Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice

rovnici prvn´ıho ˇr´adu . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Geometrick´a interpretace rovnice prvn´ıho ˇr´adu . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Poˇc´ateˇcn´ı ´uloha pro rovnici obecn´eho ˇr´adu . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Existence ˇreˇsen´ı a existence jedin´eho ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Existence a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy . . . . . . . . . . . 20
2.6 Existence a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı ´ulohy (2.5) . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Lok´aln´ı charakter existenˇcn´ıch vˇet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Diferenci´aln´ı rovnice prvn´ıho ˇr´adu 31
3.1 Separovan´a rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Line´arn´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Exaktn´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
v
vi OBSAH
Kapitola 1
Z´akladn´ı pojmy z oblasti
obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic
D´ılˇc´ı c´ıl:
Studium t´eto kapitoly je velice d˚uleˇzit´e. Umoˇzn´ı V´am sezn´amit se se z´akladn´ımi po-
jmy z teorie diferenci´aln´ıch rovnic, bez kter´ych by dalˇs´ı studium bylo bezpˇredmˇetn´e:
• Pochop´ıte pojem diferenci´aln´ı rovnice.
• Budete umˇet rozliˇsit obyˇcejn´e a parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice.
• Pozn´ate, co se rozum´ı ˇr´adem diferenci´aln´ı rovnice.
• Nauˇc´ıte se rozliˇsit line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici a ch´apat pojmy souvisej´ıc´ı
z t´ımto typem rovnic (rovnice homogenn´ı, nehomogenn´ı, koeficienty rovnice,
atd.)
• Pozn´ate, co se rozum´ı ˇreˇsen´ım diferenci´aln´ı rovnice. Budete umˇet rozhodnout,
kdy dan´a funkce je ˇreˇsen´ım dan´e rovnice na dan´e mnoˇzinˇe.
• Nauˇc´ıte se pracovat s pojmy explicitn´ı (resp. implicitn´ı) tvar ˇreˇsen´ı difer-
enci´aln´ı rovnice.
• Sezn´am´ıte se s pojmy partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı, obecn´e nebo singul´arn´ı ˇreˇsen´ı difer-
enci´aln´ı rovnice a nauˇc´ıte se hledat partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı z obecn´eho ˇreˇsen´ı,
budou-li zad´any dalˇs´ı doplˇnuj´ıc´ı podm´ınky.
1.1 Co je to diferenci´aln´ı rovnice?
Tato ˇc´ast je vˇenov´ana sezn´amen´ı s pojmem diferenci´aln´ı rovnice. Slovo diferenci´aln´ı
spoleˇcnˇe se slovem rovnice naznaˇcuj´ı, ˇze jde o druh rovnic, kter´e obsahuj´ı derivace.
Je tomu opravdu tak – v pˇredchoz´ı vˇetˇe je skryt obsah dvou studijn´ıch modul˚u,
vˇenuj´ıc´ıch se diferenci´aln´ım rovnic´ım.
Pˇredt´ım, neˇz zaˇcneme nˇejakou diferenci´aln´ı rovniciˇreˇsit, je nutn´e se sezn´amit s nˇekte-
r´ymi nezbytn´ymi pojmy a tak´e s tradiˇcnˇe uˇz´ıvan´ymi term´ıny t´eto oblasti.
1
2 KAPITOLA 1. Z´AKLADN´I POJMY
V matematice jste se sezn´amili s pojmem derivace funkce. Derivace funkce y = f(x)
(podle promˇenn´e x)
dy
dx = f
prime(x)
je opˇet funkc´ı promˇenn´e x a m˚uˇze b´yt nalezena podle zn´am´ych pravidel. Napˇr´ıklad
derivace funkce y = e−x2 je
dy
dx = −2xe
−x2,
coˇz lze zapsat i jinak, napˇr.
dy
dx = −2xy. (1.1)
Probl´em, kter´y budeme v n´asleduj´ıc´ıch dvou modulech studovat, se d´a struˇcnˇe
pˇrirovnat k n´asleduj´ıc´ımu: je-li d´ana rovnice, napˇr´ıklad, dy/dx = −2xy, pak se
budeme snaˇzit nˇejak´ym zp˚usobem naj´ıt funkci y = f(x), kter´a t´eto rovnici vy-
hovuje. Jin´ymi slovy, pˇrejeme si ˇreˇsit danou diferenci´aln´ı rovnici.
Definice 1. Rovnice obsahuj´ıc´ı derivace nebo diferenci´aly jedn´e z´avisl´e
funkce (nebo v´ıce z´avisl´ych funkc´ı) je naz´yv´ana diferenci´aln´ı rovnic´ı.
