Reálná funkce dvou a více proměnných Il

o płedpokladø
rovnice F(x;y;z) = 0 de nuje implicitn v jistØm okol O(x0;y0) bodu [x0;y0]
funkci f : z = f(x;y) spl uj c podm nku f(x0;y0) = z0: To mimo jinØ znamenÆ,
e bod M je bodem grafu (S) funkce f:
Je-li : ~r = ~r(t) = (x(t);y(t);z(t));t 2 h ; i; prostorovÆ kłivka le c na
grafu (S) a prochÆzej c bodem M; pak existuje interval h 1; 1i h ; i takov ,
e bodu M odpov dÆ parametr tM 2 h 1; 1i a polohov vektor ~r(tM) a płitom
v ka dØm t 2h 1; 1i je spln na podm nka F(x(t);y(t);z(t)) = 0:
(S) F(x;y;z) = 0
a
M

-~r0(tM)
F(x(t);y(t);z(t)) = 0
DerivovÆn m rovnice F(x(t);y(t);z(t)) = 0 jako slo enØ funkce podle prom nnØ t
vychÆz
F0x(x(t);y(t);z(t)) x0(t) +F0y(x(t);y(t);z(t)) y0(t) +F0z(x(t);y(t);z(t)) z0(t) = 0
a pro t = tM mÆme podm nku F0x(M) x0(tM)+F0y(M) y0(tM)+F0z(M) z0(tM) = 0;
kterou mø eme zapsat ve tvaru skalÆrn ho souŁinu
F0
x(M);F
0
y(M);F
0
z(M)
~r0(t
M) = 0:
To ale znamenÆ, e vektor F0x(M);F0y(M);F0z(M) je kolm k teŁnØmu vek-
toru ~r0(tM) kłivky v bod M grafu (S): Provedeme-li tuto œvahu pro
dv røznØ kłivky 1; 2 prochÆzej c bodem M; dojdeme k zÆv ru, e vek-
tor F0x(M);F0y(M);F0z(M) je v bod M kolm k ob ma teŁn m vektorøm
~r01(tM);~r02(tM) kłivek 1; 2.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
30 Funkce dvou a v ce prom nn ch
(S)
F(x;y;z) = 0
aM
1
-~r01(tM)
2
@@R
~r02(tM)
6
(F0x(M);F0y(M);F0z(M))
De nice 2.5.1: Je-li funkce z = f(x;y) urŁena implicitn rovnic
F(x;y;z) = 0 a bodem M = [x0;y0;z0]; pak rovinu prochÆzej c bodem M grafu
(S); kterÆ mÆ normÆlov vektor ~n = F0x(M);F0y(M);F0z(M) ; naz vÆme teŁnou
rovinou grafu (S) v bod M: Obecnou rovnici teŁnØ roviny urŁ me napł klad
algebraickou œpravou rovnice
(x x0) F0x(M) + (y y0) F0y(M) + (z z0) F0z(M) = 0:
Pł mku n prochÆzej c bodem M grafu (S); kterÆ mÆ sm rov vektor
~s = F0x(M);F0y(M);F0z(M) ; naz vÆme normÆlou grafu (S) v bod M: Pa-
rametrickØ rovnice normÆly proto jsou
x = x0 + s F0x(M);y = y0 + s F0y(M);z = z0 + s F0z(M);s 2R:
4
Pł klad 2.5.1: UrŁete rovnice teŁnØ roviny a normÆly ke grafu funkce
f : z = x2 + xy sinxy v bod [x0;y0] = [1;0]:
e„en : Płevedeme explicitn vyjÆdłen funkce f na implicitn vyjÆdłen
F(x;y;z) = 0; kde F(x;y;z) = x2 + xy sinxy z: Najdeme bod M spl u-
j c podm nku
F(x0;y0;z0) = F(1;0;z0) = 1 0 sin 0 z0 = 1 z0 = 0 =) z0 = 1:
Pak M = [1;0;1]: V poŁtem
F0x(x;y;z) = 2x + y y cosxy; F0y(x;y;z) = x xcosxy;F0z(x;y;z) = 1 6= 0
zjist me, e parciÆln derivace prvn ho łÆdu existuj a jsou spojitØ v libovolnØm
okol bodu M a urŁ me vektor
F0
x(M);F
0
y(M);F
0
z(M)
= (2;0; 1):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 SkalÆrn pole, gradient, sm rovÆ derivace skalÆrn ho pole 31
TeŁnÆ rovina je urŁena bodem M = [1;0;1] a normÆlov m vektorem ~n =
(2;0; 1) . Jej obecnÆ rovnice je : 2x z 1 = 0; a tedy teŁnÆ rovina je
rovnob nÆ s osou y: (Viz Obr. 2.6).
