Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice

u
3
je druh´eho ˇr´adu.
1.4 Line´arn´ı a neline´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice
V modulech o diferenci´aln´ıch rovnic´ıch budeme ˇcasto uvaˇzovat r˚uzn´e intervaly na
ose, odpov´ıdaj´ıc´ı nez´avisl´e promˇenn´e. ˇRada naˇsich ´uvah bude spoleˇcn´a pro intervaly
r˚uzn´ych tvar˚u, otevˇren´e ˇci uzavˇren´e, nekoneˇcn´e ˇci koneˇcn´e. Proto zavedeme pro n´ami
pouˇz´ıvan´y interval znaˇcen´ı - symbol I, kter´y bude jedn´ım z ˇc´ıseln´ych interval˚u tvaru
[a,b], (a,b], [a,b), (a,b), (−∞,b], (−∞,b), [a,∞), (a,∞), nebo (−∞,∞), kde a 0 a y> 0,
tj. na ˇc´ast prvn´ıho kvadrantu. Potom
f(x,y) = x·√y a fprimey(x,y) = x· 12·√y.
Nyn´ı je neohraniˇcenost defivace zˇrejm´a, protoˇze
lim
y→0+
fprimey(x,y) = x lim
y→0+
· 12·√y = +∞.
2.6. EXISTENCE A JEDNOZNAˇCNOST ˇREˇSEN´I ´ULOHY (??) 27
2.6 Existence a jednoznaˇcnost ˇreˇsen´ı ´ulohy (2.5)
Uvedeme nyn´ı (bez rozˇclenˇen´ı na jednotliv´e ˇc´asti) vˇetu o existenci a jednoznaˇcnosti
ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy (2.5). Definujme uzavˇrenou oblast
D := {(x,y1,y2,...,yn) ∈R×Rn,
|x−x0|≤a,|y1 −y0|≤b,|y2 −yprime0|≤b,...,|yn −y(n−1)0 |≤b},
s vnitˇrn´ım bodem (x0,y0,yprime0,...,y(n−1)0 ), kde a a b jsou dan´a kladn´a ˇc´ısla.
Budeme pˇredpokl´adat, ˇze prav´a strana rovnice (2.4) je definovan´a a spojit´a na D.
Pak existuje konstanta M takov´a, ˇze pro kaˇzd´e (x,y) ∈D plat´ı:
|f(x,y1,y2,...,yn)|≤M.
Uved’me jeˇstˇe formulaci Lipschitzovy podm´ınky pro tento pˇr´ıpad.
Definice 11 (Lipschitzova podm´ınka) Funkce f(x,y1,y2,...,yn) : D →
R, vyhovuje na oblasti D Lipschitzovˇe podm´ınce vzhledem k argument˚um
y1,y2,...,yn, jestliˇze pro libovoln´e dva body
(x,y∗1,y∗2,...,y∗n) ∈D, (x,y∗∗1 ,y∗∗2 ,...,y∗∗n ) ∈D (2.19)
existuje konstanta L (tzv. Lipschitzova konstanta) tak, ˇze plat´ı
|f(x,y∗1,y∗2,...,y∗n)−f(t,y∗∗1 ,y∗∗2 ,...,y∗∗n )|≤L
nsummationdisplay
l=1
|y∗l −y∗∗l |.
(2.20)
Vˇeta 3 (Picardova) Pˇredpokl´adejme, ˇze prav´a strana rovnice (2.4) je spojit´a na
oblasti D vzhledem ke vˇsem sv´ym argument˚um a vyhovuje zde Lipschitzovˇe podm´ınce
(2.20). Pak m´a poˇc´ateˇcn´ı ´uloha (2.5) jedin´e ˇreˇsen´ı y = y(x), kter´e je definov´ano na
intervalu |x−x0|≤h, kde
h := min
braceleftBigg
a,bc
bracerightBigg
(2.21)
a pro ˇc´ıslo plat´ı
c = max
(y2,y3,...,yn)∈D
{M,|y2|,|y3|,...,|yn|}. (2.22)
Podobnˇe jako u syst´em˚u diferenci´aln´ıch rovnic lze Lipschitzovu podm´ınku nahradit
silnˇejˇs´ım poˇzadavkem ohraniˇcenosti parci´aln´ıch derivac´ı funkce f:
28 KAPITOLA 2. POˇC´ATEˇCN´I ´ULOHY PRO ODR
Lemma 2. M´a-li spojit´a funkce f(x,y1,y2,...,yn) : D → R ohraniˇcen´e parci´aln´ı
derivace na oblasti D vzhledem k promˇenn´ym y1,y2,...,yn, tj., existuje-li konstanta
K takov´a,ˇze pro libovoln´y bod (x,y1,y2,...,yn) ∈D a libovoln´y indexi∈{1,2,...,n}
plat´ı
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
∂f(x,y1,y2,...,yn)
∂yi
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle≤K, (2.23)
pak funkce f(x,y1,y2,...,yn) vyhovuje na oblasti D Lipschitzovˇe podm´ınce (11) s
Lipschitzovou konstantou L := K.
