Skripta - Vektorový počet a jeho aplikace

mÆ Cauchyova identita:
(~u ~v)2 jj~ujj2jj~vjj2:
Jin zpøsob odvozen plyne z de nice skalÆrn ho souŁinu ~u ~v =jj~ujj jj~vjjcos’
a vlastnosti vektorovØho souŁinu jj~u ~vjj=jj~ujj jj~vjjsin’; proto e pak
(~u ~v)2 =jj~ujj2jj~vjj2 cos2 ’;
jj~u ~vjj2 =jj~ujj2jj~vjj2 sin2’
a souŁtem op t
(~u ~v)2 +jj~u ~vjj2 =jj~ujj2jj~vjj2;
tj.
jj~u ~vjj2 =jj~ujj2jj~vjj2 (~u ~v)2 0:)
1.3 Aplikace vektorovØho poŁtu ve sfØrickØ tri-
gonometrii
SfØrick trojœheln k (schematicky na obrÆzc ch).
@
@
@
@
@
@
@R
-






O
A
B
C
~a
~b
~c



b
c
a =\(~b;~c)
A B
C
b
c
a


B
B
B
B
B
B
BBM
~a ~b
PPP
PPi
~a ~c
~a ?~a ~b?~b~a ?~a ~c?~c

V prostoru E3 zvolme body O;A;B;C tak, aby vektory~a = !OA;~b = !OB;~c = !OC
byly nekomplanÆrn a jednotkovØ, tj. jj~ajj=jj~bjj=jj~cjj= 1:
Op „eme-li ze stłedu O jednotkovou kouli, pak body A;B;C le na kulovØ plo„e
polom ru jedna a tvoł vrcholy sfØrickØho trojœheln ku.
Rovina prochÆzej c body O;A;B protne kulovou plochu v tzv. hlavn kru nici
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.3 Aplikace vektorovØho poŁtu ve sfØrickØ trigonometrii 19
a krat„ ŁÆst hlavn kru nice mezi body A;B vytvoł stranu c sfØrickØho trojœhel-
n ku. Podobn m zpøsobem vytvoł me strany a;b sfØrickØho trojœheln ku.
hel mezi stranami b;c płi vrcholu A sfØrickØho trojœheln ku oznaŁ me : Po-
dobn znaŁ ; œhly płi vrcholech B;C: Tyto œhly tvoł odchylky st n trojbo-
kØho jehlanu urŁenØho body O;A;B;C:
ZÆkladn mi prvky sfØrickØho trojœheln ku rozum me vrcholy A;B;C ,
strany a;b;c a œhly ; ; sfØrickØho trojœheln ku.
Mezi prvky sfØrickØho trojœheln ku plat nÆsleduj c vztahy:
(5) a =\(~b;~c) b =\(~c;~a) c =\(~a;~b)
(6) =\(~a ~b;~a ~c) =\(~b ~c;~b ~a) =\(~c ~a;~c ~b)
(7) cosa =~b ~c cosb =~c ~a cosc =~a ~b
(8) sina =jj~b ~cjj sinb =jj~c ~ajj sinc =jj~a ~bjj
(9) cos = (~a ~b) (~a ~c)jj~a ~bjj jj~a ~cjj cos = (~b ~c) (~b ~a)jj~b ~cjj jj~b ~ajj cos = (~c ~a) (~c ~b)jj~c ~ajj jj~c ~bjj
Vzorce (5), (6) jsou patrnØ ze schematickØho znÆzorn n na płedchÆzej c m
obrÆzku vlevo. Proto ejj~ajj=jj~bjj=jj~cjj= 1; zjednodu„ se vzorce pro skalÆrn
i vektorov souŁin. Napł klad plat
~a ~b =jj~ajj jj~bjjcos\(~a;~b) = cos\(~a;~b) = cosc;
jj~a ~bjj=jj~ajj jj~bjjsin\(~a;~b) = sin\(~a;~b) = sinc:
Takto obdr me snadno pomoc vektorø ~a;~b;~c v„echny vztahy (7) a (8). Vzorce
(9) jsou døsledkem (6) a vzorce pro vyjÆdłen œhlu vektorø pomoc skalÆrn ho
souŁinu vektorø.
SinovÆ v ta pro sfØrick trojœheln k
Pou ijeme vzorec (3) V ty 5:
(~a ~b) (~c ~d) = [~a;~b;~d]~c [~a;~b;~c]~d:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
20 VybranØ ŁÆsti vektorovØho poŁtu
Vektory ~a;~b;~c jsou vektory na„ konstrukce. Vzorec obsahuje vektor ~d; kter
mø eme volit libovoln .
Polo me nejprve ve vzorci ~d =~a: Z skÆme
(~a ~b) (~c ~a|{z}
= ~a ~c
) = [~a;~b;~a]| {z }
=0
~c [~a;~b;~c]~a
a œpravou
[~a;~b;~c]~a = (~a ~b) (~a ~c):
V euklidovskØ norm pakjj[~a;~b;~c]~ajj=j[~a;~b;~c]j jj~ajj|{z}
=1
=jj(~a ~b) (~a ~c)jj =|{z}
6
=jj~a ~bjj jj~a ~cjj sin =|{z}
(8)
sinc sinb sin s v sledkem
j[~a;~b;~c]j= sinc sinb sin : (1.4)
Podobn m zpøsobem lze pokraŁovat volbami ~d =~b a ~d =~c a ukÆzat, e mø eme
