Reálná funkce dvou a více proměnných Il

y + (F0z)0yz0x + F0zz00xy =
= F00xx (x)0y + F00xy (y)0y + F00xz (z)0y + F00zx (x)0y + F00zy (y)0y + F00zz (z)0y z0x+
+F0zz00xy = F00xy + F00xzz0y + F00zy + F00zzz0y z0x + F0zz00xy = 0:
S vyu it m vzorcø pro parciÆln derivace z0x;z0y prvn ch łÆdø mø eme z posledn
podm nky vyjÆdłit hledanou parciÆln derivaci z00xy:
Pł klad 2.2.2: Ov łte, e rovnic x2 +y2 +z2 6 = 0 a bodem M = [1;1;2] je
v okol bodu A = [1;1] de novanÆ implicitn funkce f : z = z(x;y). VypoŁ tejte
parciÆln derivace z0x; z0y; z00xx v bod A:
e„en : Rovnici płep „eme do tvaru F(x;y;z) x2 + y2 + z2 6 = 0:
Plat pak F(M) = F(x0;y0;z0) = F(1;1;2) = 0: Existuj spojitØ parciÆln
derivace F0x(x;y;z) = 2x; F0y(x;y;z) = 2y; F0z(x;y;z) = 2z v okol ka -
dØho bodu [x;y;z] 2E3; proto existuj takØ v okol bodu M: ParciÆln derivace
F0z(M) = 4 6= 0: Rovnice F(x;y;z) = 0 de nuje proto v jistØm okol bodu
A = [x0;y0] = [1;1] funkci f : z = z(x;y) a plat z(x0;y0) = z0; tj. z(1;1) = 2:
Pro funkci f je spln na podm nka
F(x;y;z(x;y)) x2 + y2 + (z(x;y))2 6 = 0
a parciÆln m derivovÆn m tØto rovnice (na levØ stran je slo enÆ funkce) z skÆme
rovnice pro parciÆln derivace prvn ho łÆdu:
@
@x : 2x + 2z(x;y)z
0
x(x;y) = 0;
@
@y : 2y + 2z(x;y)z
0
y(x;y) = 0: (2.2)
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Postupn z skÆvÆme z obou rovnic vyjÆdłen
z0x(x;y) = xz(x;y) ) z0x(1;1) = 1z(1;1) = 12;
z0y(x;y) = yz(x;y) ) z0y(1;1) = 1z(1;1) = 12:
V„imn me si, e existuj spojitØ parciÆln derivace druhØho łÆdu funkce F
a mø eme proto v tomto postupu pokraŁovat. Dal„ parciÆln derivac prvn rov-
nice v (2.2) podle prom nnØ x z skÆme rovnici pro hledanou parciÆln derivaci
z00xx :
2 + 2z0x(x;y) z0x(x;y) + 2z(x;y)z00xx(x;y) = 0
a odtud
z00xx(x;y) = 1 + (z
0
x(x;y))
2
z(x;y) ) z
00
xx(1;1) =
1 + (z0x(1;1))2
z(1;1) =
5
8:
PoznÆmka: V mnoha œlohÆch je pł mo v zadÆn uvedeno, e rovnice tvaru
F(x;y;z) = 0 de nuje implicitn funkci f : z = z(x;y) a podm nky existence
nen proto potłebnØ ov łovat. Uva ujeme-li obecn bod M = [x;y;z]; provÆd me
v„echny v poŁty za podm nky F(M) = 0:
CviŁen 2.2.2:
1. VypoŁt te parciÆln derivace 1. łÆdu funkce z = f(x;y) v bod A, je-li
funkce f dÆna implicitn rovnic ez + x2y + z + 5 = 0, A = [1; 6;0].
2. UrŁete parciÆln derivace 1. łÆdu funkce z = f(x;y) urŁenØ rovnic xz = ln zy.
3. UrŁete parciÆln derivaci z00xy funkce z = f(x;y) urŁenØ rovnic
x3 + y3 + z3 3z = 0.
2.3 Absolutn extrØmy funkce
V tØto ŁÆsti textu se nauŁ me hledat absolutn extrØmy a seznÆm me
se s pojmem vÆzanØ extrØmy funkc dvou a tł prom nn ch.
