CS3-Betonové konstrukce plošné I

tavebních objektů.
Desky těchto konstrukcí lze navrhovat z obyčejného nebo lehkého betonu, že-
lezobetonové, popř. předpjaté. Výběr optimálního typu deskových konstrukcí
závisí především na druhu a vzdálenosti prvků a intenzitě zatížení; v řadě pří-
padů je třeba přihlédnout též k místním podmínkám a zavedeným technolo-
giím. U náročných objektů má být optimální koncepce výsledkem technicko-
ekonomického porovnání variantních řešení.
Významnou možnost racionalizace návrhu deskových stropních konstrukcí
nabízí podporujících jejich vylehčení. Desky plného průřezu mají sice výhodně
jednoduché bednění a rovný podhled, s rostoucím rozpětím se však nepříznivě
projevuje velká vlastní tíha.
Vylehčení deskových konstrukcí se navrhuje tak, aby zůstala co nejméně do-
tčena staticky nejcennější účinná výška a tlačená oblast průřezu; dutiny se pro-
to umisťují blízko středu výšky desky. U desek se vytvářejí pomocí zabetono-
vaných nebo odnímatelných bednicích dílců kazety (viz obr. 4.4).

Obr. 4.4: Vylehčení desek bednicími dílci
Při souvislé tlačené části betonového průřezu se vkládá hlavní nosná výztuž do
spodní části křížové soustavy žebírek. Při návrhu vylehčení se dbá na to, aby si
konstrukce co nejvíce uchovala charakteristické znaky kontinuálního chování
plných desek.
Desky
- 15 (56) -
Na obr. 4.5 jsou schematicky znázorněny některé typy monolitických desko-
vých stropních konstrukcí. Nosníková a konzolová deska vyztužená v jednom
směru podle obr. 4.5a může být souvisle podporována zdí s monolitickým věn-
cem nebo trámem (průvlakem) a sloupy.