zvolit cestu cyklickØ zÆm ny :
~a !~b !~c !~a;
a !b !c !a;
! ! ! :
Ve vzorci, se kter m budeme pracovat, postupn nahrazujeme objekty (vektory,
œhly, strany) t mi objekty, na kterØ ukazuje „ipka. Vzorec (1.4) mÆ tvar
j[~a;~b;~c]j= sinc sinb sin : Prvn cyklickou zÆm nou z skÆme
j[~b;~c;~a]j= sina sinc sin ; druhou cyklickou zÆm nou pak
j[~c;~a;~b]j= sinb sina sin : (Dal„ cyklickÆ zÆm na by zopakovala vzorec (1.4).)
V m nou poład vektorø ve sm „enØm souŁinu se nejv „e m n znamØnko a s ohle-
dem na absolutn hodnotu sm „enØho souŁinu jsou Ł sla na levØ stran v„ech tł
z skan ch vzorcø stejnÆ. Proto plat rovnosti
sinc sinb sin = sina sinc sin = sinb sina sin ; j 1sinasinbsinc tj.
(10) sin sina = sin sinb = sin sinc
vzhledem k tomu, e sinasinbsinc6= 0: Tyto posledn z skanØ rovnosti jsou ma-
tematick m zÆpisem sinovØ v ty pro sfØrick trojœheln k. Slovn m vyjÆdłen m
sinovØ v ty je formulace:
Ve sfØrickØm trojœheln ku pom ry sinø stran ku sinøm protilehl ch œhlø jsou si
rovny.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.4 LineÆrn prostor, bÆze a dimenze 21
Prvn kosinovÆ v ta pro sfØrick trojœheln k
Pou ijeme vzorec (1) V ty 5: (~a ~b) (~c ~d) = (~a ~c)(~b ~d) (~b ~c)(~a ~d):
Op t polo me ve vzorci ~d =~a: Z skÆme
(~a ~b) (~c ~a|{z}
~a ~c
) = (~a ~c)(~b ~a) (~b ~c)( ~a ~a|{z}
jj~ajj2=1
):
Odtud
~b ~c = (~a ~c)(~b ~a) + (~a ~b) (~a ~c);
pomoc (7) pak
cosa = cosbcosc+jj~a ~bjj jj~a ~cjj cos :
Vzorce (8) vedou k prvn kosinovØ v t pro stranu a:
(11) cosa = cosbcosc+ sinbsinccos :
Cyklickou zÆm nou a!b!c!a; ! ! ! z skÆme postupn prvn
kosinovØ v ty pro zb vaj c strany b;c :
(12) cosb = cosccosa+ sincsinacos ;
(13) cosc = cosacosb+ sinasinbcos :
PoznÆmka: Je-li = =2; je sfØrick trojœheln k pravoœhl a vzorec (13)
dÆvÆ tvar Pythagorovy v ty pro pravoœhl sfØrick trojœheln k:
(14) cosc = cosacosb:
(Pro "malØ" pravoœhlØ sfØrickØ trojœheln ky pak plat vzorec c2 := a2 +b2:)
1.4 LineÆrn prostor, bÆze a dimenze
PoznÆmka: Pojem vektorovØho zam łen V(E3) (vŁetn jeho vlastnost dan ch
V tami 1 a 2) se v matematice zobec uje na pojem lineÆrn prostor nebo tØ
vektorov prostor. GeometrickØ vektory vytvÆłej "płirozen model" lineÆrn ho
prostoru a umo uj nÆm pochopen obsahu tohoto pojmu. Porovnejme v nÆ-
sleduj c de nici axiomy I1{I4 (zÆkony pro sŁ tÆn vektorø, existence nulovØho
a opaŁnØho vektoru) s obsahem V ty 1 a axiomy II1, II2 (zÆkony pro nÆsoben
vektorø) spolu s III1, III2 (distributivn zÆkony) s obsahem V ty 2.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 VybranØ ŁÆsti vektorovØho poŁtu
De nice 1.4.1 Mno inu M = fx;y;z;:::g nazveme (reÆln m) lineÆrn m
prostorem, kdy
x;y2M =)x+y2M (na M je de novÆno sŁ tÆn prvkø);
2R;x2M =) x2M (na M je de novÆno nÆsoben skalÆrem 2R);
pro ka dØ x;y 2 M; 2 R a operace sŁ tÆn a nÆsoben skalÆrem jsou pro
ka dØ x;y;z2M a ka dØ ; 2R vÆzÆny axiomy:
I1. x+y = y +x;
I2. (x+y) +z = x+ (y +z);
I3. existuje nulov prvek o2M takov , e x+o = x;
I4. ke ka dØmu prvku x existuje opaŁn prvek x tak, e plat x+ ( x) = o;
II1. 1 x = x;
II2. ( x) = ( )x;
III1. ( + )x = x+ x;
III2. (x+y) = x+ y:
Prvky x;y;z;::: naz vÆme vektory.
