CS3-Betonové konstrukce plošné I

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
DOC. ING. ZDENĚK BAŽANT, CSC.
BETONOVÉ KONSTRUKCE I
MODUL CS 3
BETONOVÉ KONSTRUKCE PLOŠNÉ – ČÁST 1

STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Betonové konstrukce I · Modul CS 3
- 2 (56) -


































© Zdeněk Bažant, Brno 2005
Obsah
- 3 (56) -
OBSAH
1 Úvod............................................................................................................... 5
1.1 Cíle........................................................................................................ 5
1.2 Požadované znalosti.............................................................................. 5
1.3 Doba potřebná ke studiu ....................................................................... 5
1.4 Klíčová slova ........................................................................................ 5
1.5 Metodický návod na práci s textem...................................................... 5
2 Plošné betonové konstrukce ........................................................................ 7
3 Zásady statického řešení.............................................................................. 9
4 Desky ........................................................................................................... 11
4.1 Základní pojmy a vztahy technické teorie desek................................ 11
4.2 Deska působící v jednom směru......................................................... 12
4.3 Deska působící ve dvou směrech........................................................ 13
4.4 Deskové stropní konstrukce................................................................ 14
4.5 Výpočet odezvy desek působících ve dvou směrech.......................... 16
4.6 Poddajnost podepření desek ............................................................... 16
4.7 Desky podepřené po obvodě............................................................... 18
4.7.1 Poddajně podepřené desky – metoda náhradních nosníků... 18
4.7.2 Vertikálně nepoddajné podepření desek po obvodě............. 21
4.7.3 Spojité křížem vyztužené desky ........................................... 27
4.7.4 Konstrukční doporučení ....................................................... 30
5 Stěnové nosníky .......................................................................................... 35
5.1 Prosté a spojité stěnové nosníky......................................................... 35
5.2 Statické působení stěnových nosníků................................................. 37
5.3 Dimenzování a vyztužování stěnových nosníků................................. 41
6 Opěrné zdi................................................................................................... 49
6.1 Druhy a použití opěrných stěn............................................................ 49
6.2 Zemní tlak........................................................................................... 51
6.3 Příklady vyztužování .......................................................................... 51
7 Závěr............................................................................................................ 55
7.1 Shrnutí ................................................................................................ 55
7.2 Studijní prameny................................................................................. 55
7.2.1 Seznam použité literatury ..................................................... 55
7.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury................................... 55
7.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny........................... 56









Betonové konstrukce I · Modul CS 3
- 4 (56) -




Úvod
- 5 (56) -
1 Úvod
1.1 Cíle
Ve třetím modulu (CS 3) „Betonových konstrukcí I“ je uvedeno řešení
betonových plošných konstrukcí. Vyloženy jsou způsoby výpočtů obousměrně
vyztužených desek o jednom a více polích, stěn a stěnových nosníků a
opěrných zdí.
Výklad je doplněn příklady řešení těchto konstrukcí
1.2 Požadované znalosti
Modul CS 3 studia betonových konstrukcí navazuje na „Prvky betonových
konstrukcí“, moduly CM 1 až CM 4, dále pak na „Betonové konstrukce I“,
moduly CS 1 až CS 2. Pokud student nemá dostatečné znalosti předchozí látky,
bude se jen těžko orientovat ve vyložené problematice.
Vzhledem k tomu, že při výpočtech betonových konstrukcí jsou zapotřebí i
znalosti stavební mechaniky, pružnosti a pevnosti, je nutné se orientovat i těch-
to předmětech. Při výpočtech opěrných stěn se použijí znalosti z geotechniky
(zemní a horninový tlak na stavební konstrukce).
Z matematiky, deskriptivní geometrie, fyziky apod. jsou zapotřebí běžné zna-
losti, získané studiem na střední škole.
1.3 Doba potřebná ke studiu
Modul obsahuje látku zhruba za čtyři týdny semestru. Doba pro nastudování
jednotlivých oddílů je různá, závisí především na průpravě studenta v předcho-
zím studiu na této fakultě. Všeobecně řečeno, potřebná doba pro nastudování
obnáší cca 20 – 30 hodin.
1.4 Klíčová slova
Deska, deska nosná ve dvou směrech, spojité podepření desky, mezní stav
únosnosti v ohybu, stěna, stěnový nosník, opěrná zeď.
1.5 Metodický návod na práci s textem
Text modulu je třeba studovat postupně, vždy počítat příklady – tedy aplikovat
teoretické znalosti na praktické řešení konstrukce. Pokud není příslušná část
jasná, je třeba začít studovat znovu a prozatím nepokračovat ve studiu nové
látky.


