Intergální počet II. řešené příkaldy s nápovědou

1, z • 1 ¡x2 ¡y2, z ‚ 0,
0 • y • xg.
[cylindrickØ souładnice, staŁ projekce, zkuste takØ obrÆzek v R3 (rotÆŁn
paraboloid), restrikci nepou t; vyjde …16]
2.8 Objem t lesa = f[x;y;z] 2 R3;x2 +y2 +z2 • a2;x2 +y2 +z2 • 2azg,
kde a > 0 je konstanta.
7
[cylindrickØ souładnice, obrÆzek v R3 (2 koule) i projekce nutnØ, jak je
polom r projekce?, restrikce 4x; vyjde 5…a312 ]
2.9 T i„t t lesa = f[x;y;z] 2 R3;x2 + y2 + z2 • a2;z ‚ 0g s danou
hustotou (x;y;z) = kpx2 + y2 + z2, kde a > 0;k > 0 jsou konstanty.
[sfØrickØ souładnice, obrÆzek v R3 i projekce snadnØ; xT = yT = 0;zT = 2a5 ]
2.10 Hmotnost t lesa = f[x;y;z] 2 R3; x2 + y2 + z2 • a2, z • x2, x ‚ 0,
y ‚ 0, z ‚ 0g, kde a > 0 je konstanta, s danou hustotou (x;y;z) = x.
[cylindrickØ souładnice, staŁ obrÆzek projekce (meze z jasnØ); snadno vyjde
2a5
15 ]
2.11 T i„t t lesa s danou hustotou (x;y;z) · 1 vymezenØho hraniŁn mi
rovinami x = 0, z = 0, y = 1, y = 3, x + 2z = 3.
[bez transformace, obrÆzek v R3 i projekce jsou snadnØ; vyjde T = [1;2; 12]]
2.12 Objem t lesa vymezenØho plochami hz = x2 + y2, z = h, kde h > 0
je konstanta.
[cylindrickØ souładnice, pozor na meze prom nnØ z; vyjde …h32 ]
2.13 Momenty setrvaŁnosti Ix;Iy;Iz t lesa s danou hustotou (x;y;z) · 1
vymezenØho plochami x2 + y2 = a2, z = 0, z = b, kde a > 0;b > 0 jsou
konstanty.
[cylindrickØ souładnice, obrÆzek v R3 i projekce snadnØ, (zdøvodn te si);
vyjde Ix = Iy = …a2b
‡a2
4 +
b2
3
·
, Iz = …a4b2 ]
2.14 Hmotnost t lesa = f[x;y;z] 2 R3; x2 + y2 + z2 • a2, z2 ‚ x2 + y2,
z ‚ 0 g, kde a > 0 je konstanta, s danou hustotou (x;y;z) = px2 + y2 + 1.
[lep„ jsou sfØrickØ souładnice, v„echny meze konstantn , restrikce 4x, obrÆ-
zek v R3 i projekce; v sledek nen p kn , ale integrace je jednoduchÆ (po œprav ):
…2a4
16 ¡
…a4
8 +
2…a3
3 ¡
p2…a3
3 ]
2.15 Objem t lesa = f[x;y;z] 2 R3;x2 + y2 • 2ax;jyj • x;0 • z • xg,
kde a > 0 je konstanta.
[cylindrickØ souładnice, staŁ obrÆzek projekce, zkuste i obrÆzek v R3, re-
strikce 2x ¡’ h0; …4i¢; vyjde a3
‡…
2 +
4
3
·
]
2.16 Hmotnost t lesa = f[x;y;z] 2 R3;a2 • x2 + y2 • 4a2;y • x;0 •
z • x2 + y2g s danou hustotou (x;y;z) = 1px2+y2+a2 , kde a > 0 je
konstanta.
8
[cylindrickØ souładnice, staŁ obrÆzek projekce, restrikce 4x ¡’ h0; …4i¢; vyjde
…a3
3
‡
2p5 + p2
·
]
2.17 Objem a hmotnost t lesa = f[x;y;z] 2 R3; x2 + y2 • 1, y ‚ x, 0 • z,
z • x2 + y2 g s danou hustotou (x;y;z) = 8 (64x2y2 + z).
[cylindrickØ souładnice,staŁ obrÆzek projekce (meze z jasnØ) restrikce 4x;
vyjde V = …4 , m = 26…3 ]
2.18 Objem t lesa = f[x;y;z] 2 R3;x2 + y2 • 2x;¡1 • z • 4 ¡x2 ¡y2g.
[cylindrickØ souładnice, staŁ obrÆzek projekce, zkuste i obrÆzek v R3, re-
strikce 2x; vyjde 7…2 ]
Ve v„ech pł kladech jsou pouze obvyklØ goniometrickØ nebo odmocni-
novØ substituce.
V dy zkuste takØ obrÆzek v R3.
9
3 Kłivkov integrÆl ve skalÆrn m poli
VypoŁt te:
3.1 Hmotnost kłivky : ~r(t) = cost¢~i + sint¢~j + t¢~k; t 2 h0;2…i, je-li
dÆna hustota kłivky (x;y;z) = 2z ¡px2 + y2.
[integrac polynomu ihned vyjde 2p2…(2… ¡ 1)]
3.2
Z

