Skripta - Základní pojmy a předpoklady

zatížení do původního stavu. Materiál je fyzikálně lineární, pokud platí
přímá úměrnost mezi napětím a deformací (Hookův zákon).
• Malé deformace – změny tvaru stavebních konstrukcí a posuny jednotli-
vých bodů (např. průhyby nosníků) jsou velmi malé ve srovnání s rozměry
konstrukce. Tento předpoklad umožňuje zpravidla řadu zjednodušení při
matematickém řešení – vede na geometrickou linearitu.
• Statické zatěžování – narůstání zatížení, resp. jiných účinků je povlovné,
dynamické účinky je možno zanedbat.
• Počáteční nenapjatost – napětí ve výchozím stavu jsou rovna nule.
Přímým praktickým důsledkem těchto výchozích předpokladů je možnost pou-
žití principu superpozice, tedy skládání účinků vycházející z linearity všech
uplatněných matematických závislostí.
























- 9 (48) -
Základní pojmy a předpoklady

- 10 (48) -
Deformace
3 Deformace
Vlivem zatížení nebo jiných účinků (vliv teploty, reologické vlivy apod.) se
tělesa deformují (přetvářejí). Deformace vyjadřuje chování tělesa, které je cha-
rakterizováno vzdáleností dvou bodů tělesa při zachování jeho spojitosti.
Termín „deformace“ však může znamenat dvě různé fyzikální veličiny:
• Posuny (přemístění) [m, mm, …] – absolutní deformace popisující defor-
mace tělesa.
• Poměrné deformace [bezrozměrné] – relativní veličina popisující defor-
mace v bodě tělesa.
Mezi těmito významy je třeba přesně rozlišovat. V následujících podkapitolách
budou tyto pojmy vysvětleny nejprve na elementární úrovni, obecný matema-
tický popis následuje v kap. 6.
3.1 Posuny
Bod tělesa M před deformací přejde po deformaci do pozice bodu M´, obr. 3.1.
Spojnice těchto bodů MM´ v souřadném systému x, y, z představuje vektor po-
sunů u, jeho složky do směrů os souřadnic x, y, z označujeme u, v a w. Tyto
složky posunů jsou kladné v případě shodného smyslu s osami souřadného
systému. Obecně se vektor deformace spojitě mění od bodu k bodu a jeho slož-
ky jsou spojitými funkcemi souřadnic u=u(x,y,z).

M´
M
y, v
po deformaci
před deformací
w
x, u
y
v
x
z
u
z,w

Obr. 3.1: Složky posuvů u, v a w

- 11 (48) -
Základní pojmy a předpoklady
Známe-li deformační posuny každého bodu tělesa, pak je geometrie tělesa po
deformaci plně popsána. Na základě těchto absolutních deformací jsme schopni
odvodit všechny poměrné deformace, jak bude zřejmé z další podkapitoly.

Deformace tělesa je množina posunů všech jeho bodů.
3.2 Poměrné deformace
Geometrické změny tělesa lze popsat relativně pomocí poměrných deformací.
Tyto rozlišujeme délkové (poměrné prodloužení, resp. zkrácení) a úhlové (zko-
sení), jsou veličinami bezrozměrnými a jsou vztaženy k bodu tělesa.
Vysvětlení pojmu poměrné deformace lze provést nejlépe v dvourozměrném
případě na deformaci elementárního prvku v rovině xy, před deformací
s vrcholy MACB, po deformaci M´A´C´B´. Původní délky stran jsou dx a dy, po
deformaci pak dx´ a dy´.
u
b
B´
D´
y,v
xu
A´
α
β
dx
0
C
BA
C´
D
y
a
u
dx´=dx+∆
x
vdy
b
v
c
v
a
dy=dy+
∆
dy
u
c


Obr. 3.2: Délkové a úhlové poměrné deformace v rovině xy

Poměrné délkové deformace jsou

dx
dx
dx
dxxd
x
∆
=
−′
=ε ,
dy
dy
dy
dyyd
y
∆
=
−′
=ε . (3.1)

- 12 (48) -
Deformace
Úhlová deformace je

βαγ +=
xy
. (3.2)

Zobecněním na tři dimenze můžeme analogicky postupovat i v dalších rovi-
nách, dospějeme tak ke třem poměrným délkovým deformacím a třem úhlo-
vým deformacím.