De nice 2.3.1: Absolutn m maximem (minimem) funkce f : z = f(x;y)
na mno in M D(f) naz vÆme nejv t„ (nejmen„ ) funkŁn hodnotu funkce f
(pokud existuje) na mno in M.
4
Płipome me si, e pokud M D(f) je kompaktn mno ina v E2, pak podle
Weierstrassovy v ty nab vÆ spojitÆ funkce f na M svØ nejv t„ a nejmen„
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3 Absolutn extrØmy funkce 19
hodnoty. Je jasnØ, e v tomto pł pad mohou absolutn extrØmy nastat
a) bu ve vnitłn ch bodech mno iny M; kterØ jsou stacionÆrn mi body
funkce f;
b) nebo na hranici @M mno iny M.
ExtrØmy funkce f jsou na hranici @M vÆzÆny podm nkami tvaru F(x;y) = 0
a budeme hovołit o vÆzan ch extrØmech funkce f: lohu lze zobecnit pro v ce
prom nn ch.
Uve me si n kterØ pł klady.
Pł klad 2.3.1: Prvn m pł kladem je funkce f : z = x2 +y2: I kdy D(f) = E2;
co nen kompaktn mno ina, płesto je jasnØ, e funkce f mÆ v bod O = [0;0] ab-
solutn minimum, nebo» pro v„echny body X = [x;y] 2P(O) plat f(X) > f(0):
pp KomentÆł 2.3.1: Podm nku F(x;y) = 0 lze Łasto do na„ich v po-
Łtø zahrnout pomoc parametrizace x = x(t);y = y(t) (t 2 h ; i) tak, e
F(x(t);y(t)) 0 je spln na identicky a funkce dvou prom nn ch z = f(x;y)
se pro body spl uj c podm nku F(x;y) = 0 zm n ve funkci jednØ prom nnØ
z(t) = f(x(t);y(t)); t 2h ; i; pro kterou um me œlohu extrØmø funkce łe„it.
Pł klad 2.3.2: Najd te absolutn extrØmy funkce z = f(x;y) = x + y na
uzavłenØm oboru M = f[x;y] 2E2; x 0;y 0;x2 + y2 4g:
Płi hledÆn absolutn ch extrØmø funkce dvou prom nn ch si mø eme
v poŁet zjednodu„it. StaŁ si uv domit, e postaŁuje porovnÆn funkŁ-
n ch hodnot
a) ve stacionÆrn ch bodech le c ch uvnitł kompaktn mno iny M;
b) ve stacionÆrn ch bodech na jej hranici @M;
c) ve spoleŁn ch bodech jednotliv ch ŁÆst hranice (v nich se m n
jejich rovnice).
e„en : StacionÆrn body funkce f v M neexistuj , proto e
f0x(x;y) = f0y(x;y) = 1 6= 0:
Budeme proto vy„etłovat funkci f na hranici @M; kterÆ se sklÆdÆ ze tł røzn ch
ŁÆst .
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
20 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Prvn ŁÆst hranice je œseŁka h0;2i na ose x; kterou mø eme vyjÆdłit podm n-
kou y = 0; 0 x 2: Na œseŁce plat z(x;0) = z(x) = x; x 2 h0;2i: Funkce
z = z(x;0) nemÆ lokÆln extrØmy v intervalu (0;2), proto e z0(x) = 1 6= 0:
Dal„ ŁÆst hranice je œseŁka h0;2i na ose y; kterou mø eme op t vyjÆdłit
podm nkou x = 0; 0 y 2: Na œseŁce plat z(0;y) = z(y) = y; y 2 h0;2i:
Funkce z = z(0;y) nemÆ lokÆln extrØmy v intervalu (0;2), proto e z0(y) = 1 6= 0:
Posledn ŁÆst hranice je ŁÆst kru nice x2 + y2 4 = 0; x 0;y 0; a pa-
rametrizac x = x(t) = 2 cost; y = y(t) = 2 sint; t 2 h0; =2i; z skÆme funkci
z(t) = x(t)+y(t) = 2 (cost+sint); t 2h0; =2i; jednØ reÆlnØ prom nnØ t: Stacio-
nÆrn body funkce z(t) najdeme jako łe„en rovnice z0(t) = 2 ( sint+ cost) = 0
pro t 2 (0; =2): Podm nka je spln na pro sint = cost; tj. tg t = 1 a łe„en m je
hodnota t = t0 = =4 2 (0; =2); kterØ odpov dÆ stacionÆrn bod S = [p2;p2]
le c na kru nici.