TakØ pojmy kolinearity (nekolinearity) a komplanarity (nekomplanarity) se
zobec uj v lineÆrn m prostoru na tzv. lineÆrn zÆvislost (lineÆrn nezÆvislost)
vektorø.
De nice 1.4.2 Jsou-li x1;x2;:::;xn vektory a c1;c2;:::;cn2R Ł sla, pak vek-
tor
x = c1x1 +c2x2 + +cnxn
nazveme lineÆrn kombinac vektorø x1;x2;:::;xn:
Vektory x1;x2;:::;xn nazveme lineÆrn nezÆvislØ, kdy
c1x1 +c2x2 + +cnxn = ~o()c1 = c2 = = cn = 0;
tj. Ædn z vektorø nelze zapsat jako lineÆrn kombinaci vektorø zb vaj c ch.
V opaŁnØm pł pad jsou vektory x1;x2;:::;xn lineÆrn zÆvislØ.
Proto e mÆme de novÆn pojem lineÆrn nezÆvislosti vektorø, mø eme zavØst
u iteŁnØ pojmy bÆze a dimenze lineÆrn ho prostoru.
De nice 1.4.3 Vektory x1;x2;:::;xn tvoł bÆzi lineÆrn ho prostoru M, kdy
jsou lineÆrn nezÆvislØ a ka d dal„ vektor x2M je ji jednoznaŁnou lineÆrn
kombinac vektorø x1;x2;:::;xn; tj.
x2M =)x = c1x1 +c2x2 + +cnxn (c1;:::;cn2R): (1.5)
PoŁet n vektorø bÆze se naz vÆ dimenze lineÆrn ho prostoru M a koe cienty
c1;:::;cn 2 R lineÆrn kombinace (1:5) se naz vaj souładnice vektoru x
v uspołÆdanØ bÆzi hx1;x2;:::;xni:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.5 Vektory v ortonormÆln bÆzi 23
Pł klad 1.4.1 VektorovØ zam łen V(E3) je lineÆrn m prostorem dimenze tłi.
Nam sto zÆpisu M =fx;y;z;:::g pou vÆme zÆpis V(E3) =f~x;~y;~z;:::g:
Pł klad 1.4.2 Pravidla pro poŁ tÆn s reÆln mi Ł sly nÆm umo uj ukÆ-
zat, e mno ina M = Rn uspołÆdan ch n{tic s prvky x = (x1;x2;:::;xn);
y = (y1;y2;:::;yn) a operacemi sŁ tÆn
x+y = (x1;x2;:::;xn) + (y1;y2;:::;yn) = (x1 +y1;x2 +y2;:::;xn +yn)
a nÆsoben reÆln m Ł slem
x = (x1;x2;:::;xn) = ( x1; x2;:::; xn)
je tzv. aritmetick m lineÆn m prostorem, kter mÆ dimenzi n. Nulov m
prvkem je uspołÆdanÆ n{tice o = (0;0;:::;0) a opaŁn m vektorem k vektoru
x = (x1;x2;:::;xn) je vektor x = ( x1; x2;:::; xn):
1.5 Vektory v ortonormÆln bÆzi
Nech» h~e1;~e2;~e3i je uspołÆdanÆ pozitivn soustava vzÆjemn kolm ch (~ei ~ej = 0
pro i6= j) a jednotkov ch (jj~eijj= 1) vektorø (i;j2f1;2;3g).
Sestav me-li pro 1; 2; 3 2R rovnici
1~e1 + 2~e2 + 3~e3 = ~o;
pak postupnØ skalÆrn nÆsoben rovnice vektory ~e1;~e2;~e3 vede k v sledku
1 = 2 = 3 = 0: Napł klad nÆsoben vektorem ~e1 dÆvÆ v sledek
1 ~e1 ~e1|{z}
jj~e1jj2=1
+ 2~e2 ~e1|{z}
0
+ 3~e3 ~e1|{z}
0
= ~o ~e1|{z}
0
) 1 = 0:
Vektory ~e1;~e2;~e3 jsou proto lineÆrn nezÆvislØ, tvoł tzv. ortonormÆln bÆzi
E =h~e1;~e2;~e3i
prostoru V(E3) a ka d vektor ~x2V(E3) je jejich lineÆrn kombinac
~x = x1~e1 +x2~e2 +x3~e3 (x1;x2;x3 2R):
OrtonormÆln ch bÆz je v prostoru V(E3) nekoneŁn poŁet (li„ se od sebe posu-
nut m a otoŁen m soustavy).V dy uva ujeme jednu konkrØtn soustavu, ke kterØ
se vztahuj souładnice vektoru ~x2V(E3):
Płipomeneme si v sledky pro skalÆrn a vektorovØ souŁiny vektorø bÆze E,
vypl vaj c z dł v j„ ch de nic.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
24 VybranØ ŁÆsti vektorovØho poŁtu
Lze vyjÆdłit skalÆrn souŁiny:
~e1 ~e1 =jj~e1jj2 = 1 ~e1 ~e2 = 0 ~e1 ~e3 = 0
~e2 ~e1 = 0 ~e2 ~e2 =jj~e2jj2 = 1 ~e2 ~e3 = 0
~e3 ~e1 = 0 ~e3 ~e2 = 0 ~e3 ~e3 =jj~e3jj2 = 1
podle de nice ortonormÆln bÆze.
Podobn vektorovØ souŁiny jsou
-
~e1 = ~e2 ~e3