NormÆla n je urŁena bodem M = [1;0;1] a sm rov m vektorem ~s = (2;0; 1):
Jej parametrickØ rovnice jsou n : x = 1 + 2s;y = 0;z = 1 s;s 2R a le proto
v souładnicovØ rovin y = 0:
ObrÆzek 2.6:
CviŁen 2.5.1: Funkce z = f(x;y) je urŁena implicitn rovnic F(x;y;z) = 0
a bodem M. V bod M urŁete obecn tvar rovnice teŁnØ roviny a parametrickØ
rovnice normÆly ke grafu funkce f.
1. x3yz 3x2yz + x2y2 6 = 0, M = [1;2;z0].
2. z = 2x=z + 2y=z, M = [2;y0;1].
3. z y ln xz = 0, M = [1;1;1].
2.6 SkalÆrn pole, gradient, sm rovÆ derivace
skalÆrn ho pole
SkalÆrn pole je pojem, kter se pou vÆ płedev„ m ve fyzikÆln ch souvislostech.
Napł klad nÆs zaj maj tlakovØ Łi teplotn pom ry v bodech jistØho fyzikÆln ho
prostłed . V matematice pou vÆme abstrakci, kterÆ nepłihl ke konkrØtn m
podobÆm vy„etłovan ch objektø, ale naopak zdøraz uje spoleŁnØ obecnØ rysy
n kter ch fyzikÆln ch procesø.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 Funkce dvou a v ce prom nn ch
2.6.1 SkalÆrn pole
De nice 2.6.1: Ka dou reÆlnou funkci F : u = F(x;y;z) nazveme
skalÆrn m polem, mÆ-li funkce F n jak fyzikÆln v znam. Ka dØmu bodu
M = [x0;y0;z0] 2 D(F) E3 je tak skalÆrn m polem F płiłazena reÆlnÆ funkŁn
hodnota - skalÆr.
4
PoznÆmka: Analogicky je rovinnØ skalÆrn pole urŁeno rovnic
F : z = F(x;y):
Proto e uva ovanØ skalÆrn pole je funkc tł prom nn ch x;y;z a k tomu
je„t uva ujeme funkŁn hodnotu u = F(x;y;z); nemø eme uspołÆdanou Łtvełici
[x;y;z;u] zobrazit v prostoru E3: Pou ijeme postup, kter znÆme napł klad z tu-
ristick ch map, kdy nÆm vrstevnice umo uj vytvołit si płedstavu o nadmołskØ
v „ce terØnu.
2.6.2 Hladiny skalÆrn ho pole
De nice 2.6.2: Hladinou skalÆrn ho pole F nazveme mno iny t ch bodø
[x;y;z] 2 D(F) E3; pro kterØ jsou funkŁn hodnoty rovny stejnØmu Ł slu
k 2 H(F) R: Hladina je tedy urŁena rovnic F(x;y;z) = k:
4
ObrÆzek 2.7: Hladiny skalÆrn ho pole F : u = x2 + y2 + z2.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 SkalÆrn pole, gradient, sm rovÆ derivace skalÆrn ho pole 33
CviŁen 2.6.1: De nujte hladinu rovinnØho skalÆrn ho pole.
