Skripta - Vektorový počet a jeho aplikace

; 2):
~n1 ~n2 =
~i ~j ~k
2 3 1
3 1 2
= 5~i+ 7~j + 11~k = (5;7;11)6= ~o;
proto nejsou vektory kolineÆrn , lze polo it ~s = (5;7;11) a œloha mÆ łe„en .
Polo me-li napł klad y = 0; pak łe„ me soustavu rovnic 2x + z 5 = 0;
3x 2z 4 = 0 s v sledkem x = 2;z = 1. Bod A = [2;0;1]2p: Paramet-
rickØ rovnice pł mky jsou
p : x = 2 + 5t; y = 7t; z = 1 + 11t; (t2R):
2. łe„en : Gaussovou eliminaŁn metodou lze upravit roz„ łenou matici soustavy na
tvar
3 1 2 4
2 3 1 5


1 4 3 1
0 11 7 7

Vol me napł klad y = 7t (t2R je parametr), abychom se vyhnuli poŁ tÆn
se zlomky. DruhÆ rovnice je proto 11 7t+ 7z = 7)z = 1 + 11t a prvn
rovnice po dosazen dÆvÆ x = 2 + 5t: ParametrickØ rovnice pł mky jsou
p : x = 2 + 5t; y = 7t; z = 1 + 11t; (t2R):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 lohy metrickØ 33
2.4 lohy metrickØ
VzdÆlenost bodu od roviny







x60
A






!AM
6~n = (a;b;c)
hh
: ax+by +cz +d = 0
axA +byA +czA +d = 0)d = (axA +byA +czA)
M = [xM;yM;zM]
VzdÆlenost bodu M = [xM;yM;zM] od roviny : ax + by + cz + d = 0
urŁenØ bodem A = [xA;yA;zA] a normÆlov m vektorem ~n = (a;b;c) je Ł slo h;
kterØ je prøm tem dØlky vektoru !AM do vektoru ~n: Proto
h =jj !AM~njj= j~n
!AMj
jj~njj
(viz vzorec (1.1)). Ze stłedn „koly znÆmØ vyjÆdłen vzorce obdr me takto:
~n !AM = (a;b;c) (xM xA;yM yA;zM zA) =
= axM +byM +czM (axA +byA +czA| {z }
d
) = axM +byM +czM +d
a jj~njj = p~n ~n = pa2 +b2 +c2: Dosazen m do v „e uvedenØho vzorce z skÆme
vyjÆdłen vzdÆlenosti bodu M = [xM;yM;zM] od roviny : ax+by +cz +d = 0
ve tvaru
d = jaxM +byM +czM +djpa2 +b2 +c2 :
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
34 N kterØ aplikace vektorovØho poŁtu
VzdÆlenost bodu od pł mky
x60
A
’



!AM
-
~s
p
h
M = [xM;yM;zM]
P
h =jj !AMjjsin’
jj !AM ~sjj=jj !AMjj jj~sjjsin’
jj !AM ~sjj=jj~sjj h
VzdÆlenost h bodu M = [xM;yM;zM] od pł mky p = [A;~s] je vzdÆlenost
bodu M od kolmØho prøm tu P bodu M na pł mku p. Pomoc vektorovØho
souŁinu vyjÆdł me vzdÆlenost bodu od pł mky jako
h = jj~s
!AMjj
jj~sjj
(viz obrÆzek).
hel dvou rovin
1










2
6
~n1
@
@
@
@I
~n2
@
@
@
@R~n2
hel rovin 1; 2 vyb rÆme v dy ostr . hel rovin je œhlem normÆlov ch
vektorø rovin
cos’ = j~n1 ~n2jjj~n
1jj jj~n2jj
;
kde uva ujeme v Łitateli absolutn hodnotu, abychom o„etłili pł pad uveden
v obrÆzku a poŁ tali s ostr m œhlem ’.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.4 lohy metrickØ 35
hel dvou pł mek
p1










p2
-~s
1
~s2
~s2
hel pł mek p1;p2 vyb rÆme v dy ostr . hel pł mek je œhlem sm ro-
v ch vektorø pł mek
cos’ = j~s1 ~s2jjj~s
1jj jj~s2jj
;
kde uva ujeme v Łitateli absolutn hodnotu, abychom o„etłili pł pad uveden
v obrÆzku a poŁ tali s ostr m œhlem ’.
hel pł mky a roviny
’
6
~n