Deformace v bodě tělesa je poměrná deformace elementárního prvku tě-
lesa, který tento bod tělesa obsahuje.
Délková poměrná deformace (např. prodloužení) je poměr změny (např.
přírůstku) délky k její původní hodnotě.
Úhlová deformace je změna úhlu mezi dvěma úsečkami, které byly před
deformací kolmé.






















- 13 (48) -
Základní pojmy a předpoklady

- 14 (48) -
Napětí
4 Napětí
4.1 Prvek tělesa a vnitřní síly
Na těleso působí vnější síly. Pokud je těleso v klidu, tvoří všechny vnější síly
rovnovážnou soustavu (primární vnější síly – zatížení, sekundární vnější síly –
podporové reakce). Asi před 200 lety přišel Bernoulli na geniální myšlenku, že
v tělese vznikají vnitřní síly, které se snaží při silovém působení na těleso vrá-
tit toto těleso do původního stavu. Pokud je těleso v rovnováze musí být
v rovnováze i každá jeho část (statická rovnováha známá ze základů stavební
mechaniky). V PP pracujeme s prvkem tělesa, který představuje každou jeho
oddělitelnou část. Prakticky každá úloha PP začíná uvolněním prvku. Uvolní-
me-li z tělesa prvek, pak musíme na řezu zavést účinky vzájemného působení
podle zákona akce a reakce – vnitřní síly.
Situace je schematicky znázorněna na obr. 4.1. Na těleso působí vnější síly P
1
,
P
2
, p. Z tělesa uvolněme prvek, který rozdělme řezem na dvě části. Účinky
vzájemného působení – vnitřní síly jsou znázorněny na obr. 4.1. Tyto síly však
samy o sobě mnoho o míře namáhání tělesa nevypovídají, neboť nejsou vzta-
ženy k velikosti, resp. tvaru „odporující“ plochy. Z tohoto pohledu je třeba
vnitřní síly „normalizovat“ ve vztahu k ploše a vztáhnout k určitému bodu.
Takto dospíváme ke klíčovému pojmu PP – napětí. Vektor napětí v bodě před-
stavuje intenzitu vnitřních sil v tomto bodě.
∆F
σ

p
P
1
P
2

Obr. 4.1: Vnější síly, vnitřní síly, napětí


- 15 (48) -
Základní pojmy a předpoklady






Obr. 4.2: Stress (napětí) – klíčový pojem PP (visuální pomůcka ke zdůraznění ex-
trémní důležitosti tohoto pojmu, kterého se v PP rozhodně nevyvarujeme)
4.2 Normálové a smykové napětí
Po obecném úvodu definujícím napětí jako intenzitu vnitřních sil přistupme ke
skutečné definici napětí. K tomu nám poslouží opět prvek tělesa, při němž na
řezu v okolí bodu vymezíme plošku A∆ , obr. 4.3. Výslednici vnitřních sil na
tuto plošku působící označme jako vektor
→
∆F . Tuto výslednici můžeme roz-
ložit do dvou složek, do směru normály , a do směru roviny řezu (teč-
ny)
→
. Normálové napětí v bodě daného řezu tělesem je pak definováno jako
limita poměru složky
→
k ploše zmenšující se oblasti
→
∆N
∆T
∆N A∆ :

A
N
A
∆
∆
=
→
→∆ 0
limσ . (4.1)


∆Τ
∆A-element plochy
myšlený
řez tělesem
∆Ν
∆F
Obr. 4.3: Výslednice vnitřních sil k definici napětí

Podobně smykové napětí (někdy nazývané jako tečné nebo tangenciální) je
definováno jako limitní poměr