De nuje-li rovnice G(x;y;z) = F(x;y;z) k = 0 implicitn funkci dvou
prom nn ch, napł klad f : z = f(x;y); pak je hladina F(x;y;z) = k grafem
funkce f: Pro skalÆrn pole F : u = x2 + y2 + z2 jsou postupn płi konstantn ch
funkŁn ch hodnotÆch k = 1;4;9;16 hladinami kulovØ plochy x2 +y2 +z2 = r2 = k
polom rø r = 1;2;3;4: Situaci ukazuje obrÆzek Obr. 2.7. V„imn me si je„t , e
bod M = [2;0;0] 2 D(F) a F(M) = 4 = r2 urŁuje hladinu skalÆrn ho pole F; ve
kterØ le bod M:
CviŁen 2.6.2: UrŁete hladiny skalÆrn ch pol
1. f(x;y) = 2x2 + 4y2,
2. f(x;y) = x2+y22x ,
3. f(x;y) = p4 x2 y2,
4. f(x;y) = py2 x,
5. g(x;y;z) = x2+2y2z ,
6. g(x;y;z) = p2x2 + 4y2 + z2,
7. g(x;y;z) = arcsin zpx2+y2 .
2.6.3 Gradient skalÆrn ho pole
Zvolme bod M = [x0;y0;z0] 2 D(F) skalÆrn ho pole F a urŁeme funkŁn hod-
notu F(M): Rovnice F(x;y;z) = F(M) je rovnic hladiny, kterÆ obsahuje bod M:
MÆ-li funkce F v bod M spojitØ parciÆln derivace prvn ho łÆdu, pak mÆ spo-
jitØ parciÆln derivace prvn ho łÆdu takØ funkce G(x;y;z) = F(x;y;z) F(M)
a plat , e G0x(M) = F0x(M);G0y(M) = F0y(M);G0z(M) = F0z(M): PłedpoklÆ-
dejme, e parciÆln derivace F0x(M);F0y(M);F0z(M) nejsou souŁasn rovny nule,
napł klad F0z(M) 6= 0: Pak rovnice G(x;y;z) = F(x;y;z) F(M) = 0 souŁasn
de nuje v okol bodu A = [x0;y0] implicitn n jakou funkci f dvou prom nn ch
a vektor (F0x(M);F0y(M);F0z(M)) je normÆlov m vektorem teŁnØ roviny ke grafu
funkce f v bod M: Proto e mÆ vektor (F0x(M);F0y(M);F0z(M)) v teorii skalÆrn ho
pole i jinØ v znamy, mÆ samostatn nÆzev a naz vÆme jej gradientem (funkce)
skalÆrn ho pole F v bod M:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
34 Funkce dvou a v ce prom nn ch
De nice 2.6.3: MÆ-li skalÆrn pole F v otevłenØ mno in K D(F) E3
spojitØ parciÆln derivace prvn ho łÆdu, pak vektor
grad F(x;y;z) = F0x(X);F0y(X);F0z(X)
naz vÆme gradientem skalÆrn ho pole F v bod X = [x;y;z] oblasti K:
4
PoznÆmka: Pro gradient rovinnØho skalÆrn ho pole F mø eme ob-
dobn psÆt
grad F(x;y) = F0x(x;y);F0y(x;y) :
Ka dØmu bodu oblasti K je płiłazen vektor gradientu a jsme schopni geome-
tricky znÆzornit gradientn pole skalÆrn ho pole F: Zobraz me-li v gradientn m
poli hladinu skalÆrn ho pole (Obr. 2.8), pak vektory gradientø odpov daj c bo-
døm hladiny jsou k hladinÆm "kolmØ".
ObrÆzek 2.8: Vlevo F : u = px2 + y2 + z2, vpravo F : u = x2 y2 + z2.
Pł klad 2.6.1: UrŁete œhel gradientø funkc f(x;y;z) = xy + y2z
a g(x;y;z) = zx + cosyz v bod A = [1;1;0]:
e„en : Pro X = [x;y;z] je
grad f(X) = yxy 1; xy lnx + 2yz; y2 ;
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 SkalÆrn pole, gradient, sm rovÆ derivace skalÆrn ho pole 35
grad g(X) =

zx2; z sinyz; 1x y sinyz

:
V bod A pak plat
grad f(A) = (1;0;1); grad g(A) = (0;0;1)
a mø eme vypoŁ tat
cos’ = grad f(A) grad g(A)jjgrad f(A)jj jjgrad g(A)jj = 1p2 =
p2
2 :
Proto je hledan œhel
’ = 4:
2.6.4 Sm rovÆ derivace skalÆrn ho pole
ObrÆzek 2.9: Gradient a sm rov vektor pł mky p.
