Intergální počet II. řešené příkaldy s nápovědou

silovØho pole ~F = xy ¢~i ¡ y ¢~j kterØ pøsob płi po-
hybu hmotnØho bodu po kladn orientovanØ uzavłenØ kłivce + tvołenØ
oblouky na kłivkÆch y = x2;y = px.
[obrÆzek = 1[ 2 je snadn , parametrizac 1; 2 a souŁtem dvou integrÆlø
snadno vyjde:
¡ 320]
4.4 SpoŁ tejte prÆci vektoru ~F = (exy2 + z) ¢~i + 2yez ¢~j + x ¢~k podØl
kłivky : x = lnt;y = t2;z = t, kterÆ je orientovanÆ z poŁÆteŁn ho
bodu A = [0;1;1] do koncovØho bodu B = [ln 2;4;2].
[obrÆzek nepotłebujeme, interval t 2h¢;¢i złejm , integrac polynomu a per
partes vyjde:
31
5 + 8(e
2 + e) + 2 ln 2. (elnt = t) ]
4.5 UrŁete hodnotu integrÆlu R 4xydx + xdy ¡ dz, kde
: ~r(t) = sint¢~i + sin(2t) ¢~j + e¡t ¢~k; t 2h0;…i:
13
[pł m m dosazen m do integrÆlu a rozepsÆn m sin(2t) = :::;cos(2t) = :::
vyjde:
… ¡ 13 ¡e¡… ]
4.6 SpoŁ tejte integrÆl R ydx¡xdy, kde + : x2a2 + y2b2 = 1, kde a > 0;b > 0
jsou konstanty.
[parametrizace elipsy, ihned vyjde: ¡2…ab ]
4.7 SpoŁ tejte prÆci vektrovØho pole ~F = (x + y) ¢~i + 2x¢~j podØl kladn
orientovanØ kru nice + se stłedem v poŁÆtku a polom rem r.
[takØ lehk pł klad, parametrizace kru nice, vyjde: …r2 ]
4.8 SpoŁ tejte prÆci vykonanou vektorem s ly ~F = (3x2 + 2y2)¢~i+ (4xy ¡ 3y2)¢
~j po kłivce : x2+y2 = 1 od poŁÆteŁn ho bodu A = [1;0] do koncovØho
bodu B = [0;1].
[obr. a parametizace kru nice jednoduchØ, obvykl mi goniometrick mi sub-
stitucemi vyjde: ¡2 ]
14
4.2 NezÆvislost na integraŁn cest
Ov łte podm nky nezÆvisloti na integraŁn cest v danØm potenciÆlovØm poli
~F = (P;Q) resp. ~F = (P;Q;R), najd te potenciÆl V a pro zadanØ body A;B
pł padn interval parametru t spoŁ tejte prÆci konanou płi pohybu bodu
z poŁÆteŁn ho bodu A do koncovØho bodu B.
4.9 ~F = (1 ¡ 2xy ¡y2) ¢~i + (1 ¡ 2xy ¡x2) ¢~j; A = [0;2];B = [1;0].
[ V (x;y) = x¡x2y ¡y2x + y + c; W = ¡1 ]
4.10 R xz2dx + y3dy + x2zdz, A = [¡1;1;2];B = [¡4;2;¡1].
[ V (x;y;z)x2z22 + y44 + c; W = 394 ,
spoŁ tejte si takØ integrac po orientovanØ œseŁce AB!]
4.11 ~F = y21+x2y4 ¢~i + 2xy1+x2y4 ¢~j; : ~r(t) = t¢~i + t2 ¢~j, t 2h0;1i.
[tento pł klad si spoŁ tejte v ce zpøsoby { vychÆz velice jednodu„e integrac
a) po zadanØ kłivce gamma (subst. t5 = u)
b) orientovanØ œseŁce AB (A = [0;0], B = [1;1])
c) lomenØ orientovanØ kłivce = AC [CB, kde C = [1;0]
V (x;y) = arctg(xy2) + c, W = …4 ]
4.12 ~F = (x + yz)¢~i + (y + xz)¢~j + (z + xy)¢~k, A = [1;2;3];B = [0;0;0].
[V (x;y;z) = x2+y2+z22 + xyz + c, W = ¡13]
4.13 ~F = 2xy ¢~i + x2 ¢~j ¡ 1z2 ¢~k, : ~r(t) = tcost¢~i + tsint¢~j + t¢~k,
t 2h…2;…i.
[V (x;y;z) = x2y + 1z + c, W = ¡1…,