Rovnici naz´yv´ame obyˇcejnou, obsahuje-li pouze jednu nez´avislou promˇennou.
V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe naz´yv´ame danou rovnici parci´aln´ı.
Diferenci´aln´ı rovnice podle uveden´e definice ˇclen´ıme na obyˇcejn´e a parci´aln´ı. D´ale
jeˇstˇe urˇcujeme ˇr´ad diferenci´aln´ı rovnice a prov´ad´ıme klasifikaci rovnic na line´arn´ı
a neline´arn´ı.
1.2 Obyˇcejn´e a parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice
Obsahuje-li rovnice pouze obyˇcejn´e derivace (tj. nikoliv parci´aln´ı derivace) jedn´e
z´avisl´e promˇenn´e vzhledem vzhledem k jedn´e nez´avisl´e promˇenn´e, pak ji naz´yv´ame
obyˇcejnou diferenci´aln´ı rovnic´ı. Uved’me pˇr´ıklady obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch rovnic:
dy
dt −6y = sint,
(2y−4x)dy+ 4x2dx = 0,
d3u
dz3 +z·
du
dz −u = 0.
V prvn´ı rovnici je hledanou funkc´ı y = y(t), ve druh´e rovnici y = y(x) a ve tˇret´ı
rovnici u = u(z).
1.3. ˇR´AD DIFERENCI´ALN´I ROVNICE 3
Nyn´ı uvedeme nˇekter´e pˇr´ıklady parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic, kter´e obsahuj´ı
parci´aln´ı derivace nezn´am´ych funkc´ı vzhledem k nejm´enˇe dvˇema nez´avisl´ym promˇen-
n´ym. Parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnic´ı je rovnice
∂u
∂x +
∂u
∂y +
∂u
∂z = 1,
kde u = u(x,y,z) je hledan´a z´avisl´a promˇenn´a, z´avisej´ıc´ı na promˇenn´ych x,y a z.
N´asleduj´ıc´ımi parci´aln´ımi rovnicemi jsou popisov´any nˇekter´e konkr´etn´ı jevy. Rovnice
∂2u
∂t2 =
∂2u
∂x2
je parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnic´ı popisuj´ıc´ı kmity struny. Tvar t´eto rovnice je v uˇcebni-
c´ıch o parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic´ıch odvozen na z´akladˇe fyzik´aln´ıch z´akonitost´ı.
V t´eto rovnici je u = u(t,x) nezn´amou z´avislou funkc´ı a t a x jsou nez´avisl´e
promˇenn´e. Rovnice
∂2u
∂x2 +
∂2u
∂y2 +
∂2u
∂z2 = 0,
kde u = u(x,y,z) je hledan´a z´avisl´a funkce a x, y a z jsou nez´avisl´e promˇenn´e,
je parci´aln´ı diferencik´aln´ı rovnic´ı, popisuj´ıc´ı hodnotu teplotu uvnitˇr stejnorod´eho
izotropn´ıho tˇelesa za pˇredpokladu, ˇze se teplota ust´alila a nemˇen´ı se s ˇcasem. Tak´e
odvozen´ı tvaru t´eto rovnice lze naj´ıt, napˇr´ıklad, v literatuˇre vˇenovan´e parci´aln´ım
diferenci´aln´ım rovnic´ıcm. Tato rovnice je naz´yv´ana Laplaceovou rovnic´ı.
V modulech vˇenovan´ych diferenci´aln´ıch rovnic´ım se budeme zab´yvat pouze obyˇcejn´y-
mi diferenci´aln´ımi rovnicemi. Dobr´a znalost problematiky obyˇcejn´ych diferenci´aln´ıch
rovnic je z´akladem pro studium parci´aln´ıch diferenci´aln´ıch rovnic.
1.3 ˇR´ad diferenci´aln´ı rovnice
Definice 2. ˇR´adem diferenci´aln´ı rovnice naz´yv´ame ˇr´ad nejvyˇsˇs´ı derivace
v dan´e diferenci´aln´ı rovnici.
Urˇceme ˇr´ad nˇekolika diferenci´aln´ıch rovnic. Obyˇcejn´a diferenci´aln´ı rovnice
d6y
dx6 + 2x·
parenleftBiggdy
dx
parenrightBigg7
−6y2 = exlnx
je diferenci´aln´ı rovnic´ı ˇsest´eho ˇr´adu. Obyˇcejn´a diferenci´aln´ı rovnice
2yprime ·arctgx−y = cosx
4 KAPITOLA 1. Z´AKLADN´I POJMY
je prvn´ıho ˇr´adu. Parci´aln´ı diferenci´aln´ı rovnice
∂2u
∂x2 =
∂u
∂t +