*~e2 = ~e3 ~e1



6
~e3 = ~e1 ~e2
~e1 ~e1 = ~o ~e1 ~e2 = ~e3 ~e1 ~e3 = ~e2
~e2 ~e1 = ~e3 ~e2 ~e2 = ~o ~e2 ~e3 = ~e1
~e3 ~e1 = ~e2 ~e3 ~e2 = ~e1 ~e3 ~e3 = ~o
podle de nice vektorovØho souŁinu (pou ijte v obrÆzku "pravidlo pravØ ruky").
SkalÆrn souŁin v ortonormÆln bÆzi
S ohledem na pravidla pro poŁ tÆn se skalÆrn m souŁinem (V ta 3) mø eme
poŁ tat
~a ~b = (a1~e1 +a2~e2 +a3~e3) (b1~e1 +b2~e2 +b3~e3) =
= a1b1~e1 ~e1|{z}
1
+a1b2~e1 ~e2|{z}
0
+a1b3~e1 ~e3|{z}
0
+
+a2b1~e2 ~e1|{z}
0
+a2b2~e2 ~e2|{z}
1
+a2b3~e2 ~e3|{z}
0
+
+a3b1~e3 ~e1|{z}
0
+a3b2~e3 ~e2|{z}
0
+a3b3~e3 ~e3|{z}
1
= a1b1 +a2b2 +a3b3:
Z skali jsme vzorec
~a ~b = a1b1 +a2b2 +a3b3
pro vektory~a = a1~e1+a2~e2+a3~e3;~b = b1~e1+b2~e2+b3~e3;uva ovanØ v ortonormÆln
bÆzi E:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.5 Vektory v ortonormÆln bÆzi 25
Vektorov souŁin v ortonormÆln bÆzi
Podobn m zpøsobem lze vyu t V tu 5 pro v poŁet vektorovØho souŁinu vektorø
~a = a1~e1 +a2~e2 +a3~e3;~b = b1~e1 +b2~e2 +b3~e3 v ortonormÆln bÆzi E. RozepsÆn
vektorovØho souŁinu dÆvÆ vektor
~a ~b = (a1~e1 +a2~e2 +a3~e3) (b1~e1 +b2~e2 +b3~e3) =
= a1b1~e1 ~e1| {z }
~o
+a1b2~e1 ~e2| {z }
~e3
+a1b3~e1 ~e3| {z }
~e2
+
+a2b1~e2 ~e1| {z }
~e3
+a2b2~e2 ~e2| {z }
~o
+a2b3~e2 ~e3| {z }
~e1
+
+a3b1~e3 ~e1| {z }
~e2
+a3b2~e3 ~e2| {z }
~e1
+a3b3~e3 ~e3| {z }
~o
=
= (a2b3 a3b2)~e1 + (a3b1 a1b3)~e2 + (a1b2 a2b1)~e3:
Tento v sledek mø eme zapsat jako symbolick determinant tłet ho łÆdu, kter
płi v poŁtu rozvineme podle prvn ho łÆdku:
~a ~b =
~e1 ~e2 ~e3
a1 a2 a3
b1 b2 b3
= (a2b3 a3b2)~e1 (a1b3 a3b1)~e2 + (a1b2 a2b1)~e3:
Pł klad 1.5.1 Najd te vektor kolm k vektorøm ~a = ~e1 2~e2 + ~e3;
~b = 2~e1 +~e2 ~e3:
e„en :
~d =~a ~b =
~e1 ~e2 ~e3
1 2 1
2 1 1
= ~e1 + 3~e2 + 5~e3:
e„en m œlohy je ka d vektor kolineÆrn s vektorem ~d:
Sm „en souŁin v ortonormÆln bÆzi
Uva ujeme sm „en souŁin
[~a;~b;~c] =~a (~b ~c)
pro vektory ~a = a1~e1 +a2~e2 +a3~e3;~b = b1~e1 +b2~e2 +b3~e3;~c = c1~e1 +c2~e2 +c3~e3
v ortonormÆln bÆzi E a v me, e
~d =~b ~c = (b2c3 b3c2)| {z }
d1
~e1+(b3c1 b1c3)| {z }
d2
~e2+(b1c2 b2c1)| {z }
d3
~e3 = d1~e1+d2~e2+d3~e3:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
26 VybranØ ŁÆsti vektorovØho poŁtu
SkalÆrn souŁin
~a (~b ~c) =~a ~d =
