Skripta - Staticky určité prutové konstrukce I

Obr. 3.1: Rovinný nosník Obr. 3.2: Rovinná kloubová
s tuhými styčníky prutová soustava
Vzájemné spojení prutů ve styčnících (uzlech) je ve skutečnosti pružně pod-
dajné s jistou mírou poddajnosti, která se však obtížně stanovuje. Proto se ve
výpočtových modelech nejčastěji uvažují obě krajní varianty, a to spojení mo-
nolitické (tuhé, rámové), viz obr. 3.1 a kloubové (nerámové), viz obr. 3.2.
3.2 Statika hmotných objektů a složených soustav
Skutečné konstrukce nebo jejich části idealizujeme v našich úvahách pomocí
teoretických pojmů, jakými jsou hmotné objekty či složené soustavy. Hmot-
ným objektem rozumíme hmotný bod, tuhou desku a tuhé těleso (u prostoro-
vých konstrukcí). Vzájemným spojením jednotlivých hmotných objektů získá-
me složenou soustavu.
Polohu hmotného bodu v rovině určují dva nezávislé parametry. Volný hmot-
ný bod lze v rovině přemístit dvěma posuny, má tedy dva stupně volnosti
(v = 2). Vážeme-li hmotný bod na přímku či křivku, vykáže pouze jeden stupeň
volnosti (v = 1).
Polohu tuhé desky v rovině určují tři nezávislé parametry, a to dva posuny
(translace) a pootočení (rotace). Volná tuhá deska může v rovině zaujmout ∞
3

poloh a má tedy tři stupně volnosti (v = 3).

Obr. 3.3: Rovinná složená soustava
Složená soustava vznikne spojením jednotlivých hmotných objektů navzájem
mezi sebou a s pevným útvarem (obr. 3.3). Spojení mezi hmotnými objekty je
realizováno vazbami vnitřními, spojení s pevným útvarem vazbami vnějšími
(podporovými).
Mezi základní typy rovinných složených soustav (rovinné složené deskové
soustavy), kde deska je nahrazena nosníkem nebo prutem, patří
- 14 (48) -
Výpočtový model rovinné prutové soustavy
• trojkloubový nosník bez táhla či s táhlem (obr. 3.4),
• Gerberův nosník (obr. 3.5),
• obecná složená nosníková soustava (obr. 3.6),
• kloubová prutová soustava, běžně označovaná jako příhradový nosník
(obr. 3.7).

Obr. 3.4: Trojkloubový lomený nosník bez táhla a s táhlem

Obr. 3.5: Gerberův nosník

Obr. 3.6: Složená nosníková soustava Obr. 3.7: Příhradový nosník
3.3 Typy vazeb v rovině
Pokud jsou hmotné objekty neomezené v pohybu, jsou volné, omezí-li se po-
hyb, jsou vázané či vedené; úplně nepohyblivé objekty jsou pevně podepřené,
což je cílem stavební mechaniky.
Vzájemné spojení (spolupůsobení) nosných prvků (prutů) a uložení, tj. připoje-
ní celé konstrukce k pevnému útvaru (základům), zajišťují vazby, které se pro
aplikaci ve výpočtovém modelu rovněž idealizují. Rozlišujeme vazby vnitřní a
vnější.
Vazby odebírají (ruší) objektu stupně volnosti. K pevnému podepření je nutné
použít tolik vazeb a v takovém uspořádání, aby vhodným způsobem zrušily
všechny stupně volnosti. Vnější vazby působí na objekt silami – reakcemi,
objekty na sebe navzájem působí silami ve vnitřních vazbách – interakcemi.
Každá vazba vyvozuje tolik složek reakcí, kolik stupňů volnosti ruší. Násob-
nost vazby tedy vyjadřuje počet složek reakcí nebo počet náhradních jednodu-
chých vazeb.
- 15 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 1
Tab. 3.1: Vazby jednoduchého rovinného nosníku

Vnější vazby jednoduchých rovinných nosníků (tuhých desek v rovině) mohou
být (tabulka 3.1)
• jednonásobné, kam patří posuvný kloub (vedení po hladké přímce) a
kyvný prut, představovaný přímou dokonale tuhou nehmotnou tyčí za-
končenou na obou koncích kulovými klouby (vedení po kružnici),
• dvojnásobné, kam řadíme pevný (neposuvný) kloub či posuvné vetknu-
tí,
• trojnásobné, představované dokonalým vetknutím.