Obr.4.5: Monolitické deskové a střešní konstrukce; a,b – vyztužené v jednom
směru; c až g – vyztužené ve dvou směrech,
Obdobně mohou být podporovány jednosměrně vyztužené trámové nebo žebír-
kové monolitické stropní konstrukce podle obr. 4.5b. Deska působící ve dvou
směrech podle obr. 4.5c je po obvodě souvisle podepřena buď na zdivu (poze-
dními věnci) nebo na dostatečně tuhém trámu (průvlaku), podporovaném slou-
py. Lokálně podepřená deska působící ve dvou směrech podle obr. 4.5d je vý-
hodná jednoduchým tvarem a bedněním. Obtíže s dimenzováním desky
v oblasti lokálních podpor (sloupů) lze řešit pomocí (plně vyznačené) zesilující
desky. Při velkém rozpětí nebo zatížení lokálně podepřených desek je možné
Betonové konstrukce I · Modul CS 3
- 16 (56) -
použít buď ocelových skrytých hlavic (bezhřibové deskové stropy) nebo vidi-
telných hlavic (hřibové deskové stropy), které rozšiřují lokální podpory a mo-
hou být ještě doplněny zesilující deskou (obr. 4.5e). Desková konstrukce podle
obr. 4.5f může být zesílena ve více namáhaných sloupových pruzích širšími
nízkými (poddajnými) průvlaky v obou hlavních směrech. Desková konstruk-
ce vylehčená kazetami s výjimkou oblastí lokálních podpor nebo souvislých
podporových pruhů je znázorněna na obr.4.5g.
4.5 Výpočet odezvy desek působících ve dvou směrech
Způsob výpočtu silových nebo deformačních účinků zatížení není normativně
předepsán. Výstižnost výpočtu má být přiměřená významu konstrukce, přičemž
jsou přípustná taková zjednodušení výpočtu, při kterých jsou dodrženy alespoň:
a) silové a momentové podmínky rovnováhy,
b) podmínky spojitosti (kompatibility) přetvoření,
c) podmínky skutečného uložení (podepření) konstrukce.
Přestože rychlý rozvoj metod stavební mechaniky a výpočetní techniky zdánli-
vě zpochybňuje význam zjednodušených řešení, podrží si tato řešení svou ne-
zastupitelnou roli při rychlé a účinné kontrole výsledků náročnějších výpočtů a
při navrhování běžných konstrukcí díky omezenému množství vstupních údajů
i nezbytných výsledků.
U staticky neurčitých konstrukci, ke kterým patří všechny typy desek působí-
cích ve dvou směrech, lze použít pro výpočet odezvy konstrukce na účinky
zatížení:
• teorii lineární pružnosti,
• teorii plasticity,
• teorii fyzikální nelinearity.
Křížem vyztužené desky čtvercového nebo obdélníkového půdorysu se prohý-
bají podle obr. 4.3a,b účinkem zatížení ve směru obou rozpětí.
Postupem známým ze stavební mechaniky [1, 2] obdržíme momentovou rovni-
ci desky, ze které lze získat ohybovou rovnici desky (4.2).
Obecné řešení rovnice desky pro obdélníkovou desku prostě podepřenou po
obvodě nalezl Navier pomocí dvojitých Fourierových řad. Řešení pro vybrané
druhy zatížení uvádí např. K. Girkmann [1], V. Kolář, J. Beneš a Z. Sobotka
[2], případně Svazek 3 Technického průvodce.
4.6 Poddajnost podepření desek
Výstižnost dále uvedených zjednodušených metod výpočtu odezvy desek pů-
sobících ve dvou směrech závisí na správně určeném způsobu jejich podepření.
Z obr. 4.3a,b je dobře patrný rozdíl v přetvoření - tvaru průhybové plochy w
(x,y) - desky spojitě podepřené po obvodě a desky lokálně podepřené. Mezi
těmito krajními případy se navrhují deskové stropní a střešní konstrukce se
Desky
- 17 (56) -
ztužujícími trámy na spojnicích lokálních podpor (viz obr. 4.3c,f). Je-li ztužují-
cí trám v rovině ohybu dostatečně tuhý, lze použít zjednodušených metod vý-
počtu pro desky podepřené po obvodu (viz dále odd. 4.7). Účinek podepření
poddajnějším ztužujícím trámem dovolují vyjádřit zjednodušené metody pro
výpočet lokálně podepřených desek. Dříve se považovala za rozhraní obou
případů výška ztužujícího trámu h = 2hs, kde hs je tloušťka desky. Podepření
desky lze považovat za nepoddajné, splňují-li geometrické parametry ztužují-
cího trámu a desky podmínky:
2
1
21 ≥
L
Lα (4.5)
nebo
α 2 1
2
2LL ≥ , (4.6)
kde charakteristikou spolupůsobení ztužujícího obvodového trámu
s deskou je součinitel ztužení α podle vztahu:
sbs
ccb
IE
IE
⋅
⋅=α (4.7)
Ve vztahu (4.7) je:
Ic moment setrvačnosti účinného průřezu ztužujícího trámu ležící-
ho v rovině předpokládaného ohybu (viz obr. 4.6),
Ecb modul pružnosti ztužujícího trámu,
Is moment setrvačnosti desky o šířce b, tj. pásu desky, ohraničené
po obou stranách střednicemi pásů deskových polí přilehlých ke
ztužujícímu trámu; u okrajových pásů je šířka desky ohraničena
střednicí krajního pásu deskových polí přilehlých ke ztužující-
mu trámu a okrajem desky,
Ebs modul pružnosti desky.