p
~s
hel pł mky p s rovinou vyb rÆme v dy ostr . hel pł mek je dopl kem œhlu ’
sm rovØho vektoru pł mky a normÆlovØho vektoru roviny do =2; tj. ’ = 2 :
V me, e ~n ~s =jj~njj jj~sjjcos =jj~njj jj~sjjcos ( 2 ’) =jj~njj jj~sjjsin’: Proto
v obecnØm pł pad klademe
sin’ = j~n ~sjjj~njj jj~sjj;
kde uva ujeme v Łitateli absolutn hodnotu, abychom poŁ tali s ostr m œhlem ’.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
36 N kterØ aplikace vektorovØho poŁtu
2.5 lohy polohy
VzÆjemnÆ poloha dvou rovin
K rovinÆm 1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0; 2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0 na-
jdeme body A1 2 1; A2 2 2 a odpov daj c normÆlovØ vektory ~n1 = (a1;b1;c1);
~n2 = (a2;b2;c2):
1. Jsou-li vektory ~n1;~n2 kolineÆrn , jsou roviny 1; 2 rovnob nØ.
a) Je-li nav c napł klad A1 2 2; pak jsou roviny 1; 2 toto nØ.
b) Jestli e A1 62 2; pak jsou roviny 1; 2 rovnob nØ a røznØ. Stano-
ven m vzdÆlenosti bodu A1 2 1 od roviny 2 urŁ me vzdÆlenost obu
rovnob n ch rovin.
2. Jsou-li vektory ~n1;~n2 nekolineÆrn , jsou roviny 1; 2 røznob nØ a prot -
naj se v jednØ pł mce p. Stanovujeme pak œhel rovin a nejŁast ji parame-
trickØ rovnice pł mky p:
VzÆjemnÆ poloha pł mky a roviny
UrŁ me bod A a normÆlov vektor ~n roviny ; bod B a sm rov vektor ~s pł mky
p: Z geometrick ch v znamø obou vektorø vypl vÆ:
1. Jsou-li vektory ~s;~n kolmØ, je pł mka p rovnob nÆ s rovinou .
a) Je-li B2 ; pak le pł mka p v rovin .
b) Jestli e B 62 ; pak najdeme vzdÆlenost pł mky p od roviny jako
vzdÆlenost bodu B od roviny .
2. Nejsou-li vektory ~s;~n kolmØ, pak pł mka p prot nÆ rovinu v prøseŁ ku P
pł mky s rovinou. Stanovujeme œhel pł mky s rovinou a souładnice prøse-
Ł ku P.
PrøseŁ k pł mky s rovinou
A» je pł mka p urŁena parametrick mi rovnicemi
p : x = xB +ts1;y = yB +ts2;z = zB +ts3
a rovina obecnou rovnic roviny
: ax+by +cz +d = 0:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 lohy polohy 37
Pł mka p = [B;~s] mÆ s rovinou = [A;~n] prøseŁ k P = [xP;yP;zP] v pł pad ,
e ~s ~n6= 0: Pak jsou souŁasn spln ny rovnice
xP = xB +tPs1;yP = yB +tPs2;zP = zB +tPs3; axP +byP +czP +d = 0
pro hodnotu tP parametru bodu P: Dosazen m nalezenØho tP do v „e uveden ch
rovnic ihned obdr me souładnice prøseŁ ku P pł mky p s rovinou a identickou
rovnici 0 = 0:
VzÆjemnÆ poloha dvou pł mek
Nech» p = [A;~sp ];q = [B;~sq ] jsou dv pł mky uŁenØ odpov daj c mi body a sm -
rov mi vektory.
1. Jsou-li vektory ~sp;~sq kolineÆrn , jsou pł mky p;q rovnob nØ.
a) Je-li napł klad A2q; pak jsou pł mky p;q toto nØ (p q).
b) Je-li napł kladA62q;pak jsou pł mkyp;q rovnob nØ, røznØ. VzdÆ-