xy ds, kde = f[x;y] 2 R2; x2a2 + y2b2 = 1;x ‚ 0;y ‚ 0g, kde a >
0;b > 0 jsou konstanty.
[obvyklÆ parametrizace elipsy (viz IntegrÆln poŁet II, str. 37), odmocninovÆ
substituce , a3 ¡b3 = (a¡b)¡a2 + ab + b2¢; vyjde ab(a2+ab+b2)3(a+b) ]
3.3 Hmotnost „roubovice : ~r(t) = tcost¢~i+tsint¢~j + 3t¢~k; t 2h0;2…i,
je-li dÆna hustota kłivky (x;y;z) = z.
[obvyklÆ substituce, snadno vyjde
q
(4…2 + 10)3 ¡p103 ]
3.4 Obsah ŁÆsti vÆlcovØ plochy s ł d c kłivkou = f[x;y;z] 2 R3; x2 + y2 = 1,
z = 0g, je-li tato vÆlcovÆ plocha vymezena plochami z = x2; z = 2+y2.
[parametrizace kru nice; vyjde 4… (zkuste i obrÆzek) ]
3.5 Obsah ŁÆsti vÆlcovØ plochy s ł d c kłivkou = f[x;y;z]; 4x2 + 9y2 = 36,
y ‚ 0, z = 0g, je-li tato vÆlcovÆ plocha vymezena plochami z = 0,
z = ¡xy.
[parametrizace elipsy, nutno integrovat v 1. a2. kvadrantu zvlÆ„», v obou
integrÆlech obvyklÆ substituce p¢¢¢ = u; snadno vyjde: 765 ]
3.6 Hmotnost kłivky = f[x;y;z];x2 +y2 = 2y;z = x2 +y2;x ‚ 0;y ‚ 1g,
je-li dÆna hustota kłivky (x;y;z) = x(y ¡ 1).
[parametrizace kru nice x2 + y2 = 2y pro x ‚ 0;y ‚ 1, p¢¢¢ = u; vyjde
1
12(5
p5 ¡ 1)]
3.7
Z

(z ¡x)2 ds,
kde : ~r(t) = (cost¡ sint) ¢~i + 3t¢~j + (cost + sint) ¢~k; t 2h0;2…i.
[snadno vyjde 4p11…]
10
3.8
Z

p2 + x2 + y2
z + 1 ds, kde
: ~r(t) = tcost¢~i + tsint¢~j + t¢~k; t 2h0;2…i:
[po sprÆvnØm dosazen do integrÆlu a œprav integrandu vyjde lehce:
2…2 ¡ 2… + 3 ln(2… + 1)]
3.9 Hmotnost oblouku „roubovice
: ~r(t) = 3 cost¢~i + 3 sint¢~j + t¢~k; t 2h0;2…i;
je-li dÆna hustota kłivky (x;y;z) = 2 + x2¡y210 .
[snadno vyjde 4p10…]
3.10 T i„t homogenn ho oblouku
: ~r(t) = acost¢~i + asint¢~j + bt¢~k; t 2h0;…i;
kde a > 0;b > 0 jsou konstanty.
[płesn podle vzorcu pro v poŁet t i„t vyjde bez problØmø T =
h
0; 2a… ; …b2
i
]
3.11 Hmotnost oblouku „roubovice
: ~r(t) = 2 cost¢~i + 2 sint¢~j + 3t¢~k; t 2
¿
0; 23

