Diferenciální rovnice

Diferencia´lnı´ rovnice
a dynamicke´ modely
Robert Marˇı´k
1. prosince 2004
G. Galilei: Velkou knihu prˇı´rody mohou cˇı´st jen ti, kterˇı´ zajı´ jazyk,
jı´mzˇ je tato kniha napsa´na. A tı´mto jazykem je matematika.
A. Turing: Veˇda je diferencia´lnı´rovnice. Na´bozˇenstvı´ je hranicˇnı´
podmı´nka.
A. N. Whitehead:Nenı´ beˇzˇneˇjsˇı´ho omylu nezˇ veˇrˇit, zˇe kdyzˇ
provedeme dlouhe´ a prˇesne´ matematicke´ vy´pocˇty, je pak aplikace
vy´sledku na neˇjaky´ fakt v prˇı´rodeˇ absolutneˇ jista´.
Rosenblueth& Wiener: Nejlepsˇı´m modelem kocˇky je zase kocˇka,
pokud mozˇno ta sama´.
Obsah
1 Motivace 4
Rovnice samocˇisˇteˇnı´ jezer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Malthusu˚v ru˚st (exponencia´lnı´) . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Verhulst–Pearlu˚v ru˚st (logisticky´) . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Diferencia´lnı´rovnice. 14
3 Diferencia´lnı´rovnice prvnı´ho rˇa´du 16
Rovnice yprime = y cosx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Diferencia´lnı´ rovnice se separovany´mi promeˇnny´mi . . . . 33
1 Motivace trianglelefttriangleleft trianglerighttriangleright
Ru˚st populace
Necht’velicˇina y uda´va´ velikost urcˇite´ populace v cˇase x. Potom
velicˇina yprime uda´va´ rychlost zmeˇny te´to populace.
• Populacı´ rozumı´me v sˇirsˇı´m slova smyslu soubor objektu˚ cˇi
jedincu˚, vykazujı´cı´ch urcˇitou spolecˇnou vlastnost.
• Rychlostı´ zmeˇny rozumı´me pocˇet novy´ch jedincu˚ snı´zˇeny´ o
pocˇet uhynuly´ch cˇi jinak odstraneˇny´ch jedincu˚ za jednotku
cˇasu.
– Kladna´ rychlost → velikost populace roste
– Za´porna´ rychlost → velikost populace klesa´
Rovnice samocˇisˇteˇnı´jezer
V1, y1
r1
r1
yprime1 = − r1V
1
y1 + f1
yprime2 = r1V
1
y1 − r2V
2
y2 + f2
• V jezerˇe je znecˇisˇteˇna´ voda objemu V1[m3], intenzita znecˇisˇ-
teˇnı´ je y1[kg]. yprime1 je rychlost vyplavova´nı´ necˇistot – mnozˇstvı´
necˇistot[kg], ktere´ jsou za cˇasovou jednotku vyplaveny z je-
zera.
• Do jezera vte´ka´ cˇista´ voda rychlostı´ r1 a vyte´ka´ i s necˇistotami
toute´zˇ rychlostı´.
• Koncentracenecˇistotje y1V
1
[kg/m−3]a zakazˇdoucˇasovoujed-
notku z jezera vytecˇe r1m3 vody, ktere´ obsahujı´ y1 · r1V
1
kg
necˇistot.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Rovnice samocˇisˇteˇnı´jezer
V1, y1
r1, f1
r1
yprime1 = − r1V
1
y1 + f1
yprime2 = r1V
1
y1 − r2V
2
y2 + f2
Modifikace prˇedchozı´ u´lohy – prˇedpokla´dejme navı´c, zˇe
necˇistoty jsou i v prˇı´toku do jezera a f1 je mnozˇstvı´ (v kg)
necˇistot, ktere´ se za cˇasovou jednotku dostanou do jezera v
prˇite´kajı´cı´ vodeˇ.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Rovnice samocˇisˇteˇnı´jezer
V1, y1
r1, f1
r1
r2
V2, y2
yprime1 = − r1V
1
y1 + f1
yprime2 = r1V
1
y1 − r2V
2
y2 + f2
Dalsˇı´ modifikace prˇedchozı´ u´lohy – prˇedpokla´da´me, zˇe voda
tecˇe do druhe´ho jezera o objemu V2, v neˇmzˇ je intenzita
znecˇisˇteˇnı´ y2 a vyte´ka´ rychlostı´ r2 = r1.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Rovnice samocˇisˇteˇnı´jezer
V1, y1
r1, f1
r1
r2
V2, y2
r3, f2
yprime1 = − r1V
1
y1 + f1
yprime2 = r1V
1
y1 − r2V
2
y2 + f2
Ma´-li druhe´ jezero jesˇteˇ jeden prˇı´tok, o velikosti r3, ktery´ je
znecˇisˇteˇny´ tak, zˇe necˇistoty prˇiby´vajı´ rychlostı´ f2, objevı´ se v
rovnicı´ch dalsˇı´ cˇlen.
