Diferenciální rovnice

nglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
Dosadı´me do rovnice popisujı´cı´ vsˇechna rˇesˇenı´ a obdrzˇı´me
rˇesˇenı´ u´lohy. Toto rˇesˇenı´ je v implicitnı´m tvaru a jesˇteˇ se jej
pokusı´me prˇeve´st do tvaru explicitnı´ho.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
Prˇevedeme logaritmy na jednu stranu.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
Sloucˇı´me logaritmy.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
Odlogaritmujeme pomocı´ inverznı´ funkce k logaritmu –
pomocı´ exponencia´lnı´ funkce.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
Vypocˇteme y. Tato funkce prˇedstavuje rˇesˇenı´ nasˇı´ u´lohy.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
Na´zvoslovı´:
diferencia´lnı´ rovnice + pocˇa´tecˇnı´ podmı´nka = pocˇa´tecˇnı´ u´loha,
obecne´ rˇesˇenı´, partikula´rnı´ rˇesˇenı´ (rˇesˇenı´ pocˇa´tecˇnı´ u´lohy)
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Diferencia´lnı´rovnice se separovany´mi promeˇnny´mi
yprime = f(x)g(y)
Konstantnı´mi rˇesˇenı´mi jsou funkce typu y = yi, kde yi je cˇı´slo
vyhovujı´cı´ rovnici g(yi) = 0. Da´le hleda´me nekonstantnı´ rˇesˇenı´.
dy
dx = f(x)g(y)
dy
g(y) = f(x)dxintegraldisplay
dy
g(y) =
integraldisplay
f(x)dx +C
Diferencia´lnı´ rovnice se separovany´mi promeˇnny´mi je rovnice,
jejı´zˇ prava´ strana se da´ vyja´drˇit jako soucˇin funkce promeˇnne´ x
a funkce promeˇnne´ y. Naprˇı´klad rovnice
yprime = x2(1+y)
ma´ tuto vlastnost, zatı´mco rovnice
yprime = x2 + y
ne.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Diferencia´lnı´rovnice se separovany´mi promeˇnny´mi
yprime = f(x)g(y)
Konstantnı´mi rˇesˇenı´mi jsou funkce typu y = yi, kde yi je cˇı´slo
vyhovujı´cı´ rovnici g(yi) = 0. Da´le hleda´me nekonstantnı´ rˇesˇenı´.
dy
dx = f(x)g(y)
dy
g(y) = f(x)dxintegraldisplay
dy
g(y) =
integraldisplay
f(x)dx +CNejprve hledejme konstantnı´ rˇesˇenı´. Protozˇe derivace konstantyje nula, budou tato konstantnı´ rˇesˇenı´ produkovat nulu na leve´ i
na prave´ straneˇ rovnice. Naprˇı´klad konstantnı´ rˇesˇenı´ rovnice
yprime = x ·(1 −y)y
jsou funkce y(x) = 0 a y(x) = 1.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Diferencia´lnı´rovnice se separovany´mi promeˇnny´mi
yprime = f(x)g(y)
Konstantnı´mi rˇesˇenı´mi jsou funkce typu y = yi, kde yi je cˇı´slo
vyhovujı´cı´ rovnici g(yi) = 0. Da´le hleda´me nekonstantnı´ rˇesˇenı´.
dy
dx = f(x)g(y)
dy
g(y) = f(x)dxintegraldisplay
dy
g(y) =
integraldisplay
f(x)dx +C
Prˇepı´sˇeme derivaci yprime jako podı´l dydx
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Diferencia´lnı´rovnice se separovany´mi promeˇnny´mi
yprime = f(x)g(y)
Konstantnı´mi rˇesˇenı´mi jsou funkce typu y = yi, kde yi je cˇı´slo
vyhovujı´cı´ rovnici g(yi) = 0. Da´le hleda´me nekonstantnı´ rˇesˇenı´.
dy
dx = f(x)g(y)
dy
g(y) = f(x)dxintegraldisplay
dy
g(y) =
integraldisplay
f(x)dx +C
Na´sobenı´m a deˇlenı´m prˇevedeme vy´razy s jednou promeˇnnou
na jednu stranu a vy´razy s druhou promeˇnnou na stranu
druhou.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Diferencia´lnı´rovnice se separovany´mi promeˇnny´mi
yprime = f(x)g(y)
Konstantnı´mi rˇesˇenı´mi jsou funkce typu y = yi, kde yi je cˇı´slo
vyhovujı´cı´ rovnici g(yi) = 0. Da´le hleda´me nekonstantnı´ rˇesˇenı´.
dy
dx = f(x)g(y)
dy
g(y) = f(x)dxintegraldisplay
dy
g(y) =
integraldisplay
f(x)dx +C
Zintegrujeme obeˇ strany a po vy´pocˇtu integra´lu˚ na jedne´ straneˇ
budeme uvazˇovat integracˇnı´ konstantu, ktera´ mu˚zˇe naby´vat
libovolne´ rea´lne´ hodnoty. Obdrzˇeli jsme obecne´ rˇesˇenı´ rovnice.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Diferencia´lnı´rovnice se separovany´mi promeˇnny´mi
yprime = f(x)g(y)
Konstantnı´mi rˇesˇenı´mi jsou funkce typu y = yi, kde yi je cˇı´slo
vyhovujı´cı´ rovnici g(yi) = 0. Da´le hleda´me nekonstantnı´ rˇesˇenı´.
dy
dx = f(x)g(y)
dy
g(y) = f(x)dxintegraldisplay
dy
g(y) =
integraldisplay
f(x)dx +C
Je-li zada´na pocˇa´tecˇnı´ podmı´nka, dosadı´me a urcˇı´me
partikula´rnı´ rˇesˇenı´ podobneˇ jako v prˇedchozı´m prˇı´padeˇ.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Rovnice typu y(n) = f(x)
y(n−1) =
integraldisplay
f(x)dx +C1,
y(n−2) =
integraldisplay parenleftBigintegraldisplay
f(x)dx
parenrightBig
dx + C1x + C2,
y(n−3) =
integraldisplay parenleftBigintegraldisplay parenleftBigintegraldisplay
f(x)dx
parenrightBig
dx
parenrightBig
+ C12 x2 +C2x +C3,
...
y =
integraldisplay
···
integraldisplay
f(x)dx··· dx + C1xn−1 +C2xn−2 +···+ Cn
Pocˇa´tecˇnı´ podmı´nky:
y(x0) = y0, yprime(x0) = yprime0, ..., y(n−1)(x0) = y(n−1)0 ,
KONEC