Hodnoty α1, α2, popř. rozpětí L1 (při značení délek velkým písmenem L se
zmenší nebezpečí záměny s jedničkou), L2 ve vztazích (4.5) a (4.6) charakteri-
zují pravoúhlé deskové pole ve směrech 1 a 2.
Pro stanovení účinného průřezu ztužujícího trámu (šrafované plochy na obr.
4.6) je rozhodující šířka bs, rovnající se větší z vyčnívajících výšek ztužujícího
trámu hw, nejvýše však čtyřnásobku tloušťky desky hs.
≤ ) ≤ ≤ ≤
Obr. 4.6: Příklady určení účinného průřezu ztužujícího trámu
Betonové konstrukce I · Modul CS 3
- 18 (56) -
Kriteria poddajnosti podepření desky (4.5) a (4.6) jsou obvykle přísnější než
starší rozhraní h = 2hs.
V závažnějších případech dá spolehlivé výsledky přesnější řešení např. MKP.
4.7 Desky podepřené po obvodě
Po obvodě podepřené desky obdélníkového půdorysu o jednom deskovém poli
(panelu) nebo spojité podle obr. 4.5c se vyskytují velmi často jako prvky
stropních, střešních nebo základových konstrukcí všech druhů stavebních ob-
jektů. Souvislé podepření okrajů desky (resp. deskového pole) může být buď
vertikálně zcela nepoddajné, tvoří-li je nosné stěny nebo dostatečně tuhé trámy
(průvlaky), splňující podmínku (4.5) nebo (4.6) uvedené v oddíle 4.6, nebo
poddajné, je-li realizováno méně tuhými trámy nebo zesilujícími nosníky.
Důležitou součástí deskových konstrukcí, podepřených po obvodu, jsou desky
vyráběné v dílnách (prefabrikáty). Tyto desky, obvykle nazývané panely, jsou
buď plné, nebo vylehčené (s dutinami, povětšině s otvory kruhového průřezu)
– vylehčením se dosahuje snížení vlastní hmotnosti o 45 – 50%..
Mohou být podepřeny na dvou stranách a staticky působit jako prostý deskový
nosník, nebo třech či čtyřech stranách – jejich hlavní použití pak bylo při vý-
stavbě panelových objektů.
4.7.1 Poddajně podepřené desky – metoda náhradních nosníků
Nejjednodušší statické působení desky obdélníkového půdorysu nastane při
takovém poddajném podepření okrajů, při němž se okrajové nosníky prohnou
do stejného tvaru jako samotná deska v tomtéž směru. Průhybová plocha je
tedy translační plochou, tj. w (x,y) = wx (x) + wy (y), a všechny její smíšené
derivace jsou pak rovny nule. Z toho pak vyplývá, že v desce nevznikají téměř
žádné krouticí momenty (mx y= 0) a ohybové momenty v obou směrech sou-
řadnicových os x, y představují přímo hlavní momenty m1 = mx a m2 = my.
Trajektorie hlavních momentů jsou patrné z obr. 4.7.
Podobný stav nastane v desce tehdy,
není-li zabráněno jejímu nadzvedá-
vání v rozích. Tento případ vzniká
např. u střešních desek o jednom
deskovém poli, které jsou prostě
uloženy na obvodovém zdivu a
nejsou dostatečně přitíženy tíhou
střešní konstrukce. V takovém pří-
padě pak poklesnou hodnoty krou-
ticích momentů v blízkosti rohů i
v celé desce do té míry, že je mů-
žeme prakticky zanedbat podobně
jako ve výše uvedeném případě
poddajného podepření.
V obou případech, kdy je vliv krou-
ticích momentů na silový a defor-