lenost bodu A od pł mky q (bodu B od pł mky p) urŁuje vzdÆlenost
rovnob ek.
2. Jsou-li vektory ~sp;~sq nekolineÆrn , jsou pł mky p;q røznob nØ nebo
mimob nØ. Body A;B urŁuj vektor !AB2V(E3):
a) Je-li sm „en souŁin [~sp;~sq; !AB] = 0; le pł mky p;q v jednØ rovin
a pł mky jsou røznob nØ. UrŁujeme œhel pł mek, prøseŁ k pł mek
a rovinu, ve kterØ røznob ky le .
b) Je-li sm „en souŁin [~sp;~sq; !AB] 6= 0; jsou p;q pł mky mimob nØ.
UrŁujeme œhel mimob ek a jejich nejkrat„ vzdÆlenost.
PrøseŁ k røznob ek
OznaŁme ~sp = (s1;s2;s3);~sq = (u1;u2;u3): Pro prøseŁ k P = [xP;yP;zP] røzno-
b ek plat s vyu it m parametrick ch rovnic podm nky
xP = xA +tPs1 = xB + Pu1
yP = yA +tPs2 = yB + Pu2
zP = zA +tPs3 = zB + Pu3
;
kde neznÆmØ tP; P jsou hodnoty parametrø bodu P v odpov daj c ch paramet-
rick ch rovnic ch. JednÆ se o soustavu tł rovnic pro dv neznÆmØ tP; P; kterÆ
mÆ v pł pad røznob ek prÆv jedno łe„en . Toto łe„en urŁuje po dosazen do
v „e uveden ch rovnic souładnice hledanØho bodu P:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
38 N kterØ aplikace vektorovØho poŁtu
Nejkrat„ vzdÆlenost mimob ek
Nejkrat„ vzdÆlenost mimob ek p = [A;~sp ];q = [B;~sq ] je urŁena v „kou (viz
(1.2))
v = j[~sp;~sq;
!AB]j
jj~sp ~sqjj
rovnob nost nu sestrojenØho nad vektory ~sp;~sq; !AB :
Pł klad 2.5.1 Vy„etłete vzÆjemnou polohu pł mek
p : x = 1 +t;y = 1 t;z = 2t (t2R); q : 2x+ 24 = 4 2y4 = z4:
e„en : p = [A;~sp ]; kde A = [1;1;0];~sp = (1; 1;2).
pravou zjist me, e kanonickØ rovnice
x x0
s1 =
y y0
s2 =
z z0
s3
pł mky q maj tvar
x+ 1
2 =
y 2
2 =
z
4;
proto q = [B;~sq ]; kde B = [ 1;2;0];~sq = (2; 2;4).
Pł mky p;q jsou rovnob nØ, proto e ~sq = (2; 2;4) = 2(1; 1;2) = 2~sp
a ~sp;~sq jsou kolineÆrn vektory. K dispozici mÆme parametrickØ rovnice pł mky
p a ptÆme se, zda bod B = [ 1;2;0]2q vyhovuje rovnic m pł mky p; tj. zda plat
souŁasn rovnice 1 = 1 + t;2 = 1 t;0 = 2t pro n jakou hodnotu parametru
t: Rovnice si odporuj , proto B62p; pł mky jsou rovnob nØ a røznØ. VzdÆlenost
rovnob ek je vzdÆlenost bodu B od pł mky p a je dÆna vzorcem
h = jj~sp
!AB jj
jj~spjj :
Vektor !AB= !OB !OA= ( 1;2;0) (1;1;0) = ( 2;1;0) a vektorov souŁin
~sp !AB=
~i ~j ~k
1 1 2
2 1 0
= 2~i+ 4~j ~k = ( 2;4; 1)
mÆ dØlku jj~sp !AB jj = p21 a jj~spjj = p6: Proto maj rovnob ky vzdÆlenost
h = p21=6 = p7=2:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 lohy polohy 39
Pł klad 2.5.2 Vy„etłete vzÆjemnou polohu pł mek
p : x = 1 t;y = 2;z = 2t 1 (t2R); q : x = ;y = 3 + ;z = 3 ( 2R):
e„en :
p = [A;~sp ]; A = [1;2; 1]; ~sp = ( 1;0;2);
q = [B;~sq ]; B = [0;3;0]; ~sq = (1;1; 3):
Vektorov souŁin
~sp ~sq =
~i ~j ~k
1 0 2
1 1 3
= 2~i ~j ~k = (2;1;1)6= 0:
Vektory nejsou kolineÆrn , proto se jednÆ o røznob ky nebo mimob ky. Vektor
!AB= !OB !OA= (0;3;0) (1;2; 1) = ( 1;1;1) a sm „en souŁin
[~sp;~sq; !AB] =
1 0 2
1 1 3
1 1 1
= 0:
Pł mky p;q jsou røznob nØ.
hel røznob ek urŁ me pomoc skalÆrn ho souŁinu
cos’ = j~sp ~sqjjj~s
pjj jj~sqjj
= j 7jp5 p11 = 7p55 )’ = arccos 7p55:
PrøseŁ k P røznob ek najdeme pomoc rovnic
xP = 1 tP = P ) tP = 2
yP = 2 = 3 + P ) P = 1
zP = 1 + 2tP = 3 P ) 1 + 4 = 3
Odtud pak xP = 1;yP = 2;zP = 3 a hledan prøseŁ k P = [ 1;2;3].
Rovina obsahuj c røznob ky je urŁena prvky, kter mi jsou zadÆny pł mky
p;q: StaŁ uva ovat = [A;~sp;~sq ]: NormÆlov vektor ~n roviny je kolineÆrn
s ji nalezen m vektorem ~sp ~sq = (2;1;1) a staŁ zvolit ~n = (2;1;1):
Bod X = [x;y;z] 2 prÆv , kdy jsou vektory !AX;~n kolmØ. Proto !AX ~n =
= (x 1;y 2;z + 1) (2;1;1) = 2(x 1) +y 2 +z + 1 = 2x+y +z 3 = 0:
NalezenÆ rovina : 2x + y + z 3 = 0 skuteŁn obsahuje ob pł mky, proto e
postupn m dosazen m parametrick ch rovnic pł mek do obecnØ rovnice roviny
obdr me 2(1 t) + 2 + 2t 1 3 = 0; 2 + 3 + 3 3 = 0; tj. identity 0 = 0:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
40 N kterØ aplikace vektorovØho poŁtu
Pł klad 2.5.3 Vy„etłete vzÆjemnou polohu pł mek
p : x = 1 t;y = 2;z = 2t 1 (t2R); q :
x+y 2z 3 = 0;
2x y +z = 0:
e„en : Pro ka dou pł mku urŁ me bod a sm rov vektor pł mky. ZaŁneme
pł mkou q.
1 : x+y + 2z 3 = 0 ) ~n1 = (1;1; 2);
2 : 2x y +z = 0 ) ~n2 = (2; 1;1):
Vektor ~sq je kolineÆrn s vektorem
~n1 ~n2 =
~i ~j ~k
1 1 2
2 1 1
= (1;5;3):
Vol me ~sq = (1;5;3): Pro z = 0 mÆ soustava rovnic x+y = 3;2x y = 0 urŁuj c
bod pł mky q łe„en x = 1;y = 2 a bod B = [1;2;0]2q: Proto
p = [A;~sp ]; A = [1;2; 1]; ~sp = ( 1;0;2);
q = [B;~sq ]; B = [1;2;0]; ~sq = (1;5;3):
Vektorov souŁin
~sp ~sq =
~i ~j ~k
1 0 2
1 5 3
= 5( 2;1; 1)6= 0
a jj~sp ~sqjj = 5jj( 2;1; 1)jj = 5p6: Pł mky nejsou rovnob nØ. Vektor
!AB= (0;0;1) = ~k a sm „en souŁin
[~sp;~sq; !AB] =
1 0 2
1 5 3
0 0 1
= 56= 0:
Proto jsou p;q mimob nØ pł mky.
Pro œhel mimob ek plat
cos’ = j~sp ~sqjjj~s
pjj jj~sqjj
= 5p35 p5 = 1p7 )’ = arccos
p7
7 :
Nejkrat„ vzdÆlenost mimob ek je
d = j[~sp;~sq;
!AB]j
jj~sp ~sqjj =
j 5j
5p6 =
1p
6 =
p6
6 :
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.5 lohy polohy 41
Pł Łky a osa mimob ek
Pro mimob nØ pł mky p = [A;~u]; q = [B;~v]; takØ urŁujeme
a) pł Łku mimob ek, co je pł mka r; kterÆ je røznob nÆ s ob ma pł m-
kami p;q;
b) osu mimob ek, co je pł Łka r; kterÆ je k ob ma pł mkÆm p;q kolmÆ.
MÆme-li nalØzt pł Łku r mimob ek p;q; kterÆ je rovnob nÆ s vektorem ~w,
pro kter plat [~u;~v;~w]6= 0; pak staŁ napł klad
1) nalØzt roviny = [A;~u;~w]; = [B;~v;~w];
2) vytvołit prønik r = \ :