= a1d1 +a2d2 +a3d3 = a1(b2c3 b3c2) +a2(b3c3 b1c3) +a3(b1c2 b2c1) =
= a1b2c3 +a2b3c1 +a3b1c2 a1b3c2 a2b1c3 a3b2c1:
Sm „en souŁin proto mø eme zapsat jako determinant tłet ho łÆdu
[~a;~b;~c] =
a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
:
Pł klad 1.5.2 VypoŁ tejte objem rovnob nost nu sestrojenØho nad vektory
~a = ~e1;~b = ~e1 3~e3; ~c = 2~e1 +~e2 +~e3: Tvoł vektory ~a;~b;~c pozitivn trojici
vektorø?
e„en :
[~a;~b;~c] =
1 0 0
1 0 3
2 1 1
= 1 0 31 1 = 3 > 0:
Vektory ~a;~b;~c tvoł pozitivn trojici vektorø, proto e [~a;~b;~c] > 0. Objem rov-
nob nost nu sestrojenØho nad vektory~a;~b;~c jej[~a;~b;~c]j=j3j= 3 (jednotky3).
Pł klad 1.5.3 Jsou dÆny vektory ~a = ~e1 + ~e3; ~b = ~e2 ~e3; ~c = ~e1 + ~e2:
VypoŁ tejte ~a (~b ~c)
a) podle vzorce pro poŁ tÆn vektorovØho souŁinu v souładnic ch bÆze E,
b) pomoc vzorce (2) V ty 5.
e„en :
a) Nejprve najdeme ~d =~b ~c =
~e1 ~e2 ~e3
0 1 1
1 1 0
= ~e1 ~e2 ~e3: Pak
~a (~b ~c) =~a ~d =
~e1 ~e2 ~e3
1 0 1
1 1 1
= ~e1 + 2~e2 ~e3:
b) Vzorec mÆ tvar
~a (~b ~c) = (~a ~c)~b (~a ~b)~c:
SkalÆrn souŁiny
~a ~c = (1~e1 + 0~e2 + 1~e3) (1~e1 + 1~e2 + 0~e3) = 1 1 + 0 1 + 1 0 = 1;
~a ~b = (1~e1 + 0~e2 + 1~e3) (0~e1 + 1~e2 1~e3) = 1 0 + 0 1 + 1 ( 1) = 1:
Proto ~a (~b ~c) =~b ( 1)~c =~b +~c = ~e2 ~e3 +~e1 +~e2 = ~e1 + 2~e2 ~e3:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kapitola 2
N kterØ aplikace vektorovØho
poŁtu
2.1 Vektory v souładnicovØ soustav prostoru
E3
Zvol me-li v E3 pevn bod O a uspołÆdanou pozitivn ortonormÆln bÆzi
h~e1;~e2;~e3i ve V(E3); pak dostaneme tzv. kartØzsk souładnicov systØm
a oznaŁ me jej hO;~e1;~e2;~e3i: Bod O naz vÆme poŁÆtkem a pł mky urŁenØ bo-
dem O a postupn vektory ~e1;~e2;~e3 naz vÆme souładnicov mi osami x;y;z:
Je konvence oznaŁovat tuto speciÆln bÆzi jako h~i;~j;~ki nam sto h~e1;~e2;~e3i:
S ka d m bodem A je mo nØ uva ovat polohov vektor (rÆdiusvektor)
~rA = !OA= xA~i+yA~j +zA~k
bodu A: ZÆpis vektoru ~rA = !OA budeme zkracovat na tvar
!OA= x
A~i+yA~j +zA~k = (xA;yA;zA);
Ł sla xA;yA;zA nazveme souładnicemi bodu A a p „eme A = [xA;yA;zA]: Dv ma
røzn mi body A = [xA;yA;zA];B = [xB;yB;zB] je pak urŁen vektor
!AB= !OB !OA= (x
B xA)~i+(yB yA)~j+(zB zA)~k = (xB xA;yB yA;zB zA):
O ~i 1
-x
~j