Obr. 4.7: Trajektorie hlavních momentů
při mxy=0; m1=mx; m2=my
Desky
- 19 (56) -
mační stav desky nulový nebo zanedbatelný, můžeme obdélníkovou desku řešit
přibližně pomocí tzv. metody náhradních nosníků. Tehdy desku nahradíme
dvěma vzájemně kolmými osnovami nosníků (myšlených proužků jednotkové
šířky vyťatých z desky) a ty pak řešíme na účinky příslušné části zatížení pře-
nášené v odpovídajícím směru (tj. px nebo py ) – srov. obr. 4.8. Připomeňme, že
podle rovnic (4.3) jsou složky plošného zatížení přenášené ohybem ve směru x,
resp. y rovny px a py; pak tedy tyto rovnice platí i pro náhradní nosníky a silová
podmínka rovnováhy (4.4) má pak při nulových krouticích momentech mxy = 0
(a tedy i pxy = 0) tvar
p p px y= + , (4.8)
což lze jednoduše formulovat tak, že součet zatížení přiložených k oběma os-
novám náhradních nosníků musí být v každém bodě desky roven skutečně pů-
sobícímu plošnému zatížení desky p. Omezíme-li se na nejčastější případ plné-
ho rovnoměrného zatížení desky p = konst., pak složky px a py můžeme zavá-
dět jako plné rovnoměrné zatížení náhradních nosníků v obou směrech, jak je
znázorněno na obr. 4.8. Takový postup neplyne z podmínky nulových krouti-
cích momentů a přesně platí jen v případě translační průhybové plochy;
v ostatních případech představuje určitý zjednodušující předpoklad, který ne-
vede k nepřesnostem ve výsledném řešení.
K určení velikosti složek zatížení px a py pak stačí využít jedinou deformační
podmínku. Obvykle vycházíme z podmínky, že ve středu desky musí být prů-
hyby obou vzájemně se křížících náhradních nosnících shodné
( ) ( )yx LyLx ww 5.05.0 == = (4.9)
kde wx a wy označují průhyby náhradních nosníků orientovaných ve směru x,
resp. y.
Při prostém uložení desky podle obr. 4.8 můžeme s užitím vzorce pro průhyb
středu prostého nosníku, známého z teorie pružnosti (srov. též obr. 4.9), vyjád-
řit předešlou rovnici takto :
5
384
5
384
4 4
⋅ = ⋅p LE I p LE Ix x
b
y y
b
. (4.10)
kde I = Ix = Iy = hs3/12 je moment setrvačnosti pruhu o šířce b = 1m betonové
desky konstantní tloušťky hs.
Vyjádříme-li zatížení px jako Cx -násobek
celkového zatížení p, pak s užitím rovnice
(4.8) můžeme psát
pCp xx = , (4.11)
pCp xy )1( −= (4.12)
Dosazením obou těchto vztahů do defor-
mační podmínky (4.10) a po malé úpravě
odvodíme
44
4
yx
y
x LL
LC
+= , (4.13)
což lze zavedením parametru 4
4
y
x
L
L=λ za- Obr. 4.8: Náhradní nosníky
Betonové konstrukce I · Modul CS 3
- 20 (56) -
psat takto :
.11+= λxC (4.14)
Známe-li tedy Cx a tedy i px a py , je tím převeden výpočet vnitřních sil obdél-
níkové desky působící ve dvou směrech na oddělené řešení náhradních nosníků
podle obr. 4.8. Např. pro ohybové momenty podél středů deskového pole platí
22
max, 8
1
8
1
xxxxx pLCLpm == , (4.15)
( ) 22max, 18181 yxyyy pLCLpm −== , (4.16)
a pro posouvající síly (podporové reakce) na 1 m obvodu desky:
xxxxx pLCLpq 2121max, == , (4.17)
yyyy pLLpq ()21max, == . (4.18)
Z těchto vztahů je zřejmé, že zjednodušené řešení metodou náhradních nosníků
vede k rovnoměrnému rozložení podporových reakcí (tlaků na poddajné obvo-
dové trámy). Rovněž tak ohybové momenty jsou u všech náhradních nosníků
jedné osnovy shodné.
Uvažujeme-li kromě případu prostého podepření okrajů desky také jejich
vetknutí, zabraňující pootočení okraje, pak různými vzájemnými kombinacemi
uložení jednotlivých okrajů obdélníkové desky můžeme rozlišit šest základních
případů znázorněných na obr. 4.10. Pro tyto případy i = 1,2,…..,6 získáme
součinitel Cx,i, který určuje rozdělení zatížení p do jednotlivých osnov (px, py),
opět z deformační podmínky vyjadřující shodu průhybů vzájemně se křížících
náhradních nosníků ve středu desky. Vzorce pro průhyb středu nosníku wm při
různých způsobech uložení jsou přehledně uvedeny na obr. 4.9. Jejich dosaze-
ním do podmínky (4.10) obdržíme analogickým postupem jako pro prosté ulo-
žení vztahy pro Cx,i uvedené na obr. 4.10 u jednotlivých typů uložení desky.
Tak např. při kombinaci prostého a jednostranně vetknutého náhradního nosní-
ku dle obr. 4.9, při použití parametru λ a rovnic (4.11) a (4.12) získáme Cx,2
(obr. 4.10) z rovnice rovnosti průhybů uprostřed nosníků – viz (4.10)
5384wm,x= px Lx4
Eb I
81 128
m,xw Lb384= 2 Epx I
4x
9
8
3
18
241
wm,x= p3841 b IELx
4x
12
1