Zb vÆ porovnat funkŁn hodnoty ve stacionÆrn m bod S = [p2;p2] a v kon-
cov ch bodech [0;0];[2;0];[0;2] jednotliv ch ŁÆst hranice. Mezi funkŁn mi hod-
notami f(S) = 2p2;f(0;0) = 0; f(2;0) = 2;f(0;2) = 2 hledÆme hodnoty abso-
lutn ho minima a absolutn ho maxima funkce f:
Absolutn minimum funkce f nastÆvÆ v bod [0;0] 2 D a f(0;0) = 0: Abso-
lutn maxima funkce f nastanou v bodech [2;0];[0;2] 2 D a f(2;0) = f(0;2) = 2:
pp KomentÆł 2.3.2: Płi spln n podm nek pro existenci funkce danØ impli-
citn lze z podm nky F(x;y;z) = 0 vyjÆdłit n kterou z prom nn ch jako funkci
prom nn ch zb vaj c ch, napł klad z = z(x;y): loha nalezen extrØmø funkce
u = f(x;y;z) se pak zm n v œlohu hledÆn extrØmø funkce u = f(x;y;z(x;y)) =
u(x;y) dvou prom nn ch, kde [x;y] 2 M; resp. [x;y] 2 M uzÆv ru oblasti
M E2:
Pł klad 2.3.3: Vodn nÆdr tvaru kvÆdru mÆ objem 32m3: Najd te rozm ry
nÆdr e takovØ, aby m l nÆt r st n nÆdr e nejmen„ spotłebu barvy.
e„en : OznaŁ me-li „ łku, dØlku a v „ku kvÆdru jako x;y;z; pak potłebujeme
natł t povrch Łtył st n a dna nÆdr e u = P(x;y;z) = xy+2xz+2yz płi podm nce
xyz = 32: HledÆme extrØmy funkce P vÆzanØ podm nkami F(x;y;z) xyz 32 =
0; x > 0; y > 0; z > 0: Z podm nky F(x;y;z) = 0 lze vyjÆdłit napł klad
z = 32=(xy) = z(x;y) a œloha se m n v problØm nalezen lokÆln ho minima
funkce u = u(x;y) = P(x;y;z(x;y)) = xy + 2(x+y)z(x;y) = xy + 64(1=y + 1=x)
pro x > 0;y > 0; tj. v prvn m kvadrantu roviny.
StacionÆrn body funkce z(x;y) jsou łe„en mi rovnic z0x(x;y) = z0y(x;y) = 0;
kde
z0x(x;y) = y 64=x2 = x
2y 64
x2 ; z
0
y(x;y) = x 64=y
2 = xy
2 64
y2 :
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 TeŁna a normÆlovÆ rovina prostorovØ kłivky 21
e„en m soustavy rovnic x2y = xy2 = 64 je płi podm nkÆch x > 0;y > 0 jedin
stacionÆrn bod S = [4;4] a pomoc parciÆln ch derivac druhØho łÆdu
z00xx(x;y) = 128=x3; z00xy(x;y) = 1; z00yy(x;y) = 128=y3
nalezneme
z00xx(S) = 2; z00xy(S) = 1; z00yy(S) = 2:
Pomoc determinantu
D(S) = z
00
xx(S) z
00
xy(S)
z00xy(S) z00yy(S) =
2 1
1 2 = 3 > 0
a dle znamØnka z00xx(S) = 2 > 0 nyn um me rozhodnout, e v bod S = [4;4]
nastÆvÆ po adovanØ ostrØ lokÆln minimum funkce z(x;y):
e„en m na„ œlohy jsou rozm ry x = 4m; y = 4m a z = z(4;4) = 32=(4 4) =
2m vodn nÆdr e.
CviŁen 2.3.1: Najd te absolutn extrØmy funkc
1. z = x2 +y2 xy +x+y 1 v uzavłenØm trojœheln ku, kter je ohraniŁen
souładnicov mi osami a pł mkou o rovnici x + y 2 = 0.
2. z = x2 xy + y2 na oblasti urŁenØ nerovnic jxj + jyj 1.