Betonové konstrukce I · Modul CS 3
- 6 (56) -





















Plošné betonové konstrukce
- 7 (56) -
2 Plošné betonové konstrukce
Beton představuje stavivo, jehož výrobní technologie poskytuje značnou vol-
nost pokud jde o volbu tvaru nosné konstrukce nebo jejích prvků, takže se není
třeba omezovat na tyčové prvky, tj. trámy, průvlaky, sloupy apod. Proto se
v betonovém stavitelství používají v širokém měřítku plošné konstrukce jako
jsou desky, nosné stěny, skořepiny aj., které mají řadu výhod z hlediska static-
kého, výrobního i funkčního.
Z hlediska geometrického tvaru pokládáme za plošné konstrukce taková tělesa,
jejichž jeden rozměr – tloušťka – je podstatně menší než ostatní charakteristic-
ké rozměry. Souhrn bodů půlících tloušťku konstrukce vytváří tzv. střednico-
vou plochu, resp. rovinu. Tvar plošné konstrukce je tedy geometricky jedno-
značně určen, je-li definována její střednicová plocha a tloušťka v libovolném
místě (často je konstantní).
V případě zakřivené (oblé) střednicové plochy hovoříme o skořepinách, jež
představují moderní (a značně subtilnější) obdobu zděných kleneb, užívaných
ve stavitelství řadu století. Železobetonové skořepinové konstrukce vytvářejí
báně (kopule), zastřešující rozlehlé prostory kruhového půdorysu, válcové sko-
řepinové střechy průmyslových a jiných objektů – obr. 2.1a, resp. další typy
střešních konstrukcí a dílců.
Plošné konstrukce s rovinnou střednicovou plochou představují deskové a stě-
nové konstrukce. Rozdíl mezi deskami a stěnami nespočívá v jejich tvaru, ný-
brž v jejich zatížení a statickém působení.