2.7 Lok´aln´ı charakter existenˇcn´ıch vˇet
V pˇredch´azej´ıc´ım textu jsme uvedli nˇekolik vˇet o existenci a jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı
poˇc´ateˇcn´ıch ´uloh. Byla to Peanova vˇeta 1 o existenci poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy (2.1), Pi-
cardova vˇeta 2 o jednoznaˇcnosti ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy (2.1) a Picardova vˇeta 3,
kter´a rozˇsiˇrovala platnost dvou pˇredchoz´ıch vˇet na rovnici n-t´eho ˇr´adu (2.4). V t´eto
vˇetˇe jsme jiˇz nerozliˇsovali oddˇelenˇe podm´ınky zaruˇcuj´ıc´ı existenci ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı
´ulohy (2.5) a jednoznaˇcnost tohoto ˇreˇsen´ı. Spoleˇcn´ym rysem vˇsech tˇechto vˇet byl
jejich lok´aln´ı charakter (resp. jejich tzv. lok´aln´ı existence). T´ım m´ame na mysli to,
ˇze n´as uveden´e vˇety informovaly o existenci ˇreˇsen´ı y = y(x) a o jeho jednoznaˇcnosti
pouze na nˇekter´em okol´ı bodu x = x0. Toto okol´ı bylo vymezeno pomoc´ı nerovnost´ı
typu|x−x0|≤h, kdeˇc´ıslohbylo definov´ano vztahy (2.7) nebo (2.21) jako minim´aln´ı
ze dvou dan´ych ˇc´ısel. Rozborem tˇechto vztah˚u vid´ıme, ˇze ˇc´ım vˇetˇs´ı jsou v uve-
den´ych oblastech D hodnoty funkce f, t´ım je menˇs´ı ˇc´ıslo h. Prakticky tedy vˇetˇsinou
nejsme schopni pouˇzit´ım tˇechto nerovnost´ı vymezit dostateˇcnˇe velk´y interval ex-
istence, protoˇze hodnota ˇc´ısla M v pˇr´ıpadˇe, ˇze bychom zvˇetˇsovali oblast D bude
vˇetˇsinou nar˚ustat a ˇc´ıslohse bude zmenˇsovat. Pouˇz´ıt tyto vˇety pro zjiˇstˇen´ı na jak´em
(co nejvˇetˇs´ım) intervalu bude ˇreˇsen´ı y = y(x) existovat tedy obecnˇe nelze. Uvede-
nou diskus´ı jsme se dostali do problematiky takzvan´e prodlouˇzitelnosti ˇreˇsen´ı difer-
enci´aln´ıch rovnic. Nebudeme prov´adˇet hlubok´e teoretick´e ´uvahy. Uved’me jen jeden
z´avˇer, kter´y ˇr´ık´a, ˇze pokud jsou v kaˇzd´em jakkoliv velk´em okol´ı poˇc´ateˇcn´ıho bodu
splnˇeny podm´ınky uveden´ych vˇet, pak pro pˇr´ısluˇsn´e ˇreˇsen´ı y = y(x) plat´ı tato alter-
nativa: Bud’ existuje hodnota x = x∗ > x0 takov´a, ˇze limx→x∗−0|y(x)| = ∞ anebo
je ˇreˇsen´ı prodlouˇziteln´e pro vˇsechny hodnoty x > x0. Podobnˇe m˚uˇzeme rozebrat
situaci vlevo od bodu x0. Jin´a je situace ve speci´aln´ım pˇr´ıpadˇe, kdy jsou uvaˇzovan´e
rovnice line´arn´ı. Pak je kaˇzd´e ˇreˇsen´ı prodlouˇziteln´e na cel´y interval I. O tom se ale
jeˇstˇe vˇcas na pˇr´ısluˇsn´em m´ıstˇe zm´ın´ıme.
Pˇr´ıklad 10. Ilustrujme moˇznost prvn´ıho pˇr´ıpadu uveden´e alternativy na poˇc´ateˇcn´ı
´uloze


yprime = 1 +y2,
y(0) = 0.
(2.24)
2.7. LOK´ALN´I CHARAKTER EXISTENˇCN´ICH VˇET 29
V tomto pˇr´ıkladu je funkce f(x,y) = 1 + y2. Tato funkce je spojit´a nejenom na
nˇekter´em uzavˇren´em okol´ı D bodu (0,0), ale v cel´e rovinˇe xOy. Parci´aln´ı derivace
fprimey(x,y) funkcef(x,y), tj. funkcefprimey(x,y) = 2y je na kaˇzd´em uzavˇren´em okol´ıDbodu
(0,0) ohraniˇcen´a (samostatnˇe zd˚uvodnˇete proˇc). Plat´ı tedy Picardova vˇeta 2. Nelze
vˇsak uˇcinit z´avˇer, ˇze ˇreˇsen´ı y = y(x) poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy (2.24) bude definovan´e na cel´e
re´aln´e ose. Skuteˇcnˇe, je snadn´e provˇeˇrit, ˇze poˇc´ateˇcn´ı ´uloze (2.24) vyhovuje funkce
y = tgx (proved’te provˇeˇren´ı samostatnˇe). Toto ˇreˇsen´ı je vzhledem k definiˇcn´ımu
oboru funkce tgx a vzhledem k tomu, ˇze jako ˇreˇsen´ı uvaˇzujeme pouze ta ˇreˇsen´ı,
kter´a jsou spojit´a (viz Definici 5 na stranˇe 6), definov´ano pouze na intervalu
−pi/2