1x60A
~u
PPP
PPP
PPP
P
Pq
x60
B ~v






r = \
x60
~w





= [A;~u;~w]
PPP
PPP
PPP
PP


= [B;~v;~w]
OtÆzka: ProŁ mus b t vektory ~u;~v;~w nekomplanÆrn ?
PoznÆmka:
a) Płi hledÆn pł Łky r mimob ek p;q; kterÆ prochÆz zadan m
bodem C; lze postupovat obdobn , jako kdy je zadÆn vektor ~w:
b) Pro sm rov vektor ~w osy mimob ek złejm plat ~w = ~u ~v:
Pł klad 2.5.4 Jsou dÆny pł mky p : x = 1 + 2t; y = 2 + t; z = 2 + t; t2R;
q : x = 2 + s; y = 3; z = 4 + 3s; s2R: Ov łte, e jde o mimob ky a urŁete
jejich pł Łku r v te-li, e mÆ sm rov vektor ~w = (2;1; 3):
e„en : Pł mky p = [A;~u]; q = [B;~v]; kde A = [1;1;1]; ~u = (2;1;1);
B = [2;3;4];~v = (1;0;3) a plat
[ !AB ~u;~v] =
1 1 2
2 1 1
1 0 3
= 46= 0:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
42 N kterØ aplikace vektorovØho poŁtu
Jde tedy o mimob ky. Jak v me, osu r mø eme napł klad urŁit jako prøseŁnici
rovin = [A;~u;~w] a = [B;~v;~w]; płiŁem
:
x 1 y 2 z 2
2 1 1
2 1 3
= 0; :
x 2 y 3 z 4
1 0 3
2 1 3
= 0:
Odtud
r :
x 2y + 3 = 0
3x 9y z + 25 = 0 :
2.6 Vlastn Ł sla a vlastn vektory
Motivace: Uva ujme v E2 rovnici
9x2 4xy + 6y2 + 16x 8y 2 = 0: (2.1)
TentokrÆt se nÆm nepodał urŁit typ a polohu ku eloseŁky pouh m "dopln n m
na œpln Łtverec", płeb vÆ zde souŁin xy: Jde toti o rovnici ku eloseŁky, kterÆ
nemÆ osy rovnob nØ se souładnicov mi osami. Na„im c lem je naj t transformaci
x = x(x0;y0); y = y(x0;y0);
kterÆ vyjÆdł rovnici ku eloseŁky vzhledem k jej m osÆm. Ob metody pou vanØ
pro łe„en tØto œlohy jsou pro geodety zaj mavØ.
a) Prvn z nich pou vÆ transformaci otÆŁen s c lem zjistit œhel otoŁen , płi
kterØm koe cient u x0y0 bude nulov . Pro transformaci otÆŁen plat :
-x
6
y
Ox61



*
x0
A
A
A
A
A
A
AK
y0


-~e
1
6
~e01 *
~e2AK~e0
2
~e01 = ~e1 cos +~e2 sin
~e02 = ~e1 sin +~e2 cos ;
tj.
~e01
~e02

=
cos sin
sin cos


~e
1
~e2

|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 Vlastn Ł sla a vlastn vektory 43
a naopak
~e1
~e2

