdu funkce f: ZejmØna
f0x(x;y) = exy(xy 2y2 + 1); f0y(x;y) = exy(x2 2xy 2):
StacionÆrn body jsou dÆny podm nkami f0x(x;y) = f0y(x;y) = 0; tj. spoleŁn m
łe„en m systØmu nelineÆrn ch rovnic
xy 2y2 + 1 = 0; x2 2xy 2 = 0:
V„imn me si, e v prvn rovnici mus b t y 6= 0; abychom nedo„li ke sporu 1 = 0:
Proto lze vyjÆłit
x = 2y
2 1
y
a substituc x do druhØ rovnice z skÆvÆme rovnici
(2y2 1)2
y2 2
2y2 1
y y 2 = 0;
kterÆ vede po œpravÆch na rovnici y2 = 14 = (12)2 se dv ma łe„en mi y1 = 12
a y2 = 12: Z podm nky x = 2y2 1y obdr me x1 = 1; x2 = 1 a existuj proto dva
stacionÆrn body
S1 = [ 1;1=2]; S2 = [1; 1=2]:
VypoŁ tÆme nyn druhØ parciÆln derivace a jejich funkŁn hodnoty ve stacionÆr-
n ch bodech:
f00xx(x;y) = y(xy 2y2 + 2)exy = 12e 1=2 = 12e 1=2;
f00xy(x;y) = (x2y 2xy2 + 2x 4y)exy = 3e 1=2 = 3e 1=2;
f00yy(x;y) = x(x2 2xy 4)exy = 2e 1=2 = 2e 1=2:
S1=[ 1;1=2] S2=[1; 1=2]
Oba determinanty
D(S1) =
1
2e
1=2 3e 1=2
3e 1=2 2e 1=2 = 8e
1; D(S2) = 12e 1=2 3e 1=2
3e 1=2 2e 1=2 = 8e
1
maj zÆpornØ znamØnko, proto funkce f nemÆ v D(f) lokÆln extrØmy.
CviŁen 2.1.1: Vy„etłete lokÆln extrØmy funkc :
1. z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2;
2. z = ex y(x2 2y2);
3. z = x 2y + lnpx2 + y2 + 3 arctg yx:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 Implicitn funkce 13
2.2 Implicitn funkce
Pro kladnou konstantu r jsou f : y = pr2 x2 a f : x2 +y2 r2 = 0; y 0; dv
røznÆ vyjÆdłen tØ e funkce jednØ prom nnØ de novanØ na uzavłenØm intervalu
h r;ri: Grafem funkce f je horn polovina kru nice polom ru r se stłedem v bod
O = [0;0]:
Nyn se budeme zab vat podm nkami, za kter ch je rovnic F(x;y) = 0 v okol
n jakØho bodu M = [x0;y0] de novanÆ funkce jednØ prom nnØ y = f(x), kdy
a kde existuje, a co jsme schopni o n ł ci. Podobn se budeme ptÆt, za ja-
k ch podm nek je rovnic F(x;y;z) = 0 de novanÆ funkce dvou prom nn ch
z = z(x;y):
2.2.1 Implicitn funkce jednØ prom nnØ
Pojem implicitn funkce jednØ prom nnØ
De nice 2.2.1: ekneme, e v okol O(A) E2 bodu A = [x0;y0] je rovnic
F(x;y) = 0 urŁena implicitn funkce f : y = f(x); jestli e
1. F je de novanÆ v okol O(A) a F(A) = 0;
2. f je de novanÆ v n jakØm okol U(x0) a płitom f(x0) = y0; F(x;f(x)) = 0
pro x 2 U(x0),
3. f zobrazuje U(x0) do V (y0), płiŁem U(x0) V (y0) O(A).
