Diferenciální rovnice

tav → budoucı´ stav syste´mu
„Sce´na´rˇem vy´voje“ je zpravidla neˇjaky´ fyzika´lnı´ za´kon. Veˇtsˇinou
tvrzenı´ tvaru „zmeˇna jedne´ velicˇiny vyvola´va´ odpovı´dajı´cı´zmeˇnu
velicˇiny jine´“, nebo „pu˚sobenı´ jedne´ velicˇiny vyvola´va´
odpovı´dajı´cı´zmeˇnu jine´ velicˇiny“.
• Cˇasova´ zmeˇna hybnosti teˇlesa je rovna vy´sledne´ pu˚sobı´cı´ sı´le
(trˇetı´ Newtonu˚v pohybovy´ za´kon). F = m · dvdt
• Velikost indukovane´ho proudu v cı´vce je prˇı´mo u´meˇrna´ cˇa-
sove´ zmeˇneˇ indukcˇnı´ho toku cı´vkou (Faradayu˚vindukcˇnı´ za´-
kon).
MATEMATICKY´ POPIS:
diferencia´lnı´ rovnice + pocˇa´tecˇnı´ podmı´nka → rˇesˇenı´ rovnice
3 Diferencia´lnı´ rovnice prvnı´ho rˇa´du trianglelefttriangleleft trianglerighttriangleright
Definice (obycˇejna´ diferencia´lnı´ rovnice). Obycˇejnou diferencia´lnı´
rovnicı´ prvnı´ho rˇa´du rozrˇesˇenou vzhledem k derivaci (strucˇneˇ - dife-
rencia´lnı´ rovnicı´ (ODR)) s nezna´mou y rozumı´me rovnici tvaru
yprime = f(x, y) (1)
kde f je funkce dvou promeˇnny´ch. Rˇesˇenı´m (te´zˇ integra´lem) rov-
nice na intervalu I rozumı´me kazˇdou funkci y = y(x), ktera´
splnˇuje identicky (1) na I.
Dana´ diferencia´lnı´ rovnice ma´ zpravidla nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´
Naprˇı´klad rˇesˇenı´m rovnice
yprime = y
je nejen funkce y = ex, ale i naprˇ. funkce y = C · ex, kde C ∈ R.
Definice (pocˇa´tecˇnı´ podmı´nka, pocˇa´tecˇnı´ u´loha). U´ loha najı´t rˇe-
sˇenı´ rovnice (1), ktere´ splnˇuje zadanou pocˇa´tecˇnı´ podmı´nku
y(x0) = y0 (2)
se nazy´va´ pocˇa´tecˇnı´ Cauchyova u´loha. Jejı´m rˇesˇenı´m rozumı´me
funkci, ktera´ splnˇuje podmı´nku (2) a je na neˇjake´m intervalu
obsahujı´cı´m bod x0 rˇesˇenı´m rovnice (1).
Rˇesˇenı´Cauchyovyu´lohynazy´va´mete´zˇ partikula´rnı´mrˇesˇenı´m rov-
nice (1). Graf partikula´rnı´ho rˇesˇenı´ se nazy´va´ integra´lnı´ krˇivka.
• Ma´ dana´ rovnice (pocˇa´tecˇnı´ u´loha) rˇesˇenı´?
• Na jake´m intervalu je toto rˇesˇenı´ definova´no?
• Je toto rˇesˇenı´ urcˇeno jednoznacˇneˇ?
• Lze toto rˇesˇenı´ nale´zt analytickou cestou? (pomocı´ integra´l-
nı´ho pocˇtu)?
Nejjednodusˇsˇı´m prˇı´kladem diferencia´lnı´ rovnice je rovnice tvaru
yprime = f(x). (3)
Rˇesˇenı´m rovnice (3) je funkce
y =
integraldisplay
f(x)dx +C,
kde C je libovolna´ konstanta. Takovy´to vztah, popisujı´cı´ vsˇechna
rˇesˇenı´, nazy´va´me obecne´ rˇesˇenı´ rovnice. Libovolne´ partikula´rnı´
rˇesˇenı´ zı´ska´me z obecne´ho rˇesˇenı´ vhodnou volbou konstanty.
Pozna´mka 1 (obecne´ a partikula´rnı´ rˇesˇenı´). Podobny´ princip platı´
i u dalsˇı´ch diferencia´lnı´ch rovnic. Funkcı´ ktere´ vyhovujı´ diferenci-
a´lnı´ rovnici prvnı´ho rˇa´du je nekonecˇneˇ mnoho, zapı´sˇeme-li vsˇechny
jednı´m vzorcem, bude tento vzorec obsahovat jistou konstantu C.
Takovy´ vzorec se nazy´va´ obecne´ rˇesˇenı´ diferencia´lnı´ rovnice. Kazˇde´
jednotlive´ (partikula´rnı´) rˇesˇenı´ lze z tohoto vzorce obdrzˇet1 vhodnou
volbou konstanty C.
1i z tohoto pravidla vsˇak existujı´ vy´jimky, :)
Definice (ODR se separovany´mi promeˇnny´mi). ODR tvaru
yprime = f(x)g(y), (4)
kde f a gjsouspojite´ funkcenaotevrˇeny´chintervalechnazy´va´me
obycˇejnou diferencia´lnı´ rovnicı´ se separovany´mi promeˇnny´mi.
Pocˇa´tecˇnı´ u´loha pro rovnici se separovany´mi promeˇnny´mi nemusı´
mı´t vzˇdy jedine´ rˇesˇenı´. Existujı´ dokonce rˇesˇenı´, ktere´ majı´
porusˇenu jednoznacˇnost v kazˇde´m bodeˇ sve´ho definicˇnı´ho oboru.
Tato rˇesˇenı´ se nazy´vajı´ singula´rnı´.
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
Rovnice mu˚zˇe slouzˇit jako jednoduchy´ model sezo´nnı´ populace
– specificka´ mı´ra ru˚stu, funkce cos x, se periodicky meˇnı´ s
cˇasem.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
Prˇepı´sˇeme derivaci yprime jako podı´l dydx
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
Na´sobenı´m prˇevedeme promeˇnnou y na jednu a promeˇnnou x
na druhou stranu. Podle prˇedpokladu˚ je alesponˇ v neˇjake´m
okolı´ bodu x = 0 funkce y nenulova´.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
Prˇipı´sˇeme integra´ly na obeˇ strany rovnice, vlevo je tedy integra´l
v promeˇnne´ y a vpravo integra´l v promeˇnne´ x.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
• Vypocˇteme integra´ly. Podle prˇedpokladu˚ je funkce y kladna´
(alesponˇ v neˇjake´m okolı´ bodu x = 0). Integracˇnı´ konstantu
stacˇı´ uvazˇovat pouze jednu.
• Dosta´va´me rovnici, ktera´ popisuje vsˇechny funkce, splnˇujı´cı´
rovnici yprime = y ·cos x.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
Dosadı´me z pocˇa´tecˇnı´ podmı´nky a urcˇı´me velikost integracˇnı´
konstanty.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright trianglerighttriangleright c©Robert Marˇı´k, 2004
Najdeˇte funkci splnˇujı´cı´ yprime = y cosx a podmı´nku y(0) = 0.1
dy
dx = y ·cos xintegraldisplay
1
y dy =
integraldisplay
cosx dx
ln y = sin x +C
ln0.1 = sin0+ C
C = ln0.1
ln y = sin x +ln0.1
ln y −ln 0.1 = sin x
ln y0.1 = sin x
y
0.1 = e
sin x
y = 0.1· esin x
Vypocˇteme C.
trianglelefttriangleleft triangleleft triangleright tria