komplikovan vypoŁet, kdy poŁ tÆme pł m m v poŁtem po kłivce ]
4.14 ~F = exyz¢~i + (1 + exz)¢~j + exz¢~k, : ~r(t) = t¢~i + (t¡ 1)¢~j ¡ 3t¢~k,
A = [1;0;¡3];B = [¡1;¡2;3].
[V (x;y;z) = yzex + y + c, W = ¡6e ¡ 2,
spoŁ tejte si takØ pł m m dosazen m]
4.15 ~F = 1z ¢~i + 1z ¢~j ¡ x+yz ¢~k, : ~r(t) = t2 ¢~i ¡ 3t¢~j + t3 ¢~k, t 2h1;2i.
[V (x;y;z) = x+yz + c, W = 74,
velice p kn vyjde i bez v poŁtu V pł m m dosazen m]
15
4.16 ~F = (3x2y2 ¡ 2z4)¢~i + 2x3y¢~j ¡ 8xz3 ¢~k, spoŁ tejte kmenovou funkci
V .
[V (x;y;z) = x3y2 ¡ 2xz4 + c]
4.17 ~F = y ¢~i + x¢~j + 2z ¢~k, A = [0;0;0];B = [1;1;2].
[V (x;y;z) = xy + z2 + c, W = 5]
4.18 ~F = 1y ¢~i + y2¡xy2 ¢~j, A = [1;1];B = [¡6;3]. (płedpoklÆdÆme, e y 6= 0).
[V (x;y) = xy + y + c, W = ¡1]
4.19 ~F = cos(2y) ¢~i ¡ 2xsin(2y) ¢~j, A = [1; …6 ];B = [2; …4 ].
[V (x;y) = xcos(2y) + c, W = ¡frac12]
4.20 Zjist te, zda v raz (2xcosy ¡y2 sinx) dx + (2y cosx¡x2 siny) dy je
totÆln m diferenciÆlem a urŁete potenciÆl V .
[tedy op t ov ł me podm nky nezÆvislosti a spoŁ tÆme
V (x;y) = x2 cosy + y2 cosx + c]
4.21 ~F = (yz ¡y + z + 3) ¢~i + (xz ¡x + 1) ¢~j + (xy + x + 2z) ¢~k, A =
[0;1;2];B = [3;2;5].
[V (x;y;z) = xyz ¡xy + xz + 3x + y + z2 + c, W = 70]
4.22 ~F = (3x2 + 2y2)¢~i + (4xy ¡ 3y2)¢~j, : x2 +y2 = 1 A = [1;0] do konc
B = [0;1].
[V (x;y) = x3 + 2xy2 ¡y3 + c, W = ¡2,
spoŁ tejte si takØ pł mou integrac po ]
16
4.3 Greenova v ta
Ov łte podm nky pou itelnosti Greenovy v ty a u ijte ji k v poŁtu nÆsledu-
j c ho integrÆlu (cirkulace vektorovØho pole ~F) po zadanØ kłivce :
4.23
I
¡
(x+y)2dx¡(x¡y)2dy, kde ¡ je zÆporn orientovanÆ kłivka tvołenÆ
obloukem grafu funkce y = sinx a œseŁkou na ose x pro x 2h0;…i.
[obrÆzek i v poŁet dvojnØho integrÆlu jsou jednoduchØ (per partes), vyjde:
4…]
4.24 ~F = (1 ¡x2) ¢~i + x(1 + y2) ¢~j, + : ~r(t) = 3 cost¢~i + 3 sint¢~j; t 2
h0;2…i.
[obrÆzek i v poŁet dvojnØho integrÆlu je snadn (transformace do polÆrn ch
souładnic), bez problØmø vyjde: 1174 …, zkuste si takØ spoŁ tat pł m m v po-
Łtem bez Greenovy v ty - vychÆz to p kn ]
4.25 ~F = (xy + x + y) ¢~i + (xy + x¡y) ¢~j, + : x2 + y2 = y.
[parametrizace posunutØ kru nice (polÆrn souładnice), v intergrandu je roz-
d l dvou funkc a rozd l te-li si integrÆl na dva, bude druh z nich nulov
(proŁ?), pak u hned vyjde …8 ]
4.26
I
+
(ex siny ¡ 16y) dx+(ex cosy ¡ 16) dy, kde + je kladn orientovanÆ
hranice oblasti D = f[x;y];x2 + y2 = ax;x ‚ 0;y ‚ 0g, kde a > 0 je
konstanta.
[op t posunutÆ kru nice, polÆrn mi souładnicemi s posunem, nebo bez po-
sunu do poŁÆtku, vyjde okam it 2…a2 (v sledek lze takØ uhodnout, proto e
integrand je konstanta)]
4.27
I