V tomto prˇı´padeˇ navı´c platı´ r2 = r1 +r3.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Rovnice samocˇisˇteˇnı´jezer
V1, y1
r1, f1
r1
r2
V2, y2
r3, f2
yprime1 = − r1V
1
y1 + f1
yprime2 = r1V
1
y1 − r2V
2
y2 + f2
• Podobny´m zpu˚sobem je mozˇno sestavit model veˇtsˇı´ soustavy
jezer – naprˇı´klad velky´ch kanadsky´ch jezer.
• Jako rˇesˇenı´ modelu zı´ska´me informaci o tom, jak rychle necˇis-
toty prote´kajı´ jezernı´m syste´mem.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Malthusu˚v ru˚st (exponencia´lnı´)
yprime = ry y(0) = y0
• Velikost populace sta´le roste.
• Prˇedpoklad: Rychlost ru˚stu
je prˇı´mo u´meˇrna´ velikosti populace
(specificka´ mı´ra ru˚stu je konstantnı´)
• y(0) = y0 je pocˇa´tecˇnı´ podmı´nka.
• Rˇesˇenı´m
je exponencia´lnı´ funkce y = K · erx.
Model nenı´ realisticky´
pro velka´ y. Ru˚st populace
nad prˇijatelnou mez zpu˚sobı´
destrukci zˇivotnı´ho prostrˇedı´.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Verhulst–Pearlu˚vru˚st (logisticky´)
yprime = r
parenleftBig
1− yK
parenrightBig
y y(0) = y0
• Velikost populace roste pro y < K a klesa´ pro y > K.
• Specifika´ mı´ra ru˚stu linea´rneˇ klesa´ s velikostı´ populace.
• Rˇesˇenı´m je logisticka´ krˇivka.
K
Verhulst–Pearlu˚vru˚st s lovem intenzity h
parenleftBig y parenrightBig
r: invaznı´ p rametr K: nosna´ kapacita prostrˇedı´
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Verhulst–Pearlu˚vru˚st (logisticky´)
yprime = r
parenleftBig
1− yK
parenrightBig
y y(0) = y0
Verhulst–Pearlu˚vru˚st s lovem intenzity h
yprime = r
parenleftBig
1− yK
parenrightBig
y − h y(0) = y0
Verhulst–Pearlu˚vru˚st s konkurencı´ mezi dveˇma populacemi
yprime1 = r1
parenleftbigg
1− y1K
1
parenrightbigg
y1 − ay1y2
yprime2 = r2
parenleftbigg
1− y2K
2
parenrightbigg
y2 − by1y2
h: intenzita lovu
Proble´m: Jak nastavit parametry syste´mu tak, aby h bylo trvale
co nejveˇtsˇı´ a aby nedosˇlo ke zdecimova´nı´ populace?
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Verhulst–Pearlu˚vru˚st (logisticky´)
yprime = r
parenleftBig
1− yK
parenrightBig
y y(0) = y0
Verhulst–Pearlu˚vru˚st s lovem intenzity h
yprime = r
parenleftBig
1− yK
parenrightBig
y − h y(0) = y0
Verhulst–Pearlu˚vru˚st s konkurencı´ mezi dveˇma populacemi
yprime1 = r1
parenleftbigg
1− y1K
1
parenrightbigg
y1 − ay1y2
yprime2 = r2
parenleftbigg
1− y2K
2
parenrightbigg
y2 − by1y2
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
2 Diferencia´lnı´ rovnice. trianglelefttriangleleft trianglerighttriangleright
Diferencia´lnı´ rovnice jsou vztahy mezi nezna´mou funkcı´ a jejı´
derivacı´ (jejı´mi derivacemi). Naprˇ.
yprime + xy ln(1− y2) = 4
je diferencia´lnı´ rovnice prvnı´ho rˇa´du (obsahuje jenom prvnı´
derivaci), rovnice
yprimeprime +2yprime − 4y = sin x
je diferencia´lnı´ rovnice druhe´ho rˇa´du. Nejednodusˇsˇı´mi
diferencia´lnı´mi rovnicemi jsou rovnice typu yprime = f(x). Naprˇı´klad
rˇesˇenı´m rovnice
yprime = x
je kazˇda´ funkce tvaru
y = x
2
2 + C,
kde C je libovolna´ rea´lna´ konstanta.
FYZIKA´LNI´ POPIS PROBLE´MU:
sce´na´rˇ vy´voje + pocˇa´tecˇnı´ s