;
je-li dÆna hustota kłivky (x;y;z) = 1x2+y2+z2 .
[płi integraci u ijte vzorec R dtt2+a2 = 1a arctan ta; vyjde
p13…
24 ]
3.12
Z

xy ds, kde : ~r(t) = sint2 ¢~i + sintcost¢~j + cost¢~k; t 2
D
0; …2
E
.
[ds =
p
1 + sin2 tdt, obvyklÆ substituce, 215(p2 + 1)]
3.13
Z

jxyjds, kde = f[x;y] 2 R2;x2 + y2 = 4g.
[parametrizace kru nice s restrikc 4x snadno vyjde 16]
3.14
Z

py ds, kde : ~r(t) = a(t ¡ sint) ¢~i + a(1 ¡ cost) ¢~j; t 2 h0;2…i
(prvn oblouk tzv. cykloidy).
[po sprÆvnØm zderivovÆn a dosazen do integrÆlu ihned vyjde 2p2…a3=2]
11
3.15
Z

q
16x2 + y2 ds, kde = f[x;y] 2 R2;x2 + y24 = 1g.
[parametrizace elipsy, integrand je po œprav jednoduch (odmocnina zmiz ),
vyjde 10…]
3.16 Moment setrvaŁnosti Iy homogenn ho oblouku dAB kłivky : y = lnx,
A = [1;0];B = [2;ln 2].
[płesn podle vzorce pro Iy a parametrizaci x = t;y = lnt vyjde: 13(5p5 ¡ 2p2)]
3.17
Z

xy ds, kde kłivka je dÆna jako obvod obdØln ka ABCD s vrcholy
na pł mkÆch x = 0;x = 4;y = 0;y = 2.
[ = 1 [ 2 [ 3 [ 4, snadnÆ parametrizace, vyjde 24]
3.18
Z

xyz ds, kde je dÆna jako oblouk kłivky x = t, y = 13p8t3, z = 12t2
mezi body urŁen mi hodnotami parametru t = 0, t = 1.
[integrac polynomu snadno vyjde 16
p2
143 ]
3.19
Z

z ds, : ~r(t) = tcost¢~i + tsint¢~j + t¢~k; t 2
D
0;p2
E
.
[takØ jednoduch pł klad, vyjde 13(3p3 ¡ 1)]
12
4 Kłivkov integrÆl ve vektrovØm poli
4.1 Pł m m v poŁtem
4.1 SpoŁ tejte prÆci s ly ~F = y¢~i + z¢~j + x¢~k płi pohybu hmotnØho bodu
po orientovanØ kłivce , kterÆ je dÆna jako oblouk ABC na prønikovØ
kłivce ploch x2 + y2 = 1;z = xy od poŁÆteŁn ho bodu A = [1;yA;zA]
płes bod B = [xB;1;zB] do koncovØho bodu C = [¡1;yC;zC].
[nezadanØ souładnice bodø A; B; C snadno spoŁ tÆte z rovnic ploch, staŁ
projekce oblouku ABC do roviny xy, parametrizace lehkÆ: x = cost, y =
sint ) z = ¢¢¢; t 2h0;…i, (proŁ?) vyjde:
¡…2 + 23]
4.2 SpoŁ tejte prÆci vektorovØho pole ~F = x ¢~i + z2 ¢~j + exy ¢~k podØl
kłivky , kterÆ je dÆna jako uzavłenÆ orientovanÆ kłivka ABC tvołenÆ
oblouky na plo„e z = 1 ¡ x2 pro x ‚ 0;y ‚ 0;z ‚ 0, kterØ le
postupn v rovinÆch y = 0;z = 0;y = x. Orientace je dÆna poład m
bodø A = [0;0;1];B = [1;0;0];C = [1;1;0].
[nakreslete si obrÆzek v prostoru R3 (parab. vÆlec pro»at 3 rovinami);
ihned uvid te = 1 [ 2 [ 3, parametrizac 1; 2; 3 (nen obt nÆ) a
souŁtem 3 integrÆlø (polynomy a substituce) vyjde:
¡3815 + e ]
4.3 SpoŁ tejte prÆci