3. z = 2x3 +4x2 +y2 2xy v uzavłenØ oblasti ohraniŁenØ kłivkami o rovnic ch
y = x2, y = 4.
2.4 TeŁna a normÆlovÆ rovina prostorovØ kłivky
Z analytickØ geometrie v me, e dv ma røzn mi body je urŁena pł mka. MÆme-li
napł klad body A = [3;1;2]; B = [1;0;3]; pak pro pł mku p urŁenou t mito body
dostÆvÆme parametrickØ rovnice p : x = 3 2t; y = 1 t; z = 2 + t; t 2 R:
Vid me, e ka dØ reÆlnØ hodnot parametru t odpov dÆ prÆv jeden bod pł mky
p a e souładnice x;y;z jsou funkcemi parametru t: Kdybychom cht li popsat
œseŁku urŁenou body A;B; pak by staŁilo omezit hodnoty parametru v rovnic ch
pł mky p na interval h0;1i: Mø eme tedy ł ci, e œseŁka s koncov mi body A;B
je obrazem intervalu h0;1i płi zobrazen (t) = (3 2t;1 t;2 + t); t 2 h0;1i:
Pł mka a œseŁka jsou jednoduch mi pł klady tzv. kłivek. Jde vlastn o mno iny
bodø vE3; kterØ jsou urŁeny funkcemi x = x(t);y = y(t);z = z(t); t 2 I R; kde
I je interval. Płitom płi vyjÆdłen souładnic x = x(t);y = y(t);z = z(t) mus me
ji płipustit obecn j„ funkce (napł klad polynomiÆln , exponenciÆln , goniomet-
rickØ apod.). Aby mno iny takto popsan ch bodø v E3 byly opravdu kłivkami
(jak je intuitivn chÆpeme), pak je nezbytnØ na zobrazen klÆst n kterØ dal„
po adavky a nestaŁ napł klad po adovat pouze spojitost slo ek x(t);y(t);z(t):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 Funkce dvou a v ce prom nn ch
ObrÆzek 2.2: TeŁna a normÆlovÆ rovina prostorovØ kłivky.
Je toti znÆmo, e v takovØm pł pad pak mohou body vyplnit napł klad celou
kouli.
Nyn si ji płipomeneme de nici kłivky, s n jste se seznÆmili v integrÆln m
poŁtu.
2.4.1 ProstorovÆ kłivka
De nice 2.4.1: Mno inu E3 nazveme kłivkou v prostoru, jestli e existuje
spojitØ zobrazen intervalu I R na mno inu takovØ, e plat :
1) Zobrazen je prostØ na I s v jimkou koneŁn mnoha bodø.
2) Zobrazen je po ŁÆstech tł dy C1 na I; tj. 0 je spojitÆ s v jimkou koneŁn
mnoha bodø, v nich existuj jednostrannØ derivace, kterØ mohou b t røznØ.
3) 0 mÆ a na koneŁn mnoho bodø nenulovou hodnotu v ka dØm bod in-
tervalu I (je-li interval I uzavłen , uva ujeme v koncov ch bodech jedno-
strannØ derivace).
Zobrazen pak naz vÆme parametrizac kłivky . Je-li parametrizace kłivky
prostØ zobrazen a je-li tł dy C1 na celØm intervalu I a mÆ płitom nenulovou
derivaci v ka dØm bod intervalu I; pak naz vÆme obloukem a zobrazen
jeho parametrizac .
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 TeŁna a normÆlovÆ rovina prostorovØ kłivky 23
4
¨asto budeme zapisovat kłivku (oblouk) ve tvaru
: x = x(t);y = y(t);z = z(t);t 2h ; i;
nebo ve vektorovØm tvaru
: ~r = ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k = (x(t);y(t);z(t));t 2h ; i:
PoznÆmka: Kłivku zadanou vektorovou funkc skalÆrn ho argumentu
~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k mø eme interpretovat jako mno inu koncov ch bodø
polohov ch vektorø (tzv. hodograf) płiłazen ch mno in parametrø t 2 I:
ObrÆzek 2.3: L : x = 2 cost;y = 2 sint;z = t;t 2h0;2 i.