4
- x
6
y
U(x0)
V (y0)
&%
’$
O(A)‘a U(x0) V (y0) O(A)
Bod A = [x0;y0]
je vyznaŁen teŁkou.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Podm nky existence implicitn funkce jednØ prom nnØ
Tvrzen : PłedpoklÆdejme, e jsou spln ny płedpoklady De nice 2.2.1 a rovnic
F(x;y) = 0 je v okol O(A) urŁena implicitn funkce f : y = f(x): MÆ-li funkce
F v okol O(A) spojitØ parciÆln derivace F0x;F0y a F0y(A) 6= 0; pak
1) funkce f je urŁena jednoznaŁn ,
2) funkce f je spojitÆ na U(x0) a pro x 2 U(x0) plat
f0(x) = F
0
x(x;f(x))
F0y(x;f(x)):
Døkaz tohoto tvrzen płekraŁuje rÆmec textu. Proto budeme situaci ilustrovat
pł kladem a obecnou technikou v poŁtu derivace funkce f:
Pł klad 2.2.1: V bod A = [0;y0] najd te rovnice teŁny a normÆly ke grafu
funkce f : y = y(x) de novanØ rovnic y3 xy 8 = 0: Vy„etłete konvexnost Łi
konkÆvnost funkce f v bod x0 = 0:
e„en : (Graf funkce f mø eme nakreslit speciÆln mi prostłedky, zde prostłed-
nictv m programu MAPLE. Tuto mo nost v dy nemÆme, proto slou graf jen ke
zlep„en geometrickØ płedstavy.) Je dÆna funkce F(x;y) y3 xy 8 = 0 a bod
A = [x0;y0] = [0;y0]: Nejprve vy„etł me, zda funkce f prom nnØ x po adovan ch
vlastnost existuje. Ov ł me platnost płedpokladø F(A) = F(0;y0) = y30 8 = 0:
Plat y30 = 8 = 23 a tedy A = [x0;y0] = [0;2]: Existuj spojitØ parciÆln
derivace F0x(x;y) = y;F0y(x;y) = 3y2 x funkce F v n jakØm okol O(A)
a F0y(A) = F0y(0;2) = 12 6= 0: Funkce f : y = y(x) po adovan ch vlastnost
proto existuje a spl uje podm nku y(0) = 2: Funkce f mÆ v bod x0 = 0 derivaci
a podle vzorce je to Ł slo f0(0) = F0x(0;2)=F0y(0;2) = 2=12 = 1=6: Toto Ł slo
mø eme naj t i nÆsleduj c m postupem. Pro funkci f : y = y(x) plat rovnice
F(x;y(x)) = 0; tj.
(y(x))3 xy(x) 8 = 0:
Derivujeme-li tuto rovnici podle prom nnØ x jako slo enou funkci, z skÆme pod-
m nku
3y2(x)y0(x) y(x) xy0(x) = 0: (2.1)
Pro x = 0 a y(0) = 2 pak plat 3 22 y0(0) 2 = 0 a f0(0) = y0(0) = 1=6: Jak
v me, rovnice teŁny prochÆzej c bodem A = [x0;y0] mÆ pro f0(x0) 6= 0 tvar
y y0 = f0(x0)(x x0);
rovnice normÆly mÆ tvar
y y0 = 1f0(x
0)
(x x0):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 Implicitn funkce 15
ObrÆzek 2.1: Graf funkce f de novanØ implicitn rovnic y3 xy 8 = 0:
Dosazen m do rovnic z skÆme v sledek œlohy: V bod A = [0;2] je rovnice teŁny
y = 16x+ 2; rovnice normÆly je y = 2 6x: Derivujeme-li op t rovnici (2.1) podle
prom nnØ x, z skÆme pro y00(x) rovnici
6y(x)y0 2(x) + 3y2(x)y00(x) 2y0(x) xy00(x) = 0:
Pro x = 0; y(0) = 2; y0(0) = 1=6 pak plat 6 2 136 + 3 22 y00(0) 216 = 0
a y00(0) = 1=36 > 0: Funkce f je proto v bod x0 = 0 konvexn .
CviŁen 2.2.1:
1. UrŁete f0(0);f00(0) pro funkci y = f(x) urŁenou implicitn rovnic
y sinx + x2 + y3 = 1, vyhovuje-li funkce f podm nce f(0) = 1.
2. UrŁete vztahy pro v poŁet y00 funkc urŁen ch rovnicemi
a) x2 + xy + y2 3 = 0,
b) x + y = ex y.