=
cos sin
sin cos


~e0
1
~e02

Odtud
!OX = x~e
1 +y~e2 = x (~e01 cos ~e02 sin ) +y (~e01 sin +~e02 cos ) =
= (xcos +ysin | {z }
x0
)~e01 + ( xsin +ycos | {z }
y0
)~e02
Mø eme tedy psÆt
x0
y0

=
cos sin
sin cos


x
y

a
x
y

=
cos sin
sin cos


x0
y0

:
Dosad me-li transformaŁn vztahy pro x a y do rovnice ku eloseŁky, pak
napł klad pro (2.1) obdr me
(9 cos2 4 sin cos +6 sin2 )x02+( 4 cos2 6 sin cos + 4 sin2 )| {z }
0
x0y0+
+(9 sin2 + 4 sin cos + 6 cos2 )y02 + (16 cos 8 sin )x0
(16 sin + 8 cos )y0 2 = 0:
Polo me-li koe cient u x0y0 roven nule, dostaneme goniometrickou rovnici,
ze kterØ urŁ me sin ;cos a t m i transformaŁn rovnice.
V„imn te si zaj mav ch vlastnost matice A =
cos sin
sin cos

: Plat
det A = 1; A 1 = AT . kÆme, e matice A je ortogonÆln .
b) Druhou mo nost je urŁit tzv. hlavn sm ry ku eloseŁky. Zave me si nejprve
obecnØ oznaŁen koe cientø ku eloseŁky:
a11x2 + 2a12xy +a22y2 + 2a13x+ 2a23y +a33 = 0:
DÆ se ukÆzat, e pro hlavn sm ry (u1;u2) plat
(a11 )u1 +a12u2 = 0
a21u1 + (a22 )u2 = 0
a rovnice
a11s1 +a12s2 +a13 = 0
a21s1 +a22s2 +a23 = 0
spl uje stłed S = [s1;s2] ku eloseŁky.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
44 N kterØ aplikace vektorovØho poŁtu
Pro ku eloseŁku (2.1) tedy plat :
Hlavn sm ry ku eloseŁky jsou urŁeny netriviÆln m łe„en m homogenn ho
systØmu rovnic
(9 )u1 2u2 = 0
2u1 + (6 )u2 = 0 ;
pro kter mus platit 9 2 2 6 = 0: Odtud dostaneme =
5
10 :
Hodnot = 5 odpov dÆ systØm rovnic
4u1 2u2 = 0
2u1 +u2 = 0 ;
kterØmu vyhovuje napł klad vektor ~e01 = 1p5(1;2):
Pro Ł slo = 10 dostaneme
u1 + 2u2 = 0
u1 + 2u2 = 0 ;
a odtud napł klad ~e02 = 1p5( 2;1):
Stłed je urŁen soustavou
9s1 2s2 + 8 = 0
2s1 + 6s2 4 = 0
a tedy S = [ 45; 25]:
V souładnicovØ soustav hS;~e01;~e02ipak ji mÆ ku eloseŁka (2.1) po adovan
kanonick tvar.
V na„em motivaŁn m pł kladu mÆme pak
x s
1
y s2