Pł klad 2.4.1: Ov łte, e : x = r cost;y = r sint;z = t;t 2h0;2 i, r 2R+;
je obloukem.
e„en : Zobrazen (t) = (r cost;r sint;t) je evidentn prostØ a tł dy C1 na
intervalu h0;2 i: DÆle plat : x0(t) = r sint;y0(t) = r cost;z0(t) = 1 a nav c
x0(t)2 + y0(t)2 + z0(t)2 = r2 sin2 t + cos2 t + 1 = r2 + 1 6= 0
pro ka dØ t 2h0;2 i: Graf kłivky naz vÆme „roubovic (Obr. 2.3). Kłivka le
na vÆlcovØ plo„e o rovnici x2 + y2 = r2 s povrchov mi pł mkami rovnob n mi
s osou z:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 Funkce dvou a v ce prom nn ch
PoznÆmka: Płi łe„en œloh, vlastnosti 1);2);3) de nice nebudeme samo-
statn ov łovat. Pro łe„en konkrØtn ch pł kladø je døle itØ si uv domit vztah
mezi bodem oblouku a parametrem. Bodu M = [xM;yM;zM] 2 odpov dÆ
prÆv jedna hodnota t = tM 2 h ; i a ~r(tM) = (x(tM);y(tM);z(tM)) je polo-
hov m vektorem bodu M: V me, e polohov vektor bodu mÆ stejnØ souładnice
jako jeho koncov bod. Proto mø eme poŁ tat souładnice bodu M pomoc hod-
noty parametru tM nebo naopak hodnotu tM parametru ze souładnic bodu M
jako spoleŁnØ łe„en tł rovnic x(tM) = xM;y(tM) = yM;z(tM) = zM (rozepsan
vztah).
Pł klad 2.4.2: Je dÆn oblouk
: x = t2;y = t2 + 1;z = t3 + 2t 1;t 2h0;4i:
Vyłe„te nÆsleduj c œlohy:
a) Najd te bod M 2 ; kter odpov dÆ parametru t = tM = 1:
b) Zjist te, zda mø e le et bod K = [xK;yK;zK] = [4;2;zK] na kłivce :
c) Bod S = [4;yS;zS] je bodem kłivky : UrŁete parametr tS a souładnice
bodu S:
e„en :
a) Polohov vektor bodu M = [xM;yM;zM] je
~r(tM) = (x(tM);y(tM);z(tM)) = (t2M;t2M + 1;t3M + 2tM 1) = (1;2;2) =
= (xM;yM;zM) = ~rM:
Na„li jsme souładnice M = [1;2;2] bodu M:
b) Polohov vektor bodu K = [xK;yK;zK] = [4;2;zK] je
~r(tK) = (x(tK);y(tK);z(tK)) = (t2K;t2K + 1;t3K + 2tK 1) = (4;2;zK) = ~rK
a souŁasn mus b t spln no t2K = 4;t2K + 1 = 2: To ov„em nen mo nØ a proto
nemø e le et bod K na kłivce :
c) Polohov vektor bodu S = [xS;yS;zS] = [4;yS;zS] je
~r(tS) = (t2S;t2S + 1;t3S + 2tS 1) = (4;yS;zS) = ~rS
a dostÆvÆme podm nku t2S = 4: Jsou mo nØ dv hodnoty, kterØ podm nku spl-
uj . ¨ slo tS = 2 nen obsa eno v de niŁn m intervalu kłivky a proto
œloze nevyhovuje. ¨ slo tS = 2 je v de niŁn m intervalu kłivky a proto exis-
tuje bod S 2 ; pro kter najdeme dosazen m parametru tS = 2 souładnice
S = [xS;yS;zS] = [4;5;11]:
Kłivka le (Obr. 2.4) v rovin y = x + 1; proto e x = t2 a souŁasn
y = t2 + 1 = x + 1:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 TeŁna a normÆlovÆ rovina prostorovØ kłivky 25
ObrÆzek 2.4: L : x = t2;y = t2 + 1;z = t3 + 2t 1;t 2h0;4i:
2.4.2 Geometrick v znam derivace teŁnØho vektoru
N kterØ operace s vektorov mi funkcemi skalÆrn ho argumentu zavedeme po slo -