Obr. 2.1: Typy betonových plošných konstrukcí
Desky jsou zatíženy převážně kolmo ke své rovině (obr. 2.1b) a vznikají v nich
ohybové účinky. Obvykle jsou to stropní nebo střešní desky situované ve vodo-
rovné rovině a zatížené svislými účinky od tíhy konstrukce, užitného zatížení a
jiných vlivů (tíha sněhu atp.). Do kategorie desek též patří základové desky,
letištní a silniční vozovky, průmyslové podlahy, prvky mostních staveb apod.
Betonové konstrukce I · Modul CS 3
- 8 (56) -
Nosné stěny jsou zatíženy převážně ve své střednicové rovině nebo rovnoběžně
s ní a nejsou vystaveny ohybu v příčném směru. Svou důležitost mají přede-
vším stěnové nosníky (obr. 2.1c), což jsou nosné prvky obdélníkového průřezu,
které svými rozměry nesplňují kritéria pro výpočet nosníků podle elementární
teorie štíhlých prutů (mají povahu vysokých nosníků). Naproti tomu stěnové
pilíře, zatížené v hlavě a podepřené průběžně i patě (obr. 2.1d) můžeme vyšet-
řovat jako tlačené pruty běžnými postupy.
Rozlišení mezi deskami a stěnami nelze považovat za absolutní, neboť na týž
prvek mohou působit účinky obojí povahy. Tak např. stropní desky výškových
budov, ačkoli jsou především určeny k přenesení svislých zatížení, jsou často
vystaveny stěnovým účinkům vlivem tlaku a sání větru a stropní tabule jako
celek působí jako stěnový nosník.
Deskové a stěnové nosné prvky často nepůsobí odděleně, ale společně vytváře-
jí deskostěnové konstrukce. Příkladem mohou být opěrné zdi, sdružené zásob-
níky s obdélníkovými buňkami, nebo tzv. krabicové konstrukce bytových sta-
veb – ať již v provedení monolitickém nebo montovaném (panelové objekty),
ztužující věže výškových staveb, základové skříně, komůrkové mostní kon-
strukce, lomenicové střechy a jiné. Možnosti vytvářet nejrůznější kombinace
plošných železobetonových konstrukcí nejsou již v současné době limitovány
náročností jejich statického (a dynamického) výpočtu, ale obtížností nebo eko-
nomickou nevýhodností jejich realizace.
Zásady statického řešení
- 9 (56) -
3 Zásady statického řešení
Účinky působící na plošné betonové konstrukce, tj. silové účinky zatížení, vy-
nucené deformace, objemové změny, seismické účinky aj., se ve standardních
případech zavádějí podle předpisů platných pro příslušný typ stavby (pozemní
objekty, mostní stavby, nádrže a zásobníky apod.) v zemi, kde je stavba situo-
vána, nebo podle obecnějších norem např. Evropské unie. Při stanovení účinků
se přihlíží k požadavkům objednatele stavby (např. k požadované zatížitelnosti
stropů), k lokalitě stavby, na níž závisí klimatické nebo seismické účinky a
k dalším faktorům, jak je předmětem výkladu v teorii spolehlivosti stavebních
konstrukcí. V ojedinělých případech nestandardní povahy se některé účinky
vyšetřují experimentálně na modelech (např. účinky větru v aerodynamických
tunelech apod.).
Určení odezvy konstrukce, tj. vyvozených vnitřních sil a deformací, na vnější
účinky není vždy jednoznačně předepsáno, takže pro různé návrhové situace je
někdy možné užít některého z alternativních postupů.
Výpočet podle teorie lineární pružnosti je teoreticky propracován nejpodrobně-
ji a v současné době je díky výpočetní technice, využívající především progra-
mů založených na metodě konečných prvků, proveditelný prakticky pro jaký-
koli typ plošné konstrukce, též konstrukce složené z plošných a prutových prv-
ků. Přitom lineárně pružně určená odezva konstrukce vystihuje vcelku dosti
dobře skutečné chování reálné železobetonové konstrukce při nižší úrovni pů-
sobícího zatížení.
Při vyšších hladinách zatěžovacích účinků dochází sice vlivem nelinearity pra-
covního diagramu betonu i oceli a v důsledku vzniku trhlin v betonu k určitým
odchylkám skutečného působení konstrukce od teoretického lineárně pružného,
rozdíly však většinou nejsou natolik výrazné, aby při posouzení spolehlivosti
nosné konstrukce nemohl být – po případných korekcích – lineárně pružný
výpočet vzat za základ. Jeho předností je též, že zaručuje plnění podmínek rov-
nováhy i kompatibility přetvoření. Proto se všeobecně přijímá (a v národních i
evropských normách výslovně připouští), že z lineárně pružného výpočtu lze
vycházet při posouzení konstrukce jak pro mezní stav únosnosti , tak i mezní
stav použitelnosti (vyjma mezního stavu přetvoření konstrukcí)..
Podrobnější a výstižnější sledování odezvy betonové konstrukce umožňuje
výpočet podle teorie fyzikální nelinearity. V současné době již existují progra-
my, které umožňují metodami numerické mechaniky postupně analyzovat jed-
notlivé fáze odezvy železobetonové konstrukce při nárůstu zatížení, avšak je-
jich náročnost je předurčuje spíše k řešení vědecko-výzkumných a studijních
úloh než ke standardním výpočtům ve statické praxi. Je tomu tak též proto, že
vyžadují detailní znalosti o vyztužení, takže jsou použitelné až po podrobném
návrhu konstrukce.
Výpočet podle teorie plasticity lze použít např. pro posouzení desek pozemních
staveb na mezní stav únosnosti. Mezní plastická únosnost desek se vyšetřuje
buď tzv. tuhoplastickou analýzou, tedy podle kinematické věty (přiblížení sho-
ra) nebo statické věty (přiblížení zdola).
Při projektování betonových plošných konstrukcí se kromě numerických sta-
tických řešení vychází též z empirických poznatků, získaných četnými labora-
Betonové konstrukce I · Modul CS 3
- 10 (56) -
torními zkouškami a pozorováním realizovaných staveb. Tyto zkušenosti býva-
jí často formulovány v normách v podobě instrukcí pro projektování nebo
zjednodušených návrhových metod, příp. empirických doporučení. Využití
těchto empirických postupů je vhodné zejména při předběžném koncepčním
návrhu konstrukce.
Nejefektivnější metodou teorie pružnosti pro řešení desek je metoda konečných
prvků (MKP), která dovoluje bez obtíží modelovat libovolný půdorysný tvar
desky, způsob podepření, proměnnou tuhost desky (včetně otvorů s nulovou
tuhostí) a její zatížení.
Desky
- 11 (56) -
4 Desky
Desky jsou nejrozšířenějším typem železobetonových plošných konstrukcí a
tvoří především nosné stropní a střešní konstrukce budov.
4.1 Základní pojmy a vztahy technické teorie desek
Jak bylo uvedeno v oddíle CS 2, při jejich statické analýze postupujeme obvyk-
le podle zásad lineární teorie pružnosti, nejčastěji podle technické teorie ten-
kých pružných desek (Kirchhoffovy). Připomeneme některé základní pojmy a
závislosti potřebné k dalšímu výkladu.
K vyjádření napjatosti desky užíváme při pravoúhlém systému souřadnic těchto
složek vnitřních sil:
mx, my . . . ohybové momenty,
mxy (=myx) . . . krouticí momenty,
qx, qy . . . posouvající síly.
Kladný smysl působení těchto složek je schématicky znázorněn na obr. 4.1a.
Všechny tyto silové veličiny vztahujeme na jednotku délky řezu – jsou to tzv.
měrné vnitřní síly; tomu odpovídají jejich fyzikální rozměry a vyjádření
v jednotkách: u momentů mx, my, mxy je to kupř. kN⋅m/m´ = kN, u posouvají-
cích sil kN/m´= kN⋅m-1. I když označení „měrný“ obvykle pro stručnost vyne-
cháváme, musíme mít tuto okolnost na paměti, což platí obecně u plošných
konstrukcí.
U homogenní desky jsou složky vnitřních sil dány integrací spojitě probíhají-
cích normálových a smykových napětí po výšce řezu. U železobetonových
desek jsou ohybové momenty (po vzniku trhlin) dány tahovými silami ve vý-
ztuži a tlakovými v tlačené oblasti betonu.
Krouticí a posouvající síly se přenášejí smykovými napětími v betonu, event.
v trhlinách třením a hmoždinkovým účinkem zrn kameniva, resp. též výztuží.
Z podmínek rovnováhy deskového prvku lze odvodit vztahy mezi posouvají-
cími silami a momenty v desce ve tvaru