PłedpoklÆdejme, e skalÆrn pole F mÆ spojitØ parciÆln derivace prvn ho łÆdu
v otevłenØ mno in K D(F) E3: Bod M = [x0;y0;z0] 2 K je bodem hla-
diny F(x;y;z) = F(M) skalÆrn ho pole F: Zvol me si (nebo je dÆn) sm r ~s 6= ~o;
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
36 Funkce dvou a v ce prom nn ch
kter budeme chÆpat jako sm rov vektor pł mky p = [M;~s ] prochÆzej c bo-
dem M: Sm rov m vektorem pł mky p mø e ov„em b t ka d vektor kolineÆrn
s vektorem ~s: Z døvodu jednoznaŁnosti œlohy, kterou chceme formulovat, vektor
~s normujeme. To znamenÆ, e poŁ tÆme nadÆle se sm rov m vektorem
~s0 = (s1;s2;s3) = ~sjj~sjj
a pł mkou p = [M;~s0 ]: VektorovÆ rovnice pł mky p je
p : ~r = ~r(t) = (x(t);y(t);z(t)) = (x0 + ts1;y0 + ts2;z0 + ts3);t 2R
a ~r0(t) = ~s0 6= ~o (Obr. 2.9). Vektor ~rM = (x0;y0;z0) = ~r(0) je polohov m
vektorem bodu M; kter mÆ stejnØ souładnice jako bod M: Proto mø eme psÆt
F(M) = F(~rM) = F(~r(0)): Vektor ~rX = ~rM + t~s0 je pro pevnØ t polohov m
vektorem bodu X pł mky p a skalÆrn pole u = F(x;y;z) nab vÆ v bod X
hodnoty
u(t) = F(x(t);y(t);z(t)) = F(x0 + ts1;y0 + ts2;z0 + ts3) = F(X);
płitom u(0) = F(M): V bodech hladiny se funkŁn hodnoty u skalÆrn ho pole
nem n a rychlost zm ny funkŁn hodnoty je proto nulovÆ. V obecn zvolenØm
sm ru ~s0 pł mky p je rychlost zm ny hodnot skalÆrn ho pole F rychlost zm ny
hodnot funkce u(t); tak e mø eme poŁ tat
u0(t) = F0x(x(t);y(t);z(t))x0(t)+F0y(x(t);y(t);z(t))y0(t)+F0z(x(t);y(t);z(t))z0(t) =
= grad F(x(t);y(t);z(t)) ~r0(t) = grad F(x0 + ts1;y0 + ts2;z0 + ts3) ~s0;
proto e v„echny potłebnØ derivace a parciÆln derivace existuj . Bodu M odpov dÆ
hodnota parametru t = 0; proto je rychlost zm ny skalÆrn ho pole F v bod M
ve sm ru ~s0 Ł slo
u0(0) = grad F(x0;y0;z0) ~s0 = grad F(M) ~s0;
tj. skalÆrn souŁin gradientu skalÆrn ho pole F v bod M se sm rov m vektorem
~s0: Na druhØ stran mø eme tuto derivaci funkce u(t) v bod t = 0 vyjÆdłit podle
de niŁn ho vztahu pro derivaci funkce jednØ prom nnØ jako limitu
u0(0) = limt!0 u(t) u(0)t = lim
t!0
F(X) F(M)
t =
= limt!0 F(~rX) F(~rM)t = limt!