Obr. 3.8: Vnitřní kloub spojující dvě desky
Vnitřní vazby složených rovinných soustav jsou realizovány vnitřním klou-
bem, spojujícím navzájem dvě nebo více tuhých desek. Spojuje-li vnitřní kloub
• dvě tuhé desky (obr. 3.8), představuje vazbu dvojnásobnou, neboť
z původního počtu 6 stupňů volnosti dvou desek (viz odst. 3.2) zbyly 4
stupně volnosti (2 společné translace a 2 nezávislé rotace), takže odebí-
rá dva stupně volnosti,
• tři tuhé desky (obr. 3.9), nahrazuje takový kloub 2 jednoduché vnitřní
klouby, neboť z původních 3 ⋅ 3 = 9 stupňů volnosti zbývá 5 stupňů
volnosti (2 společné translace a 3 nezávislé rotace), což odpovídá ode-
brání 4 stupňů volnosti pomocí dvou dvojnásobných vazeb,
- 16 (48) -
Výpočtový model rovinné prutové soustavy
• n tuhých desek, nahrazuje n–1 jednoduchých vnitřních kloubů (každý
se 2 stupni volnosti), takže celkem odebírá 2(n–1) stupňů volnosti a
zbývá 3n – 2(n–1) = n + 2 stupňů volnosti (2 společné translace a n ne-
závislých rotací).

Obr. 3.9: Vnitřní kloub spojující tři desky
Každá vazba má tolik složek reakcí či interakcí, kolik odebírá stupňů volnosti.
Výpočet složek reakcí vnitřních vazeb je přehlednější, uvažujeme-li spojení
tuhých desek prostřednictvím hmotného bodu (obr. 3.9c). Spojení n tuhých
desek vnitřním kloubem, představující spojení n–1 jednoduchými klouby, je
ekvivalentní vzájemnému spojení n desek a jednoho hmotného bodu prostřed-
nictvím n jednoduchých kloubů. Např. podle obr. 3.9c je (3 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2) – (3 ⋅ 2)
= 11 – 6 = 5 stupňů volnosti, což vychází shodně s variantou podle obr. 3.9a,
resp. 3.9b.
3.4 Statická a kinematická určitost
Pohyb objektu lze omezit (znemožnit) vedením či vazbami, které odebírají
příslušné stupně volnosti. Pevné podepření objektu je takové, při němž vazby
ruší všechny stupně volnosti; vazby přitom musejí být vhodně uspořádány (de-
terminant soustavy rovnic D ≠ 0).
Staticky (a kinematicky) určité podepření tuhé desky v rovině nastane, když
počet vnějších vazeb je
a = a
1
+ 2a
2
+ 3a
3
= 3 (3.1)
nebo v úspornějším zápisu
3==
∑
k
k
aka (k = 1, 2, 3), (3.2)
kde a
k
představuje k-násobnou vazbu a k je násobnost vazby. Nejjednodušší je
převést vícenásobné vazby na jednoduché. Podle odst. 3.2 má tuhá deska (nos-
ník) v = 3 stupně volnosti, takže musí platit v = a. Objekt má tedy podepření
• staticky (kinematicky) určité při v = a , (3.3)
vyjadřující ze statického hlediska, že počet statických podmínek rovno-
váhy v je roven počtu neznámých složek reakcí a, nebo z kinematického
hlediska, že počet stupňů volnosti v nepodepřené desky je roven počtu
stupňů volnosti a odebraných desce vazbami),
• staticky neurčité (kinematicky přeurčité) při v < a , (3.4)
• staticky přeurčité (kinematicky neurčité) při v > a ; (3.5)
v tomto případě se konstrukce stává mechanismem nevhodným pro
stavební účely.
- 17 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 1
Statickou (a kinematickou) určitost rovinných složených soustav lze posoudit
podle vztahu
2b + 3d = a + 2k
1
, (3.6)
kde b je počet hmotných bodů, d počet tuhých desek, a počet jednoduchých
složek reakcí a k
1
počet jednoduchých vnitřních kloubů (každý se 2 stupni vol-
nosti). Výraz (3.6) můžeme interpretovat z hlediska kinematické určitosti takto:
počet stupňů volnosti nepodepřené soustavy se rovná počtu stupňů volnosti
zrušených vnějšími a vnitřními vazbami. Z hlediska statické určitosti pak platí:
celkový počet statických podmínek rovnováhy se rovná počtu neznámých slo-
žek reakcí vnějších vazeb a interakcí vnitřních vazeb.
Při platnosti relace 2b + 3d < a + 2k
1
je uspořádání a podepření rovinné složené
soustavy staticky neurčité a kinematicky přeurčité.