A
T
A
∆
∆
=
→
→∆ 0
limτ . (4.2)
- 16 (48) -
Napětí
Jednotkou napětí, jak je zřejmé z definice (síla dělená plochou), je newton dě-
lený čtverečním metrem: pascal (Pa), Pa = N/m
2
(jednotka SI). V praktických
výpočtech se používají zpravidla jednotky větší, megapascal (MPa), kilopascal
(kPa) a gigapascal (GPa). V anglosaských zemích se stále běžně používá jed-
notka psi (pound per square inch). Platí:

kPa = 10
3
Pa,
MPa = 10
6
Pa = MN/m
2
= N/mm
2
,

GPa = 10
9
Pa,
psi = 6.89 kPa. (4.3)

V případě, že normálové napětí působí z myšleného řezu ven, pak hovoříme
o tahovém napětí, toto napětí má kladné znaménko. V případě orientace do
řezu se jedná o napětí tlakové, toto napětí označujeme znaménkem záporným.
U smykového napětí se však orientace volí smluvně, což bude ukázáno
v dalším výkladu.
Je zřejmé, že hodnoty normálového a smykového napětí jsou různé pro různé
řezy v bodě tělesa. Obecně tyto hodnoty označujeme jako stav napjatosti
v bodě tělesa. Existuje tedy nekonečně mnoho hodnot těchto napětí – z toho je
zřejmé, že orientaci řezu nelze pro praktické účely volit naprosto libovolně. Je
nutné zavést určitý systém, podobně jako tomu bylo u deformací, vázaný na
souřadný systém os x, y, z.
K tomuto účelu zaveďme pojem kladných ploch řezu souřadnicových os. Např.
kladná plocha řezu souřadnice x, je plocha rovnoběžná s rovinou yz souřadni-
cového systému x, y, z, s materiálem orientovaným směrem vně ve směru nor-
mály k plošce a ve směru kladné osy x, obr. 4.4.


n
kladná plocha
pro směr x
x
z
y










Obr. 4.4: K definici kladné plochy řezu
- 17 (48) -
Základní pojmy a předpoklady
Je zřejmé, že existují 3 normálová napětí, jež označujeme indexem osy shod-
ného směru. Na obr. 4.5 jsou složky popisující stav napjatosti v bodě vykresle-
ny na rovinách rovnoběžných se souřadnicovými rovinami, pro názornost jsou
odsunuty od bodu M, k němuž je vztahujeme – tvoří tak diferenciální element
dx, dy, dz. Smyková napětí, která jsou na každé plošce dána dvěma složkami,
mají první index shodný s orientací normály k této rovině, druhý pak souhlasí
s osou souřadnic, s níž je složka smykového napětí rovnoběžná. Redukce počtu
složek v 2D případě je zřejmá z obr. 4.6.

Obr. 4.5 Složky napětí (3D)
τ
yx
x
y
σ
y
σ
x
σ
x
σ
y
τ
yx
τ
xy
τ
xy
z
y
σ
z
τ
yx
τ
xz
σ
x
τ
yz
τ
xy
τ
zx
τ
zy
σ
y
x
M


Obr. 4.6 Složky napětí (2D)

Ještě k jednotce napětí: Archimedes, Pascal a Newton hrají v nebi na schová-
vanou. Archimedes piká. Pascal se rozhlédne a hbitě se schová do křoví. New-
ton vezme klacek, do hlíny vyškrábne čtverec metr na metr a postaví se do něj.
Nijak se neschovává. Archimedes dopiká, rozhlíží se kolem sebe. Samozřejmě,
že ihned vidí Newtona a volá "Deset dvacet Newton!"
Newton v klidu řekne: "Tak to teda omyl! 1 Newton na metr čtvereční je
přece Pascal! (podle studentů matematicko-fyzikální fakulty).
- 18 (48) -
Napětí
4.3 Věty o napětí a napjatosti
4.3.1 Vzájemnost smykových napětí
Předpokládejme diferenciální element na obr. 4.7 o hranách dx, dy, dz, vyňatý
z tělesa. Tento element musí být samozřejmě v rovnováze. Na hranách elemen-
tu jsou smyková napětí a příslušné elementární síly dQ, které vzniknou vyná-
sobením smykových napětí plochou, na kterou působí. Uvažujme osu vedenou
t