y2dx¡x2dy, kde + je kladn orientovanÆ kru nice se stłedem S =
[1;1] a polom rem r = 1.
[polÆrn mi souładnicemi nutn s posunem do poŁÆtku x = 1 + ‰ cos’y = 1 + ‰ sin’ ; konst.
meze ‰; ’; vyjde snadno ¡4… (vychÆz p kn i pł m m v poŁtem bez pou it
Greenovy v ty)]
4.28
I

‡
x2 ¡y2
·
dx +
‡
x2 + y2
·
dy, kde ¡ je zÆporn orientovanÆ kłivka
tvołenÆ pølkru nic y = pr2 ¡x2 a œseŁkou na ose x.
17
[ obyŁejnØ polÆrn souładnice s konstantn mi mezemi, bez problØmø vyjde
¡43r3]
4.29
I

‡
6xcosy ¡y3
·
dx+
‡
x3 ¡ 3x2 siny
·
dy, kde + je kladn orientovanÆ
kru nice x2 + y2 = 1.
[takØ obyŁejnØ polÆrn souładnice s konstantn mi mezemi, velice jednodu-
ch integrÆl, v sledek 3…2 (bez pou it Greenovy v ty vychÆz nep kn )]
4.30
I

(x+y)2dx¡(x¡y)2dy, kde + je kladn orientovanÆ kłivka tvołenÆ
obloukem paraboly y = x2 a œseŁkou na pł mce y = x.
[bez problØmø ihned vyjde ¡13]
4.31 ~F = 1y ¢~i ¡ 1x ¢~j, + je trojœheln k ABC s vrcholy A = [1;1];B =
[2;1];C = [2;2].
[takØ jednoduch pł klad bez transformace do polÆrn ch souładnic, vyjde 12]
4.32
I

‡
xy + x2
·
dx + x2ydy, kde + je kladn orientovanÆ hranice oblasti
D = f[x;y]; 0 • x • y • 1g.
[snadnØ s Greenovou v tou i bez Greenovy v ty, integrac polynomu vyjde
1
12]
4.33 ~F = (1 + xy)exy ¢~i + x2 (1 + exy) ¢~j, + obdØln k ABCD s vrcholy
A = [0;0];B = [2;0];C = [2;1];D = [0;1].
[integrand vychÆz velice jednodu„e, lehce vyjde: 4]
4.34 ~F = xarctany ¢~i + 11+y2 ¢~j, + je trojœheln k KLM s vrcholy K =
[¡1;0];L = [0;0];M = [0;1].
[t „ pł klad: nejdł ve substituce x+1 = t potom per partes u = arctgt; v0 =
t¡ 1; pak u bez problØmø vyjde 12(1 ¡ ln 2)]
ObrÆcenou Greenovou v tou spoŁ tejte obsah rovinnØho ob-
razce D:
4.35 D = f[x;y] 2 R2;x2 • y • xg.
[parametrizace + = 1 [ 2 snadnÆ, bez problØmø vyjde 16 (bez Greenovy
v ty je„te krat„ )]
18
4.36 D = f[x;y] 2 R2;y ‚ lnx;¡x + 1 • y • 1g.
[takØ nutn obrÆzek, parametrizace + = 1 [ 2 [ 3 nen obt nÆ, vyjde
e¡ 32]
4.37 D = f[x;y] 2 R2;ex • y • e…;x ‚ 0g. (Pozor: e… je konstanta!)
[op t parametrizace + = 1 [ 2 [ 3, u it m per partes vyjde e…(…¡1) + 1
(bez Greenovy v ty je v poŁet krat„ { zkuste si spoŁ tat)]
19