Obr. 3.10: Podepření třemi Obr. 3.11: Podepření pevným a
kyvnými pruty posuvným kloubem
3.5 Podepření nosníku
Staticky a kinematicky určité podepření tuhé desky (představující teoreticky
nosník) v rovině lze zajistit různou kombinací vazeb tak, aby se zrušily všech-
ny tři stupně volnosti (v = 3) tuhé desky v rovině. Možné způsoby podepření
jsou:
• třemi jednonásobnými vazbami (obr. 3.10), přičemž paprsky reakcí nepro-
cházejí jedním bodem (jedná se o nosník podepřený ve třech bodech),
• jednou dvojnásobnou vazbou a jednou jednonásobnou vazbou (obr. 3.11),
přičemž paprsek posuvné vazby neprochází neposuvným kloubem (jedná se
o nosník prostý), nebo
• jednou trojnásobnou vazbou (jde o nosník konzolový, konzolu, krakorec).
3.6 Výjimkové případy podepření
Výjimkový případ podepření je nežádoucí a ve stavební praxi nepřípustný.
Nastane v případě, že determinant soustavy tří rovnic podepřené tuhé desky
(obr. 3.12), resp. soustavy (2b + 3d) rovnic rovinné složené nosníkové soustavy
(např. se 3 klouby ležícími v jedné přímce), má determinant
D = 0 . (3.7)
- 18 (48) -
Výpočtový model rovinné prutové soustavy
Tato skutečnost prokazuje, že v soustavě existuje lineární kombinace rovnic a
soustava nemá jednoznačné řešení.

Obr. 3.12: Výjimkové případy podepření tuhé desky v rovině
Kromě matematického průkazu lze výjimkovost rovněž poznat ze skladby va-
zeb (obr. 3.13). Vznikne-li virtuální kloub k (obr. 3.12), kdy paprsky složek
reakcí se protínají v jednom reálném bodu či v nekonečnu (nosník se může
neomezeně posouvat ve vodorovném směru). Ve zvláštním případě paprsek
reakce kyvného prutu prochází pevným kloubem a nosník se může pootáčet
kolem pevného kloubu a.