y
~k
6
z

A = [xA;yA;zA]
!OA
O



* B
!OB





A
!OA j
!AB
- 6
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
28 N kterØ aplikace vektorovØho poŁtu
2.2 Rovina v E3
SkuteŁnost, e rovina je v prostoru E3 urŁena bodem A = [xA;yA;zA] 2
a dv ma nekolineÆrn mi vektory ~u = (u1;u2;u3);~v = (v1;v2;v3) le c mi v rovin
budeme zapisovat
= [A;~u;~v]:
Mø eme pou t n kolik røzn ch pł stupø k popisu roviny (stanoven podm nky,
za kterØ je obecn bod X = [x;y;z] bodem roviny ). Uvedeme dva z takov ch
pł stupø.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Libovoln bod X = [x;y;x]2 prÆv , kdy vektory !AX;~u;~v jsou komplanÆrn .







x60
AHHHj~u


~v
-
!AX

*X62
x60
x60
X2
vektory ~u;~v le v
To lze vyjÆdłit dv ma zpøsoby:
1. !AX = t~u + s~v (t;s 2 R jsou parametry) jsou parametrickØ rovnice
roviny , kterØ rozepisujeme do souładnic
x = xA +tu1 +sv1;
y = yA +tu2 +sv2;
z = zA +tu3 +sv3:
Z t chto rovnic um me vyŁ st souładnice bodu A2 i vektorø ~u;~v roviny
:
2. Pro komplanÆrn vektory je sm „en souŁin [ !AX;~u;~v] = 0: Proto
[ !AX;~u;~v] =
x xA y yA z zA
u1 u2 u3
v1 v2 v3
=
= (x xA) (u2v3 u3v2) (y yA) (u1v3 u3v1)+(z zA) (u1v2 u2v1) =
= ax+by +cz +d = 0
a v sledkem je obecnÆ rovnice roviny :
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 Rovina v E3 29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vektor ~n = (n1;n2;n3) 6= ~o kolm k rovin se naz vÆ normÆlov vektor
roviny : Z vlastnost vektorovØho souŁinu v me, e vektor ~u ~v je kolm ke
ka dØmu z vektorø ~u;~v le c ch v rovin ; proto je kolm k rovin : Je złejmØ,
e za normÆlov vektor roviny mø eme volit libovoln nenulov vektor kolineÆrn
s vektorem ~u ~v:







x60
AHHHj~u


~v
-
!AX
6~n = k(~u ~v)
x60
x60
X2
Libovoln bod X = [x;y;x]2 prÆv , kdy vektory !AX;~n jsou kolmØ.
Podm nku kolmosti vektorø vyjadłuje skalÆrn souŁin
!AX ~n = (x x
A;y yA;z zA) (n1;n2;n3) =
= n1x+n2y +n3z (n1xA +n2yA +n3zA) = ax+by +cz +d = 0:
Vid me, e koe cienty a;b;c obecnØho tvaru rovnice roviny jsou souładnice
normÆlovØho vektoru roviny ; tj.
~n = (a;b;c);
kde vektor ~n je kolineÆrn s vektorem ~u ~v:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pł klad 2.2.1 Rovina mÆ obecnou rovnici roviny x + 2z + 1 = 0: Najd te
bod A a normÆlov vektor roviny :
e„en : ObecnÆ rovnice roviny mÆ tvar ax+by+cz+d = 0; kde normÆlov
vektor ~n = (a;b;c): ZadÆn œlohy proto nap „eme ve tvaru 1x+ 0y + 2z + 1 = 0
a proto ~n = (1;0;2): Bodem roviny je libovoln bod A = [xA;yA;zA], kter
spl uje rovnici xA + 2zA + 1 = 0: Proto e rovnice nezÆvis na y, lze volit pro
jednoduchost yA = 0 a napł klad volbou xA = 1 z skÆme z rovnice zA = 0: Bod
A = [ 1;0;0]2 :
PoznÆmka: Rovnice roviny x + 2z + 1 = 0 posledn ho pł kladu ne-
zÆvis na y; pro ka dØ y je rovnice stejnÆ, proto je rovina rovnob nÆ
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
30 N kterØ aplikace vektorovØho poŁtu
se souładnicovou osou y: To je vid t takØ na normÆlovØm vektoru
~n = (1;0;2); kter mÆ druhou souładnici nulovou (situaci gra cky
znÆzorn te). Podobn rovnice x = 3 je v E3 obecnou rovnic roviny,
kterÆ je rovnob nÆ se souładnicov mi osami y i z.
Pł klad 2.2.2 Body A = [1;1;1]; B = [0;1;2]; C = [ 2;3; 1] jsou body
roviny . Najd te obecnou rovnici roviny
a) U it m vektorovØho souŁinu vektorø.
b) U it m sm „enØho souŁinu vektorø.
e„en : Rovina = [A;~u;~v]; kde A = [1;1;1] a vektory ~u = !AB= ( 1;0;1),
~v = !AC = ( 3;2; 2) jsou nekomplanÆrn .
a) Vektor ~u ~v =
~i ~j ~k
1 0 1
3 2 2
= 2~i 5~j 2~k = ( 2; 5; 2) je ko-
lineÆrn s normÆlov m vektorem roviny. Proto mø eme zvolit napł klad
~n = (a;b;c) = (2;5;2): Bod
A = [1;1;1]2 : 2x+ 5y + 2z +d = 0:
Proto je d = 9 a hledanÆ rovnice je : 2x+ 5y + 2z 9 = 0:
b) Vektory !AX;~u;~v jsou pro body X2 komplanÆrn . Proto sm „en souŁin
[ !AX;~u;~v] = 0, tj.
x 1 y 1 z 1
1 0 1
3 2 2
= 2(x 1) 5(y 1) 2(z 1) = 0:
pravou z skanØ rovnice obdr me v sledek : 2x+ 5y + 2z 9 = 0.
CviŁen 2.2.1 Uka te, e 3x + 6y + 2z 13 = 0 je obecnou rovnic roviny,
kterÆ vyt nÆ na souładnicov ch osÆch œseky v pom ru 2 : 1 : 3 a prochÆz bodem
A = [1;2; 1]. JakØ jsou dØlky œsekø na osÆch?