= [~e01;~e02]
x0
y0

;
tj.
x
y

= 1p5
1 2
2 1


x0
y0

+
4
52
5

:
Dosazen m transformaŁn ch vztahø
x = 1p5(x0 2y0) 45
y = 1p5(2x0 +y0) + 25
do rovnice (2.1) dostaneme hledanou rovnici
x02 + 2y02 = 2:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 Vlastn Ł sla a vlastn vektory 45
PoznÆmka: Hlavn sm ry jsou urŁeny systØmem rovnic, kter m de -
nujeme tzv. vlastn Ł sla a vlastn vektory matice, kterØ maj rozsÆhlØ
vyu it jak v matematice, tak v technick ch aplikac ch.
Nejprve uvedeme płehled pou vanØ terminologie:
PłedpoklÆdÆme, e A2Mat (C) je ŁtvercovÆ matice łÆdu n, obecn s kom-
plexn mi prvky.
terminologie { zÆpis v znam { nÆzev
A En = A E charakteristickÆ matice pł slu„nÆ k maticiA;
2C; E je jednotkovÆ matice łÆdu n
det(A E) charakteristick polynom matice A
vlastn Ł sla matice A kołeny charakteristickØho polynomu
spektrum matice A soubor vlastn ch Ł sel matice A;
ka dØ vlastn Ł slo je v n m uvedeno tolikrÆt,
kolik Łin jeho nÆsobnost
vlastn vektor matice A nenulov vektor ~x2Cn takov , e A~x = ~x
pł slu„n k Ł slu
vlastn podprostor V (A) V (A) =f~x2Cn; A~x = ~x; ~x6= ~og
pł slu„n k Ł slu
algebraickÆ nÆsobnost nÆsobnost kołene charakteristickØho polynomu
vlastn ho Ł sla
geometrickÆ nÆsobnost dimenze podprostoru V (A) ("maximÆln poŁet"
vlastn ho Ł sla lineÆrn nezÆvisl ch łe„en soustavy (A E)~x = ~o )
PoznÆmka: Maticovou rovnici A~x = ~x je mo nØ vyjÆdłit ve tvaru
(A E)~x = ~o; kde ~o je nulov vektor. Jak v me, tento homogenn systØm li-
neÆrn ch algebraick ch rovnic mÆ netriviÆln (nenulovØ) łe„en tehdy, kdy je
det(A E) = 0:
V„imneme si takØ, e je-li~xvlastn m vektorem matice A;pak ka d konstantn
nÆsobek k~x; k6= 0 (obecn k2C) je op t vlastn m vektorem matice A:
Pł klad 2.6.1 UrŁete v„echna vlastn Ł sla a vlastn vektory matice A, je-li
a) A =
2
4
2 1 3
3 2 3
1 1 2
3
5; b) A =
2
4
1 4 3
2 5 3
2 4 2
3
5:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
46 N kterØ aplikace vektorovØho poŁtu
e„en
a) M sto pł mØho v poŁtu pou ijeme nejprve elementÆrn œpravy pro zjedno-
du„en determinantu,
det(A E) =
2 1 3
3 2 3 "
1 1 2 ( 1)
=
1 0 1 +
3 2 3
1 1 2
=
= (1 )
1 0 1 ( 3) ( 1)
3 2 3 #
1 1 2
= (1 )
1 0 1
0 2 0
0 1 1
=
= (1 )(1 + )(2 + ) = 0; =) 1 = 1; 2 = 1; 3 = 2 je spektrum
matice A:
Jednotliv m vlastn m Ł sløm nyn urŁ me pł slu„nØ vlastn vektory, souładnice
vlastn ho vektoru oznaŁ me x1;x2;x3:
1 = 1 : (A 1E)~x = ~o =)
x1 +x2 3x3 = 0
3x1 3x2 3x3 = 0
x1 +x2 3x3 = 0
a soustavu
łe„ me gaussovou eliminaŁn metodou.2
4
1 1 3 0
3 3 3 0
1 1 3 0
3
5
2
4
1 1 3 0
1 1 1 0
1 1 3 0
3
5
2
4
1 1 3 0
0 2 2 0
0 0 0 0
3
5
2
4
1 1 3 0
0 1 1 0
0 0 0 0
3
5
x3 = t vol me jako parametr, pak x2 = t; x1 = 2t a vlastn vektor je
~x1 = t (2;1;1)T:
2 = 1 : (A 2E)~x = ~o =)
3x1 +x2 3x3 = 0
3x1 1x2 3x3 = 0
x1 +x2 x3 = 0
2
4
3 1 3 0
3 1 3 0
1 1 1 0
3
5
2
4
1 1 1 0
0 2 0 0
0 4 0 0
3
5
2
4
1 1 1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
3
5
x2 = 0; x3 = s vol me jako parametr, pak x1 = s a vlastn vektor je
~x2 = s (1;0;1)T:
3 = 2 : (A 3E)~x = ~o =)
4x1 +x2 3x3 = 0
3x1 0x2 3x3 = 0
x1 +x2 0x3 = 0
2
4
4 1 3 0
3 0 3 0
1 1 0 0
3
5
2
4
1 1 0 0
1 0 1 0
0 3 3 0
3
5
2
4
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 0 0
3
5
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.6 Vlastn Ł sla a vlastn vektory 47
x3 = u vol me jako parametr, pak x2 = u x1 = u a vlastn vektor je
~x3 = u (1; 1;1)T:
KomentÆł k pł kladu a) :
AlgebraickÆ i geometrickÆ nÆsobnost ka dØho vlastn ho Ł sla je stejnÆ, a to 1.
Vlastn vektory (2;1;1)T; (1;0;1)T; (1; 1;1)T jsou lineÆrn nezÆvislØ
a tvoł bÆzi aritmetickØho lineÆrn ho prostoru R3:
b) Pł klad łe„ me analogick m postupem,
det(A E) =
1 4 3
2 5 3
2 4 2 (1)"
=
1 0 1
0 1 1
2 4 2
=
= (1 )2
1 0 1 ( 2)
0 1 1 #
2 4 2
= (1 )2
1 0 1
0 1 1
0 4 4
=
= (1 )2
1 0 1
0 1 1
0 0
= (1 )2 = 0; =) 1 = 0; 2;3 = 1
je spektrum matice A:
1 = 0 : A~x = ~o =)
2
4
1 4 3 0
2 5 3 0
2 4 2 0
3
5
2
4
1 4 3 0
0 3 3 0
0 4 4 0
3
5