Obr. 3.13: Výjimkové případy podepření nosníku
Otázky
1. Kolik stupňů volnosti má hmotný bod a tuhá deska v rovině?
2. Jaké jsou podmínky staticky a kinematicky určitého podepření tuhé des-
ky v rovině?
3. Jaké známe typy podporových vazeb, kolik odebírají stupňů volnosti?
3.7 Výpočet reakcí vazeb
Pro výpočet reakcí vazeb objekt či složenou soustavu uvolníme z vazeb. Úči-
nek odstraněných vazeb na objekt nahradíme příslušnými reakcemi a interak-
cemi. Zatížení a vyvozené reakce přitom tvoří rovnovážnou soustavu vnějších
sil. Rovnováha složené soustavy je splněna, je-li v rovnováze každá její část.
Neznámé velikosti složek reakcí (vnějších i vnitřních) u staticky určité sousta-
vy vyřešíme ze statických podmínek rovnováhy sil působících na jednotlivé
uvolněné části soustavy; ty části prutové soustavy, jež nebyly využity k vý-
počtu, můžeme použít ke kontrole.
- 19 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 1
Připomeňme, že pro každý hmotný bod platí dvě podmínky rovnováhy a pro
tuhou desku tři podmínky rovnováhy. Při výpočtu interakcí je nutno uplatnit
princip akce a reakce. Jednoznačné řešení staticky určitého nosníku, resp. sou-
stavy, získáme jen při platnosti rovnic (3.3), resp. (3.6), a (3.7).
Pro výpočet reakcí je vždy vhodné obecné síly rozložit do pravoúhlých složek,
tj. na síly vůči nosníku osové a příčné.
3.7.1 Jednoduché a lomené nosníky
U jednoduchých přímých či lomených nosníků získáme složky reakcí vazeb ze
tří vhodně zvolených statických podmínek rovnováhy obecné rovinné soustavy
sil působící na nosník uvolněný z vazeb. Při jistém způsobu uložení nosníku
jsou (zejména při ručním řešení) nejvhodnější odpovídající podmínky, jak uká-
žeme dále.

Obr. 3.14: Jednoduché nosníky uvolněné z vazeb
Uveďme tvary podmínek rovnováhy pro základní případy podepření (obr.
3.14). Z každé podmínky lze přímo určit naznačenou složku reakce.
• Pro konzolový nosník (obr. 3.14a) sestavíme k bodu vetknutí dvě silo-
vé a jednu momentovou podmínku ve tvaru
∑ F
ix
= 0 → R
ax
,
∑ F
iz
= 0 → R
az
,
∑ M
ia
= 0 → M
a
. (3.8)
• Pro prostý nosník (obr. 3.14b) sestavíme jednu silovou podmínku (ob-
vykle pro vodorovný směr) a dvě momentové podmínky (k podporo-
vým průřezům)
∑ F
ix
= 0 → R
ax
,
∑ M
ia
= 0 → R
b
,
∑ M
ib
= 0 → R
az
, (3.9)
zbývá kontrolní silová podmínka ∑ F
iz
= 0.
- 20 (48) -
Výpočtový model rovinné prutové soustavy
• Pro nosník podepřený ve třech bodech (obr. 3.14c) sestavíme tři mo-
mentové podmínky (ke třem vhodně zvoleným momentovým středům
v průsečících paprsků jednotlivých kyvných prutů), z nichž přímo ur-
číme osové síly v kyvných prutech, představující složky reakcí
∑ M
is1
= 0 → N
a
,
∑ M
is2
= 0 → N
b
,
∑ M
is3
= 0 → N
c
(3.10)
a zbudou kontrolní silové podmínky ∑ F
ix
= 0, ∑ F
iz
= 0. Výjim-
kový případ by nastal, kdyby se momentové středy ztotožnily (s
1
≡ s
2
≡
s
3
) a vznikl by virtuální kloub (reálný nebo v nekonečnu).
3.7.2 Rovinné složené nosníkové soustavy
Řešení reakcí a interakcí složených nosníkových soustav lze zcela obecně určit
z příslušného počtu (2b + 3d) podmínek rovnováhy s řešením odpovídající sou-
stavy rovnic.
Při ručním řešení je však výhodné vybírat takové podmínky (zejména momen-
tové) a v takovém pořadí, abychom pokud možno vždy z jedné rovnice získali
jednu neznámou složku reakce. Všechny ostatní reálné podmínky rovnováhy
(obvykle silové) využijeme ke kontrole řešení.
Otázky
1. Jaké základní typy nosníků rozeznáváme podle typu podepření?
3.8 Průběhy složek vnitřních sil
Průběhy složek vnitřních sil lze určit postupem dále uvedeným v odst. 4.4
s využitím diferenciálních podmínek rovnováhy (odst. 4.3), a to buď
• samostatně na každém jednotlivém přímém prutu vyjmutém
z prutové konstrukce pomocí koncových sil a působícího zatížení, nebo
• samostatně na každé uvolněné části soustavy s následným sestavením
do celku, popř.
• na náhradním nosníku stejného tvaru jako je původní nosník, ale bez
vnitřních kloubů, přičemž jako kontrolu využíváme podmínku nulového
momentu ke kloubu z kterékoli části soustavy (M
k
= 0).
Sestavení celkového průběhu jednotlivých složek vnitřních sil na komplikova-
nějších prutových soustavách bývá často nepřehledné. Proto se nejčastěji ana-
lyzují vnitřní síly na samostatných prutech, jak to vyhovuje i dimenzování po
jednotlivých prutových prvcích.
- 21 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 1
Shrnutí
Definovali jsme si výpočtový model rovinné prutové soustavy se vším potřeb-
ným zázemím – statickou určitostí konstrukce, hmotnými objekty a složenými
soustavami, typy vnějších i vnitřních vazeb a výpočty reakcí těchto vazeb.