0
F(~rM + t~s0) F(~rM)
t
a limita zÆvis na polohovØm vektoru bodu M (tud na bodu M) a na sm rovØm
vektoru ~s0: Mø eme proto formulovat nÆsleduj c de nici a tvrzen potłebnØ pro
poŁ tÆn œloh.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 SkalÆrn pole, gradient, sm rovÆ derivace skalÆrn ho pole 37
De nice 2.6.4: Je-li A vnitłn bod de niŁn ho oboru D(F) E3 skalÆrn ho
pole F a existuje-li koneŁnÆ limita
F0(M;~s0) = limt!0 F(~rM + t~s0) F(~rM)t ;
pak ji naz vÆme derivac skalÆrn ho pole F v bod M ve sm ru jednotko-
vØho vektoru ~s0 2 V (E3):
4
V matematickØ literatułe se Łasto sm rovÆ derivace oznaŁuje takØ symboly
@F(M)
@~s0 ; F
0
~s0(M):
Tvrzen : MÆ-li skalÆrn pole F v otevłenØ mno in K D(F) E3 spojitØ
parciÆln derivace prvn ho łÆdu, pak lze vyjÆdłit sm rovou derivaci F0(M;~s0)
v bod M 2 K vztahem
F0(M;~s0) = grad F(M) ~s0: (2.5)
PoznÆmka: Uveden vztah plat i pro rovinnØ skalÆrn pole.
CviŁen 2.6.3: e„enØ pł klady:
Pł klad 1. UrŁete derivaci funkce f(x;y) = (x2+y2) cos2 x v bod M = [0; 2 ]
ve sm ru vektoru ~s0, kde ~s = (1; 1).
e„en : VypoŁ tÆme gradient
grad f(x;y) = (f0x(x;y);f0y(x;y)) = (2xcos2 x (x2 + y2) sin 2x; 2y cos2 x);
grad f(M) = (0; ):
NormovÆn m vektoru ~s dostaneme vektor
~s0 = ~sjj~sjj = 1p2(1; 1):
HledanÆ sm rovÆ derivace je
F0(M;~s0) = grad F(M) ~s0 = 1p2(0; ) (1; 1) = p2 =
p2
2 :
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
38 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Pł klad 2. UrŁete derivaci funkce f(x;y;z) = xx2+y2+z2 v bod A = [1;2;2]
ve sm ru vektoru ~s0, kde ~s = ~AB a B = [2;2;3].
e„en : Uvedeme potłebnØ meziv poŁty.
grad f(x;y;z) =
y2 + z2 x2
(x2 + y2 + z2)2;
2xy
(x2 + y2 + z2)2;
2xz
(x2 + y2 + z2)2

;
grad f(A) = 181(7~i 4~j 4~k);
~s = ~AB =~i +~k; jj~sjj = p2;
@f(A)
@~s0 = grad f(A) ~s0 =
1
81(7
~i 4~j 4~k) 1p
2(
~i +~k) =
p2
54 :
CviŁen 2.6.4:
1. VypoŁt te derivaci funkce f(x;y;z) = 1px2+2y2+4z2 v bod A = [2;2;1]
ve sm ru jednotkovØho vektoru, jeho sm rovØ œhly (tj. œhly se souładni-
cov mi osami) jsou postupn 4; 3; 3 .
(NÆvod: vyjÆdłete vektor ~s0 = (cos ;cos ;cos ) pomoc sm rov ch kosinø œhlø
se souładnicov mi osami.)
2. UrŁete derivaci funkce f(x;y;z) = xyz v bod A = [e;1;1] ve sm ru vektoru
~s0, kde ~s = ~AB, płiŁem B = [e;4;5].
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.7 Kontroln otÆzky 39
2.7 Kontroln otÆzky
Kdy łekneme, e mÆ funkce f v bod A lokÆln maximum a kdy hovoł me
o ostrØm lokÆln m maximu?
Co jsou stacionÆrn body funkce z = f(x;y)? Mø e nastat lokÆln extrØm
i v jin ch bodech ne stacionÆrn ch?
Uve te postaŁuj c podm nky pro existenci lokÆln ho minima funkce
z = f(x;y) v bod A:
Kdy łekneme, e je rovnic F(x;y) = 0 a bodem A implicitn urŁenÆ funkce
y = f(x)? Uve te v tu o existenci takovØ funkce.