2
4
1 4 3 0
0 1 1 0
0 1 1 0
3
5
2
4
1 4 3 0
0 1 1 0
0 0 0 0
3
5;x3 = t vol me jako parametr, pak
x2 = t; x1 = t a vlastn vektor je ~x1 = t (1;1; 1)T:
2;3 = 1 : (A E)~x = ~o =)
2
4
2 4 3 0
2 4 3 0
2 4 3 0
3
5
2
4
2 4 3 0
0 0 0 0
0 0 0 0
3
5 ;
x3 = 2s vol me jako parametr, x2 = u vol me jako parametr, pak x1 = 3s + 2u
a vektor
~x = (3s+ 2u;u;2s)T = s (3;0;2)T +u (2;1;0)T
je lineÆrn kombinac dvou vlastn ch vektorø.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
48 N kterØ aplikace vektorovØho poŁtu
KomentÆł k pł kladu b) :
dim V (A) =
1 pro
1 = 0
2 pro 2;3 = 1 AlgebraickÆ i geometrickÆ nÆsobnost
ka dØho vlastn ho Ł sla je stejnÆ, a to 1 pro = 0, 2 pro = 1:
Vlastn vektory (1;1; 1)T; (3;0;2)T; (2;1;0)T jsou lineÆrn nezÆvislØ
a tvoł bÆzi aritmetickØho lineÆrn ho prostoru R3:
Na zÆv r uvedeme n kterØ vlastnosti vlastn ch Ł sel a vlastn ch vektorø
Łtvercov ch matic n{tØho łÆdu.
(a) Vlastn vektory odpov daj c røzn m vlastn m Ł sløm jsou lineÆrn nezÆ-
vislØ.
(b) Jestli e pro ka dØ vlastn Ł slo se jeho algebraickÆ nÆsobnost rovnÆ geomet-
rickØ nÆsobnosti, pak existuje prÆv n lineÆrn nezÆvisl ch vlastn ch vektorø
matice A:
(c) V„echna vlastn Ł sla reÆlnØ symetrickØ matice (AT = A) jsou reÆlnÆ.
(d) Vlastn vektory reÆlnØ symetrickØ matice vzhledem k røzn m vlastn m Ł s-
løm jsou ortogonÆln .
PoznÆmka: O sprÆvnosti (a) se mø eme płesv dŁit napł klad takto. Płed-
poklÆdejme, e e 1 6= 2 jsou vlastn Ł sla matice A a płitom jim odpov daj c
vlastn vektory~v1;~v2 jsou lineÆrn zÆvislØ. Pak existuje konstanta k6= 0 takovÆ, e
~v2 = k~v1: DÆle plat A~v2 = Ak~v1 = kA~v1 = k 1~v1 a souŁasn A~v2 = 2~v2 = 2k~v1:
Odtud k 1~v1 = 2k~v1 a tedy k( 1 2)~v1 = ~o: Proto e ~v1 6= ~o a k 6= 0; mus
platit 1 = 2: To je spor s płedpokladem a vektory ~v1;~