kÆch. Napł klad podobn jako u limity posloupnosti bodø de nujeme limitu vek-
torovØ funkce
lim
t!t0 ~r(t) = limt!t0

x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k

= lim
t!t0 x(t)
~i + lim
t!t0 y
(t)~j + lim
t!t0 z(t)
~k;
pokud existuj limity limt!t0 x(t);limt!t0 y(t);limt!t0 z(t) v bod t0 2h ; i: ZÆ-
pis v souładnic ch pak bude vypadat takto:
lim
t!t0 ~r(
t) = lim
t!t0(x(t);y(t);z(t)) =

limt!t
0
x(t); lim
t!t0
y(t); limt!t
0
z(t)

;
tj. v poŁet limity vektoru provÆd me v poŁtem limit jednotliv ch souładnic vek-
toru ~r(t):
Uva ujme oblouk
: ~r = ~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k = (x(t);y(t);z(t));t 2h ; i:
Podle de nice oblouku existuj spojitØ derivace x0(t);y0(t);z0(t) v ka dØm
t 2h ; i a napł klad
x0(t) = lim
t!0
x(t + t) x(t)
t :
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
26 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Mø eme proto uva ovat vektor
~r0(t) = lim
t!0
~r(t)
t = lim t!0
~r(t + t) ~r(t)
t =
= lim
t!0
1
t(x(t + t) x(t);y(t + t) y(t);z(t + t) z(t)) =
=

lim
t!0
x(t + t) x(t)
t ; lim t!0
y(t + t) y(t)
t ; lim t!0
z(t + t) z(t)
t

=
= (x0(t);y0(t);z0(t));
kde jsme oznaŁili diferenci (rozd l) polohov ch vektorø ~r(t+ t) ~r(t) jako ~r(t):
Vzhledem k podm nce x0(t)2 + y0(t)2 + z0(t)2 6= 0 v de nici oblouku je ~r0(t) 6= ~o:
||||||||||||||||||||||||||||||||
Vektor ~r0(t) je de novÆn vztahem
~r0(t) = lim
t!0
~r(t)
t = lim t!0
~r(t + t) ~r(t)
t = (x
0(t);y0(t);z0(t)):
Geometricky chÆpeme vektor ~r0(t) jako teŁn vektor k oblouku v bod M 2
s parametrem t = tM:
||||||||||||||||||||||||||||||||{
pp KomentÆł 2.4.1:

~r0(t)
M
- ~r(t)
@
@
@
@@
~r(t)


~r(t + t)
O
Pro t ! 0 je ~r(t) = ~r(t+ t) ~r(t) !~o; tj. jeho dØlka se konverguje k nule.
Z obrÆzku je v„ak vid t, e se jeho sm r postupn m n do sm ru sm rovØho
vektoru teŁny k oblouku : Vektory ~r(t) a ~r(t)= t jsou kolineÆrn a li„ se
jen svoj dØlkou. Zat mco pro t ! 0 plat ~r(t) ! ~o; je ~r(t)= t ! ~r0(t) 6= ~o
a vektor ~r0(tM) mø eme geometricky chÆpat jako teŁn vektor k oblouku v bod
M 2 :
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 TeŁna a normÆlovÆ rovina prostorovØ kłivky 27
2.4.3 TeŁna a normÆlovÆ rovina ke kłivce
Abychom se nemuseli zab vat body, ve kter ch neexistuj derivace nebo je ~r0(t)
nulov m vektorem, omez me se v dal„ m v kladu na kłivky, kterØ jsou oblouky.
ZnÆme vztah mezi bodem M = [xM;yM;zM] kłivky a jeho polohov m
vektorem ~rM: Tento vztah je zprostłedkovÆn parametrem t = tM 2 h ; i bodu
M: Parametr tM um me urŁit. Jsme proto schopni naj t vektor ~r0(tM); kter mø e
m t dvoj geometrick v znam.