Obr. 4.9: Průhyb a ohybové momenty náhradního nosníku
pro základní způsoby uložení desky
Desky
- 21 (56) -
IE
Lp
IE
Lp
b
yy
b
xx
44
384
5
384
2 =
Po úpravě obdržíme součinitel rozdělení zatížení Cx,2 ve tvaru
152
1
52
5
44
4
2,
+
=+=
λyx
y
x LL
LC
Někdy se můžeme setkat se vztahy bez použití λ; pouze s rozpětím L4 [5].
Ze struktury vzorců pro Cx,i je zřejmé, že s růstem poměru Ly,/Lx, klesá hodnota
py, tedy že u protáhlých desek je podíl ohybu v podélném směru velmi malý.
Za mezní hodnotu se považuje poměr Ly,/Lx, = 2, kdy např. Cx,1 = 0,941, takže
py činí jen necelých 6% zatížení, doporučený mezní poměr je však 1,5. Záleží
to však také na uložení, např. pro případ 3 při poměru Ly,/Lx, = 1,5 přenáší se
zatížení přibližně shodně v obou směrech.
4.7.2 Vertikálně nepoddajné podepření desek po obvodě
S vertikálně poddajným podepřením desek po obvodě se setkáme v praxi jen
výjimečně, proto je třeba chápat řešení v odst. 4.7 spíše jako teoretický základ
zjednodušených metod výpočtu desek s vertikálně nepoddajným podepřením
po obvodě. Desky jsou obvykle monoliticky spojeny s pozedními věnci, s des-
kami sousedních deskových polí nebo s vertikálně tuhými trámy, popř. průvla-
ky (viz odst. 4.6). Za dostatečné zajištění desky proti nadzvedávání vnějších
rohů se považuje i stálé zatížení rohové části desky, rovné nejméně 1/16 veške-
rého zatížení desky - viz obr. 4.11. Průhybová plocha desky s vertikálně ne-
poddajným podepřením po obvodě je nakreslena na obr. 4.3a; u této desky lze
docílit uvedeného tvaru průhybové plochy (uvedeného na obr. 4.3a) zatížením
rohů desky myšlenými svislými silami. Lze si dobře představit, že účinkem
rohových reakcí dochází ke zmenšení průhybu ve střední části desky. V desko-
vém elementu na obr. 4.1.a vznikají vodorovně působící tangenciální napětí,
jejichž výslednicí jsou krouticí momenty mxy = myx.