- 22 (48) -
Analýza vnitřních sil na rovinných prutech
4 Analýza vnitřních sil na rovinných prutech
Pro dimenzování jednotlivých prutů prutové soustavy je potřebné stanovit prů-
běh napětí ve všech (důležitých) průřezech každého prutu. Integrací složek
napětí po plošném obsahu průřezu získáme složky výslednice vnitřních sil
v průřezu. Jsou jakýmsi reprezentantem namáhání průřezu od působícího zatí-
žení, i když neurčují konkrétní rozložení napětí po průřezu. V této kapitole se
naučíme určovat složky výslednice vnitřních sil rovinných přímých prutů.
4.1 Složky výslednice vnitřních sil
Na přímý nosník (prut) působí vnější síly (obr. 4.1a), a to libovolné zatížení F
k

(tzv. primární síly) a složky reakcí vnějších vazeb event. koncové síly (interak-
ce) R
k
(tzv. sekundární síly). Vnější síly působící na část nosníku rozděleného
řezem φ mají výslednici R
e
.

Obr. 4.1: Výslednice vnitřních sil v průřezu nosníku
Libovolným bodem střednice nosníku vedeme řeznou rovinu φ (kolmou ke
střednici), která rozdělí nosník na části I a II. Uvolníme jednu část, odstraníme
druhou a její účinek na první část nahradíme silou R
i
(výslednice vnitřních sil
působící v obecné poloze). Na každé části tvoří výslednice vnitřních sil R
i
a
výslednice vnějších sil R
e
rovnovážnou soustavu.
Pro část II napišme podmínku rovnováhy
R
i,II
+ R
e,II
= 0 ⇒ R
i,II
= – R
e,II
(4.1)
a rovněž pro část I
R
i,I
+ R
e,I
= 0 ⇒ R
i,I
= – R
e,I
. (4.2)
Podle principu akce a reakce platí pro výslednice vnitřních sil (můžeme si je
představit jako reakce vzájemného vetknutí obou částí do sebe) vztah
R
i,I
+ R
i,II
= 0 ⇒ R
i,I
= – R
i,II
= R (4.3)
- 23 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 1
a dále platí
R
i,I
= R = R
e,II
, (4.4)
R
i,II
= R = R
e,I
, (4.5)
R
e,I
+ R
e,II
= 0 ⇒ R
e,I
= – R
e,II
. (4.6)
Pro určení výslednice R
i,I
na části I (nebo R
i,II
na části II) můžeme použít tři
statické podmínky rovnováhy ∑ F
ix
= 0, ∑ F
iz
= 0, ∑ M
it
= 0 sil na části I (nebo
na části II).
Složky výslednice vnitřních sil získáme tak, že výslednici vnitřních sil R (obr.
4.2) na jedné (nebo druhé) části přeložíme do těžiště průřezu, tj.
– posuneme rovnoběžně s paprskem síly R a doplníme dvojicí sil o velikosti
M = R ⋅ r , (4.7)
– sílu R v těžišti rozložíme do pravoúhlých složek o velikostech
N = R cos α , V = R sin α . (4.8)