Obr. 4.1: Vnitřní síly v desce, průhyby desky
Betonové konstrukce I · Modul CS 3
- 12 (56) -
xmymqymxmq xyyyxyxx ∂∂−∂∂=∂∂−∂∂= , (4.1)
a odtud statickou podmínku rovnováhy vyjádřenou v momentech
,2 2
22
2
2
pymyxmxm yyxx −=∂∂+∂∂∂+∂∂ (4.2)
kde p = p(x,y) je plošné zatížení desky [kN/m2 apod.].
Pro názornější pohled na statické působení desky poslouží tato úvaha: Zave-
deme-li pomocná označení
,,2, 2
22
2
2
y
mp
yx
mp
x
mp y
y
xy
xy
x
x ∂
∂−=
∂∂
∂−=
∂
∂−= (4.3)
dostaneme po úpravě
p = px + py + pxy (4.4)
Tento vztah můžeme interpretovat tak, že plošné zatížení, působící na desku,
můžeme rozložit na složky přenášené ohybem ve směru x (px) a y (py) a na
složku přenášenou krouticími momenty (pxy). Podíl mezi těmito složkami závi-
sí na půdorysném tvaru desky a na uložení okrajů, jak bude ukázáno v dalších
oddílech textu.
S užitím těchto pojmů můžeme obecně rozlišovat:
a) desky působící v jednom směru (viz obr. 4.2), např. ve směru x, pak py
= pxy = 0),
b) desky působící v obou směrech (obr. 4.3) – obecný případ.
Závěrem poznamenejme, že technická teorie pružných desek (Kirchhoffova)
platí přijatelně za předpokladu, že deska není příliš tlustá (tloušťka nepřekraču-
je zhruba desetinu rozhodujícího rozpětí) a že průhyby nepřekročí určitou mez
(přibližně pětinu tloušťky desky).
Zpřesnění řešení pro tlusté desky navrhla řada autorů (E. Reissner, A. Green,
R. Mindlin aj.), u nás se označuje jako Mindlinova teorie a je užívána v řadě
programů pro řešení desek metodou konečných prvků.
Při velkých průhybech desky vznikají kromě ohybových účinků též normálové
síly – deska působí do jisté míry jako plochá skořepina.
4.2 Deska působící v jednom směru
Deska působící v jednom směru vzniká nad obdélníkovým nebo li-
choběžníkovým půdorysem, kde jsou splněny dvě charakteristické podmínky :
a) jedno z obou rozpětí (např. lx) je výrazně větší než druhé (ly); obdél-
níkové desky podepřené stejným způsobem na všech čtyřech stra-
nách je to případ, kdy lx ≥ 2ly,
b) zatížení je funkcí pouze nezávisle proměnné y, ve směru osy x je toto
zatížení konstantní.
Desky
- 13 (56) -
Rozeznáváme desky nosníkové (obr. 4.2a), uložené na dvou protilehlých, zpra-
vidla rovnoběžných stranách a desky konzolové (obr. 4.2b), které jsou po jedné
straně svého obvodu souvisle vetknuta nebo tvoří převislý konec sousedního
deskového pole. Zbývající strany obvodu jsou nepodepřené.