1
1
1, += λxC ,
152
1
2,
+
=
λ
xC ,
151
1
3,
+
=
λ
xC , 1
1
4, += λxC ,
121
1
5,
+
=
λ
xC , 1
1
6, += λxC
jednoduchá čára - prostý okraj (prosté podepření)
dvojitá čára - vetknutý okraj (spojitost)
Obr. 4.10: Součinitel rozdělení zatížení Cx,i, pro základní způsoby
uložení jednoho deskového pole

Betonové konstrukce I · Modul CS 3
- 22 (56) -


ν


Obr. 4.11: Čtvercová prostě podepřená deska s upnutými rohy,
rovnoměrně zatížená
Při výpočtu desek tedy můžeme použít:
1. Univerzální řešení desek MKP; používá se zejména u desek složitého půdo-
rysného tvaru, proměnné tloušťky, dále u desek oslabených velkými otvory
a u desek zatížených takovým způsobem, který nelze dostatečně spolehlivě
vyjádřit náhradním plošným zatížením.
2. U obdélníkových desek konstantní tloušťky bez větších otvorů a při rovno-
měrné intenzitě plošného zatížení p lze nalézt přibližné řešení deskové rov-
nice v základním tvaru pomocí rozkladu zatížení do obou hlavních směrů
pomocí vztahů (4.11) a (4.12), při kterém respektujeme způsob podepření
desky. Takto stanovené složky zatížení px, py použijeme pro výpočet podpo-
rových a mezipodporových momentů náhradního nosníku. Při výpočtu me-
zipodporových momentů a při výpočtu pružného průhybu desek lze pak při-
hlédnout k příznivému vlivu krouticích momentů mxy.
Možností zmenšení mezipodporových momentů existuje celá řada - obvykle se
však setkáváme s úpravou momentů v poli pomocí součinitele κ (podle H.
Marcuse nebo K. Hrubana [5]) ve tvaru
44
22
6
5
yx
yx
LL
LL
+⋅=κ , (4.19)
kde Lx a Ly jsou teoretická rozpětí ve směru x a y.
Desky
- 23 (56) -
Momenty pak budou
a) u pole podepřeného na okrajích prostě
( )κ−⋅= 1/xx mm ,
( )κ−⋅= 1/yy mm , (4.20)
b) u pole podepřeného na jednom okraji prostě a na druhém okraji vetknutého




 −⋅= κ
3
21/
xx mm ,




 −⋅= κ
3
21/
yy mm , (4.21)
c) u pole oboustranně vetknutého




 −⋅= κ
3
11/
xx mm ,




 −⋅= κ
3
11/
yy mm , ( 4.22)
kde ′mx a ′my jsou největší ohybové momenty v poli podle způsobu podepření ve
směru x a y, počítané bez vlivu kroucení.
Tak např. u čtvercové desky, kde Lx = Ly = L, po obvodu nepoddajně podepře-
né, s rovnoměrným zatížením p dle 1) na obr. 4.10 se po dosazení rovná
Cx,1 = 5,044
4
=+ LL L , κ = 125 ;
ohybový moment ve směru x uprostřed desky bude
22
192
7)
12
51(
16
1 pLpLm
x =−= ,
což odpovídá vztahu (4.26).
U desky dle 6) na obr. 4.10 se rovná Cx,6 = Cx,1, také 125=κ .
Ohybový moment ve směru x uprostřed desky bude
22
1728
31)
12
5
3
11(
48
1 pLpLm
x =−=
Obdobně, podle druhu podepření, by se pomocí součinitele κ mohl vypočítat
průhyb w.
3. V různé odborné literatuře lze nalézt tabulky, uvádějící velikosti koeficientů
pro výpočet již redukovaných momentů v polích. Tak např. u desky obou-
stranně prostě podepřené tuhými podporami (se zamezením zvedání rohů)
lze psát
Betonové konstrukce I · Modul CS 3
- 24 (56) -
( ) ( ) ,pLapLCLpm xxxxx 2
1
2
1
2 11
8
11
8
1 =−⋅⋅=−⋅⋅= κκ (4.23)
kde ( )κ−= 18
1
1 Ca (4.24)
Pro Lx = Ly (tedy pro poměr Ly/Lx = 1) je
( ) ,12712516511 44
22
=−=−⋅−=