Odvo te vztah pro v poŁet derivace v bod x0 funkce f urŁenØ implicitn
rovnic F(x;y) = 0 a bodem M = [x0;y0]:
Uve te v tu o existenci funkce z = f(x;y) urŁenØ implicitn rovnic
F(x;y;z) = 0 a bodem M = [x0;y0;z0]: Odvo te vztahy pro v poŁet par-
ciÆln ch derivac takovØ funkce.
Co naz vÆme absolutn mi extrØmy funkce f na uzavłenØ oblasti D? Co
zaruŁuje jejich existenci?
Co rozum me vÆzan mi extrØmy funkce f s jednou vazebn podm nkou?
Popi„te postup płi hledÆn absolutn ch extrØmø funkce f s jednou vazebn
podm nkou na uzavłenØ oblasti.
Co naz vÆme obloukem ?
Odvo te teŁn vektor k prostorovØ kłivce.
Uve te rovnice teŁny a normÆlovØ roviny k prostorovØ kłivce v bod M:
Odvo te normÆlov vektor ke grafu funkce z = f(x;y) zadanØ implicitn
rovnic F(x;y;z) = 0 v bod M: Zapi„te rovnice teŁnØ roviny a normÆly
v tomto bod .
Co je to hladina skalÆrn ho pole?
Jak se urŁ gradient skalÆrn ho pole a jakou mÆ vlastnost vzhledem k hla-
dinÆm?
Jak se de nuje derivace skalÆrn ho pole F v bod M ve sm ru vektoru ~s0
a jak ji lze vypoŁ tat u it m gradientu?
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
40 Funkce dvou a v ce prom nn ch
2.8 V sledky cviŁen , test ke zpracovÆn
CviŁen 2.1.1
1. [ 1;2] extrØm nenastÆvÆ, [0;0] lokÆln minimum, [ 1; 2] lokÆln maxi-
mum, [ 53;0] lokÆln maximum
2. [0;0] lokÆln minimum, [ 4; 2] extrØm nenastÆvÆ
3. [1;1] extrØm nenastÆvÆ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.2.1
1. f0(0) = 13, f00(0) = 23.
2. a) y00 = 18(x+2y)3 a souŁasn x2 + xy + y2 3 = 0,
b) y00 = 4(x+y)(1+x+y)3 a souŁasn x + y = ex+y.
3. 2y 3x + 4 = 0 je teŁna, 2x + 3y 7 = 0 je normÆla.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.2.2
1. f0x(A) = 6; f0y(A) = 12.
2. z0x(x;y) = zx+z; z0y(x;y) = z2y(x+z).
3. z00xy(x;y) = 2x2y2zz2 1 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.3.1
1. absolutn maximum v bodech A = [0;2]; B = [2;0]; absolutn minimum
v bod C = [0;0].
2. absolutn maximum v bodech [0;1]; [0; 1]; [1;0];[ 1;0]; absolutn mini-
mum v bod [0;0].
3. absolutn maximum v bodech [ 2;4]; [2;4]; absolutn minimum v bod
[0;0].
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.4.1
1. p : x = 1 + t; y = t; z = 1 + t; t 2R; : x + y + z 2 = 0:
2. p : x = a( 2 1) + t; y = a + t; z = 2p2a + p2t; t 2R;
: x + y + p2z a(4 + 2 ) = 0:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.8 V sledky cviŁen , test ke zpracovÆn 41
3. p : x = 1 + t; y = at; z = b(1 + t); t 2R; : x + ay + bz (1 + b2) = 0:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.5.1
1. : 11x + 5y 4z 23 = 0
p : x = 1 + 11t; y = 2 + 5t; z = 12 4t; t 2R.
2. : x + y 4z = 0
p : x = 2 + t; y = 2 + t; z = 1 4t; t 2R.
3. : x + y 2z = 0
p : x = 1 + t; y = 1 + t; z = 1 2t; t 2R.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.6.2
1. elipsy o rovnic ch 2x2 + 4y2 = C,
2. kru nice (x C)2 + y2 = C2,
3. kru nice x2 + y2 = 4 C2, C 2h0;2i,
4. paraboly o rovnic ch y2 = x + C2,
5. eliptickØ paraboly x2 + 2y2 = Cz,
6. trojosØ elipsoidy 2x2 + 4y2 + z2 = C2,
7. ku elovØ plochy o rovnic ch z = px2 + y2 sinC.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CviŁen 2.6.4
1. ~s0 = (cos ;cos ;cos ) = (cos 4;cos 3;cos 3 ) = (
p2
2 ;
1
2;
1
2);@f
@~s0 (A) =
1
64(
p2 + 4).