3. V bod A = [x0;1] (x0 > 0) urŁete teŁnu a normÆlu ke grafu funkce f danØ
implicitn rovnic x2y xy3 2 = 0:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 Funkce dvou a v ce prom nn ch
2.2.2 Implicitn funkce dvou prom nn ch
Pojmy a podm nky existence implicitn funkce dvou prom nn ch jsou velmi po-
dobnØ pojmu a podm nkÆm existence implicitn funkce jednØ prom nnØ. Gra ckØ
znÆzorn n je ji problØmovØ.
Pojem implicitn funkce dvou prom nn ch
De nice 2.2.2: ekneme, e v okol O(A) E3 bodu A = [x0;y0;z0] je rovnic
F(x;y;z) = 0 urŁena implicitn funkce f : z = f(x;y); jestli e
1. F je de novanÆ v okol O(A) a F(A) = 0;
2. f je de novanÆ v n jakØm okol U(x0;y0) a płitom f(x0;y0) = z0;
F(x;y;f(x;y)) = 0 pro [x;y] 2 U(x0;y0),
3. f zobrazuje U(x0;y0) do V (z0), płiŁem U(x0;y0) V (z0) O(A).
4
Podm nky existence implicitn funkce dvou prom nn ch
Tvrzen : PłedpoklÆdejme, e jsou spln ny płedpoklady De nice 2.2.2 a rovnic
F(x;y;z) = 0 je v okol O(A) urŁena implicitn funkce f : z = f(x;y): MÆ-li
funkce F v okol O(A) spojitØ parciÆln derivace F0x;F0y;F0z a F0z(A) 6= 0; pak
1) funkce f je urŁena jednoznaŁn ,
2) funkce f je spojitÆ na U(x0;y0) a pro [x;y] 2 U(x0;y0) existuj parciÆln
derivace
f0x(x;y) = F
0
x(x;y;f(x;y))
F0z(x;y;f(x;y)); f
0
y(x;y) =
F0y(x;y;f(x;y))
F0z(x;y;f(x;y)):
pp KomentÆł 2.2.1: Vzorce pro v poŁet parciÆln ch derivac funkce
f : z = z(x;y) lze odvodit zpøsobem, kter nÆm Łasto slou k v poŁtu parci-
Æln ch derivac funkce danØ implicitn rovnic F(x;y;z) = 0: Je dobrØ zpøsob
v poŁtu ovlÆdat, proto e umo uje v poŁet parciÆln ch derivac vy„„ ch łÆdø bez
pou it stÆle komplikovan j„ ch vzorcø. Pro implicitn de novanou funkci dvou
prom nn ch plat v jistØm okol O(x0;y0) bodu [x0;y0] podm nka
F(x;y;z(x;y)) = 0:
Postupn m parciÆln m derivovÆn m tØto rovnice podle prom nnØ x obdr me
F0x(x;y;z) (x)0x + F0y(x;y;z) (y)0x + F0z(x;y;z) (z(x;y))0x = 0;
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 Implicitn funkce 17
F0x(x;y;z) + F0z(x;y;z) z0x(x;y) = 0 =) z0x(x;y) = F
0
x(x;y;z(x;y))
F0z(x;y;z(x;y));
F0x(x;y;z) (x)0y + F0y(x;y;z) (y)0y + F0z(x;y;z) (z(x;y))0y = 0;
F0y(x;y;z) + F0z(x;y;z) z0y(x;y) = 0 =) z0y(x;y) = F
0
y(x;y;z(x;y))
F0z(x;y;z(x;y))
a staŁ dosadit do z skan ch vztahø Ł sla x0;y0 a z(x0;y0) = z0; tj. souładnice
bodu M:
Prvn z rovnic nÆm dÆvÆ mo nost vypoŁ tat parciÆln derivace z00xx;z00xy (pokud
existuj ), druhÆ pak umo uje v poŁet z00yx;z00yy (pokud existuj ). Budeme napł -
klad płedpoklÆdat, e funkce F mÆ spojitØ parciÆln derivace druhØho łÆdu a
naznaŁ me v poŁet z00xy: ParciÆln derivujme rovnici
F0x(x;y;z(x;y)) + F0z(x;y;z(x;y))z0x(x;y) = 0
podle prom nnØ y: Pak F0x; F0z derivujeme jako slo enØ funkce:
(F0x + F0zz0x)0y = (F0x)0