NÆvod: Situaci si gra cky znÆzorn te. PrøseŁ ky hledanØ roviny se souładni-
cov mi osami jsou body A = [2q;0;0]; B = [0;q;0]; C = [0;0;3q]; kde jqj6= 0
je dØlka œseku. Rovina je proto urŁena napł klad bodem A a vektory ~u = !AB;
~v = !AC : Jedn m z v poŁetn ch postupø płedchÆzej c ho pł kladu obdr me po-
adovan v sledek.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3 Pł mka v E3 31
2.3 Pł mka v E3
SkuteŁnost, e pł mka p je v prostoru E3 urŁena bodem A = [xA;yA;zA] a sm -
rov m vektorem ~s = (s1;s2;s3) budeme zapisovat
p = [A;~s]:
Obecn bod X = [x;y;z] je bodem pł mky p prÆv , kdy jsou vektory ~s; !AX
kolineÆrn , tj.
!AX = t ~s (t2R):
px60
A
-~s -
!AX
x60
X2p
RozepsÆn m tØto vektorovØ rovnice a œpravou slo ek z skÆvÆme paramet-
rickØ rovnice pł mky p;
p : x = xA +ts1; y = yA +ts2; z = zA +ts3; (t2R je parametr):
Zcela formÆln mø eme v ka dØ z parametrick ch rovnic vyjÆdłit parametr t
a obdr me kanonickØ rovnice pł mky p ve tvaru
p : x xAs
1
= y yAs
2
= z zAs
3
(= t):
V razy zÆpisu płitom nebudeme pova ovat za zlomky, i kdy tak formÆln vypa-
daj . kolem zÆpisu je płedev„ m podat informaci o souładnic ch bodu A a sm -
rovØho vektoru ~s, proto bude m t napł klad smysl i zÆpis
p : x0 = y 11 = z 2 3
vyjadłuj c skuteŁnost, e pł mka p je urŁena bodem A = [0;1;2] a sm rov m
vektorem ~s = (0;1; 3).
¨asto je pł mka zadÆna jako prøseŁnice dvou rovin,
p :
a
1x+b1y +c1z +d1 = 0
a2x+b2y +c2z +d2 = 0 ;
kterØ nejsou rovnob nØ nebo toto nØ. To je spln no, kdy normÆlovØ vektory
~n1 = (a1;b1;c1);~n2 = (a2;b2;c2) rovin nejsou kolineÆrn . lohou takovØho zadÆn
pł mky b vÆ nalezen parametrick ch rovnic pł mky, tj. bodu A a sm rovØho
vektoru ~s pł mky p: e„en œlohy je velmi jednoduchØ: pł mka p je obsa ena
v obou rovinÆch, proto je sm rov vektor pł mky kolm k normÆlov m vektorøm
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
32 N kterØ aplikace vektorovØho poŁtu
~n1;~n2: Vektor ~n1 ~n2 je kolm k vektorøm ~n1;~n2 a pro nekolineÆrn vektory je
nenulov . Proto je ~s kolineÆrn s vektorem ~n1 ~n2. Bod pł mky najdeme jako
jedno z nekoneŁn mnoha łe„en soustavy dvou rovnic, kterØ pł mku de nuj .
Jinou mo nost je urŁen obecnØho łe„en soustavy rovnic
a1x+b1y +c1z +d1 = 0
a2x+b2y +c2z +d2 = 0 ;
kterØ zÆvis na jednom parametru a pł mo stanov parametrickØ rovnice pł mky.
Pł klad 2.3.1 Najd te parametrickØ rovnice pł mky
p :
2x 3y +z 5 = 0
3x+y 2z 4 = 0 :
e„en :
1. łe„en : 1 : 2x 3y +z 5 = 0)~n1 = (2; 3;1);
2 : 3x+y 2z 4 = 0)~n2 = (3;1