2. @f@~s0 (A) = 75e.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
42 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Test 2
JmØno a pł jmen :
Adresa:
E-mail:
Telefon:
1. UrŁete lokÆln extrØmy funkc f : z = f(x;y); je-li:
a) z = x3 + xy2 2xy 8x;
b) z = ln x6 + 2 lny + ln (12 x y);
c) z = e2x+3y(8x2 6xy + 3y2):
2. UrŁete teŁnu a normÆlu ke kartØzskØmu grafu funkce danØ implicitn rovnic
a bodem A; je-li:
a) xy + lny 1 = 0; A = [1; 1];
b) cosxy = x + 2y; A = [1; 0]:
3. UrŁete teŁnou rovinu a normÆlu v bod A = [2; 2; 1] plochy urŁenØ implicitn
rovnic
2xz + 2yz 8 = 0:
4. UrŁete teŁnou rovinu ke kartØzskØmu grafu funkce danØ implicitn rovnic
3x2 + 2y2 + z2 21 = 0; kterÆ je rovnob nÆ s rovinou : 6x + 4y + z = 0:
5. Nalezn te vÆzanØ extrØmy funkc płi dan ch podm nkÆch:
a) f : z = xy x + y 1; podm nka x + y = 1;
b) f : z = x2 + 2y2; podm nka x2 2x + 2y2 + 4y = 0:
6. UrŁete œhel gradientø skalÆrn ho pole urŁenØho funkc z(x;y) = arcsin xx+y
v bodech A = [1; 1]; B = [3; 4]:
7. VypoŁt te derivaci funkce f(x;y;z) = 3x3 4y3 + 2z4 v bod M0 = [2; 2; 1]
ve sm ru vektoru ~s0; je-li ~s = ~M0M; kde M = [5; 4; 6]:
Tabulka hodnocen
1. a 1.b 1. c 2. a 2. b 3. 4. 5. a 5. b 6. 7.
4 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 body
Opravil:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Rejstł k
derivace ve sm ru, 37
extrØmy funkce
vÆzanØ, 20
funkce
absolutn extrØmy, 18
lokÆln extrØmy, 7
lokÆln maximum, 10
lokÆln minimum, 10
stacionÆrn body, 8
implicitn funkce, 12
dvou prom nn ch, 16
jednØ prom nnØ, 12
prostorovÆ kłivka, 24
normÆlovÆ rovina, 28
teŁna, 28
skalÆrn pole, 33
gradient, 35
hladiny, 33
sm rovÆ derivace, 37
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
44 REJST ˝K
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Literatura
[1] Anton H., Calculus with Analytic Geometry, John Wiley, 1995.
[2] Brabec J., Hrøza B., MatematickÆ anal za II, SNTL, Praha 1986.
[3] ¨ermÆkovÆ H. a kolektiv, Sb rka pł kladø z matematiky II, VUT, FAST,
CERM, Brno 2003.
[4] Do„lÆ Z., Do„l O., DiferenciÆln poŁet funkc v ce prom nn ch, Masarykova
univerzita, Pł rodov deckÆ fakulta, Brno 1999.
[5] DrÆbek P., M ka S., MatematickÆ anal za II, ZÆpadoŁeskÆ univerzita v Plzni,
Fakulta aplikovan ch v d, Plze 1999.
[6] Elia„ J., HorvÆth J., Kajan J. Zbierka œloh z vy„„ej matematiky, 3. Łas», Alfa,
Bratislava 1971 (2. vydanie).
[7] Ivan J., Matematika II, Alfa, Bratislava 1989.
[8] KarÆsek J., Matematika II, VUT, FSI, CERM, Brno 2002.
[9] KluvÆnek J., Mi„ k L., 'vec M., Matematika I, SVTL, Bratislava 1959.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||