Obr. 4.2: Složky vnitřních sil
Ekvivalentní náhrada výslednice je provedena třemi složkami (vztaženými ke
střednici nosníku), kterými jsou v průřezu nosníku
• normálová síla N,
• posouvající síla V,
• ohybový moment M.
4.2 Výpočet vnitřních sil
Jak bylo uvedeno výše, tvoří výslednice vnitřních sil v průřezu prutu spolu
s vnějším zatížením tvořeným primárními silami (daným vnějším zatížením) a
sekundárními silami (reakcemi, interakcemi či koncovými silami) na každé
oddělené části prutu rovnovážnou soustavu sil. Z jednotlivých podmínek rov-
nováhy pak můžeme přímo určit složky výslednice vnitřních sil v kterémkoli
vyšetřovaném průřezu prutu.
Při běžném rutinním vyšetřování složek vnitřních sil v průřezu prutu (nosníku)
se vychází z následujících definic:
• normálová síla N je dána algebraickým součtem průmětů všech vněj-
ších sil, působících na levou nebo pravou část prutu od průřezu, do smě-
ru osy prutu,
- 24 (48) -
Analýza vnitřních sil na rovinných prutech
• posouvající síla V je dána algebraickým součtem průmětů všech vněj-
ších sil, působících na levou nebo pravou část prutu od průřezu, do
směru kolmého k ose prutu,
• ohybový moment M je určen algebraickým součtem statických momen-
tů všech vnějších sil (včetně reakcí), působících na levou nebo pravou
část prutu od průřezu, k těžišti průřezu.
Podle těchto pravidel lze pro složky výslednice vnitřních sil (obr. 4.3) defino-
vat znaménkovou konvenci, která je označována jako pružnostní: kladná
normálová síla N působí z průřezu (vyvozuje tah), kladná posouvající síla V
otáčí elementem nosníku ve smyslu chodu hodinových ručiček a kladný ohy-
bový moment M natahuje zvolená spodní (konvenční) vlákna nosníku.

Obr. 4.3: Kladné složky vnitřních sil
4.3 Diferenciální podmínky rovnováhy přímého prutu
Uvažujme přímý prut (nosník) staticky určitě podepřený, zatížený libovolným
spojitým zatížením (příčným q, osovým n, momentovým m), osamělými silami
F a osamělými momenty M. Diferenciální element nosníku (obr. 4.4) je vytnut
dvěma soumeznými řezy. Element volíme mimo místa působení osamělých sil
či momentů. Na element délky dx působí části spojitého zatížení q dx, n dx,
m dx, v levém průřezu působí složky výslednice vnitřních sil N, V, M a
v pravém průřezu složky N + dN, V + dV, M + dM.

Obr. 4.4: Uvolněný element nosníku
Veškeré zatížení působící na uvolněný element musí tvořit rovnovážnou sou-
stavu sil. Sestavme podmínky rovnováhy
∑ F
ix
= 0 : – N + (N + dN) + n dx = 0 ,
∑ F
iz
= 0 : – V + (V + dV) + q dx = 0 ,
∑ M
ix2
= 0 : – M + (M + dM) – V dx + q dx
2
dx
– m dx = 0 . (4.9)
- 25 (48) -
Staticky určité prutové konstrukce – část 1
Zanedbáme-li velmi malý člen druhého řádu
2
d