Vektor ~s = ~r0(tM) je sm rov m vektorem teŁny ke kłivce v bod M a mø-
eme proto vyjÆdłit parametrickØ rovnice teŁny q ke kłivce v bod M rozepsÆ-
n m vektorovØ rovnice q : ~r = ~r(s) = ~r(tM) + s~r0(tM);s 2R; teŁny q:
Vektor ~n = (a;b;c) = ~r0(tM) je normÆlov m vektorem roviny ; ke kterØ je v
bod M teŁna q kolmÆ. Rovinu naz vÆme normÆlovou rovinou kłivky v bod
M: ObecnÆ rovnice roviny je urŁena bodem M a normÆlov m vektorem ~n:
Tvrzen : TeŁna q k prostorovØ kłivce
: ~r = ~r(t) = (x(t);y(t);z(t));t 2h ; i
mÆ v bod M = [xM;yM;zM] 2 parametrickØ rovnice
x = x(tM) + sx0(tM) = xM + sx0(tM);
y = y(tM) + sy0(tM) = yM + sy0(tM);
z = z(tM) + sz0(tM) = zM + sz0(tM);
s 2R:
(2.3)
NormÆlovÆ rovina sestrojenÆ v bod M = [xM;yM;zM] 2 k prostorovØ
kłivce mÆ rovnici
: (x xM) x0(tM) + (y yM) y0(tM) + (z zM) z0(tM) = 0: (2.4)
Pł klad 2.4.3: V bod M = [4;5;11] urŁete rovnice teŁny a normÆlovØ roviny
ke kłivce
: x = t2;y = t2 + 1;z = t3 + 2t 1;t 2h0;4i:
e„en : Bodu M odpov dÆ tM = 2: Proto e ~r(t) = (t2;t2 + 1;t3 + 2t 1);
plat ~r0(t) = (2t;2t;3t2 + 2): Pak ~r0(tM) = ~r0(2) = (4;4;14):
Za sm rov vektor teŁny ke kłivce v bod M = [4;5;11] mø eme vz t vektor
~s = (2;2;7); kolineÆrn s vektorem ~r0(2) = (4;4;14): ParametrickØ rovnice teŁny
proto jsou
p : x = 4 + 2s;y = 5 + 2s;z = 11 + 7s;s 2R:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
28 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Vektor ~n = (2;2;7); kolineÆrn s vektorem ~r0(2); je normÆlov m vektorem nor-
mÆlovØ roviny ke kłivce v bod M = [4;5;11]: Obecn tvar rovnice normÆlovØ
roviny ke kłivce v bod M = [4;5;11] je : 2x + 2y + 7z 93 = 0:
CviŁen 2.4.1: UrŁete rovnici teŁny a normÆlovØ roviny ke kłivce v bod
odpov daj c mu parametru t = t0:
1. (t) = (et cost; et sint; et), t0 = 0.
2. (t) = (a(t sint); a(1 cost); 4asin t2), t0 = 2 (a > 0 je konstanta).
3. (t) = (tcosalnt; tsinalnt; bt), t0 = 1 (a;b jsou kladnØ konstanty).
2.5 TeŁnÆ rovina a normÆla plochy
ObrÆzek 2.5: TeŁnÆ rovina a normÆla plochy.
Jak jsme ukÆzali v płedchoz ch ŁÆstech textu, mø e b t funkce dvou prom n-
n ch zadÆna bu explicitn funkŁn m płedpisem z = f(x;y) (pł padn funkŁn mi
płedpisy y = f(x;z) resp. x = f(y;z)) nebo implicitn rovnic F(x;y;z) = 0:
Explicitn zadÆn z = f(x;y) funkce mø eme velmi jednodu„e płevØst na impli-
citn vyjÆdłen tvaru F(x;y;z) = f(x;y) z = 0: Na prvn pohled se nÆm mø e
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 TeŁnÆ rovina a normÆla plochy 29
takov postup jevit jako komplikovÆn œlohy. V dal„ ch œvahÆch si ukÆ eme, e
œloha nalezen teŁnØ roviny a normÆly ke grafu funkce dvou prom nn ch danØ
implicitn rovnic F(x;y;z) = 0 nen obt nÆ a mÆ nÆzornou geometrickou in-
terpretaci. Podm nky existence funkce dvou prom nn ch danØ implicitn rovnic
F(x;y;z) = 0 znÆme rovn z płedchoz ŁÆsti textu.
Uva ujme bod M = [x0;y0;z0] spl uj c podm nku F(M) = F(x0;y0;z0) = 0:
PłedpoklÆdÆme existenci spojit ch parciÆln ch derivac F0x;F0y;F0z v n jakØm okol
O(M); kterØ nejsou v bod M souŁasn rovny nule. Pro zjednodu„en œvah mø-
eme vz t podm nku F0z(M) = F0z(x0;y0;z0) 6= 0: V me, e za t cht