Obr. 4.2: Deska působící v jednom směru a) - nosníková, b )- konzolová;
(1 – střednicová rovina po přetvoření)

Dimenzování a zásady vyztužování těchto desek byly probrány v Modulu CM
4 - Navrhování jednoduchých prvků.
4.3 Deska působící ve dvou směrech
je deska podepřená způsobem, který vyvolává obecné přetvoření desky. Půso-
bením zatížení kolmo ke střednicové rovině tak vzniká podle obr. 4.3 průhybo-
vá plocha s dvojí křivostí. Pro dimenzování desky působící ve dvou směrech
jsou pak rozhodující účinky zatížení v obou hlavních směrech. Podle charakte-
ristického tvaru průhybové plochy třídíme desky s pravoúhlým systémem pod-
porujících prvků na:
a) desky souvisle podepřené po obvodě,
b) desky lokálně podepřené.




Obr. 4.3: Deska působící ve dvou směrech, a – podepřená po obvodě,
b – lokálně podepřená; 1 – souvislé podepření, 2 – lokální podpora

Betonové konstrukce I · Modul CS 3
- 14 (56) -
Deska podepřená po obvodě (obr. 4.3a) je spojitě (souvisle) podepřená alespoň
podél dvou navzájem kolmých stran svého půdorysu. Přitom může jít buď o
podepření prosté (kloubové, přímkové) nebo o vetknutí. Desky podepřené po
obvodě mohou být též spojité v jednom nebo obou hlavních směrech. Způsob
podepření předurčuje okrajové podmínky při výpočtu vnitřních sil a přetvoření
desek. Např. na obr. 4.3a je znázorněno přetvoření desky při prostém podepře-
ní podél podpor ve směru x a při vetknutí v podporách ve směru y.
Deska lokálně podepřená (obr. 4.3b) je uložena na podporách, kterénelze po-
važovat za souvislé. Obvykle jsou zde lokálními podporami sloupy nebo úseky
stěn tvořící více či méně pravidelnou půdorysnou osnovu. Mezi lokálně pode-
přené desky počítáme i desky podporované mezi lokálními podporami nebo po
obvodě poddajnějšími ztužujícími trámy, jejichž tuhost však nezajišťuje pod-
mínky chování desek podepřených po obvodě.
4.4 Deskové stropní konstrukce
Z uvedených typů desek se vytvářejí monolitické nebo montované stropní,
střešní, popř. základové konstrukce nejrůznějších druhů s